Bất đẳng thức p1 2

Bất đẳng thức p.1.2 Chứng minh hệ số BĐT hay gặp thi 2 ( a + b ) ≥ ( a + b ) ≥ 4ab → dấu " = " xảy ⇔ i ( a + b) a=b − 4ab = ( a − b ) ≥ → dpcm 2 i ( a2 + b2 ) ≥ ( a + b ) ⇔ ( a + b2 ) − ( a + b ) = ( a − b ) ≥ a + b2 + c ≥ ab + bc + ca → dấu " = " xảy ⇔ → dpcm a=b=c Đpcm: a + b + c − ( ab + bc + ca ) = a +b Đpcm: (a + b) ≥ 1 2 a − b ) + (b − c ) + ( c − a )  ≥ (  2 → dấu " = " xảy ⇔ a = b 2 ( a + b ) a + 2ab + b2 a2 + b2  a + b  a + b2  a + b  ⇔ ≥ − − =  ⇔  = 2 4     1 2a + 2b − a − b − 2ab ) = ( a − b ) ≥ ( 4 a + b2 + c ≥ Đpcm: ( a + b + c ) → dấu " = " xảy ⇔ a=b=c a2 + b2 + c2  a + b + c  a2 + b2 + c2  a + b + c   2 ⇔ ≥ ⇔ −   = ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )  ≥ 3 3     a + b2 + c ≤ a + b + c ; chứng minh cách bình phương vế ( a + b + c ) ≥ ( a + b + c ) ≥ 3( ab + bc + ca ) → dấu " = " xảy ⇔ ( ax + by ) ≤ ( a + b )( x + y ) → dấu " = " xảy ⇔ 1 + ≤ + a + b + ab a=b=c ay = bx (Bđt Bunhiacốpxki) ;với x, y ∈ ( 0;1) Đpcm:   1  + ab − − a + ab − − b  + ≤0 1+ a −  +  1+ b − ≤0⇔ + ab   + ab   (1 + a ) + ab (1 + b ) + ab ( ⇔ ab − a (1 + a ) (1 + ab ) + ab − b (1 + b ) (1 + 1 + ≤ + a + b + ab ab ) ≤0⇔ ( b− a ) )( ( ab − (1 + a )(1 + b ) (1 + ) ab ) ) ≤ với a,b ;với ab ≤ Đpcm: + b2 + + a 2 + b2 + a 2 ≤ ⇔ ≤ ⇔ ( + b + a ) (1 + ab ) ≤ (1 + a )(1 + b ) 2 2 1 (1 + a )(1 + b ) + ab (1 + a )(1 + b ) + ab  − 2ab + ( b + a )  (1 + ab ) ≤ (1 + b + a + a 2b2 ) ⇔  (1 − ab ) + ( b + a )2  (1 + ab ) ≤ ( a + b )2 + − 2ab + a 2b        2 ⇔  (1 − ab ) + ( b + a )  (1 + ab ) ≤ ( a + b ) + (1 − ab )      2 ⇔ (1 − ab )(1 + ab ) + (1 + ab )( b + a ) ≤ ( a + b ) + (1 − ab ) 2 2 ⇔ (1 + ab )( b + a ) − ( a + b )  +  (1 − ab )(1 + ab ) − (1 − ab )  ≤     ⇔ ( a + b ) ( ab − 1) + (1 − ab ) 1 + ab − (1 − ab )  ≤ ⇔ ( a + b ) ( ab − 1) − ( ab − 1) 1 + ab − (1 − ab )  ≤ ⇔ ( ab − 1) ( a + b ) − 4ab  ≤ ⇔ ( ab − 1)( a − b ) ≤ ln vì:   2 ( a − b )  ab = dấu " = " xảy ⇔   a = b  xy − ≤ 1 + + ≤ + a + b3 + c + abc ;với ≤ a, b, c ≤ Đpcm: Áp dụng: 1 với ab ≤ + ≤ 2 + a + b + ab Ta có: i 1 + = 3 + a + b + a3 i ( ) 1 + = + c + abc + c + ( ) 1+ ( b) ≤ + a 3b + 1+   1 + i 2 ≤ 3  + a b + c ab  + ( abc ) ≤ + c abc a 3b3 c ab = = + c ab + abc Cộng bđt theo vế ta được:   1 1 1 2 + + + + 2 + ≤ + +  3 3 3 + a + b + c + abc  + a b + c ab  + a b + c ab + abc ⇒ 1 + + ≤ 3 + a + b + c + abc Suy ra: điều phải chứng minh 1 + ≥ a b2 ( a + b ) → dấu " = " xảy ⇔ a = b Đpcm: i i 1 1 + ≥2 2 = a b a b ab (a + b) ab ≤ Suy ra: ⇒ 2 ≥ = 2 ab ( a + b ) ( a + b) 1 + 2≥ 2 a b ( a + b) Một số tính chất bản: i a + b ≤ a + b → dấu " = " xảy ⇔ ab ≥ i a − b ≤ a −b a.c ≥ b.c c > i a>b⇔ a.c < b.c c < a > c i  ⇒ a+b > c+d b > d a > c ≥ i  ⇒ a.b > c.d b > d ≥ i a > b ≥ ⇒ a > b2 i a > b ⇔ a > b2 i a >b>0⇒ 1 < a b i a thì: a < b ⇔ −b < a < b a > b a >b⇔   a < −b • Với a, b, c, d ∈ R Ta ln có: i a a a+c 1⇒ > b b b+c i a c a a+c c > ⇒ > > b d b b+d d i a a > a+b a+b+c Fb: https://www.facebook.com/groups/1615542822045734/ Hà Nội, ngày 10/11/2015 All Rights Reserved by Ôn Thi THPT Quốc Gia