Khóa học Bất đẳng thức Online Zalo: 0989.15.2268 BẤT ĐẲNG THỨC HAI SỐ Bài Với a,b ta có: a2 + b2 �2ab; a2 + b2 �- 2ab 1 Bài Cho a,b > Chứng minh + � a b a +b Bài Cho số thực dương a,b thỏa mãn ab = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = ( a + b + 1) ( a2 + b2 ) + a +b x2 + y2 Bài Cho x > y > 0, xy = Tìm giá trị nhỏ A = x- y 1 Bài Cho x, y > x3 + y3 + 6xy �8 Tìm giá trị nhỏ P = + x y Bài Cho a,b �0 thỏa mãn a + b �1 Chứng minh a2b2 ( a2 + b2 ) � 32 2 a , b Bài Cho biểu thức P = a + b - ab Với thỏa mãn a + b + ab = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P 16 2 Bài Cho x, y �0 Tìm giá trị nhỏ P = x + y + ( x + 1) ( y + 1) 4 ( a - 4) Bài Cho a �� Chứng minh 2 a + 16 + ( a + 2) � a +8 Bài 10 Cho a,b �0,a + b = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ S = 7a + + 7b + 2 Bài 11 Cho a + 2b = Tìm giá trị nhỏ P = ( a - 1) + ( b - 1) Bài 12 Cho x, y > 0, x + y �1 Tìm giá trị nhỏ A = 4xy + + xy x +y x x 2y Bài 13 Cho x, y > thỏa mãn + �2 Tìm giá trị nhỏ K = + ( )( y y ) x b + = Tìm giá trị nhỏ M = a + b b a 2 Bài 15 Cho a,b �0,a + b = Chứng minh a 3b + + b 3a + + 3a + 3b + �9 Bài 16 Cho x, y �0 x2 + y2 �2 Bài 14 Cho a,b > 0, a +1 Tìm giá trị lớn P = x ( 14x + 10y) + y ( 14y + 10x) Bài 17 Cho x, y thỏa mãn < y < x �4, x + y �7 Tìm giá trị lớn M = x2 + y2 Bài 18 Cho x, y thỏa mãn x2 + y2 - xy = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ P = x2 + y2 1 + = Bài 19 Cho a,b > thỏa mãn a Tìm giá trị lớn P = b a + b + 2b a + b + a + 2a b Khóa học Bất đẳng thức Online Zalo: 0989.15.2268 Bài 20 Cho a,b > Chứng minh 2a + 3b � b� � � 2b2 + 2� a + � �+ � � 2� � �- Bài 21 Cho a,b số thực dương thỏa mãn a2 + b2 = 2a + b Tìm giá trị lớn P = a - b + ab a b 1 Bài 22 Cho a,b > Chứng minh + � 2+ 2 a +b b +a a b + ( - a - b) ( + b) � �4 Bài 23 Cho < a,b < Chứng minh a � � � Bài 24 Cho a,b �0 Chứng minh a + b + b( a + b) � 2( 2a + b) + 8b2 Bài 25 Cho a,b �0,a + b = Chứng minh 5a + + 5b + �5 1 + + a + 2a b + 2b 1 + �1 a2 + b2 + Bài 26 Cho a,b > 0,a + b = ab Chứng minh Bài 27 Cho a,b > 0,ab = Chứng minh ( 1+ a ) ( 1+ b ) � 21 2 Bài 28 Cho a,b > thỏa mãn ( a + b) + 4ab �12 Chứng minh 1 + + 2020ab �2021 + a 1+ b Bài 29 Cho a,b số dương thỏa mãn ab = ( a + b - 2) ( a Tìm giá trị nhỏ P = + b2 ) a +b x , y Bài 30 Cho số tự nhiên thỏa mãn x + y = 99 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ P = x + + y + Bài 31 Cho x, y số thực thỏa mãn x2 + 2y2 + 2xy = 24 - 5x - 5y Tìm giá trị lớn P = x2 + y2 - x - y + 2xy - Bài 32 Cho a,b > 0,ab = Chứng minh ( 1+ a) + 1 � ( 1+ b) Bài 33 Cho a,b �0,ab = Chứng minh 2( a2 + 1) + 2( b2 + 1) �2( a + b) Bài 34 Cho a,b > ab = Tìm giá trị lớn P = a a4 + + b b4 + Bài 35 Cho a,b số thực thỏa mãn a2 - ab + b2 = a + b Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ P = 2020( a + b) y- x- Bài 36 Cho x, y > thỏa mãn x + y = xy Tìm giá trị nhỏ P = + x Bài 37 Cho a,b �0 thỏa mãn a - b2 + b - a2 = 1 + - a - b a b 2 Bài 38 Cho x + y = + xy;x, y �� Tìm giá trị nhỏ P = y Khóa học Bất đẳng thức Online Zalo: 0989.15.2268 Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn P = x4 + y4 - x2y2 Bài 39 Cho x, y �� thỏa mãn ( x2 + y2 ) + 4x2 + y2 + 6x + = Tìm giá trị lớn x2 + y2 Bài 40 Cho x, y �� thỏa mãn x2 + xy - y2 = Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn A = x2 - xy + y2 Bài 41 Cho x, y số nguyên dương thỏa mãn điều kiện x + y = 2020 2 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = x ( x + y) + y ( y + x) Bài 42 Cho x, y �� thỏa mãn x2 + y2 = Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn M = y2 + 3xy Bài 43 Cho x, y �� thỏa mãn x2 + y2 - xy = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ A = x2 + y2 Bài 44 Cho số thực x, y thỏa mãn xy + x + y = 15 Tìm giá trị nhỏ A = x2 + y2 Bài 45 Cho số thực x, y thỏa mãn x + y + = 3 2 Tìm giá trị lớn biểu thức A = 2( x + y ) + 3( x + y ) + 10xy Bài 46 Cho x, y > 0, xy = Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = x2 + y2 + Bài 47 Cho hai số thực x, y thỏa mãn x2 + y2 = xy + x + y Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ S = x + y x +y +1 2020 Bài 48 Chứng minh với a,b ta có: a2 + b2 �2ab + ( a - b) 2021 a b2 a > , b > Bài 49 Cho Tìm giá trị nhỏ P = + b- a - Bài 50 Cho a,b > Chứng minh 2021 b2 + 2020a2 �( b + 2020a) ( ) ( ) a + b - 1) a2 + b2 ( a , b > , ab = Bài 51 Cho Tìm giá trị nhỏ P = a +b Bài 52 Cho a,b > thỏa mãn a + + b + = Tìm giá trị nhỏ P = a2 + ab + b2 Bài 53 Cho x, y thỏa mãn x + y = Tìm giá trị lớn P = x3y + xy3 ( )( ) 2 Bài 54 Cho x, y hai số thực thỏa mãn điều kiện x + x + y + y + = Tìm giá trị nhỏ P = 2x4 - y4 + 6xy + 8y2 - 10x - 2y + 2024 Bài 55 Cho số không âm x, y thỏa mãn x2 + y2 = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = xy + Bài 56 Cho hai số dương x, y thay đổi thỏa mãn x - y �1 - x y Bài 57 Cho hai số thực không âm thỏa mãn 2ab + �2a Tìm giá trị lớn biểu thức A = x +y Khóa học Bất đẳng thức Online Zalo: 0989.15.2268 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức = a +b a2 + b2 Bài 58 Cho a,b số thực dương thỏa mãn điều kiện 2a + 2b + ab = 12 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a2 + b2 Bài 59 Cho số thực không âm a,b thỏa mãn a + b = Tìm giá trị lớn P = a + b - a - b Bài 60 Cho x, y �� thỏa mãn x2 + y2 = 3 4 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = Bài 61 Cho 2x ( x + 6y) + 2xy + 2y2 �x, y �2 x + y = 4xy Tìm giá trị lớn P = ( x - y) - 2( x + y) Bài 62 Cho x, y số thực dương thỏa mãn x + y = 2 � 1� � 1� � � � � x + + y+ � Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = � � � � � � � � � x� � � y� Bài 63 Cho số thực x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện �x �y �5 2 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn P = 2( x + y ) + 4( x - y - xy) + - 2a - 2b + Bài 64 Cho a,b > thỏa mãn a + b �6 Tìm giá trị nhỏ P = 1+ a 1+ b 20 Bài 65 Cho x, y > 0, x + y = Tìm giá trị nhỏ A = xy + xy 1 + Bài 66 Cho a,b > 0,a + b = Tìm giá trị nhỏ P = 1+ 3ab + a + 3ab + b2 Bài 67 Cho x, y > 0, xy = 12 Tìm giá trị nhỏ P = + + x y 3x + y Bài 68 Cho x, y > thỏa mãn 4x2 + 4y2 + 17xy + 5x + 5y �1 Tìm giá trị nhỏ P = 17x2 + 17y2 + 16xy (ĐTTS vào lớp 10 THPT chuyên KHTN, năm học 2019 - 2020) Bài 69 Cho a,b > thỏa mãn �2a + 3b �5 8a + 12b �2a2 + 3b2 + 5ab + 10 Chứng minh 3a2 + 8b2 + 10ab �21 (ĐTTS vào lớp 10 THPT chuyên KHTN, năm học 2020 - 2021) x , y �� x Bài 70 Cho thỏa mãn �3, x + y �5 Tìm giá trị nhỏ P = x2 + y2 Bài 71 Cho x, y > 0, xy + �x Tìm giá trị lớn Q = x +y 3x2 - xy + y2 y2 Bài 72 Cho x, y �� thỏa mãn 2x2 + + = x Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P = xy (ĐTTS vào lớp 10 THPT chuyên tỉnh Thừa Thiên Huế, năm học 2020 - 2021) Khóa học Bất đẳng thức Online Zalo: 0989.15.2268 Bài 73 Cho x, y số thực dương thỏa mãn x + y �3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q = x2 + y2 - 9x - 12y + 16 + 25 2x + y (ĐTTS vào lớp 10 THPT tỉnh Quảng Ninh, năm học 2020 - 2021) 1 + �1 4x + 2y + 1 + Tìm giá trị nhỏ T = 4x + 4y + Bài 74 Cho x, y > thỏa mãn 4 Bài 75 Cho x, y > 0, x + y = 10 Tìm giá trị nhỏ A = ( x + 1) ( y + 1) (ĐTTS vào lớp 10 THPT tỉnh Bình Định, năm học 2020 - 2021) 13x 10y + + + Bài 76 Cho x, y > x + y � Tìm giá trị nhỏ P = 3 2x y (ĐTTS vào lớp 10 THPT tỉnh Khánh Hòa, năm học 2020 - 2021) Bài 77 Cho a,b > thỏa mãn a ( a - 1) + b( b - 1) = ab Tìm giá trị nhỏ F = a3 + 2020 b3 + 2020 + b a 20 Bài 78 Cho a,b > thỏa mãn a + b �3 Tìm giá trị nhỏ Q = b - a + + a b (ĐTTS vào lớp 10 THPT TP Hồ Chí Minh, năm học 2020 - 2021) �2 �2 1� � 17 � � � x + 2� y + 2� � � Bài 79 Cho x, y > 0, x + y = Tìm giá trị nhỏ P = � � � � � � � y � � � x � (ĐTTS vào lớp 10 THPT chuyên tỉnh Cao Bằng, năm học 2020 - 2021) 2002 2017 + + 2996a - 5501b Bài 80 Cho a,b > 0,2a + 3b = Tìm giá trị nhỏ Q = a b (ĐTTS vào lớp 10 tỉnh Điện Biên, năm học 2020 - 2021) Bài 81 Cho số thực dương a, b cho ab �b Tìm GTNN P a 1 b2 a b ... KHTN, năm học 20 19 - 20 20) Bài 69 Cho a,b > thỏa mãn �2a + 3b �5 8a + 12b �2a2 + 3b2 + 5ab + 10 Chứng minh 3a2 + 8b2 + 10ab ? ?21 (ĐTTS vào lớp 10 THPT chuyên KHTN, năm học 20 20 - 20 21) x , y ��... 0989.15 .22 68 Bài 20 Cho a,b > Chứng minh 2a + 3b � b� � � 2b2 + 2? ?? a + � �+ � � 2? ?? � �- Bài 21 Cho a,b số thực dương thỏa mãn a2 + b2 = 2a + b Tìm giá trị lớn P = a - b + ab a b 1 Bài 22 Cho... Cao Bằng, năm học 20 20 - 20 21) 20 02 2017 + + 29 96a - 5501b Bài 80 Cho a,b > 0,2a + 3b = Tìm giá trị nhỏ Q = a b (ĐTTS vào lớp 10 tỉnh Điện Biên, năm học 20 20 - 20 21) Bài 81 Cho số thực dương