Chuyen de 2 bat dang thuc l8 ng 26 01 2021

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC I.LÝ THUYẾT Định nghĩa: Các mệnh đề “ A > B ” “ A < B ” gọi bất đẳng thức (BĐT) Các mệnh đề: “ A �B ” “ A �B “ gọi bất đẳng thức suy rộng Bất đẳng thức hệ bất đẳng thức tương đương: Nếu từ BĐT A > B mà ta biến đổi thành C > D ta nói BĐT C > D BĐT hệ BĐT A > B kí hiệu A > B => C > D Nếu BĐT A>B hệ BĐT C>D C>D BĐT hệ BĐT A>B ta nói hai BĐT tương đương với nhau, Kí hiệu A>B C>D Tính chất: A  B  A  C  B  C ( Cộng hai vế BĐT với số) � A  B  AC  B.C, C  0 � (Nhân hai vế BĐT với số) A  B  AC  B C , C  �   � A  B,C  D  A  C  B  D ( Cộng hai BĐT chiều) A  B,C  D  AC  BD, A,C  0 (Nhân hai BĐT chiều) A  B  A2n1  B2n1 A2n  B2n Với A > 0, (Nâng hai vế BĐT lên lũy thừa) A  B  A  B , A  0 (Khai hai vế BĐT) a  b �a  b �a  b (Tính chất giá trị tuyệt đối) II.LUYỆN TẬP Dạng 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA: A>B TA XÉT HIỆU A – B >0, CHÚ Ý BĐT A2 �0 Bài 1: CMR : với x,y,z x  y  z �xy  yz  zx HD: Xét hiệu ta có: �  x  y  z  xy  yz  zx  �0 �  x  y  z  xy  yz  zx  �0 � ( x  xy  y )  ( y  yz  z )  ( z  zx  x ) �0   x  y    y  z    z  x  �0 2 Trang Dấu xảy x = y = z Bài 2: CMR : với x,y,z x  y  z �2 xy  yz  zx HD: Xét hiệu ta có: x  y  z  xy  yz  zx �0   x  y  z  �0 Dấu xảy x+z=y 2 Bài 3: CMR : với x,y,z x  y  z  �2  x  y  z  HD: Xét hiệu ta có:  x  1   y  1   z  1 �0 , Dấu x=y=z=1 2 2 a  b �a  b � �� Bài 4: CMR : với a,b ta có : � �2 � HD: Xét hiệu ta có : a  b a  2ab  b 2 2  �0 2a  2b   a  2ab  b  �0  a  2ab  b �0   a  b  �0 , Dấu a=- b 2 a  b  c �a  b  c � �� Bài 5: CMR : với a,b,c ta có : � � � HD: Ta có: a  b  c a  b  c  2ab  2bc  2ac �  3a  3b  3c   a  b  c  2ab  2bc  2ac  �0  2a  2b  2c  2ab  2bc  2ac �0   a  b    b  c    c  a  �0 , Dấu a=b=c Bài 6: CMR : a  b � 2 a  b �2ab 2 HD: Ta chứng minh: a  b 2  a  b �  2a  2b �a  2ab  b 2  a  b  2ab �0   a  b  �0 , Dấu a=b 2 a  b Ta chứng minh  2 2 �2ab  a  2ab  b �4ab   a  b  �0 , Dấu a=b Bài 7: Cho a,b,c số thực CMR: a  b2 �ab HD: Ta có: 4a  b �4ab � 4a  b  4ab �0   2a  b  �0 Dấu b=2a Trang Bài 8: Cho a,b,c số thực CMR: a  b  �ab  a  b HD: Ta có: a  b   ab  a  b �0  2a  2b   2ab  2a  2b �0 2   a  2ab  b    a  2a  1   b2  2b  1 �0   a  b    a  1   b  1 �0 Dấu a=b=1 2 2 Bài 9: Cho a,b,c,d số thực CMR : a  b  c  d  e �a  b  c  d  e  HD: Ta có: a  b  c  d  e  ab  ac  ad  ae �0  4a  4b  4c  4d  4e  4ab  4ac  4ad  4ae �0   a  4ab  4b    a  4ac  4c    a  4ad  4d    a  4ae  4e  �0   a  2b    a  2c    a  2d    a  2e  �0 2 2 Dấu xảy a=2b=2c=2d=2e � 1� � 1� � � � � 1 �  ��9 Bài 10: Cho a,b thỏa mãn: a+b = 1, a>0, b>0.CMR: � � a b HD: � ab� � ab� � b � � a� �a b � 1 2 �  �  �  � � � � � � � a � � b � � a� � b� �b a � a b �a b �   �  ��5  2.2  Dấu   a  b  a  b  b a �b a � 1 Ta có: VT  � �x  y � Bài 11: Cho x, y �0, CMR : � ��xy �2 � HD: Ta có: x  y  xy �4 xy  x  xy  y �0   x  y  �0 , Dấu x=y Bài 12: Cho a > 0, b > CMR: a  b3 �a 2b  ab HD: 3 2 Ta có:  a  a b    b  ab  �0  a  a  b   b  a  b  �0     a  b  a  b �0   a  b   a  b  �0 Dấu a=b Bài 13: Cho ab �1, a �0, b �0 CMR: 1  � 2  a  b  ab HD: Xét hiệu: �� 1 � �1 � 2 � �  ��0  a  ab � �  b  ab � �  a  b  a  b  a  b   a    ab    b    ab  2 �0 Trang  (b  a ) a b [  ] �0 (1  ab)   a    b  (b  a ) a (1  b )  b(1  a ) [ ] �0 (1  ab) (1  a )(1  b ) (b  a ) (b  a )(ab  1)  [ ] �0 (1  ab) (1  a )(1  b )   b  a   ab  1    ab   a  1  b2  a  �0 Dấu a=b ab=1 2 2 Bài 14: CMR : với số thực x,y,z,t ta ln có : x  y  z  t �x  y  z  t  HD: Ta có: x  y  z  t  xy  xz  xt �0  x  y  z  4t  xy  xz  xt �0   x  xy  y    x  xz  z    x  xt  4t   x �0 Dấu x= 2y=2z=2t=0 Bài 15: CMR : HD: a2  b  c �ab  ac  2bc 2 Ta có: a  4b  4c  4ab  4ac  8bc �0  a  4a  b  c    b  c  2bc  �0  a  4a  b  c    b  c  �0   a  2a  2c  �0 2 Bài 16: CMR : x  y  z �2 xy  zx  yz HD: 2 Ta có: x  y  z  xy  yz  zx �0  x  x  y  z   y  yz  z �0 x  x  y  z    y  z  �0   x  y  z  �0 2 4 Bài 17: CMR : x  y  z  �2 x  xy  x  z  1 HD: Ta có: x  y  z   x y  x  xz  x �0 x  y  x y    x  xz  z    x  x  1 �0 x  y    x  z    x  1 �0 , Dấu x=z=1, y= �1 2 Bài 18: CMR : a  b  c �ab  bc  ca HD: Ta có : a  b2  c  ab  bc  ca �0  2a  2b  2c  2ab  2bc  2ca �0   a  b    b  c    c  a  �0 2 Bài 19 CMR : a  b2 �ab HD: Trang b Ta có: a  b  ab �0  a  2a  b 3b � b � 3b  �0  � a  � �0 4 � 2� Bài 20: CMR : x  xy  y �0 HD: 2 y y2 3y2 � y � 3y �0  �x  � �0 Ta có: x  x   4 � 2� 2 Bài 21: CMR : a  a  b   a  c   a  b  c   b c �0 HD:  a  a  b  c   a  b   a  c   b 2c �0   a  ab  ac   a  ab  ac  bc   b 2c �0 � a  ab  ac  x 2 Đặt � , Khi ta có: x  x  y   y �0  x  xy  y �0 bc  y � Bài 22: CMR :  a  b2   a  b4  � a3  b3  HD: Ta có: a  a 2b  a 4b2  b6 �a  2a3b3  b6   a 4b  a 3b3    a 2b  a3b3  �0  a 3b2  a  b   a 2b3  b  a  �0   Bài 23: CMR :  a  b   a  b  �2  a   a  b  a 3b  a 2b �0  a 2b  a  b  �0 3  b4  HD: Ta có: a  ab3  a3b  b4 �2a  2b4  a  ab3  b  a 3b �0  a  a  b   b3  b  a  �0   a3  b3   a  b  �0   a  b  3 2 Bài 24: Cho a,b > 0, CMR :  a  b  � a  b   a  b  HD: Ta có: 2a3  2b3 �a  ab  a 2b  b3  a  a 2b  b3  ab �0  a  a  b   b  b  a  �0   a  b   a  b  �0 3 Bài 25: Cho a, b > 0, CMR:  a  b  � a  b  HD: Ta có: 4a  4b3 �a3  3a 2b  3ab2  b3  3a  3a 2b  3b  3ab �0  3a  a  b   3b  b  a  �0   a  b   a  b  �0   a  b   a  b  �0 Trang a  ab  b  �0 3 Bài 26: Cho a,b,c > 0, CMR: a  b  abc �ab  a  b  c  HD: Ta có: a  b3  abc �a 2b  ab  abc  a  a 2b  b3  ab �0  a  a  b   b  b  a  �0   a  b  Bài 30: CMR:  a  b2  �ab  a  b  HD:  a  b  �0 2 2 2 Ta có: a  2a b  b �ab  a  2ab  b   a b  2a b  ab   a  a 3b    b  ab3  �0  a  a  b   b3  b  a  �0    a  b3  a  b  �0   a  b  a  ab  b2  �0 2 Bài 31: CMR: a  b  c �a  b  c  HD: Ta có: a  b  c  ab  ac �0  4a  4b  4c  4ab  4ac �0   a  4ab  4b    a  4ac  4c   2a �0   a  2b    a  2c   2a �0 2 2 2 Bài 32: CMR: a  b  c  d �a  b  c  d  HD: Ta có: a  b  c  d  ab  ac  ad �0  4a  4b  4c  4d  4ab  4ac  4ad �0   a  4ab  4b    a  4ac  4c    a  4ad  4d   a �0   a  2b    a  2c    a  2d   a �0 2 2 Bài 33: CMR: a  b  c  � a  b  c  HD: Ta có:  a  a    b  b    c  c   �0  � �2 � �2 1� �2 a  a  � � b  b  � � c  c  ��0 � 4�� 4� � 4� � 2 1� � 1� � 1�  � a  � � b  � � c  ��0 � � 2� � 2� � 2� Bài 34: CMR: a  b  �4ab HD: Ta có: a  b  4ab  �0  a  b4  2a 2b  2a 2b  4ab  �0   a  b    a 2b  2ab  1 �0   a  b    ab  1 �0 2 Bài 35: CMR: x  x   HD: 2 Ta có:  x  x     x  x  1    x     x  1  Không xảy dấu Trang Bài 36: CMR: x  x   HD: 2 � �2 1� �4 1� � 1� � Ta có: �x  x  � �x  x  ��0  �x  � �x  ��0 4�� 4� � � 2� � 2� Bài 37: CMR: x3  x   3x ( x  0) HD: 2 Ta có: x3  3x  x    x  x  x    x    x  x    x   , Vì x >0 Bài 39: CMR:  x  1  x    x  3  x   �1 HD:  x  1  x    x    x  3  �0   x  x    x  x    �0 Đặt x  x   t , Khi ta có:  t  1  t  1  �0  t �0 , Dấu t=0 Bài 40: CMR: x  x3  x  x   HD: 3 Ta có : x  x  1   x  1  x    x  1  x  1  x    x  1 x  x  1  x  ( ĐPCM) Bài 41: CMR : a  4b  4c �4ab  8bc  4ac HD: Ta có: a  4b  4c  4ab  8bc  4ac �0  a   2b    2c   2.a.2b  2.2b.2c  2.a.2c �0 2   a  b  c  �0 3 Bài 42: CMR :  a  b  c  � a  b    b  c    c  a  với a, b, c >0 3 HD: Ta có: 8a3  8b3  8c3 �2a3  2b3  2c3  3a 2b  3ab  3b 2c  3bc  3a 2c  3ac  6a  6b3  6c  3a 2b  3ab  3b 2c  3bc  3a 2c  3ac �0   3a  3a 2b    3a  3a c    3b3  3b a    3b3  3b c    3c  3bc    3c  3ac  �0  3a  a  b   3a  a  c   3b  b  a   3b  b  c   3c  c  b   3c  c  a  �0   a  b   a  b    a  c   a  c    b  c   b  c  �0   a  b   a  b    a  c   a  c    b  c   b  c  �0 Bài 43: CMR:  a  b  c  �a3  b3  c3  24abc với a,b,c>0 HD: 3 3 3 Ta có: a  b  c   a  b   b  c   c  a  �a  b  c  24abc Trang   a  b   b  c   c  a  �24abc �a  b �2 ab � � Vì �b  c �2 bc , Nhân theo vế ta ĐPCM � c  a �2 ca � �x y � x2 y2 Bài 44: CMR: Với x, y # ta có:   �3 �  � y x �y x � HD: x x 4 2 2 Ta có: x  y  x y �3xy  x  y    y   xy  x  y   x y  xy  x  y  �0   x  y   x  y  xy   xy  xy  x  y  �0   y  xy   x  y  xy  �0   x  y  x  xy  y  �0 3 Bài 45: CMR : Nếu a  b �1 , a  b � HD: � 1� 1 Ta có: b �1  a  b �1  3a  3a  a  a  b �3a  3a   �a  � � � 2� 4 3 3 Bài 46: Cho a,b,c > 0, CMR : ab  bc  ca �a  b  c HD: Ta có: a  b  c  ab  bc  ca �0   a  b    b  c    c  a  �0 2 a2  a  0 Bài 47: CMR : a  a 1 HD: 1� � � 1� 2 2 Ta có: a  a   �a  a  �  0, a a  a   �a  a  �  0, a 4� 4� � � Bài 48: CMR : 4a  a  b   a  1  a  b  1  b �0 HD: 2 2 Ta có: 4a  a  b  1  a  1  a  b   b �0   a  ab  a   a  ab  a  b   b �0 Đặt a  ab  a  x b y 2 Khi đó: BĐT  x  x  y   y �0  x  xy  y �0   x  y  �0 , Dấu x   y  2a  2ab  2a  b  b   Bài 49: CMR : x  y 2  x  y � 2 �2 xy Trang 2a  a  1 2a  HD: �2 x  y  2 x y �  x  y �x  y  xy   x  y  �0 � Ta có: � �  x  y  �2 xy  x  y  xy �4 xy  x  y �0 �   � 1 Bài 50: CMR :  � , Với a,b > a b ab HD: Ta có:  a  b ab 2   a  b  �4ab   a  b  �0 � ab 4 2 Bài 51: CMR : a  b �ab  a  b  HD: Ta có: 3 a  b  a3b  ab3 �0  a  a  b   b  a  b  �0   a  b  a  ab  b  �0 Bài 52: CMR : a  b �a  b � �� � �2 � HD: Ta có: 8a  8b4 �a  b4  4a 2b  2a 2b  4a3b  4ab3  a  7b  4a 2b  2a b2  4a3b  4ab3 �0   a  b  2a 2b    6a  6b   4ab  a  b   8a 2b �0   a  b   4ab  a  b   4a 2b   a  b   12a 2b �0   a  b2  2ab    a  b  2a 2b2  �0   a  b    a  b  �0 2 Bài 53: Cho a+b+c=0, CMR : ab  bc  ca �0 HD: 2 Ta có: a  b  c   ab  bc  ca     ab  bc  ca     a  b  c  �0 Dấu a=b=c=0 2 Bài 54: Cho x,y,z �R , CMR :  x  y    y  z    z  x  �3  x  y  z  2 HD: Ta có: x  y  z  xy  yz  zx �3x  y  3z  x  y  z  xy  yz  zx �0   x  y  z  �0 x6 y Bài 55: CMR : Với x,y khác 0, ta ln có : x  y �  HD: y6 x2 2 4 8 Ta có: x y  x  y  �x  y  x8  y8  x6 y  x y �0  x  x  y   y  x  y  �0 Trang   x  y   x  y  �0   x  y   x  x y  y   x  y  �0   x  y  x  x y  y  �0 2 Bài 56: CMR : 2a  b  c �2a  b  c  HD: 2 2 Ta có: 2a  b  c  2ab  2ac �0   a  2ab  b    a  2ac  c  �0   a  b    a  c  �0 2 Bài 57: CMR : a  a 3b  ab3  b4 �0 HD: 3 3 2 Ta có: a  a  b   b  a  b  �0   a  b   a  b  �0   a  b   a  ab  b  �0 Bài 58: CMR : a  2a3b  2a 2b  2ab3  b �0 HD: 2 2 Ta có:  a  2a ab  a b    b  2ab.b  a b  �0   a  ab    b  ab  �0 2 4 2 Bài 59: CMR : a  b  c  �2a  ab  a  c  1 HD: Ta có: a  b  c   2a 2b  2a  2ac  2a �0   a  b  2a 2b    a  2ac  c    a  2a  1 �0  a  b    a  c    a  1 �0 2 Bài 60: CMR :  ab  bc  ca  �3abc  a  b  c  HD: Ta có: a 2b  b2 c  c a  2ab2 c  2abc  2a 2bc  3a 2bc  3ab c  3abc �0  a 2b  b2 c  c a  ab 2c  abc  a 2bc �0 ab  x � � 2 Đặt �bc  y => x  y  z  xy  yz  zx �0   x  y    y  z    z  x  �0 � ca  z � �1 1� �1 1�  x  z  , Với  x �y �z Bài 61: CMR : y �  �  x  z  ��  � �x z � y �x z � HD: y  x  z x  z  x  z Ta có:   �0  y  xz  y  x  z  �0  xz y xz y  xz  xy  yz �0   y  x   z  y  �0 Trang 10 Từ : abcd  � ab  1 1 1 ; ac  ; ad  ; bc  ; bd  ; cd  ; ad  cd bd bc ad ac ab bc Có: 2(ab  cd )  2(ab  1 � ab � ) �2.2  � : (  ) �0 � ab  �2 � ab ab ab � � Vậy a  b  c  d �4 Lại có: 1 ab  ac  bc  bd  cd  ad  (ad  bc )  (ac  bd )  (bc  ad )  (ab  )  (ac  )  (bc  )  ab 14 14 ac 43 14 bc 43 �2 � VT �10 Bài 5: Cho x, y, z �0 CMR: ( x  y)( y  z )( z  x) �8 xyz (1) HD: (1) � ( x  y ) ( y  z ) ( z  x) �64 x y z ( x  y ) �4 xy;( y  z ) �4 yz;( z  x) �4 xz Lại có: � ( x  y )2 ( y  z ) ( z  x) �64 x y z � dpcm � x  y  z Bài 6: Cho a, b, c  0; abc  CMR: (a  1)(b  1)(c  1) �8 HD: (a  1) �4a;(b  1) �4b;(c  1) �4c Ta có: �  (a  1)(b  1)(c  1)  �(8abc) � (a  1)(b  1)(c  1) �8abc Bài 7: Cho a, b, c, d  0; abcd  CMR: a  b2  c  d  ab  cd �6 HD: Có: a  b  c  d  ab  cd �2ab  2cd  ab  cd  3(ab  cd ) Lại có: 3(ab  cd )  3(ab  ) �3.2  6( dpcm) ab Bài 8: Cho x  y  z  3 2 a CMR: x  y  z � b xy  yz  zx � HD: Trang 30 �2 �2 ( x  y ) �0x, y a Ta có: � x  y �2 xy; y  z �2 yz; x  z �2 xz � x  y  z �2( xy  yz  zx) � 3x  y  3z �x  y  z  2( xy  yz  xz )  ( x  y  z ) ( x  y  z )2 � x2  y2  z2 �  3 �xyz b Theo chứng minh trên: x  y  z �2( xy  yz  zx ) � x  y  z �xy  yz  zx � ( x  y  z ) �3( xy  yz  zx) � �3( xy  yz  zx) 1 � xy  yz  zx � � x  y  z  3 Bài 9: Cho a, b, c �0 thỏa mãn: a  b  c  Chứng minh rằng: a  b  2c �4(1  a)(1  b)(1  c) HD: Ta có: ( x  y ) �4 xy � xy �( x  y )2 Áp dụng ta được: �a, b, c �1 �  c �0 � 4(1  a)(1  b) �(1  a   b)  (1  c) � VP �(1  c)2 (1  c)  (1  c )(1  c) �1  c � �a  b  Mà:  a  b  c � VP �a  b  2c � � � c0 � Bài 10: Cho a, b, c  thỏa mãn: abc  Chứng minh rằng: 1  3  3 �1 a  b 1 b  c 1 c  a 1 HD: x  y �xy ( x  y ) � ( x  y )( x  y ) �0x, y  Áp dụng ta có: a  b3  �ab( a  b)  abc  ab( a  b  c) � 1 abc c �   a  b  ab(a  b  c) ab(a  b  c) a  b  c Trang 31 Tương tự: a b � ; 3 � b  c 1 a  b  c c  a 1 a  b  c Cộng vế bất đẳng thức ta điều phải chứng minh Bài 11: Cho a, b, c �1 Chứng minh rằng: 1   � 2  a  b  c  abc HD: Chứng minh: 1  � x, y  0; xy �1 2  x  y  xy � (2  x  y )(1  xy ) �2(1  x )(1  y ) � xy  xy ( x  y ) �x  y  x y � ( x  y ) ( xy  1) �0(do : xy �1) Áp dụng: 1 2 1 1  � � ;  � ;  � 2 2 2  a  b  ab  abc  b  c  abc  c  a  abc Cộng vế bất đẳng thức thức ta điều phải chứng minh Bài 12: Cho x, y, z  0; x  y  z  Tìm GTNN: A  x2 ( y  z ) y ( z  x) z ( x  y )   yz zx xy HD: x2 y x z y z A      y x z x z y Ta có: a  b3 �(a  b)aba, b  Thật � (a  b)(a ab  b )  (a  b)ab �0 � (a  b)(a  b) �0a, b �0 Hoặc: a  b2  ab �aba, b � (a  b)(a  ab  b ) �ab(a  b) � a3  b3 �ab(a  b) Áp dụng: x y x3  y y2 z z2 x2   �x  yx, y  0;  �y  z;  �x  z y x xy z y x z Cộng vế ba bất đẳng thức ta được: A �2( x  y  z  � A  � x  y  z  Bài 13: Cho x, y , z  0; x  y  z  Tìm GTNN: A  HD: Trang 32 xy yz xz   z x y A2  x2 y y z x2 z    mà: a b �2ab z2 x y x2 y y2 z Áp dụng:  �2 y z x Tương tự ta có: A �3 � x  y  z  � A  3 Dạng 5: SẮP XẾP CÁC BIẾN VÀ BĐT TAM GIÁC: Bài 1: Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác, CMR: a b c   2 bc c a a b HD : a a 2a    bc bc abc Ta có : A A M  A B A B  M b b 2b c 2c    ,  Tương tự ta có: , cộng theo vế ca ca abc ab abc VT  2(a  b  c) 2 abc Bài 2: Cho a,b,c > 0, CMR:  a b c   2 ab bc ca HD : Ta có : a a ac b b ba     và abc a b abc abc bc abc c c cb   abc ca a bc Cộng theo vế ta : a b c a b bc ca   M    a bc a b c a b c a b c a b c a bc 2 a  b  c abc M    M  abc abc a b c d    2 Bài 3: Cho a,b,c,d > 0, CMR:  abc bcd cd a d ab HD : a a ad b b ab     abc d abc abc d a bcd bcd abcd c c c b d d d c     abcd c d  a abc d a bcd d a b a bcd Ta có : Cộng theo vế ta có : Trang 33 2 a  b  c  d  abcd M    M  abcd abcd ab bc cd d a    3 Bài 4: Cho a,b,c,d > 0, CMR:  abc bcd cd a d ab HD : ab ab abd   Ta có : abc d abc abc d Chứng minh tương tự : bc bc bca cd cd cd b     , abcd bc d abc d abcd cd a a bcd d a d a d a c   Và abcd d ab abcd Cộng theo vế ta có : 2 a  b  c  d  3 a  b  c  d  M  abcd a bc d a b c   2 Bài 5: Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác, CMR:  bc ca ab HD : a a aa b b bb     Ta có : và abc bc abc abc ca abc c c cc   abc a b a bc 2 a  b  c abc Cộng theo vế ta : M  abc abc a b c   � Bài 6: CMR a,b,c > bc ca ab HD : �1 1 � Áp dung BĐT :  x  y  z  �   ��9 , Đặt �x y z � bc  x � � c  a  y  x  y  z   a  b  c  � � ab  z � Khi ta có : 1 � a b c a bc a b c �1 2 a  b  c �     � ��9  a b bc ca �a  b b  c c  a � => ĐPCM Bài 7: Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác, CMR: a b c   �3 bca a c b a bc HD : bca  x � �x  y  2c y z x z x y � �   Đặt : �a  c  b  y  �y  z  2a , Khi : A  x y z � �z  a  2b a bc  z � � Trang 34 �x y � �z  �  � �  �y x � �x x � �z y � � �  ��6  A �3 z � �y z � Bài 8: Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác, CMR: 1 1 1   �   abc bca ca b a b c HD : Áp dụng BĐT Schawzr : 1  �  a  b  c b  c  a 2b b Tương tự ta có : 1 1  �  � , Cộng theo vế ta : ĐPCM bc  a c  a b c c ab abc a Bài 9: CMR với a,b,c độ dài ba cạnh tam giác p nửa chu vi tam giác thì: 1 �1 1 �   �2 �   � p a p b p c �a b c � HD : Ta có : 1 4  �  p a p b 2p  a b c Tương tự ta có : 1 1  �  � p b p c a pc pa b Cộng theo vế ta điều phải chứng minh Bài 10: Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh a,b,c chu vi 2p, CMR: abc � p  a   p  b   p  c  HD : Ta có :  p  a    p  b  �2  p  a  p  b Chứng minh tương tự ta có : a �2  c �2  p  a  p  b  p  b   p  c  b �2  p  a   p  c  Nhân theo vế ta : abc �8  p  a   p  b   p  c  Bài 11: CMR: Nếu a,b,c chiều dài ba cạnh tam giác thì: ab  bc  ca �a  b  c �2  ab  bc  ca  HD : Ta chứng minh : a  b  c �ab  bc  ca Chuyển vế ta : a  b2  c  ab  bc  ca �0   a  b    b  c    c  a  �0 2 2 Ta chứng minh : a  b  c �2  ab  bc  ca  Trang 35 2 � a  ab  ac a bc � �2 � b  bc  ba , Cộng theo vế ta : Ta có : �b  a  c  � � � c  ab c  ac  bc � � a  b  c �2  ab  bc  ca  Bài 12: Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác, CMR: abc � a  b  c   b  c  a   c  a  b  HD : Ta có :  a  b  c    b  c  a  �2  a  b  c   b  c  a   2b �2  a  b  c   b  c  a  Tương tự ta có : 2c �2  b  c  a   c  a  b  2a �2  a  b  c   c  a  b  Nhân theo vế ta ĐPCM Bài 13: Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác, CMR: a  b  c   a 2b  b c  c a  HD : Ta có : a  b  c  2a 2b2  2b 2c  2c a   a  b4  c  2a 2b2  2b 2c  2c a  4a 2b    a  b  c    2ab     a  b  c  2ab   a  b  c  2ab     a  b  c   a  b  c   a  b  c   a  b  c   (Luôn ) Bài 14: Cho a,b,c độ dài cạnh tam giác, CMR: b c a a b c   �   với a b c b c a a �b �c HD : Nhân vế với a,b,c ta có : b c  c a  a 2b �a c  ab  bc  c  b2  a   a  c  b   b  a  c  �0   c  a   b  c   b  a  �0 Đúng Bài 15: CMR với a,b,c độ dài ba cạnh tam giác thì: 4a 2b   a  b2  c  HD : 2 2 2 2 2 2 Xét hiệu : 4a b   a  b  c     2ab  a  b  c   2ab  a  b  c     a  b  c   a  b  c   c  a  b   c  a  b   Bài 16: Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác, CMR: a  b  c   b  c  a   c  a  b   a  b3  c3 2 HD :  a b  c  a  b  c  a   b  c   a2 � Ta xét : a  b  c   a  a � � �  2 Chứng minh tương tự ta có : Tổng số âm số âm 2 Bài 17: Cho a  b  c  1, CMR : a  b  c � HD : Trang 36 � �2 a  x a  x  x  � � 3 � � � �2 b  y   � b  y2  y  � Đặt � 3 � � �2 c z c  z  z  � � 3 � � Cộng theo vế ta :  x  y  z  (1) 3 Mà : a  b  c  x  y  z   x  y  z  , Thay vào (1) 1 2 2 2 => a  b  c  x  y  z  � 3 2 Bài 18: Cho a,b,c dộ dài ba cạnh tam giác, CMR: a  b  c   ab  bc  ca  a  b2  c   x  y  z   HD : � a  ab  ac a bc � �2 � b  ab  bc , Cộng theo vế ta ĐPCM Ta có : �b  c  a  � � � c  ab c  ac  bc � � 1 , , Bài 19: Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác, CMR: , độ ab bc ca dài cạnh tam giác HD : Ta cần chứng minh : 1 1 2       a  b b  c a  b  c a  b  c a  b  c  a  c   a  c a  c Tương tự ta có : 1 1 1     bc ca ab ca a b bc Bài 20: Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi 2, so sánh a,b,c với 1, CMR: a  b  c  2abc  HD : Giải sử : a �b �c  a  b  c  2a  a  b  c   a   b, c  Khi :   a    b    c    ab  bc  ca   abc lại có :  a  b  c  a  b  c   ab  bc  ca   a  b  c    abc    a  b2  c   2abc  a  b2  c  2abc  Bài 21: Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác, CMR: abc   a  b  c   b  c  a   c  a  b  HD : Ta có :  a  b  c    b  c  a  �2  a  b  c   b  c  a   2b �2  a  b  c   b  c  a  Trang 37 Tương tự ta có : 2c �2  b  c  a   c  a  b  2a �2  a  b  c   c  a  b  Nhân theo vế ta ĐPCM Bài 22: Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác, CMR : ab  bc  ca  a  b  c   ab  bc  ca  HD : Ta chứng minh : a  b  c �ab  bc  ca Chuyển vế ta : a  b  c  ab  bc  ca �0   a  b    b  c    c  a  �0 2 2 2 Ta chứng minh : a  b  c �2  ab  bc  ca  Ta có : � a  ab  ac a bc � �2 � b  a  c  � b  bc  ba , Cộng theo vế ta : a  b  c �2  ab  bc  ca  � � � c  ab c  ac  bc � � Bài 23: Cho a,b,c chiều dài ba cạnh tam giác có chu vi 2,CMR: a  b  c  2abc  HD : Giải sử : a �b �c  a  b  c  2a  a  b  c   a   b, c  Khi :   a    b    c    ab  bc  ca   abc Lại có :  a  b  c   a  b  c   ab  bc  ca   a  b  c    abc    a  b2  c   2abc  a  b2  c  2abc  Bài 24: Cho a,b,c ba cạnh tam giác: CMR: 3a  b 3b  c 3c  a   �4 2a  c 2b  a 2c  b HD : �3a  b � �3b  c � �3c  a �  1� �  1� �  1��1 Ta có : VT  � �2a  c � �2b  a � �2c  b �  a bc bc a c  a b   �1 , Lại có : 2a  c 2b  a 2c  b  a  b  c  b  c  a  c  a  b     2a  c   a  b  c   2b  a   b  c  a   2c  b   c  a  b  �1  a  b  c  2a  c   a  b  c    2b  a   b  c  a    2c  b   c  a  b  1 2 2  Bài 25: Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác: a 2016 b2016 c 2016 CMR :   �a 2015  b 2015  c 2015 b c  a c  a b a b c HD : � a  b    a  c  � � a 2016 � � a �  a 2015 � a 2015 �  1� a 2015 � Xét hiệu ta có : � � �b  c  a � �b  c  a � � bca � Tương tự ta có : Trang 38 � b  a    b  c  �  c  a   c  b � 2015 � b 2015 � �và c � � � c a b � � abc � Khi � a 2015 � b2015 � a 2015 b 2015 � c 2015 � c 2015 � VT   a  b  �   b  c   a  c  � � � � � �b  c  a c  a  b � �c  a  b a  b  c � �b  c  a a  b  c � Giả sử : a �b �c  Ngoặc 2, �0 c a a 2015 b2015   Ta có ngoặc 1=  b  c  a  c  a  b 2015  b 2015    a  b   a 2015  b 2015   b  c  a  c  a  b �0 , ĐPCM Bài 26: Cho a  b  c  1, CMR : a  b  c � HD : � �2 a x a  x2  x  � � 3 � � � �2 Đặt �b  y   �b  y  y  Cộng theo vế ta : 3 � � � �2 c z c  z  z  � � 3 � � a  b2  c   x  y  z    x  y  z   (1) 3 Mà : a  b  c  x  y  z   x  y  z  , Thay vào (1)=> 1 a  b2  c2  x2  y  z  � 3 Bài 27: Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác, CMR: a b c   �3 b  c a a  c b a b c HD : bca  x � �x  y  2c y z x z x y � �   Đặt : �a  c  b  y  �y  z  2a , Khi : A  x y z � � a bc  z � �z  a  2b �x y � �z  �  � �  �y x � �x x � �z y � � �  ��6  A �3 z � �y z � Bài 28: Tìm tất tam giác vng có số đo cạnh số nguyên dương số đo diện tích chu vi HD: Gọi cạnh tam giác vuông x, y, z cạnh huyền z ( x, y, z số nguyên dương) Ta có: xy  2 x  y  z (1) x2  y2  z2 Từ (2)  z2   x  y  2xy , thay vào (1) ta có: Trang 39 (2) z2   x  y  4 x  y  z  z2  4z   x  y  4 x  y 2 z2  4z    x  y  4 x  y    z  2   x  y  2 2  z   x  y   z  x  y  , thay vào (1) ta : xy  2 x  y  x  y  4  xy  4x  4y  8   x  4  y  4   1.8  2.4 Từ ta tìm giá trị x, y, z :  5;12;13 ; 12;5;13 ; 6;8;10 ; 8;6;10 Dạng 5: PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG Muốn chứng minh bất đẳng thức A �B đúng, ta giả sử A �B sai, tức A < B Sau chứng minh A < B sai � A �B Bài 1: Cho a  b �2 CMR: a  b �2 HD: Giả sử a  b  , bình phương hai vế ta được: (a  b)  � a  2ab  b  4(1) Mặt khác ta lại có: a b �2ab � 2(a  b2 ) �(a  b) Mà 2(a  b ) �4(do, gt ) � (a  b ) �4 Điều mâu thuẫn với (1) nên � a  b �2 Bài 2: Với số thực a, b, c chứng tỏ: a2  b c �b(a  c)  c (a  b) HD: Giả sử: a2 a2 a2 2 2  b c  b(a  c )  c (a  b) �  b  c  ab  bc  ac  bc  �  b c  ab  ac  2bc  4 a � (  b  c)  0(vo.ly ) a2 Vậy điều giả sử sai �  b c �b(a  c)  c( a  b) Bài 3: Cho: a b3  2.CMR : a  b �2 HD: Trang 40 a  b  � ( a  b)3  � a  b  3ab(a  b)  � 3ab(a  b)  � ab(a  b)  � ab(a  b)  a  b �  (a  b)(a  ab  b )  ab(a  b) �  (a  b)(a  b) (voly ) Bài 4: Cho số thực a, b, c �(0; 2).CMR : có ba bất đẳng thức sau sai a(2  b)  1; b(2  c)  1; c(2  a)  HD: Giả sử ba bất đẳng thức đúng, nhân chúng với theo vế, ta được: a (2  b).b(2  c).c(2  a )  � a(2  a).b(2  b).c(2  c)  Mặt khác, a �(0; 2) nên a  a  �  a.(2  a)   (a  1) �1 Tương tự:  b.(2  b) �1;0  c(2  c) �1 Do đó: a(2  a).b(2  b).c(2  c) �1 ( mâu thuẫn ) Vậy ta có đpcm Bài 5: Cho số thực a, b, c thỏa mãn: a  b  ab  bc  ca  0.CMR : a  b  c HD: Giả sử a b �c , đó: a  b  2(ab  bc  ca )  a  b �a  b  c  2(ab  bc  ca ) � 2(a  b2  ab  bc  ca) �( a  b  c) Kết hợp với gỉa thiết:  2(a  b  ab  bc  ca ) �(a  b  c )2 � (a  b  c )2  ( mâu thuẫn ) Bài 6: Cho số thực a, b, c thỏa mãn: a  b  c  0; ab  bc  ca  0; abc  Chứng minh ba số a, b, c dương HD: Giả sử ba số a, b, c có số khơng dương Khơng tính tổng qt, ta giả sử: a �0 Mà lại có: abc  � a �0 � a  Lại có: a  b  c  � b  c  � a (b  c)  Từ giả thiết thứ hai: ab + bc + ca > 0, ta có: a(b  c)  bc  � bc  Trang 41 Vì abc < ( mâu thuẫn ) Đpcm Bài 7: Cho ba số a, b, c đôi khác CMR: Tồn số 9ab, 9bc, 9ca nhỏ (a  b  c)2 HD: Giả sử: 9ab �(a  b  c) ;9bc �(a  b  c)2 ;9ca �(a  b  c ) � 3(a  b  c) �9(ab  bc  ca) � (a  b  c) �3(ab  bc  ca ) a b  c �ab  bc  ca � (a  b)2  (b  c)  (c  a) �0(1) Theo đầu bài: a, b, c đôi khác nên: (a  b)  (b  c)  (c  a)  0(2) Từ (1)(2) ta thấy mâu thuẫn nên đpcm Bài 8:Cho hai số dương x, y thỏa mãn: x  y  x  y.CMR : x  y  HD: Do x, y dương � x, y  0; x  y Giả sử: x  y �1; gt � x  y  x  y � x  y �( x  y )( x  y ) � x  y �x  x y  yx  y � xy  yx  y �0 � y ( xy  x  y ) �0(*) � � � y� x( y  x)  y ��0(vo.ly ) x  y � y  x  14 43 � � � 0 � Do (*) khơng thể xảy � x  y  1(dpcm) Bài 9: Cho cặp số (x; y) thỏa mãn điều kiện sau: �1 �x  y �1(1) CMR : x �2; y �2 � �1 �x  y  xy �1(2) HD: Ta chứng minh: x  Giả sử x  , � 2  x  +) x  2, (1) � y �1  x  1 � xy  2 Trang 42 +) x  2, (1) � y �1  x  � xy  2 Do x  � xy  2 Mà x  y �1 � x  y  xy  1 ( mâu thuẫn với 2) � x �2 Ta chứng minh y  ( tương tự chứng minh x  ) Bài 10: Cho a, b, c �0; a  b  c �abc.CMR : a  b  c �abc HD: Nếu ba số bất đẳng thức chứng minh Ta xét: a, b, c > Giả sử ngược lại: a  b  c  abc � abc  a  b  c  a � a  bc Tương tự ta có: b  ac; c  ab � a  b  c  ab  bc  ca (1) Lại có: a  b  c �ab  bc  ca � abc  a  b2  c �ab  bc  ca � abc  ab  bc  ca (2) 2 Từ (1)(2) � abc  a  b  c ( mâu thuẫn với giả thiết ) nên điều giả sử sai Bài 11: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c �abc Chứng minh có hai số bất đẳng thức sau đúng: 6   �6;   �6;   �6 a b c b c a c a b HD: Ta có: a  b  c �abc � Đặt 1   �1(do : abc  0) bc ca ab 1  x;  y;  z � x, y, z  0; xy  yz  xz �1 a b c Ta phải chứng minh có hai ba bất đẳng thức sau đúng: x  y  z �6; y  3z  x �6; x  3z  y �6 Giả sử có bất đẳng thức sau sai, chẳng hạn: x  y  z  6; y  3z  x  Cộng vế hai bất đẳng thức: x  y  z  12 Từ giả thiết: Trang 43  yz xy  yz  zx �1 � x( y  z ) �1  yz � x � , yz  yz do.do :12   y  9z yz � 12( y  z )  8(1  yz )  (5 y  z )( y  z ) � y  yz  z  12 y  12 z   � y  y(3z  2)  z  12 z   y  y   � ( y  z  2)2  4( y  1)  0(vo.ly ) � dpcm Bài 12: Cho bốn số a, b, c, d thỏa mãn điều kiện: ac �2(b  d ) Chứng minh có bđt sau sai: a  4b; c  4d HD: Giả sử hai bđt � a  c  4(b  d )(1) Theo giả thiết: ac �2(b  d ) � 2ac �4(b  d )(2) � a c  2ac � (a  c)  0(voly ) Trang 44 ...  2c ab)  � (a  2a 2b2  b4 )  2a 2b2  (a  2a c  c )  2a c  (b  2b 2c  c )  2b 2c  a 2bc  b ac  c ab � � �  � (a  b2 )  (a  c )2  (b2  c )2  (a 2b  b 2c  2ab 2c)  (b 2c... 2c  2a 2bc  2b ac  2abc �0 2 Trang 15   a  b  b 2  c2    c2  a2  2   a 2b2  2a 2bc  a c    a 2b  2ab c  b c    a 2b  2ab 2c  b 2c    a 2c  2abc  b 2c  �0... có: x2  y2  2xy  x2  y2, x2  y2  x y  x  y  A  x2  y2 x2  y2  B 2xy  x2  y2 x2  y2 Bài 89: Cho x, y > thỏa mãn điều kiện: x2  y3 �x3  y4 , Ch? ?ng minh r? ?ng: x3  y3 ? ?2 , Dấu