Phương pháp tìm GTLN GTNN

THCS Hội An Đông A MỞ ĐẦU Các toán cực trị đại số cấp có ý nghĩa quan trọng học sinh bậc học .Để giải toán cực trị đại số , tìm giá trị lớn ,giá trị nhỏ biểu thức đại số người làm toán phải sử dụng phép biến đổi đồng biểu thức đại số , phải biến đổi sử dụng nhiều dạng đẳng thức từ dạng đơn giản đến dạng phức tạp .Bởi , nói toán cực trị đại số cấp tạo khả giúp học sinh có điều kiện rèn luyện kỹ biến đổi đồng biểu thức đại số. Các toán cực trị đại số chương trình toán cấp có liên quan mật thiết đến kiến thức chứng minh bất dẳng thức , toán giải phương trình hệ phương trình , kiên thức tập hợp hàm số đồ thị hàm số. Về mặt tư tưởng toán cực trị đại số giúp học sinh thêm gần gũi với kiến thức thực tế đời sống xã hội , rèn luyện nếp nghĩ khoa học , mong muốn công việc đạt hiệu cao , tốt . Tóm lại toán cực trị đại chưong trình toán cấp toán tổng hợp kiến thứcvà kỹ tính toán rèn khả tư cho học sinh , có vai trò quan trọng việc bồi dưỡng học sinh giỏi .Bồi dưõng HS thi vào trường chuyên , thi vào cấp 3. B NỘI DUNG: I. Phương pháp tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ biểu thức cách đưa dạng Ax ≥ Ax ≤ a, Cơ sở lý luận - Trong tập hợp số (nguyên , hữu tỷ , số thực) không âm số có giá trị nhỏ . - Trong tập hợp số (nguyên , hữu tỷ , số thực) âm số có giá trị lớn . - Từ ta có kết luận : Nếu M = Ax / Ax ≥ GTNN Ax = Nếu M = Ax / Ax ≤ GT LN Ax = b, Các ví dụ . Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức : Ax = 2x2 – 8x +1 với x số thực . Lời giải : Ta có Ax = 2x2 – 8x +1 = 2( x- )2 – Ta có với x (x- )2 ≥ Nên ta có 2( x- )2 – ≥ -7 . Vậy Ax đạt giá trị nhỏ -7 x=2 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn biểu thức: Mx = - 5x2 – 4x + với x số thực . Lời giải: Ta có Mx = - 5x2 – 4x + = -5 ( x + Tư liệu giáo viên 2 ) + 5 THCS Hội An Đông Với giá trị x ta có : -5 ( x + - . Ta có GTLN Mx = 2 ) ≤ . Vậy Mx ≤ (dấu = xảy x = 5 với x = - . 5 II . Phương pháp giải toán tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số cách đưa dạng Ax Ax ≥ ≤ k k Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x + 15 x + 16 Vói x số thực dương . 3x x + 15 x + 16 ( x − 4) 23 ( x − 4) 23 + + Lời giải: Ta có Ax = = với x >0 3x 3x 3x 23 . Vậy GTNN Ax = 23 với x= 4. ≥ 3 Ax = Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn biểu thức: x + x + 10 với x thuộc tập hợp số thực. x + 2x + 1 x + x + 10 Lời giải:Ta có Mx= = + ( x + 1) + . Vì ( x + 1) + ≤ nên ta có x + 2x + Mx= Mx = + ( x + 1) + ≤ + 0,5 = 3,5 . Vậy GTLN Mx = 3,5 với (x+1)2 = hay x= -1 Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn biểu thức: Fx,y xy + y ( y − x) + = với x, y số thực. x y + 2y4 + x2 + xy + y ( y − x) + y4 +1 Lời giải:Ta có Fx,y = = y4 +1 ≠ với giá trị 2 x y + 2y + x + ( y + 1)( x + 2) x nên ta chia tử mẫu cho y4 +1 ta : Fx,y = x2 ≥ với x nên x +2 1 ≤ x2 + ≥ với x ,và ta có Fx,y = 2 x +2 Vậy Fx,y dật GTLN = với x=0, y lấy giá trị tuỳ ý. III. Tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số cách áp dụng bất đẳng thức Côsi. 1.Bất đẳng thức Côsi : Với số dương a,b, c ta có: a + b ≥ ab đạt dấu = a=b . a + b+ c ≥ abc đạt dấu = a=b = c . Tư liệu giáo viên THCS Hội An Đông 2. Các ví dụ : Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 8x + với x > 0. x 2 8x + Lời giải:Ta có Ax = = 8x + . Ta thấy 8x hai đại lượng lấy giá trị x x x dương áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương 8x ta có: x 2 8x + ≥ x. = 16 = dấu = xẩy 8x = = > x = . x x x Vậy GTNN Ax = với x = . Ax = Ví dụ : Tìm giá trị lớn biểu thức: Bx = 16x3 - x6 với x thuộc tập hợp số thực dương . Lời giải: Trước hết ta phải tìm cách biến đổi để áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có Bx = 16x3 - x6 = x3(16- x3) . Ta có x3 > , 16 – x3 > 16 > x3 hay x < 16 (*) ta thấy x3 16 – x3 hai đại lượng dương . áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương x3 16- x3 ta có x (16 − x ) ≤ x + 16 − x = 16 suy x3( 16 – x3) ≤ 64 dấu = xẩy x3 = 16- x3 => x = (Thoả mãn *). GTLN Bx = 64 , với x=2. IV. Giải toán cực trị đại số phương pháp đặt ẩn phụ : Ví dụ : Với giá trị x biểu thức x + 16 x + 56 x + 80 x + 356 đạt giá trị nhỏ nhất. x + 2x + 256 x + 16 x + 56 x + 80 x + 356 Lời giải: Ta có : Px = = 4x2 + 8x+ 20 + 2 x + 2x + x + 2x + Px = Vì x2 + 2x +5 = (x+1)2 +4 > (*) nên Px xác định với x ta đặt 256 256 y = x2 + 2x + + , ta có Px = 4y + y với y > , ta thấy 4y y hai đại lượng 256 dương .áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương 4y y ta có : 256 256 256 = 2.2.16 = 64 . Dấu = xẩy 4y = 4y + y ≥ y. => y = y = -8 y y từ tính x= -3 x=1. Vậy với x=-3 x=1 GTNN Px = 64. Ví dụ : Tìm giá trị lớn biểu thức : Qx = (x2- 2x + 2)(4x- 2x2+ 2) với x thuộc tập hợp số thực. Lời giải: Đặt x2- 2x +2 = y ta có 4x – 2x2 + = -y +6 . Vậy Qx = y ( 6- 2y). Ta có 2Qx = 2y(6-2y) , ta thấy x2- 2x+2 = (x- 1)2 +1 >0 => y >0 => 6-2y > y ≥ y (6 − y ) => ≥ Qx dấu = xẩy 2y = 6- 2y => y = 1,5 thay vào ta có x2- 2x +2 = 1,5 => x = 1+ .Vậy GTLN Qx = 4,5 với x = 1+ 2 x= 2 2 x= . 2 Ví dụ 10 : Tìm giá trị lớn biểu thức : Hx = (8 + x2 + x )(20 – x2 –x) với x số thực tuỳ ý . Lời giải: Ta có : * 8+ x2 + x =( x+ 31 ) + >0 với giá trị x *20 – x2 –x > -5 < x < . Như Hx = (8 + x2 + x )(20 – x2 –x) >0 -5 < x 0 .Hãy tìm GTNN A. x + 2x + x − x + 14 Bài 4: Cho biểu thức : B= . Tìm GTLN B. x − x + 12 x + 15 x + 16 Bài 5: Cho biểu thức: F = . Với x >0. Hãy tìm GTNN F. 3x x2 Bài 6: Cho biểu thức: A = . Hãy tìm GTLN A. 1+ x4 ( x + 2)( x + 8) Bài 7: Cho biểu thức: Y = . Với x > . Hãy tìm GTNN Y. x x3 + 2x − 2x − Bài 8: Cho biểu thức: Y = . Tìm GTNN cua Y. x −1 Bài 3: Cho biểu thức : A = VIII. Hướng dẫn giải đáp số : Bài 1:Ta có : Q = (2 x − 1) + ≤ . Vậy GTLN Q = , với x= 0,5. ( x − 1) ( x − 1) ≥ với x nên P ≤ 1. Vậy GTLN P= Bài 2: Ta có P = - . Vì x +2 x +2 x=1. 1 Bài 3:Ta có : A= - x + + . Để A đạt giá trị nhỏ x + + đạt GTLN muốn x x 1 x+ + phải đạt GTNN. Mà x> nên > áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai x x 1 số dương x ta có : x + ≥ x. = .Dấu = xẩy x x x x = => x= 1; x = -1 (Loại ). x Vậy GTNN A = - = , với x= 1. 4 2 x − x + 14 Bài 4: Ta có : B= = 1+ ( x − 3) + . Ta thấy B có GTLN ( x − 3) + x − x + 12 phải đạt giá trị lớn , (x-3)2 + phải đạt giá trị nhỏ . , với x = 3. x 16 x + 15 x + 16 Bài 5: Ta có F = . Với x >0 chia tử cho mẫu ta có F = + + x > 3x 3x x 16 x 16 x 16 ≥2 Nên > 0; > . áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : + = ; Dấu = 3x 3x 3 3x 23 xẩy x = 4. Vậy GTNN F = + = ; với x = 4. 3 Ta có (x- 3)2 + ≥ với x . Vậy GTLN B = Tư liệu giáo viên THCS Hội An Đông 1 x2 ≠ Bài 6: Ta có : A = với x A = . A đạt GTLN + x nhỏ + x x 1+ x x2 , ta thấy x2 hai số dương nên theo bất đẳng thức Côsi ta có: x 1 x2 + ≥ x . = . Dấu = xẩy x4 = => x= 1; x = -1. x x Vậy GTLN A = , với x= 1; x = -1. ( x + 2)( x + 8) 16 16 Bài 7: Ta có : Y = . Với x > Y = x + + 10 ≥ x. + 10 = 18 x x x 16 ( Theo bất đẳng thức Côsi cho hai số dương x ). Dấu = xẩy x = 4. x Vậy GTNN Y = 18; với x = . 5 x3 + 2x − 2x − Bài 8: Ta có : Y = ( với x ≠ 1) Y = ( x + )2 - ≥ − . 4 x −1 Dấu = xẩy x = - . Vậy GTNN Y = - ; với x = - . Tư liệu giáo viên . - 5 2 . Ta có GTLN của M x = 5 9 với x = - 5 2 . II . Phương pháp giải các bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số bằng cách đưa về dạng 0 2 ≥ k Ax hoặc 0 2 ≤ k Ax Ví dụ 3: Tìm giá trị. trị của x, y, z . Vậy GTNN của P = 5 đạt được khi x+2y = 0 và 3y- 2z =0 và x- z =0 và x=0 . Giải hệ phương trình trên ta được x= y =z = 0 . VI. Tìm GTLN, GTNN bằng phương pháp sử dụng bất đẳng. ≠ -1 , x >0 .Hãy tìm GTNN của A. Bài 4: Cho biểu thức : B= 126 146 2 2 +− +− xx xx . Tìm GTLN của B. Bài 5: Cho biểu thức: F = x xx 3 1615 2 ++ . Với x >0. Hãy tìm GTNN của F. Bài 6: