CHUYÊN đề áp DỤNG bất ĐẲNG THỨC cô SI và BUNHACỐPSKI để tìm GTLN, GTNN ở cấp THCS

CHUYÊN ĐỀ : ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ BUNHACOPSKI ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT A LÍ THUYẾT CƠ BẢN I/ Bất đẳng thức Cô -si ( cauchy): Với số không âm a;b 2 2 a + b ≥ 2ab ( (a − b) ≥ ↔ a − 2ab + b ≥ ↔ a + b ≥ 2ab ) a+b ≥ ab ( tương tự ) + Với a ≥ 0, b ≥ a + b ≥ ab (1) Dấu ‘ = ‘ xảy a = b Từ đẳng thức (1) ta suy ra: + Nếu a.b =k ( khơng đổi) (a +b) = k ⇔ a = b + Nếu a +b = k (không đổi ) max( a.b) = k2 ⇔ a=b + Với a1, a2, a3, …., an ≥ a1+ a2 + a3 + ….+ an ≥ n n a1 a a3 a n ( 2) Dấu ‘ = ‘ xảy a1 = a2 = a3 = … = an Từ đẳng thức (2) ta suy ra: + Nếu a1.a2.a3 … an = k (không đổi ) min(a1+ a2 + a3 + ….+ an ) = n n k ⇔ a1 = a2 = a3 = … = an + Nếu a1+ a2 + a3 + ….+ an = k (khơng đổi ) m + Mở rộng BĐT Cô- si Với số a, b, c không âm a+b+c ≥ 33 abc Dấu “=” xảy ⇔ a = b = c 2 Với số a, b, c ,d không âm a+b+c+d ≥ 44 abcd Dấu “=” xảy ⇔ a = b = c = d Đối với n số không âm: a , a , a3 , , a n ≥ Ta có: a1 + a + a3 + + a n ≥ n n a1 a a3 a n Dấu “=” xảy ⇔ a1 = a = a3 = = a n + Biến dạng : (a + b) ≥ 4ab 1 + ≥ a b a+b m n p (m + n + p ) + + ≥ với x;y;z >0 x y z x+ y+z II/ Bất đẳng thức Bunhiakopski +Với số a;b;c;d ta có : (ac + bd )2 ≤ (a + b )(c + d ) Dấu ‘ =’ xảy a b = c d +Tổng quát : Cho hai ( x1 , x2 , , xn ) ∧ ( y1 , y2 , , yn ) 2 2 2 Ta có: ( x1 y1 + x2 y2 + + xn yn ) ≤ ( x1 + x2 + + xn ) ( y1 + y2 + + yn ) Dấu xảy ⇔ x1 x2 x = = = n y1 y2 yn B BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài : Cho a;b;c >0 a + b + c ≤ 1 Tìm GTNN S = a + + b2 + + c + 2 b c a Bài giải : ( Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky) (a + 1 )(1 + 42 ) ≥ (a + ) ⇔ a + ≥ (a + ) b b b b 17 Tương tự: S = a2 + 4 1 (a + b + c + + + ) + b2 + + c + ≥ a b c 17 b c a a+b+c+ 4 1 51 + + = (16a + ) + (16 b+ ) + (16c + ) − 15(a + b + c) ≥ 16 + 16 + 16 − 15 = (Áp a b c a b c 2 dụng BĐT Cô si ) Suy : S ≥ => S Min 51 51 = 17 2 17  16a = a  16b =  b  51  = ⇔ a= b= c = 16c = c 17   a + b + c ≤   a; b; c >  Bài 2: Cho a;b;c số dương thỏa mãn a+b+c ≥ 12 Tìm GTNN P = a b c + + b c a Bài giải a b c a b2 c2 a b b c c a + + ) Ta có : P = ( + + ) = + + + 2( b c a b c a c a b Áp dụng BDT Cô si cho số dương : Ta có : a2 a b a b + + + c ≥ 4a b c c b2 b c b c + + + a ≥ 4b c a a c2 c a c a + + + b ≥ 4c a b b => P = ( a2 a b a b b2 b c b c c2 c a c a + + + c) + ( + + + a) + ( + + + b) − (a + b+ c) ≥ 3(a+b+c) b c a c c a a b b ≥ 3.12 =36 Vì P>0 => P ≥ PMin = Khi a =b =c = Bài Tìm GTNN : A = x − + y − biết x+y = Áp dụng BĐT Bunhiacosky ( A ≥ 0) A2 = ( x − + y − 3) ≤ (12 + 12 )( x − + y − 3) = 2(6 − 5) = =>A ≥ AMin  x=  x − = y −  ⇔ =  x + y =  y =  Bài Tìm GTNN M = x12 + x22 + + x2017 x1 ( x2 + x3 + + x2017 ) Bài giải: 2016 M = ( x12 + 2016 x22 ) + ( x12 + 2016 x22 ) + + ( x12 + 2016 x2017 ) Áp dụng BĐT cô si x1 ( x2 + x3 + + x2017 ) 2016 M ≥ 2016.x1 ( x2 + x3 + + x2017 ) = 2016 x1 ( x2 + x3 + + x2017 ) 2016 M≥ M Min = Khi 2016 x1 = x2 = x3 = = x2017 2016 Bài Cho a + b3 = ;a >0; b >0 Tìm GTLN N= a + b Bài giải + Chứng minh BĐT : a + b3 ≥ ab(a + b) ; a + b3 = (a + b)( a + b − ab) ≥ ( a + b)(2ab − ab) = ab(a + b) + a3 + b3 ≥ ab(a + b) => 3(a3 + b3 ) ≥ 3ab(a + b) ⇔ 4(a + b3 ) ≥ a + b3 + 3ab(a + b) = (a + b)3 Nên 23 ≥ (a + b)3 ⇔ N = a + b ≤ N Max = a = b = Bài Cho a;b;c số thực dương thỏa mãn abc=1 Tìm GTLN : P= ab bc ca + 5 + 5 a + b + ab b + c + bc c + a5 + ca 5 Bài giải + Ta chứng minh BĐT : a + b5 ≥ a 3b + a 2b3 = a 2b (a + b) +Ta có a + b5 + ab ≥ a 3b + a 2b3 + ab = a 2b (a + b) + ab = ab[ab(a + b) + 1] = ab[ab(a + b) + abc] = a b ( a + b + c) = ab abc(a + b + c) a+b+c = ab c c Vậy a + b5 + ab ≥ ab a+b+c ab c ≤ hay 5 (1) c a + b + ab a + b + c bc a ≤ (2) b + c + bc a + b + c Tương tự : ac b ≤ (3) a + c + ac a + b + c Từ (1)(2)(3) Suy : P= ab bc ca a+b+c + 5 + ≤ =1 5 a + b + ab b + c + bc c + a + ca a + b + c PMax = a= b= c=1 Bài Cho a;b >0 ; a+b ≤ Tìm GTNN : A = a+b+ 1 + a2 b2 Bài giải +Ta có : ≥ a + b ≥ ab ⇔ ab ≤ + A = a+b+ 1 a a b b 15 1 + =( + + )+( + + )+ ( + 2) 2 a b 2 16a 2 16b 16 a b 3 15 15 ≥ + + = a a b b ≥ 3( +3 )+ 4 16 16 ab 2 16a 2 16b AMin = Khi a =b= Bài Cho xy =1 x;y >0 Tìm GTLN : A= 1 + 4 x +y x + y2 Bài giải 2 x x  y÷  y÷ 2 2 1 x y x y     A= + = + = + 3 4 x +y x +y x xy + y x + xy y x x x  y ÷ + y [  y ÷ + 1]     =  t2 + t  t2 t2 (t − 1)2 (t + 1) + = + − = − ≤ ∀t >  ÷ t + t (t + 1) t3 +1  t +1  AMax = t = => x =y = Bài Cho x;y;z >0 thỏa mãn xyz =1 Tìm GTLN : A= 1 + 3 + 3 x + y + y + z + z + x3 + Bài giải + ta có : x3 + y ≥ xy ( x + y ) => x3 + y + ≥ xy ( x + y ) + xyz = xy(x + y+ z) 1 + A = x3 + y + + y + z + + z + x3 + ≤ 1 z x y + + = + + = xy ( x + y + z ) yz ( x + y + z ) xz ( x + y + z ) xyz ( x + y + z ) yzx ( x + y + z ) xzy ( x + y + z ) x+ y+z =1 x+ y+z AMax = x =y = z= Bài 10 Cho a;b;c >0 a+b+c =2016 Tìm GTNN : M = a − ab + b + b − bc + c + c − ca + a Bài giải + Ta có a − ab + b = 3(a − b)2 + (a + b) ≥ a + b Tương tự b2 − bc + c ≥ b+c c − ca + a ≥ c+a Nên suy 2M ≥ (a+b+c) =2 2016 =>M ≥ 2016 => AMin = 2016 a =b =c = 2016:3 =672 Bài 11 Cho x;y;z>0 Tìm GTNN : A= x+ y + z y+z z+x + x y Bài giải +Ta chứng minh 2(a + b) ≥ a + b +Ta có A = ≥ x+ y z + 2( x + y ) 2( y + z ) 2( z + x) + + z x y y+ z x + z+ x  x z  y =  + ÷ ÷+  z + y z x    + Suy A ≥ AMin = Khi x =y =z z y   x + + ÷ ÷  y   y ÷ ≥ 2+2+2 = x÷  Bài 12 Cho a;b;c >0 a+b+c =3 Tìm GTNN : A= a2 b2 c2 + + a + 2b b + 2c c + 2a Bài giải + Chứng minh BĐT : m n p (m + n + p ) + + ≥ với x;y;z >0 x y z x+ y+ z (a + b + c) a2 b2 c2 ≥ = + + +Ta có : A = 2 2 2 a + b + c + 2(a + b + c ) + 2(a + b + c ) a + 2b b + 2c c + 2a ≥ 9 = =1 (a + b + c) 32 + + 3 AMin = Khi a=b=c = Bài 13 Cho x;y >0 x+y+xy =8 Tìm GTNN : A = x + y Bài giải +Ta có x +y ≥ xy =>xy + xy ≤ hay ( ) xy + ≤ => xy + ≤ =>xy ≤ + Ta có ( − xy ) = ( x + y + 1) = x + y + + 2( x + y + xy ) = x + y + 17 Vì xy ≤ => –xy ≥ => ( − xy ) ≥ 25 ⇔ x + y + 17 ≥ 25 Suy A ≥ Vậy AMin = x = y =2 Bài 14 Cho x;y;z >0 xyz =1 Tìm GTNN : A= 1 + + 2 ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) Bài giải + Áp dụng BĐT si với số khơng âm ta có : x +1 x +1 + + ≥ 33 = ( x + 1) 8 64 x +1 => ( x + 1)2 ≥ − Dấu “ =” xảy x =1 Tương tự y ; z 1 x + y + z + 3 xyz + 3 ≥ − = + A = ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1) ≥ − 4 4 Bài 15 Cho a ≥ 10; b ≥ 100 ; c ≥ 1000 Tìm GTNN : A = a+b+c+ 1 + + a b c Bài giải a b Ta có : A = a + b + c + + + c 1 1 1 99 9999 999999 =( a+ )+( b+ )+( c+ )+ a+ b+ c 100 a 10000 b 1000000 c 100 10000 1000000 1 99 9999 999999 ≥ 2( + + )+ 10 + 100 + 1000 =1110.111 10 100 1000 100 10000 1000000 10 Vậy AMin = 1110.111 a =10 ; b = 100; c =1000 Bài 16 Cho x;y;z >0 thỏa mãn x+y +z ≤ A= x+ y+z+ 20 Tìm GTNN 11 1 + + x y z Bài giải 1 1089 1089 1089 689 689 689 Ta có A = x + y + z + x + y + z = ( 400 x + x ) + ( 400 y + y ) + ( 400 z + z ) − ( 400 x + 400 y + 400 z) ≥2 1089 1089 1089 689 20 1489 +2 +2 − = 400 400 400 400 11 220 Vậy AMin = 1489 20 x = y =z = 220 33 Bài 17 Cho số thực dương a;b;c thỏa mãn a+b+c =2 Tìm GTLN của: A= ab bc ca + + 2c + ab 2a + bc 2b + ac Bài giải + Ta có ab ab ab ab  1  = = ≤  + ÷ 2c + ab (a + b + c)c + ab (b + c )(c + a )  b + c c + a  + tương tự hạng tử lại Ta suy A = ab bc ca  ab ab bc bc ca ca  + + ≤  + + + + + ÷ 2c + ab 2a + bc 2b + ac  b + c c + a b + a a + c c + b b + a   ab + ca ab + bc bc + ca  =  + + ÷ = (a + b + c ) = 2 b+c c+a a+b  A ≤ => AMax = Khi a =b=c = 11 Bài 18 Cho a;b>0 a+b ≤ Tìm GTNN : A = a + b + ab + 1 + a b2 Bài giải Ta có A = (a + ≥2 1 1 29 +2 + ab + 2 + 16 16 32 ab 32 a 2b   =1 +  ab +  29 29 ≥ + ab + ÷+ 16ab  16ab 16ab 4(a + b) 29 35 = 4 =1+ + A≥ 1 1 29 1 ) + (b + ) + ab + ( + )+ ( + 2) 2 2 16a 16b 32a 32b 32 a b 35 35 => AMin = Khi a =b = 4 Bài 19 Cho x;y;z >0 x+y+z =2 Tìm GTNN : x2 y2 z2 A= + + y+z z+x x+ y Bài giải Áp dụng BĐT cô si cho số dương: x2 x2 + k ( y + z) ≥ k ( y + z ) = 2kx ;(k>0) với Điểm rơi x = y = z = y+z y+z => k = 12 +Ta có A = x2 y2 z2 x2 y2 z2 1 + + = + ( y + z) + + (x + z ) + + ( y + x) - ( x + y + z ) y+z z+x x+ y y+z z+x x+ y x2 y2 z2 ≥2 ( y + z) + (x + z ) + ( y + x) − ( x + y + z ) y+z x+z y+x =(x+y+z)- 1 ( x + y + z ) = ( x + y + z ) =1 2 Suy Min A= x = y = z = Bài 20 Cho số x;y;z không âm, không đồng thời 0; thỏa mãn 1 + + ≤1 x +1 y + z + Tìm GTNN : A = x + y + z + x + y + z 1 + Ta có : ≥ x + + y + + z + ≥ x + y + z + ⇔ x + y + z ≥ m n p (m + n + p ) + + ≥ (Áp dụng BĐT : với x;y;z >0) x y z x+ y+z + Áp dụng BĐT cô si : A=( x+ y+z 8( x + y + z ) x+ y+z 8.3 10 + )+ ≥2 + = x+ y+z 9 x+ y+z Vậy Min A = 10 Khi x+y+z =3;( x;y;z không âm, không đồng thời 0) Bài 21 Cho xyz =1 ; x +y +z = Tìm GTNN : P = x16 + y16 + z16 Bài giải 13 m n p (m + n + p ) + + ≥ với x;y;z >0; cách liên tục x y z x+ y+z + Áp dụng BĐT:  ( x4 + y + z )2  ÷ 4 4 Ta có : P = x16 + y16 + z16 ( x8 + y8 + z )2   = (x + y + z ) ≥ ≥ 1+1+1 33 8  ( x + y + z )2   ( x + y + z )2   32   ÷  ÷  ÷ 3 ( x + y + z )8     =   =3 ≥ = ≥ 7 3 37 Suy Min P = x =y =z = Bài 22 Cho a;b;c > thỏa mãn a+b +c = Tìm GTNN của: A= 2 + + 2 + a + b + c2 Bài giải + Ta có : a (a − 1)   = + a − + − a = +2−a ≥ 2−a  ÷ + a2  + a2 1+ a2  Tương tự ta có : ≥ 2−b + b2 ≥ 2−c + c2 Nên suy : A = 2 + + ≥ 2-a + 2- b + – c = – (a+b+c) =6 -3 =3 2 + a + b + c2 Min A = a = b= c = Bài 23 Cho x>0;y>0 x + y = Tìm GTNN :    A = 1 − ÷1 − ÷  x  y  14 Bài giải    1  1   ( x − 1)( y − 1) xy          Ta có : A = 1 − ÷1 − ÷= 1 + ÷1 + ÷ 1 − ÷1 − ÷= 1 + ÷1 + ÷ x y x y x y x y              (− y )(− x)    =  + ÷1 + ÷ xy y  x   = 1 + ÷1 + ÷ x y =1 +  1 1 x+ y 1 +  + ÷= + + = 1+ + = 1+ xy  x y  xy xy xy xy xy Mặt khác Áp dụng BĐT : xy ≤ =>A ≥ 1+ ( x + y )2 = 4 =9 Vậy Min A = Khi x = y = Bài 24 Cho x;y;z >0 thỏa mãn xy + yz + zx ≥ Tìm GTNN : x4 y4 z4 A= + + y + 3z z + 3x x + y Bài giải + Ta chứng minh : ( x + y + z )2 ≥ 3(xy+ yz + zx) = Hay x + y + z ≥ + Áp dụng BĐT si cho số dương ta có : x4 y + 3z 1 x y + 3z 1 + + + ≥ 44 =x y + 3z 16 4 y + z 16 4 Nên : x4 y + 3z  y + 3z 1  ≥ x− + + ÷= x − − y + 3z 4 16  16 15  Tương tự : y4 z + 3x ≥ y− − z + 3x 16 z4 x + 3y ≥ z− − x + 3y 16 Suy A = ≥ x− x4 y4 z4 + + y + 3z z + 3x x + y y + 3z z + 3x x + 3y 3 3 − + y− − +z− − = ( x + y + z ) − ≥ − = 16 16 16 4 Vậy Min A = Khi x =y =z = Bài 25 Cho x;y;z >0 thỏa mãn x +y +z = Tìm GTNN : A = x + xy + y + y + yz + z + z + zx + x Bài giải + Ta có : x + xy + y = ( x + y )2 − xy ≥ ( x + y )2 − ( x + y ) 3( x + y ) = 4 ( Áp dụng BĐT : (a + b)2 ≥ 4ab ) Nên suy : x + xy + y ≥ 3( x + y ) + Tương tự : y + yz + z ≥ 3(y + z ) z + zx + x ≥ 3(z + x) Vậy A = x + xy + y + y + yz + z + z + zx + x ≥ 3( x + y ) 3(y + z ) 3(z + x) + + = 3( x + y + z ) = 2 =>Min A = Khi x =y =z = 16 Bài 26 1 Cho x;y;z>0 thỏa mãn x + y + z = Tìm GTNN : A= x2 + y2 y2 + z2 z + x2 + + xy yz xz Bài giải + Áp dụng BĐT Bunhicosky (2 x + y )( + 12 ) ≥ ( 2 x + y.1) = (2 x + y ) => x + y ≥ (2 x + y) ⇔ 2 Tương tự ta có : 2x2 + y (2 x + y)   ≥ =  + ÷ xy xy 3 y x y2 + z2 2 1 ≥  + ÷ yz 3z y z + x2 2 1 ≥  + ÷ zx 3x z x2 + y 2 y2 + z2 2z + x2 + + Do : A = xy yz xz ≥  2 1 1 1  + + ÷ = 3 =  + + + + + ÷= 3 y x z y x z x y z Vậy Min A = Khi x = y= z = Bài 27 Cho a;b;c > thỏa mãn abc =1 Tìm GTNN : A= a3 b3 c3 + + (1 + b)(1 + c) (1 + a)(1 + c ) (1 + b)(1 + a ) Bài giải +Áp dụng BĐT cô si cho số dương : 17 a3 b +1 c +1 a3 b +1 c +1 + + ≥ 33 = a (1 + b)(1 + c ) 8 (1 + b)(1 + c) 8 b3 a +1 c +1 + + ≥ b Tương tự : (1 + a )(1 + c) 8 c3 a +1 b +1 + + ≥ c (1 + a )(1 + b) 8 Ta có : a3 b3 c3 b +1 c +1 a +1 c +1 a +1 b +1 + + + + + + + + ≥ (a + b + c) (1 + b)(1 + c ) (1 + a )(1 + c) (1 + b)(1 + a ) 8 8 8 a3 b3 c3 + + + (a + b + c + 3) ≥ ( a + b + c ) (1 + b)(1 + c ) (1 + a )(1 + c) (1 + b)(1 + a ) 4 A= a3 b3 c3 1 + + ≥ ( a + b + c ) − (a + b + c + 3) = (a + b + c) − (1 + b)(1 + c) (1 + a)(1 + c ) (1 + b)(1 + a ) 4 3 ≥ 3 abc − = 3.1 − = 4 Vậy Min A = , Khi a = =b = c= C BÀI TẬP : Cho a,b,c > a + b + c = 1 a b c Tìm GTNN A = (1+ ) (1+ ) (1+ ) Cho a,b, > a + b = Tìm GTNN B = + ab a + b2 Cho a,b,c > a) Tìm GTNN C = a b c + + b+c c+a a+b b) Tìm GTNN D = a b c b+c c+a a+b + + + + + b+c c+a a+b a b c 18 4 Cho x,y,z ≥ − Tìm GTLN E = x + y + z = 4x + + y + + 4z + Cho a,b,c ≥ a + b + c = Tìm GTLN F = a + b + a + c + b + c 19  ... ⇔ x1 x2 x = = = n y1 y2 yn B BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài : Cho a;b;c >0 a + b + c ≤ 1 Tìm GTNN S = a + + b2 + + c + 2 b c a Bài giải : ( Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky) (a + 1 )(1 + 42 ) ≥ (a... + z + Tìm GTNN : A = x + y + z + x + y + z 1 + Ta có : ≥ x + + y + + z + ≥ x + y + z + ⇔ x + y + z ≥ m n p (m + n + p ) + + ≥ (Áp dụng BĐT : với x;y;z >0) x y z x+ y+z + Áp dụng BĐT cô si : A=(... Cho a,b,c > a + b + c = 1 a b c Tìm GTNN A = (1+ ) (1+ ) (1+ ) Cho a,b, > a + b = Tìm GTNN B = + ab a + b2 Cho a,b,c > a) Tìm GTNN C = a b c + + b+c c+a a+b b) Tìm GTNN D = a b c b+c c+a a+b + +