MỘT số DẠNG và PHƯƠNG PHÁP tìm GTLN, GTNN ở cấp THCS

MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN, GTNN THCS A LÝ THUYẾT: Áp dụng đẳng thức: A2 ±2AB+ B2 = (A±B)2 để biến đổi biểu thức dạng: * A = a + [f(x)]2 ≥ a suy minA = a f(x) = * B = b - [f(x)]2 ≤ b suy maxB = b f(x) = GTLN biểu thức A: - Chứng minh A ≤ M ( M số) - Chỉ trường hợp đẳng thức xảy - Khi M GTLN A, ta cịn kí hiệu maxA = M GTNN biểu thức A: - Chứng minh A ≥ m ( m số) - Chỉ trường hợp đẳng thức xảy - Khi m GTNN A, ta cịn kí hiệu minA = m Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: a | x| + | y | ≥ | x + y | để tìm GTNN Dấu ‘ = ‘ xảy x.y ≥ b | x | - | y | ≤ | x – y | để tìm GTLN Dấu ‘ = ‘ xảy x ≥ y ≥ x ≤ y ≤ c a ≥ a , với a Đẳng thức xảy a ≥ d a ≥ , với a Đẳng thức xảy a = Áp dụng bất đẳng thức: a − b ≤ a − b (a ≥ b ≥0 ) để tìm GTLN Dấu ‘ = ‘ xảy b(a-b) = ⇔ b = a = b Áp dụng bất đẳng thức: a + b ≥ a + b (a , b ≥0 ) để tìm GTNN Dấu ‘ = ‘ xảy a.b = ⇔ a = b = Áp dụng bất đẳng thức CôSi: + Với a ≥ 0, b ≥ a + b ≥ ab (1) Dấu ‘ = ‘ xảy a = b Từ đẳng thức (1) ta suy ra: + Nếu a.b =k ( khơng đổi) (a +b) = k ⇔ a = b + Nếu a +b = k (không đổi ) max( a.b) = k2 ⇔ a=b + Với a1, a2, a3, …., an ≥ a1+ a2 + a3 + ….+ an ≥ n n a1 a a3 a n ( 2) Dấu ‘ = ‘ xảy a1 = a2 = a3 = … = an Từ đẳng thức (2) ta suy ra: + Nếu a1.a2.a3 … an = k (không đổi ) min(a1+ a2 + a3 + ….+ an ) = n n k ⇔ a1 = a2 = a3 = … = an k + Nếu a1+ a2 + a3 + ….+ an = k (khơng đổi ) max(a1.a2.a3 … an ) =   n ⇔ a1 = a2 = a3 = … = an n + Mở rộng BĐT Cô- si Với số a, b, c không âm a+b+c ≥ 33 abc Dấu “=” xảy ⇔ a = b = c Với số a, b, c ,d không âm a+b+c+d ≥ 44 abcd Dấu “=” xảy ⇔ a = b = c = d Đối với n số không âm: a , a , a3 , , a n ≥ Ta có: a1 + a + a3 + + a n ≥ n n a1 a a3 a n Dấu “=” xảy ⇔ a1 = a = a3 = = a n + Biến dạng : (a + b) ≥ 4ab 1 + ≥ a b a+b m n p (m + n + p ) + + ≥ với x;y;z >0 x y z x+ y+z Bất đẳng thức Bunhiacopxki: - Với số a, b, c, d bất kì, ta ln có: (ab + cd) ≤ (a2 + c2) (b2 + d2) - Đẳng thức xảy ad = bc  Chú ý: Nếu b, d ≠ đẳng thức xảy a c = b d Áp dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai ∆ ≥ (∆’ ≥ 0) Dấu ‘ = ‘ xảy phương trình có nghiệm kép x = − b b' (x = − ) 2a a Một số kết quả: - Nếu số dương có tổng khơng đổi tích chúng lớn số - Nếu số dương có tích khơng đổi tổng chúng nhỏ số - Đối với tam thức f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ + Nếu a > f(x) có GTNN khơng có GTLN + Nếu a < f(x) có GTLN khơng có GTNN - Nếu y = m + A2 y = m A = - Nếu y = m – A2 max y = m A = - Nếu y = m + A y = m A = - Nếu y = m – A max y = m A = - Nếu y = m + A y = m A = - Nếu y = m – A max y = m A = B PHƯƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP: 1/ Dạng 1: Áp dụng đẳng thức: A2 ±2AB+ B2 = (A±B)2 để biến đổi biểu thức dạng: * A = a + [f(x)]2 ≥ a suy minA = a f(x) = * B = b - [f(x)]2 ≤ b suy maxB = b f(x) = Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a) A = 4x2 + 4x + 11 b) B = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) c) C = x2 – 2x + y2 – 4y + Giải: a A = (4x2 + 4x + 1) + 10 = (2x +1)2 + 10 ≥ 10 Suy minA = 10 x = − b B = (x – 1)(x + 6)(x + 2)(x + 3) = (x2 + 5x - 6)(x2 + 5x + 6) = (x2 + 5x )2 – 36 ≥ - 36 Suy minB = -36 x = x = -5 c C = (x2 – 2x + 1) +(y2 – 4y + 4) + = (x -1)2 + (y -2)2 +2 ≥ Suy minC = x =1 y = Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn biểu thức sau: a) A = - 8x – x2 b) B = – x2 + 2x - 4y2 – 4y Giải: a) Ta có A = - (x2 + 8x + 16) + 21 = - (x + 4)2 + 21 ≤ 21 Suy maxA = 21 x = -4 b) Ta có B = - (x2 – 2x + 1) – (4y2 + 4y + 1) + = - (x -1)2 - (2y + 1)2 + ≤ Suy maxB = x =1 y = − Bài tập: 1) Tìm giá trị lớn biểu thức: a) A = – x2 +2x b) B = 4x – x2 Giải: 2 a) A = – x +2x = – (x – 2x +1) = – (x – 1)2 ≤ Suy maxA = x = b) B = 4x – x2 = – (x2 – 4x + 4) = – (x -1)2 ≤ Suy maxB = x = 2) a) b) c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A = x2 + 5y2 -2xy +4y + B = (x2 - 2x)(x2 - 2x + 2) C = x2 -4xy + 5y2 + 10x - 22y +28 Giải: a) A = (x2 – 2xy +y2) +(4y2 + 4y + 1) +2 = (x –y)2 + (2y + 1)2 + ≥ x = y x − y =  ⇔ Suy minA =2  2 y + =  y = − Vậy minB =2 x = y = − b) B = (x2 - 2x)(x2 - 2x + 2) Đặt t = x2 - 2x ⇒ B = t(t +2) = t2 + 2t = (t2 + 2t + 1) – = (t +1)2 – ≥ -1 ⇒ MinB = -1 ⇔ t = -1 ⇔ x2 - 2x = -1 ⇔ x2 - 2x +1 =0 ⇔ (x – 1)2 = ⇔x=1 Vậy minB = -1 x = b) C = (x – 2y)2 + 10(x – 2y) + (y – 1)2 + 25 + = (x – 2y + 5)2 + (y – 1)2 + ≥ y −1 = y = ⇒ MinC =  ⇔ x − y + =  x = −3 Vậy minC = x = -3, y = 3) Tìm giá trị lớn biểu thức A = − x2 + x + Giải: Ta có A = −  x −  ≤ =  2 Suy maxA =1 x = 4) Tìm giá trị nhỏ biểu thức B = x − x ( x + 1) + ( x + 1) + Giải: Ta có B = (2 x − x − 1) + ≥ = Suy minB = 2x2 - x – =0 2 Vậy minB =3 x =1 x = − ⇔ (2x + 1)(x – 1) = ⇔ x =1 x = − 2 2/ Dạng 2: Áp dụng công thức sau GTLN biểu thức A: - Chứng minh A ≤ M ( M số) - Chỉ trường hợp đẳng thức xảy - Khi M GTLN A, ta cịn kí hiệu maxA = M GTNN biểu thức A: - Chứng minh A ≥ m ( m số) - Chỉ trường hợp đẳng thức xảy - Khi m GTNN A, ta cịn kí hiệu minA = m a GTLN GTNN tam thức bậc hai số đa thức bậc cao Ví dụ 1: Tìm GTNN biểu thức: a) A = x2 – 4x – 2013 b) B = 3x2 + 5x + c) C = x4 – 4x2 – 12 d) D = 4x6 – x3 + Giải: a) A = (x – 2)2 – 2017 ≥ – 2017, với x Vậy GTNN A –2017 x = 5 23 23  b) B =  x +  + ≥ , với x  12 12  23 Vậy GTNN B x = − 12 2 c) C = (x – 2) – 16 ≥ – 16, với x Đẳng thức xảy x2 = ⇔ x = ± Vậy GTNN C – 16 x = ± 2 1 79 79  d) D =  x −  + ≥ , với x  16 16  1 ⇔x = 79 79 Vậy GTNN D x = 16 16 Đẳng thức xảy x3 = Ví dụ 2: Tìm GTNN biểu thức: a) A = (x + 1)4 – 2(x + 1)2 + b) B = 2(x – 2)4 – 3x2 + 12x – Giải: a) A = [( x + 1) − 1] + ≥ , với x 2 x = Đẳng thức xảy (x + 1) – = ⇔   x = −2 Vậy GTNN A x = x = – b) B = 2(x – 2)4 – 3(x – 2)2 + 11   =  ( x − ) −  + ≥ , với x 4 8  79 79  x = + Đẳng thức xảy (x –2) – = ⇔   x = −  Vậy GTNN B 79 x = ± Ví dụ 3: Tìm GTLN biểu thức: a) A = – x2 + 2x + b) B = – 3x – 8x2 c) C = 4x2 – x4 – ≤ 5, với x Giải: a) A = – (x – 1) Vậy GTLN A x = b) B = 169 3 169  − 8 x +  ≤ , với x 32 16  32  3 Vậy GTLN B 169 x = − 32 16 c) C = – – (x2 – 2) ≤ – 2, với x Vậy GTLN C – x = Ví dụ 4: Tìm GTLN biểu thức: 2 a) A = (x + 1) – x(x – 3) – 5(x – 1) b) B = – (x + 2) + 3(x – 1) + x(x + 22) – Giải: a) A = –2x + 16x – = 28 – 2(x – 4)2 ≤ 28,với x Vậy GTLN A 28 x = b) B = – (x + 2)4 + 4x2 + 16x – = – (x + 2)4 + 4(x + 2)2 – 18 = – 14 – [ ( x + ) − 2] ≤ −14  x = −2 + Đẳng thức xảy (x + 2) – = ⇔   x = −2 − Vậy GTLN B – 14 x = – + x = – – Ví dụ 5: Tìm GTNN biểu thức: a) A = x(x – 3)(x – 4)(x – 7) b) B = (x2 – 1)(3x – 10)( 3x – 16) c) C = (x2 + x + 1)2 d) D = x4 – 6x3 + 13x2 – 12x + 2021 Giải: a) A = x(x – 3)(x – 4)(x – 7) = [ x(x – 7)] [ (x – 3)(x – 4)] = (x2 – 7x )(x2 – 7x + 12) = y(y + 12), với y = x2 – 7x = (y + 6)2 – 36 ≥ – 36 Đẳng thức xảy y + = ⇔ x2 – 7x + = ⇔ (x – 1)(x – 6) = x = ⇔ x = Vậy GTNN A – 36 x = x = b) B = (x2 – 1)(3x – 10)( 3x – 16) = [(x – 1)(3x – 10)] [(x + 1)( 3x – 16)] = ( 3x2 – 13x + 10)(3x2 – 13x – 16) = [(3x2 – 13x – 3) + 13] [ (3x2 – 13x – 3) – 13] = (3x2 – 13x – 3) – 132 ≥ – 169, với x Đẳng thức xảy 3x2 – 13x – = ⇔ x2 − 13 x −1 = 13  205  ⇔ x−  = 6 36   13 205 x − = 6 ⇔  13 205 x − = − 6  ⇔x= 13 ± 205 Vậy GTNN B – 169 x = 13 ± 205 c) Nhận xét: Với A ≥ A2 nhỏ ⇔ A nhỏ 1 3  x + x + =  x +  + ≥ , với x 2 4  ⇒ (x2 + x + 1)2 ≥ , với x 16 Hay C ≥ 16 Vậy GTNN C x = − 16 2 d) D = x4 – 6x3 + 13x2 – 12x + 2021 = (x2 – 3x + 2)2 + 2017 ≥ 2017 , với x Đẳng thức xảy x2 – 3x + 2= ⇔ (x – 2)(x – 1) = x = ⇔ x = Vậy GTNN D 2017 x = x = Ví dụ 6: Tìm GTLN biểu thức: a) A = (x2 – 3x + 1)(21 + 3x – x2) b) B = + 4x + 3x2 – 2x3 – x4 Giải: a) A = (x – 3x + 1)[ 22 – (x – 3x + 1)] = y( 22 – y) , với y = x2 – 3x + = 121 – (y – 11)2 ≤ 121 Đẳng thức xảy y – 11 = ⇔ x2 – 3x – 10 = ⇔ (x + 2)(x – 5) = 2  x = −2 ⇔ x = Vậy GTLN A 121 x = – x = b) B = + 4x + 3x2 – 2x3 – x4 = – (x4 + x2 + + 2x3 – 4x2 – 4x) = – (x2 + x – 2)2 ≤ 5, với x Đẳng thức xảy x2 + x – 2= ⇔ (x + 2)(x – 1) =  x = −2 ⇔ x = Vậy GTLN B x = – x = b GTLN GTNN biểu thức nghịch đảo tam thức bậc hai  Chú ý: Với A > thì: nhỏ ⇔ A lớn A + lớn ⇔ A nhỏ A + Ví dụ 1: Tìm GTLN biểu thức: x − 12 x + 2017 x + 12 x + 17 b) B = x + 4x + a) A = Giải: a) 3x – 12x + 2017 = 3(x – 2) + 2005 ≥ 2005, với x ⇒ 1 ≤ x − 12 x + 2017 2005 x = 2005 x + 12 x + 17 b) B = =3+ 2 x + 4x + x + 4x + Vậy GTLN A x2 + 4x + = (x + 2)2 + ≥ 1 ⇒ ≤ x + 4x + ⇒ ≤ x + 4x + ⇒ 3+ ≤ x + 4x + Vậy GTLN B x = – Ví dụ 2: Tìm GTNN biểu thức: A = Giải: − 3x + x − −1 = − 3x + x − 3 x − x + 2 5  3x – 4x + =  x −  + ≥ 3 3  A= ≤ 3x − x + −1 ⇒ ≥− x + 4x + ⇒ Vậy GTNN B − x = 3/ Dạng 3: Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: GTLN GTNN biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối a | x| + | y | ≥ | x + y | để tìm GTNN Dấu ‘ = ‘ xảy x.y ≥ b | x | - | y | ≤ | x – y | để tìm GTLN Dấu ‘ = ‘ xảy x ≥ y ≥ x ≤ y ≤ c a ≥ a , với a Đẳng thức xảy a ≥ d a ≥ , với a Đẳng thức xảy a = Thí dụ: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a) A = | 2x – | + | 2x + | b) B = | x – 1| + | x – | + | x – | c) C = | x - 1| + | x – | + | x – | + | x – | d) D = 25 x − 20 x + + 25 x e) E = x − x + + x − x + + x − x + Giải: a) Ta có A = | 2x – | + | 2x - | = | 2x – | + | 1- 2x | ≥ | 2x – + 1- 2x | = | -4 | = Suy minA = (2x – 5)(1 – 2x) ≥ ⇔ ≤x≤ 2 b) B = | x – 1| + | x – | + | x – | Ta có | x – 1| + | x – | = | x – 1| + | – x | ≥ | x – + – x | = Dấu ‘ = ‘ xảy (x – 1)(3 – x) ≥ ⇔ ≤ x ≤ | x – 2| nhỏ x =2 Vậy B = x =2 c) C = | x - 1| + | x – | + | x – | + | x – | = | x - 1| + | x – | + | x – | + | x – | 10 x + x + + 16 ( x + 1) + 16 x + x +1 = = + ≥2 = 2.2 = 2( x + 1) 2( x + 1) x +1 x +1 x + = x = x +1 = ⇔ ( x + 1) = 16 ⇔  ⇔ Dấu ‘ = ‘ xảy x +1  x + = −4  x = −5 a) Ta có E = x = - < (loại) Vậy minE = x =3 b)Ta có F = x + x + + 25 x +3 Dấu ‘ = ‘ xảy = ( x + 3) + 25 x +3 x +3= = x +3+ 25 x +3 ≥ ( x + 3) 25 x +3 = 10  x +3=5  x =2 ⇔ ( x + 3) = 25 ⇔  ⇔ x +3  x + = −5  x = −8 25 x = −8 < (loại ) Do x =4 minF = 10 x = 4) Cho x > Tìm GTNN biểu thức G = x + 2000 x Giải: Ta có G = x + 2000 1000 1000 1000 1000 = x2 + + ≥ 33 x = 3.100 = 300 x x x x x Dấu ‘ = ‘ xảy x = 1000 ⇔ x = 1000 ⇔ x = 10 x Vậy minG = 300 x = 10 5) Cho x > y Tìm GTNN biểu thức sau a) H = x + 1,2 x + y x− y biết x.y = b) I = x2 + y2 biết x.y = x− y Giải: ( x − y ) + 3,2 xy 3,2 xy 16 16 = x− y+ = x− y+ ≥ ( x − y ) =8 x− y x− y x− y x− y a) Ta có H = 16 Dấu ‘ = ‘ xảy x − y = x − y ⇔ x − y = Kết hợp với điều kiện x.y =5 ta suy x =5, y =1 x =-1 , y = -5 Vậy minH = ⇔ x =5, y =1 x =-1 , y = -5 27 ( x − y ) + xy xy 4 = x− y+ = x− y+ ≥ ( x − y ) =4 x− y x− y x− y x− y Dấu ‘ = ‘ xảy x − y = x − y ⇔ x − y = b) Ta có I = Kết hợp với điều kiện x.y =2 ta suy x = + , y = −1 + x = − , y = −1 − Vậy minI = ⇔ x = + 3, y = −1 + x = − 3, y = −1 − 6) Cho x >0 Tìm GTNN biểu thức sau a) K = 1− x + x x+8 b) P = x x +1 Giải: a) Ta có K = x + x − ≥ Dấu ‘ = ‘ xảy x x −1 = = x ⇔ x =1 x Vậy minK = x = b)Ta có P= x+8 x +1 = x −1+ x +1 = x −1+ Dấu ‘ = ‘ xảy x + = x +1 = x +1+ x +1 x +1 − ≥ ( x + 1) x +1 −2=4 ⇔x=4 Vậy minQ = x = 7) Cho x > Tìm GTNN biểu thức sau Q = 4x x −3 Giải: Ta có Q = 4x x −3 = x − 12 + = x − 36 + 36 x −3 36 x −3 = 4( x − 9) + 36 x −3 + 12 + 12 = 4( x − 3) + Dấu ‘ = ‘ xảy 4( x − 3) = = 4( x + 3) + 36 x −3 36 x −3 = x + 12 + + 24 ≥ 4( x − 3)  x −3=  x = 36 ⇔ ⇔ x −3 x =  x − = −3 36 28 36 x −3 36 x −3 + 24 = 48 Kết hợp ĐK x > nên x = ( loại ) Vậy minQ =48 x =36 8) Tìm GTLN biểu thức L = x x +1 Giải: Ta qui tìm GTNN biểu thức x 1 =2 =1 2 x x = ⇔ x =1 2 x Dấu ‘ = ‘ xảy Vậy Min x +1 x = = + ≥2 L x 2 x =1⇔ x =1 L Do maxL =1 x = x 9) Tìm giá GTLN biểu thức y = ( x + 1982) Giải: ( x + 1982) Ta qui tìm GTNN biểu thức = y x x + 1982 + 2.1982 x 1982 1982 = x+ + 2.1982 ≥ x + 2.1982 = 4.1982 Ta có = y x x x Dấu ‘ = ‘ xảy x = 1982 ⇔ x = 1982 x Vậy y = 4.1982 x = 1982 Do max y = x = 1982 4.1982 d Phương pháp 4: Tìm GTLN biểu thức có dạng : A = f(x).g(x) , bậc f(x) bậc g(x) Phương pháp giải: - Biến đổi f(x) + g(x) = k ( k số ) - Áp dụng BĐT Côsi: a.b ≤ ( a + b) Dấu ‘ = ‘ xảy a = b 29 Thí dụ : Tìm GTLN biểu thức A = x3(16 – x3) Giải: [x Ta có A =x (16 – x ) ≤ 3 + (16 − x ) ] = 16 = 64 Dấu ‘ = ‘ xảy x3 = 16 – x3 ⇔ x3 = ⇔ x = Vậy maxA = 64 x = Thí dụ : Tìm GTLN biểu thức B = (1 –x )(2x – 1) với ≤ x ≤1 Giải: 1 (2 − x + x − 1) 1 = = (2 – 2x )(2x – 1) ≤ 2 8 Dấu ‘ = ‘ xảy – 2x = 2x – ⇔ x = Ta có B = (1 –x )(2x – 1) = x = Vậy maxB = Bài tập: Tìm GTLN biểu thức sau: a) C = (2x2 – 1)(2 – x2) b) D = (3x + 5)(2 – x) e Phương pháp 5: Tìm GTNN biểu thức có dạng: A = f(x) + g(x) Phương pháp giải: Biến đổi biểu thức cho thành tổng biểu thức cho tích chúng số ( tách hạng tử chứa biến thành tổng số với hạng tử nghịch đảo hạng tử khác có biểu thức cho , sai khác số ) Thí dụ: Cho < x < 12 Tìm GTNN biểu thức A = Giải: Ta có A = 9x + 2−x x 9x 9x 2−x 9x − x + = + +1 ≥ + = 2.3 + = 2− x x 2− x x 2−x x 9x = ⇔x= 2−x x Vậy minA = x = Dấu ‘ = ‘ xảy Bài tập: 1) Cho x > , tìm GTNN biểu thức sau: 30 a) B = x + x −1 b) C = x + Giải: 25 x −1 1 = x −1+ + ≥ ( x − 1) +1 = x −1 x −1 x −1 x = ⇔ ( x − 1) = ⇔ x − = ⇔  Dấu ‘ = ‘ xảy x − = x −1 x = a) Ta có B = x + Vì x > nên x =0 (loại) Vậy minB = x =2 25 25 25 = 4( x − 1) + + ≥ 4( x − 1) + = 100 + = 24 x −1 x −1 x −1   x −1 = x=   25 25 ⇔ ⇔ ( x − 1) = ⇔  Dấu ‘ = ‘ xảy 4( x − 1) = x −1 x − = − x = − 2   −3 Vì x > nên x = (loại) Vậy minC = 24 x = b) Ta có C = x + 12 16 2) Cho x, y > x + y > Tìm GTNN biểu thức D = x + y + x + y Giải: 12 16 12 16 ) + ( y + ) ≥ 2.6 + x + y = 12 + 12 + = 32 x y x y 16 12 Dấu ‘ = ‘ xảy 3x = y = y ⇔ x = y = x ⇔ Vậy minD = 32 x = y = Ta có D = 2( x + y ) + (3x + 3) Cho x, y, z ≥ thỏa mãn điều kiện: x + y + z = 2007 a) Tìm GTLN biểu thức E = xy + yz + zx b) Tìm GTNN biểu thức F = x2 + y2 + z2 Giải: Áp dụng BĐT Côsi : a + b ≥ 2ab 2 x2 + y2 2 y + z2 y.z ≤ a) Ta có x y ≤ 31 z2 + x2 2 ⇒ xy + yz + zx ≤ x + y + z ⇔ xy + yz + zx ≤ ( x + y + z ) − 2( xy + yz + zx ) ⇔ 3( xy + yz + zx ) ≤ ( x + y + z ) z x ≤ ⇔ 3E ≤ 2007 2007 ⇔E≤ = 669 = 447561 Dấu ‘ = ‘ xảy ⇔ x = y = z = 2007 = 669 Vậy maxE = 447561 x = y = z = 669 b)Ta có F = x + y + z = ( x + y + z ) − 2( xy + yz + zx) = 2007 − 2( xy + yz + zx ) F ⇔ ( xy + yz + zx) max ⇔ ( xy + yz + zx) = 447561 (theo câu a ) 2007 2.2007 2007 = 669 = = 669 x = y = z = Khi minF = 2007 − 3 4) Cho x, y, z ≥ thỏa mãn điều kiện: x + y + z = a ( a số dương) a) Tìm GTLN biểu thức E = xy + yz + zx b) Tìm GTNN biểu thức F = x2 + y2 + z2 Bài tập tổng hợp : Ví dụ 1: Tìm GTNN biểu thức: ,x>0 4x b) B = x + ,x > x−2 a) A = x + Giải: a) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương x, ta được: 4x 1 ≥ x 4x 4x ⇔ x+ ≥1 4x x+ Đẳng thức xảy ⇔ x = 4x ⇔ x2 = ⇒x = (vì x > 0) Vậy GTNN A x = 32 b) B = ( x − 2) + + x−2 Vì x > nên x – > >0 x−2 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương x – , ≥2 x−2 ⇔ ( x − 2) + ≥2 x−2 ⇔ x+ ≥4 x−2 ( x − 2) + ( x − 2) ta được: x−2 x−2 x−2 ⇔ ( x − 2) = Đẳng thức xảy ⇔ x − =  x − = −1 ⇔ x − =  x = ( loai ) ⇔ x = Vậy GTNN B x = Ví dụ 2: Tìm GTNN biểu thức: a) C = x2 + 2x + b) D = 2x + ( x + 2x + ( x − 1) , với x > Giải: ) a) C = x + x + + −2 x + 2x + x2 + 2x + = (x + 1)2 +1 ≥ > 0, với x Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương x2 + 2x + , (x 4 ≥ ( x + x + 2) x + 2x + x + 2x + ⇔ ( x + x + 2) + ≥ x + 2x + ⇔ x + 2x + ≥ x + 2x + Đẳng thức xảy ⇔ x + x + = x + 2x + 2 + x + 2) + ( ) ⇔ x + 2x + = ⇔ x2 + 2x + = (vì x2 +2x + > 0) 33 ta được: x + 2x + 2 ⇔ x + 2x = x = ⇔  x = −2 Vậy GTNN C x = x = - b) D = ( x − 1) + ( x − 1) + + ( x − 1) Vì x > nên x – > Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương x – 1, x – ( x − 1) ta được: 1 ≥ 3 ( x − 1) ( x − 1) ( x − 1) ( x − 1) ≥3 ⇔ ( x − 1) + ( x − 1) + ( x − 1) ≥5 ⇔ 2x + ( x − 1) Đẳng thức xảy ⇔ x − = x − = ( x − 1) ( x − 1) + ( x − 1) + ⇔ ( x − 1) = ⇔ x −1 = ⇔x=2 Vậy GTNN D x = Ví dụ 3: Cho a, b, c số dương cho abc = Tìm GTNN biểu thức: E = (1 + a)(1 + b)(1 + c) Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: 1+a ≥2 a 1+b ≥2 b 1+c ≥2 c Suy ra: (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ abc ⇔ (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ (vì abc = 1) Đẳng thức xảy khi: 1 = a 1 = b  ⇔ a = b = c =1  1 = c abc = Vậy GTNN E a = b = c = Ví dụ 4: Cho a, b, c số dương Tìm GTNN biểu thức: F= a b c + + b+c c+a a+b Giải: 34  a   b   c  + 1 +  + 1 +  + 1 − b+c  c+a  a +b  a+b+c a+b+c a+b+c + + −3 = b+c c+a a+b 1   + + −3 = ( a + b + c ) a+b b+c c+a F = Vì a, b, c > nên a + b, b + c, c + a dương Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: • • 33 ( a + b )( b + c )( c + a ) 1 1 1 1 + + ≥ 33 ⇔ + + ≥ a+b b+c c+a a+b b+c c+a a + b b + c c + a ( a + b )( b + c )( c + a ) ( a + b ) + ( b + c ) + ( c + a ) ≥ 33 ( a + b )( b + c )( c + a ) ⇔ a+b+c ≥ Suy ra: ( a + b + c )  1  + + ≥ a+b b+c c+a 1   + + ⇔ ( a + b + c ) −3 ≥ a+b b+c c+a ⇔ F≥ Đẳng thức xảy khi: a + b = b + c = c + a   1 ⇔a=b=c>0 = =  a + b b + c c + a Vậy GTNN F a = b = c > Ví dụ 5: Cho a, b, c số dương cho a + b + c = Tìm GTLN biểu thức: G = abc(a + b)(b + c)(c + a) Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có: a + b + c ≥ 33 abc ⇔ ≥ 33 abc ⇔ abc ≤ (1) • 27 (a +b) + (b + c) + (c + a) ≥ 33 ( a + b )( b + c )( c + a ) • ⇔ 2( a + b + c ) ≥ 33 ( a + b )( b + c )( c + a ) ⇔ ≥ 33 ( a + b )( b + c )( c + a ) ⇔ ( a + b )( b + c )( c + a ) ≤ 27 ( 2) Từ (1) (2) , suy ra: abc(a + b)(b + c)(c + a) ≤ ⇔G ≤ 27 27 729 35 Đẳng thức xảy khi: a = b = c  a + b = b + c = c + a ⇔ a = b = c = a + b + c =  Vậy GTLN G a = b = c = 729 Ví dụ 6: Tìm GTLN biểu thức: a) H = (x + 1)(5 – x), với − ≤ x ≤ ≤ x≤3 c) K = (2 – x)(x+ 1)2, với − ≤ x ≤ b) I = (2x – 1)(3 – x), với Giải: a) Vì −1 ≤ x ≤ nên  x + ≥  5 − x ≥ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số không âm x +1 – x ta được: (x + 1) + ( – x) ≥ ( x + 1)( − x ) ( x + 1)( − x ) ⇔ ≥ ( x + 1)( − x ) ⇔ ( x + 1)( − x ) ≤ ⇔6≥2 Đẳng thức xảy ⇔ x + = − x ⇔ x = (thoả) Vậy GTLN H x = Cách khác: (Áp dụng hệ bất đẳng thức Côsi) Hai số không âm x + – x có tổng khơng đổi (bằng 6) nên tích chúng lớn số nhau, tức là: x + = – x ⇔ x = (thoả) Thay x = vào biểu thức H ta H = Vậy GTLN H x = b) Vì ≤ x ≤ nên 2 x − ≥ ⇔ 2 x − ≥  3 − x ≥  6 − x ≥ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số không âm 2x – – 2x ta được: (2x – 1) + ( – 2x) ≥ ( x − 1)( − x ) ⇔ ≥ 2( x − 1)( − x ) 25 ⇔ ( x − 1)( − x ) ≤ Đẳng thức xảy ⇔ x − = − x ⇔x= (thoả) 25 Vậy GTLN I x = 36 c) Vì −1 ≤ x ≤ nên  x + ≥  2 − x ≥ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số không âm – x, ( − x) + x + + x + ⇔3 ≥3 ≥ 33 ( − x ) x +1 x +1 , ta được: 2 x +1 x +1 2 ( − x )( x + 1) ⇔ ≥ ( − x )( x + 1) ⇔ ( − x )( x + 1) ≤ x +1 x +1 = 2 x +1 ⇔ 2−x = ⇔ x = (thoả) Đẳng thức xảy ⇔ − x = Vậy GTLN K x = Dạng : Tìm GTLN GTNN biểu thức cách sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki + Với số a; b; c; d ta có : (ac + bd )2 ≤ (a + b )(c + d ) Dấu ‘ =’ xảy a b = c d +Tổng quát : Cho hai ( x1 , x2 , , xn ) ∧ ( y1 , y2 , , yn ) 2 2 2 Ta có: ( x1 y1 + x2 y2 + + xn yn ) ≤ ( x1 + x2 + + xn ) ( y1 + y2 + + yn ) Dấu xảy ⇔ x1 x2 x = = = n y1 y2 yn Ví dụ 1: Cho x, y thoả mãn x2 + 4y2 = 25 Tìm GTLN, GTNN biểu thức: A = x + 2y Giải: x + 2y = x + 2y Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho số x , 2y , 1, ta được: (x + 2y 1)2 ≤ (x2 +4y2)(12 + 12) ⇔ ( x + y ) ≤ 25.2 ⇔ ( x + y ) ≤ 50 ⇔ x + 2y ≤ ⇔ −5 ≤ x + y ≤ 37 x 2y  1 = x = −   GTNN A − khi:  x + y = −5 ⇔   x + y = 25 y = −    x 2y  1 = x =   GTLN A khi:  x + y = ⇔   x + y = 25 y =    Ví dụ 2: Cho a, b thoả mãn 2a + 3b = Tìm GTNN biểu thức: B = 2a2 + 3b2 Giải: 2a + 3b = a + b Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho số a , b , , ta được: (a + b )2 ≤ ( a ) + (b )  ( ) + ( )  ( 2 ) ⇔ ( 2a + 3b ) ≤ 2a + 3b ( + 3) ( ) ⇔ 25 ≤ 2a + 3b 2 ⇔ 2a + 3b ≥ 2 a b =  Đẳng thức xảy ⇔  ⇔ a = b =1 2a + 3b =  Vậy GTNN B a = b = Cách khác: − 2a , đó: 10a − 20a + 25 10  − 2a  2 = ( a − 1) + ≥ B = 2a +   = 3   Ta có: 2a + 3b = ⇔ b = Vậy GTNN B a = b = Ví dụ 3: Tìm GTLN biểu thức: C = − x + x − , với ≤ x ≤ Giải: − x + x − = − x + x − Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho số − x , x − , 1, ta được: ( − x + x − ⇔ ⇔ ( 4−x + x−2 ) ) ≤ ( − x + x − 2) (12 + 11 ) ≤4 4− x + x−2 ≤ 38  4−x x−2  − x = =  ⇔ ⇔ ⇔ x=3 1 Đẳng thức xảy    x − =  4−x + x−2 =  Vậy GTLN C x = Ví dụ 4: Cho a, b, c số dương cho a + b + c = Tìm GTLN biểu thức: D = 4a + + 4b + + 4c + Giải: 4a + + 4b + + 4c + = 4a + + 4b + + 4c + Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho số 4a + , 4b + , 4c + , 1, 1, ta được: ( ) 4a + + 4b + + 4c + ≤ ( 4a + + 4b + + 4c + 1)(1 + + 1) ( ⇔( 4a + + 4b + + 4c + ≤ [ 4( a + b + c ) + 3] ⇔ 4a + + 4b + + 4c + ≤ ⇔ 4a + + 4b + + ) 4c + ) 2 ≤ 45 ( a + b +c = 3)  4a + 4b + 4c + = =  ⇔ ⇔ a = b = c =1 1 Đẳng thức xảy   4a + + 4b + + 4c + =  Vậy GTLN D a = b = c = Dạng 9: Áp dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai ∆ ≥ (∆’ ≥ 0) Dấu ‘ = ‘ xảy phương trình có nghiệm kép x = − b b' ( x = − ) Để tìm GTNN, 2a a GTLN biểu thức Thí dụ : Tìm GTNN biểu thức A = 5x2 – 4x + Giải: Gọi a giá trị biểu thức A Biểu thức A nhận giá trị a phương trình 5x2 – 4x + = a có nghiệm ⇔ 5x2 – 4x + – a = (*) có nghiệm ⇔ ∆ ' = 5a − ≥ ⇔ a ≥ Vậy minA = ⇔ phương trình (*) có nghiệm kép x = 5 Bài tập: x − 2x + 1) Tìm GTNN biểu thức B = x − 2x + 39 Giải: ĐKXĐ: x ≠ x − 2x + = a (1) phải có nghiệm Gọi a giá trị B , phương trình x − 2x + PT (1) ⇔ (a − 1) x − (2a − 1) x + (a − 1) = (2) - Nếu a = x =0 - Nếu a ≠ (2) phương trình bậc hai ∆ = (2a − 1) − 4(a − 1) = 4a − PT (2) có nghiệm 4a − ≥ ⇔ a ≥ PT (2) có nghiệm kép x = -1 x2 − x +1 2) Tìm GTNN biểu thức P = x + x +1 Vậy minB = Giải: ĐKXĐ: x ∈ R x2 − x +1 = a (1) phải có nghiệm Gọi a giá trị P , phương trình x + x +1 PT (1) ⇔ (1 − a) x − (1 + a) x + − a = (2) - Nếu a = x =0 - Nếu a ≠ (2) phương trình bậc hai ∆ = (1 + a ) − 4(1 − a ) = −3a + 10a − 3 PT (2) có nghiệm ⇔ ∆ = −3a + 10a − 3a ≥ ⇔ ≤ a ≤ Vậy minP = PT (2) có nghiệm kép x = 3)Tìm GTNN, GTLN biểu thức sau: a) Q = 4x − x2 +1 b) K = x + 2x − x − 2x + Giải: a) ĐKXĐ: x ∈ R Gọi a giá trị Q , phương trình PT (1) ⇔ ax − x + a + = (2) 4x − = a (1) phải có nghiệm x2 +1 - Nếu a = PT (2) -4x = -3 có nghiệm x = - Nếu a ≠ (2) phương trình bậc hai ∆' = −a ( a +3) = −a −3a + 40 PT (2) có nghiệm ⇔ ∆' = −a − 3a + ≥ ⇔ −4 ≤ a ≤ −1 Vậy: minQ = -4 PT (2) có nghiệm kép x = −1 maxQ = -1 PT (2) có nghiệm kép x = b) ĐKXĐ: x ∈ R Gọi a giá trị K , phương trình x + 2x − = a (1) phải có nghiệm x − 2x + PT (1) ⇔ (a − 1) x − 2(a + 1) x + (3a + 1) = (2) - Nếu a = PT (2) -4x = -4 có nghiệm x = - Nếu a ≠ (2) phương trình bậc hai ∆ ' = (a + 1) − (a − 1)(3a + 1) = − 2a + 4a + PT (2) có nghiệm ⇔ ∆' = −2a + 4a + ≥ ⇔ − ≤ a ≤ + Vậy: minK = − PT (2) có nghiệm kép x = − maxK = + PT (2) có nghiệm kép x = + 4) Tìm cặp số (x,y) thỏa mãn phương trình : 3x – 6x +y – = (1) cho y đạt giá trị lớn Giải: Xét phương trình bậc hai , ẩn x tham số y Nếu tồn cặp số (x,y) thỏa mãn phương trình (1) PT (1) phải có nghiệm Do ∆' ≥ ⇔ − 3( y − 2) ≥ ⇔ y ≤ Vậy max y = PT(1) có nghiệm kép x =1 Nên cặp số cần tìm (1;5) 5) Tìm GTNN biểu thức sau: ( x + 2007) x x 6) Tìm GTLN biểu thức G = ( x + 2000) a) E = x2 + x +1 x + 2x + b) F = 41 ... = an n a Phương pháp 1: Tìm GTLN biểu thức có dạng A = f ( x) + g ( x) bậc f(x) bậc g(x) Phương pháp giải: Ta tìm GTLN bình phương biêu thức Sau áp dụng BĐT Cơsi ab ≤ a + b Thí dụ: Tìm GTLN biểu... = c b 2a b Phương pháp 2: Tìm GTLN biểu thức có dạng A = f ( x) bậc f(x) bậc g(x) g ( x) Phương pháp giải: Nhân chia f(x) với số khác , sau áp dụng BĐT Côsi ab ≤ (a + b) Thí dụ: Tìm GTLN biểu... xn = 2b a f ( x) c Phương pháp 3: Tìm GTNN biểu thức có dạng A = g ( x) bậc f(x) lớn bậc g(x) Phương pháp giải: Biến đổi biểu thức cho thành tổng biểu thức cho tích chúng số ( Tách hạng tử thành