Chuyen de 1 GTLN GTNN l8 ng 26

CHUYÊN ĐỀ TÌM MIN, MAX CỦA BIỂU THỨC I.LÝ THUYẾT Định nghĩa Cho biểu thức A x; y; z Khi số M giá trị lớn (GTLN) A x; y; z thỏa mãn hai điều kiện sau: Với x; y; z mà A x; y; z xác định mà A x; y; z �M Tồn số  x; y; z cho A x; y; z  M Cho biểu thức A x; y; z Khi số N giá trị nhỏ (GTNN) A x; y; z thỏa mãn hai điều kiện sau: Với x; y; z mà A x; y; z xác định mà A x; y; z �N Tồn số  x; y; z cho A x; y; z  N II LUYỆN TẬP Dạng 1: ĐA THỨC BẬC ĐƠN GIẢN Phương pháp giải: Áp dụng đẳng thức số số Bài 1: Tìm GTNN của: A( x)  x  x  24 HD: A( x)  x  x  24  ( x  2)  20 �20x � A( x)  20 � x  Bài 2: Tìm GTNN của: B( x)  x  x  HD: B( x)  x  x   2( x  x  4)    2( x  x  4)   2( x  2)  �7 � B(x)  7 � x  Bài 3: Tìm GTNN của: C ( x)  3x  x  HD: 1 13 13 13 C ( x )  x  x   3( x  x  )   3( x  )  � 36 12 12 12 Bài 4: Tìm GTLN của: A( x)  5 x  x  HD: A( x)  5 x  x   5( x  4 9 x  )  5( x  x  )   5( x  )  � 5 25 5 5 Bài 5: Tìm GTLN của: B( x)  3x  x  HD: 1 13 13 13 B( x)  3 x  x   3( x  x  )   3( x  )  � 36 12 12 12 Bài 6: Tìm GTNN : A  x  x  3x   HD: 2 Đặt: 3x   t  t  x  x   E  t  4t  Bài 7: Tìm GTLN của: A   x  1   3x    x  11 2 HD: � 17 � 9 A  4x  4x  1 9x  12x  4 x  11 5x  17x  14  5�x  � � � 10 � 20 20 2 Bài 8: Tìm của: A   x  3   x  1 2 HD: A  x2  6x  9 x2  2x  1 2x2  8x  10  2 x  2  �2 Bài 9: Tìm của: B   x  1   x     x  3 2 HD:       B  x2  2x   x2  4x   x2  6x   x2  8x  22   x  4  38 �38 2 Bài 10: Tìm Min của: P  x  x   HD: TH1: x �  P  5x2  6x TH2: x   P  5x2  6x  Dạng 2: ĐA THỨC BẬC ĐƠN GIẢN Phương pháp giải: Phân tích thành biểu thức tương đồng để đặt ẩn phụ Sử dụng phương pháp nhóm hợp lý làm xuất nhân tử để đặt ẩn phụ Sử dụng đẳng thức  a �b , a  b c 2 Dạng 2.1: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e Bài 1: Tìm GTNN của: C  x  x3  x  20 x  22 HD: C   x  x3  x    x  x    C  x  x  x     x  x     ( x  2)2 ( x  5)  Bài 2: Tìm của: I  x  x3  11x  12 x  20 HD:   I  x4  6x3  11x2  12x  20  x2 x2  6x   2x2  12x  20   I  x2  x  3  x2  6x    x2  x  3  2 x  3  �2 2 Bài 3: Tìm GTNN của: A( x)  x  x3  10 x  x  HD: A( x)  x  x  10 x  x   ( x  x  x )  ( x  x  9)  ( x  x)  ( x  3) �0x �x  3x  � A( x)  � � � x3 �x   Bài 4: Tìm GTNN của: B( x)  x  10 x  26 x  10 x  30 HD: �x  x  B( x)  x  10 x  26 x  10 x  30  ( x  x)  ( x  5)  �5 � � � x5 �x   Bài 5: Tìm GTNN của: C ( x)  x  x  x  x  2017 HD: C ( x)  x ( x  2)  x( x  2)  ( x  2)  2015  ( x  2)( x  1)  2015 �2015 � x  Bài 6: Tìm GTNN của: D( x)  x  x  x  HD: D( x)  x  x   x  x   D( x)  ( x  1)  ( x  1)   ( x  1) [( x  1)  1]  �5 � x  1 Bài 7: Tìm GTNN biểu thức: A  a  2a  4a  HD: A  a  a    2a  a     a    =  a    a  2a  1  �3 dấu a=1 Dạng 2.2: (x+a)4 +( x+b)4 + Bài 1: Tìm GTNN của: D   x     x   4 HD: Đặt: x   y  D   y  1   y  1  y  12 y  �0   �2 4 Bài 2: Tìm của: A   x     x   4 HD:     A  x2  4x   x2  4x   2[(x2  4)2  16x2]  2(x4  24x2)  32 �32 Bài 3: Tìm max của: F    x  1   x   4 HD: Đặt x   t  F   3 t  3  3 t  3      F  t2  6t   t2  6t    F  6[(t2  9)2  36t2 ]     F  6t4  324t2  484  t4  54t2  484   Suy ra: F  6 t  54t  484 �484 Bài 4: Tìm của: G   x  3   x   4 HD:     2 t  Đặt x   t  G   t  5   t  5  t2  10t  25  t2  10t  25 4   G  2t4  300t2  1250  t4  2.75t2  5625  104  2  75  104 �104 Dạng 2.3: x(x+a)( x+b)(x +c) + … Bài 1: Tìm GTNN của: A  x  x  3  x    x   HD:    A  x x  7  x  3  x  4  x2  7x x2  7x  12 , Đặt x2  7x   t Khi đó: A   t  6  t  6  t  36 �36 � x1 2 Dấu “ = ” t   x  7x    � x � Vậy Min A= - 36 x=1 x=6 Bài 2: Tìm GTNN của: B   x  1  x  3  x  x  5 HD:    B  x2  4x  x2  4x  , Đặt x2  4x   t Khi đó: B   t  1  t  1  t2  1�1 , Dấu “ = “ t2   x2  4x    x  Bài 3: Tìm của: A  x  x    x    x    HD:    A  x x  6  x  2  x  4   x2  6x x2  6x   , Đặt x2  6x   t Khi đó: A   t  4  t  4   t2  16   t2  �8 , Dấu “ = “ Khi đó: � x  3  t2   x2  6x    � � x  3  � Bài 4: Tìm GTNN của: B   x  1  x    x  3  x   HD:    B   x  1  x  4  x  2  x  3  x2  5x  x2  5x  , Đặt x2  5x   t , Khi đó: B   t  1  t  1  t2  1�1 , Dấu “ = “ t2   x2  5x    x  5� 2 Bài 5: Tìm GTNN của: A   x  x    x  x   HD: Đặt x2  x   t Khi đó: A   t  4  t  4  t  16 �16 � x1 Dấu “ = “ xảy khi: t   x  x    � x  2 � Bài 6: Tìm GTNN : C   x  1  x    x  3  x   HD:    C   x  1  x  6  x  2  x  3  x2  5x  x2  5x  , Đặt x2  5x  t Khi đó: � x x  5 � C   t  6  t  6  t2  36 �36 , Dấu “ = “ t   x2  5x   � Bài 7: Tìm GTNN của: D   x  1  x    x  3  x  1 HD:    D   2x  1  x  3  x  2  2x  1  2x2  5x  2x2  5x  , Đặt 2x2  5x  t , Khi đó: � � 25 25 D   t  3  t  2  t  t   � t  � � � 2� Dấu “ = “ khi: t  1 5 � 29  2x2  5x   x  2 Bài 8: Tìm của: C   x  1  x    x  3  x    2011 HD:    C   x  1  x  4  x  2  x  3  2011  x2  5x  x2  5x   2011 , Đặt x2  5x   t Khi đó: C   t  1  t  1  2011 x2  5x    x   5� Bài 9: Tìm max của: E     x   x    x  3  x   HD:    E  5  x  1  x  6  x  2  x  3   x2  5x  x2  5x   , đặt x2  5x  t   2 Khi đó: E    t  6  t  6    t  36   t  41 �41 � x x  5 � 2 Dấu “ = “ Khi t   x  5x   � Bài 10: Tìm GTNN của: M   x  1  x    x    x   HD:    M   x  1  x  6  x  2  x  3  x2  5x  x2  5x  , Đặt x2  5x  t � x x  5 � 2 Khi đó: M   t  6  t  6  t  36 �36 , Dấu “ = ” t   x  5x   � Bài 11: Tìm của: D   x  1  x    x  5  2014 HD:    D   x  1  x  2  x  2  x  5  2014  x2  3x  10 x2  3x   2014 , Đặt x2  3x   t Khi đó: D   t  6  t  6  2014  t  1978 � x1 x  4 � 2 Dấu “= “ xảy khi: t   x  3x    � Bài 12: Tìm GTNN của: G ( x)  ( x  1)( x  2)( x  3)( x  6)  2006 HD: x0 � G ( x)  ( x  x  6)( x  x  6)  2006  ( x  x)  2042 �2042 � � x  5 � Bài 13: Tìm số nguyên m lớn cho BĐT với x:  x  1  x    x  3 �m HD:    VT   x  1  x  3  x  2  x2  4x  x2  4x  , Đặt x2  4x  t , Khi đó: 2 49 49 � � 1 VT   t  3  t  4  t  7t  12  t  2.t   12 � t  � �  1 4 � 2� 4 2 Bài 14: Tìm số nguyên m lớn cho BĐT với x: ( x  2)  x  3  x    x   �m Dạng 3: NHĨM ĐƯA VỀ TỔNG BÌNH PHƯƠNG Phương pháp giải: Sử dụng biến dổi đưa đẳng thức  a �b , a  b  c 2 Chú ý biến đổi thành nhiều ngoặc điều kiện dấu “ = ” xảy bị ràng buộc nhiều Dạng 3.1: đưa HĐT  a �b Bài 1: Tìm của: I  x  xy  y  y  11 HD:   I  x2  4xy  4y2  y2  6y  11 Bài 2: Tìm của: M  x  xy  y  y  HD:     M  x2  2xy  y2  y2  2y  Bài 3: Tìm của: R  x  y  xy  y HD: R  x2  2y2  2xy  2y  x2  2xy  y2  y2  2y  1   x  y   y  1  1�1 2 Bài 4: Tìm của: A  x  y  xy  16 y  32 HD: A  4x2  5y2  4xy  16y  32     A  4x2  4xy  y2  4y2  16y 32 A  (2x  y)2  4(y  2)2  16 �16 Bài 5: Tìm của: B  x  y  z  xy  yz  z  12 HD:       B  x2  4xy  4y2  y2  4yz  4z2  z2  4z     x  2y   y  2z   z  2  �8 2 Bài 6: Tìm của: C  x  12 xy  y  x  HD:     C  4x2  2.2x.3y  9y2  x2  4x    2x  3y   x  2 �0 2 Bài 7: Tìm của: E  x  y  xy  y  HD: E  x2  4xy  4y2  y2  2y  1   x  2y   y  1  �4 2 Bài 8: CMR khơng có giá trị x, y, z thỏa mãn: x  y  z  x  y  z  15  HD :  x  2x  1   4y  8y  4   z  6z  9  1�1 2 Bài 9: Tìm của: A  x  y  xy  x  HD : A  x2  2xy  y2  x2  2x  1   x  y   x  1  �2 2 Bài 10: Tìm max của: B   x  y  xy  x HD:  B  5x2  y2  4xy  2x   y2  2.y.2x  4x2  x2  2x  1   y  2x   x  1  �3 2 B    2x  y   x  1  �3 2 Bài 11: Tìm GTNN của: A  x2  2xy  2y2  4y  HD: Ta có: A  x2  2xy  y2  y2  4y     x  y   y  2  2 Do:  x  y �0, y  2 �0 , Nên A   x  y   y  2  1�1 2 2 Bài 12: Tìm của: B  x  y  xy  x  2028 HD:     B  x2  2xy  y2  x2  8x  16  2012 Bài 13: Tìm GTNN biểu thức : A  x  y  xy  y  HD: Ta có A( x )  x  y  xy  y    x  xy  y    y  y      x  y    y    �� A 1�� x, y  R " " �x  y  � �y   x y 2 Vậy A  � x  y  Bài 14: Tìm GTNN biểu thức : B  x  y  y  HD: B  x  y  y    x  xy  y    x  xy  y   y    x  y    x  y   �5 2 �x  y  �x y0 � �x  y  Bài 15: Tìm GTNN biểu thức : A( x )  x  y  xy  x  HD: A( x)  x  y  xy  x   ( x  xy  y )  ( x  x  1)   ( x  y )  ( x  1)  �2 � x  y 1 Bài 16: Tìm GTNN biểu thức : D( x)  x  y  z  2( x  y  z )  HD: D( x)  x  y  z  2( x  y  z )   2( x  x)  (3 y  y )  (4 z  z )  2 � 1� 1  2( x  x  )  3( y  y  )  � (2 z )  z  �    � 4� 1 11 11 1  2( x  )  3( y  )  (2 z  )  � � ( x, y, z )  ( ; ; ) 2 2 Bài 17: Tìm GTNN biểu thức : A  4 x  y 8 xy  10 y  12 HD: A  4 x  y 8 xy  10 y  12  4 x  xy  y  y  10 y  25  37  4( x  y )2  ( y  5)  37 �37 �x  �� �y  Bài 18: Tìm GTLN biểu thức : A  x  y  z  ( x  y  z ) HD: 2  A �� ( x  ) 2( y ) (2 z ) 4 7 16 7 16 A 16 x ;y ;z Bài 19: Tìm của: A  x  y  x  32 y  2018 HD:     A  x2  4x   4y2  32y  64  1950   x  2  4 y  4  1950 �1950 2 Bài 20: Tìm của: A  x  y  x  y HD: 2 � 2� � � � � � � 19 19 A  3x  4x  y  y  3�x2  2.x � �y2  2.y � 3�x  � �y  � � 3� � � � � � � 12 12 �     Bài 21: Tìm của: B  x  y  xy  12 x  18 HD:     B  4x2  12x  x2  2xy  y2  18   2x  3   x  y  27 �27 2 Bài 22: Tìm max của: B  3x  16 y  xy  x  HD: � 5� 41 � � �  x  4y  2�x  � B  � x  xy  16 y x  x  � �� � � 4� 2 2 � � 41 41  B    x  4y  2�x  � � � 4� 8 Bài 23: Tìm max : N   x  y  x  y  HD:      N  x2  4y2  6x  8y   x2  6x   4y2  8y   16  N   x  3  4 y  1  16  N    x  3  4 y  1  16 �16 2 2 Bài 24: Tìm max của: P  3x  y  x  y  23 HD:      P  3x2  5y2  2x  7y  23  3x2  2x  5y2  7y  23 2 2 � � � � 1213 � 1� � � 1213 1213  P  3�x  � 5�y  � � => P  3�x  � 5�y  � 60 � 3� � 10 � 60 � 3� � 10 � 60 Bài 25: Tìm max của: R  7 x  y  xy  18 x  HD:    R  7x2  4y2  8xy  18x   4y2  8xy  4x2  3x2  18x   2 x  y  3 x  3  36 2 R  2 x  y  3 x  3  36 �36 2 Dạng 3.2: đưa HĐT  a  b c ; a �b mc 2 Bài 1: Tìm GTNN của: A  x  xy  y  x  10 y  17 HD: 2 2y2  10y  17  y  1 � A  x2  2x y  1  2y2  10y  17  x2  2x y  1   y  1  � � �   A   x  y  1  y2  8y  16   x  y  1   y  4 �0 2 Bài 2: Tìm của: B  x  xy  y  x  y HD: �2 y  y2  4y  4� y2 B  x2  x y  2  y2  2y  � x  2.x   y  y   y � 4 � � 4B   2x  y  2  3y2  12y    2x  y  2  3(y2  4y 4)  16 2 4B   2x  y  2  3(y  2)2  16 �16  B Bài 3: Tìm của: C  x  xy  y  3x  y HD: �2 y  y2  6y  9� y2  6y  C  x2  x y  3  y2  3y  � x  2.x  � y  3y  4 � � 4C   2x  y  3  � 4y2  12y  y2  6y 9� � � 4C   2x  y  3  � 3y2  6y 3� � � 12 4C   2x  y  3  3(y  1)2  12 �12   C Bài 4: Tìm của: D  x  xy  y  12 x  y  45 HD:   D  x2  2x y  6  6y2  2y  45  x2  2x. y  6   y  6  6y2  2y  45 y2  12y  36   x  y  6  5y2  10y  Bài 5: Tìm của: E  x  xy  y  x  10 y  20 HD: E  x2  x y  2  3y2  10y  20  x2  2x  y  y2  4y  y2  4y    3y2  10y  20  4      4E   x  y  2  12y2  40y  80  y2  4y    x  y  2  11y2  36y  76 2 Bài 6: Tìm max của: F   x  xy  y  x  10 y  HD:  F  x2  2xy  4y2  2x  10y   x2  2x y  1  4y2  10y   F  x2  2x y  1   y  1  4y2  10y  3  y  1  (x  y  1)2  3(y  2)2  10 2 Bài 7: Tìm của: G   x  ay    x  ay   x  16 y  8ay  x  y  10 HD:   G�  x2  2x   16y2  8ay  8y �x  ay  6 x  ay  9� � G   x  ay  3   x  1  16y2  8y a  1   a  1   a  1 2 G   x  ay  3   x  1   4y  a  1   a  1 �  a  1 2 2 2 Bài 8: Tìm max của: H   x  xy  y  x  y  11 HD:  H  x2  xy  y2  2x  4y  11 x2  x y  2  y2  4y  11  y  2 y  y2  4y   H  x  2x   y  4y  11 4 2    4H   x  y  2  4y2  16y  44  y2  4y  Bài 9: Tìm của: K  x  y  xy  3x  y  20 HD: 10 HD: 2 � �2 � �2 y � 1� � y�  x    x   xy  xy  Từ gt ta có : =>  �x  � �x  � xy  � � �� � x �� � � x� � 2� => xy  �4  xy �2 Bài 11: Cho hai số thực a,b �0, thỏa mãn: 2a  b2   , Tìm min, max của: S  ab  2017 a2 HD: 2 � �2 � �2 b � 1� � b�  a    a   ab � ab   �a  � �a  � ab  Từ gt ta có : � �� � a �� � a� � 2� � => ab  �4  ab  2017 �2019  S �2019 2 � �2 � �2 b � 1� � b� Mặt khác :  �a   � �a   ab � ab   �a  � �a  � ab  � a �� � a� � 2� � => ab  �4  ab �2  ab  2017 �2015 => S �2015 Bài 12: Cho hai số x,y khác thỏa mãn: x  y2   , Tìm min, max của: A  xy  2024 x2 HD: Từ gt ta có :  x  2 � y2 16 y �2 16 � �2 y   16  x    x    x   xy �  xy  � �� 2 x x � x �� � � 4� � y� =>  �x  � �x  � xy    xy  �16  xy �8  A  xy  2024 �2016 � x� � 2� 2 � �2 16 � �2 y � 4� � y � Mặt khác : 16  �x   � �x   xy � xy   �x  � �x  � xy  � x �� � x� � 2� � => xy  �16  xy �8  S  xy  2024 �2032 2 Bài 13: Cho x,y �R khác biết: x  y   , Tìm x,y để B  x y đạt đạt max 4x2 HD: 2 Ta có :  x  y  � � = �2 x  1 � � � x   �  x  y  xy   xy  2 4x � 4x � � �  x  y   xy   xy  �4  B  xy � 2x � � � � � 1 Mặt khác :  �2 x  �  x  y   xy   4 xy  �4  B  xy � 2x 2 2 Bài 14: Cho x,y >0 thỏa mãn: x+y =1, Tìm của: A   x  y   y  3x   25 xy HD: 3 2 3 Ta có : A  16( xy )  12 x  12 y  xy  25 xy  x y  12  x  y   34 xy 3 2 Vì x+y =1 nên x  y   x  y   x  xy  y    x  y   3xy   3xy , thay vào A A  x y  12   xy   34 xy , Đặt xy=t : A  6t  2t  12 53 Bài 15: Cho x, y số thực thỏa mãn: x  y  1Tìm biểu thức:    C  x2  4y y2  4x  8xy HD:      2 2 3 2 3 Ta có : C  x  4y y  4x  8xy  x y  4x  4y  16xy  8xy  x y  x  y  24xy Do x  y  1 x3  y3   x  y  3xy x  y  1 3xy Thay vào C ta :   C  x2y2  4 1 3xy  24xy  x2y2  12xy   x2y2  2xy.6  36  32   xy  6  32 �32 �x  y  �x  �x  2  � MinC  32 , Dấu = xảy � � �xy  6 �y  2 �y  Bài 16: Cho x,y hai số thực thỏa mãn: x+ 2y =3 tìm của: A  x  y HD: Từ gt ta có : x   y thay vào A    y   y  y  12 y  Bài 17: Cho x,y hai số thực thỏa mãn: x  y  xy  , Tìm max của: A  x  y HD: Ta có : x  y  xy   x  y  xy    x  y   x  y  => x  y �8 hay A �8 mặt khác :  x  y  xy  x  y   xy  3x  y    x  y  �8 8 2 => x  y � hay A � Bài 18: Cho x,y thỏa mãn: x+ y =2, Tìm của: A  x  y  xy HD: Từ gt ta có : y   x thay vào A ta : A  x3    x   x   x  Bài 19: Cho số thực x,y thỏa mãn: x  y   , Tìm max của: A   x  y    x  y   10 xy HD: Ta có : x  y  4 , nên x3  y   x  y   3xy  x  y   64  12 xy , x  y   x  y   xy  16  xy thay vào A   64  12 xy    16  xy   10 xy Bài 20: Cho x, y, z � R, thỏa mãn: x  y  z  , Tìm max của: A  xy  yz  zx HD: Từ giả thiết=> z   x  y thay vào A ta : A  xy  y   x  y   x   x  y   2 x  y  xy  x  y Bài 21: Cho x,y,z � R thỏa mãn: x  y  z  Tìm max của: A  xy  yz  3zx HD: Từ gt => z   x  y thay vào A  xy  y   x  y   3x   x  y  2 Bài 22: Cho x,y � R thỏa mãn: x  xy   x  y   y  10  , Tìm max của: S  x y 3 54 HD: Từ gt ta có : x  xy  x  y  y  10  7� y  �  y  7 (2 y  7) � => x  x �   y  y  10   => �x  y  � y   � � 2� 4 � � � =>  �x  y  �  5 �x  y �2 => 2 �x  y  �1 2 2 2 Bài 23: Cho số thực m,n,p thỏa mãn: n  np  p   3m , Tìm min, max của: A  m  n  p HD: Từ gt ta có : 2n  2np  p   3m  3m  2n2  p  2np  2 2 2 => (m  n  p  2mn  2np  2mp )   2m  n  p  2mn  2mp   =>  m  n  p    m  p    m  n  �2 =>  �m  n  p � 2 2 Bài 24: Cho x,y,z số thực thỏa mãn: x  y  z  , Tìm min, max của: P  x  y  z HD: Ta có : P   x  y  z   x  y  z  xy  yz  xz , nên ta nhân vào gt : 18  x  y  z   x  y  z  xy  yz  zx    5x  y  z  xy  yz  zx  18   x  y  z    x  y    x  z    y  z  =>  x  y  z  �18 2 2  18 �x  y  z � 18 2 Bài 25: Cho số thực m, n, p thỏa mãn: 2m  2n  p  3mn  mp  2np  , Tìm max của: B  m  n  p HD: Từ gt ta có : 4m  4n  p  6mn  2mp  4np  2 2 2 =>  m  n  p  2mn  2mp  2np    m  n  p  4mp  2np   =>  m  n  p    p  m    n  p   =>  m  n  p  �3  1 �m  n  p �1 2 2 Bài 26: Cho x,y,z thỏa mãn: x  y  z  , Tìm max của: A  xy  yz  zx HD: Từ gt=> z   x  y thay vào A  xy  y   x  y   x   x  y  = x  y  xy  3x  y Bài 27: Cho x,y,z thỏa mãn: x+y+z =3, Tìm max của: B   xy  yz  zx HD: Từ gt ta có : z   x  y => B   xy  y   x  y   x   x  y  =>B= 4 x  y  16 xy  y  12 x Bài 28: Cho số thực x,y,z thỏa mãn: x  y  z  , Tìm max A   xy  yz  zx HD: Từ gt=> z  x  y  thay vào A   xy  y  x  y    x  x  y   Bài 29: Cho số thực x,y,z thỏa mãn: x  y  z  , Tìm max của: B  12 xy  yz  zx 55 HD: Từ gt ta có : z  x  y  thay vào B  12 xy  y  x  y    x  x  y   3 Bài 30: Cho hai số thực x,y thỏa mãn: x  y  2 , tìm của: A   x  y   15 xy  HD: Từ x + y= -2, ta có : x3  y   x  y   3xy  x  y   8  xy thay vào A   8  xy   15 xy   3 xy  y= - - x thay vào A  3 x  2  x   Bài 31: Cho hai số thực x,y thỏa mãn: x  y  2 , Tìm     B  x  y  x  y  x y  xy x  y  13xy HD: B  x  y  x  y  x y  xy x  y  13xy  x y    xy   x y Từ x+y= - 2, ta có: x  y  �  x  y   xy � � � 2 x  y  xy  , x  y   xy , Thay vào b ta : B    xy   x y   xy    x y  xy   xy   13 xy B   xy  24 , thay y  2  x  B  x  x 3 2 Bài 32: Cho hai số thực x,y thỏa mãn: x  y  , Tìm max của: A  x  y   x  y   xy  HD: Vì x  y  nên x  y  125  15 xy x  y  25  xy thay vào A  125  15 xy   25  xy   xy  Bài 33: Cho hai số x,y thỏa mãn: x+y =5, 4 3 2 2 Tìm max của: B  x  y   x  y   20  x  y   x y  xy HD:     B  x  y  x3  y  20 x  y  x y  xy Vì x+y=5 nên x  y   25  xy   x2 y , x  y  125  15 xy , x  y  25  xy B   25  xy   x y   125  15 xy   20  25  xy   x y  xy 4 Bài 34: Cho hai số x,y thỏa mãn: x  y   xy   xy  , Tìm max của: P  xy HD: Từ gt=> x  y  3xy  x y  => x  2x y  y 2   4x y  3xy    x  y 2  2 2 � 121 � � 121 � � xy  � => �2 xy  �� � 16 � 16 � � Bài 35: Cho số thực x,y thỏa mãn: x  y  12 xy  x  y  15  , Tìm max của: A  2x  3y  HD: Từ gt=>  x    y   2.2 x.3 y  2.2 x  2.3 y   3x  16 =>  x  y  1  x  16 2 56 Bài 36: Cho số thực x,y,z thỏa mãn: x  y  z  xy  xz  yz  , Tìm max của: P  x y HD: 2 2 Từ gt ta có:  x  y  xy    x  y  z  xy  xz  yz   2 2 =>  x  y    x  y  z  xy  yz  zx    z  xz  x   =>  x  y  �5   �x  y � Bài 37: Cho số x, y, z thỏa mãn: x  y  z  Tìm max của: p  x  y  z HD: Từ gt ta có: y   x  z => y   x  z  x  12 xz  z : P  10 x  z  12 xz  x  z  Bài 38: Cho số x, y, z thỏa mãn: x+y+z=1, Tìm max của: A  xy  yz  zx HD: Từ gt => z   x  y thay vào A  xy  y   x  y   x   x  y  Bài 39: Cho x, y �R, thỏa mãn: x+2y=1, Tìm max của: P = x.y HD: Từ gt=> x   y thay vào P  y   y  Bài 40: Cho x,y �0, x+y=1, Tìm min, max của: A  x  y HD: Từ gt=> y   x thay vào A  x    x  2 2 Bài 41: Tìm max của: P  x  y  z , biết: y  z  yz   x HD: Từ gt => y  z  yz   3x  3x  y  z  yz  2 2 2 =>  x  y  z  xy  yz  zx    x  y  z  xy  zx   =>  x  y  z    x  y    x  z     x  y  z  �2 2 2 Bài 42: Cho x  y  xy  10 x  14 y  18  , Tìm min, max của: S  x  y HD: Từ gt=> x  x  y  5   y    y  14 y  18  y  10 y  25  2 =>  x  y  5   y  y  1    x  y   �9 => 3 �x  y  �3 2 Bài 43: Cho a,b,c không âm thỏa mãn: 3a+2c=51 c+5b=21, Tìm max A=a+b+c HD: Cộng theo vế giả thiết ta : 3a  3c  5b  72   a  b  c   72  2b �72 72  24 Do b �0  a  b  c � Bài 44: Cho a,b,c số khơng âm thỏa mãn: 2a+b=6-3c 3a+4b=3c+4, Tìm E  2a  3b  4c 57 HD: � c� � a   3c a �0 � � �  � Cộng theo vế ta : a  b   � � b �0 b  3c  2 � � � c� � Khi đó: E    3c    3c    4c   c Bài 45: Cho x, y, z �0, x  y  2014,3 x  z  3031 , Tìm GTLN biểu thức : A  x  y  z HD: Cộng theo vế gt ta có: x  y  z  5045  y �5045 y �0 nên  x  y  z  �5045  x  y  z �1009 2 Bài 46: Cho a  b  ,Tìm max của: A  ab  a  b  HD: 2 2 Ta có: a  b   a  b   2ab  A  ab   2ab   2a b  4ab A    a 2b  2ab  1  �2 , Max A  Bài 47: Cho x,y thỏa mãn:  11x  y  2015   x  y  3  , Tìm của: P  xy  x  2016 HD: Từ gt ta có : 11x  y  2015  x  y   TH1: Ta có : 11x  y  2015   y  11x  2015 thay vào P TH2: ta có: x  y    y  x  thay vào P Bài 48: Cho số x,y,z thỏa mãn : x  y  z  , Tìm GTLN : B  xy  yz  zx HD: 3  x  y �  x  y Ta có : B  xy  z  x  y   xy  � � � 2 � y  � 3 = xy   x  y    x  y    x  y  xy  3x  y =  �x  �  y  1  �3 � � Bài 49: Cho x  xy  y  , Tìm Min max biểu thức : P  x  xy  y HD : P x  xy  y Ta có :  x  xy  y Bài 50: Tìm GTNN biểu thức sau thỏa mãn điều kiện : A  x3  y  xy; x  y  HD : A  ( x  y)( x  xy  y )  xy  x  y 58 4 2 Có : x  y  � x   y � A  (1  y )  y  y  y   2( y  y.2   )   2( y  )  � Dấu ‘ = ’’ xảy x  ; y  Bài 51: Tìm GTNN biểu thức sau thỏa mãn điều kiện : B  x  y ; x  y  HD : x  y 1 � y  1 x � B  x  (1  x)  x  x  1  6( x  x  ) 5  6( x  )  � � x  ; y  6 6 Bài 52: Tìm GTNN biểu thức sau thỏa mãn điều kiện : C  x  y ; x  y  HD : C  x  y  y  y  � C  1 � yx 3 Bài 53: Tìm GTNN biểu thức sau thỏa mãn điều kiện : D  x 5 y ; x  y  HD : 4x  4x  � D  x  5( ) � D  98 x  280 x  245  2(7 x  10)  45 �45 3 10 3 � D  � x  ; y  7 4x  3y  � y  Bài 54: Cho a + b = Tìm GTNN A  a(a  2b)  b(b  a) HD : Có a + b = � b  1 a � A  a (a  2b)  b(b  a )  a  2ab  b3  ab  a  b3  ab  a  (1  a )3  a (1  a )  2a  a  1 1 1  2(a  a  )  2( a  )  � a � a  b  2 2 Bài 55: Cho số thực x, y thỏa mãn: x + y = Tìm GTNN A  x  y  xy HD : A  x3  y  xy  ( x  y )3  xy ( x  y )  xy Theo giả thiết 59 x y  � y  2 x � A  23  x(2  x)  x(2  x)  x  x   4( x  1)2  �4 �R � x  y 1 Bài 56: Cho số thực x, y thỏa mãn : x + y + = Tìm GTLN A  2( x3  y )  3( x  y )  10 xy HD : Ta có : A  2( x  y )  3( x  y )  10 xy  2( x  y )3  xy( x  y )  3( x  y )  xy  10 xy  28 xy  80  28 x( 4  x)  80  28( x  x  4)  32 � A  28( x  2)  32 �32 � x  2 � y   Bài 57: Cho số thực x, y thỏa mãn: x  y  xy  Tìm GTLN, GTNN P  x  y HD : Ta có: x  y  xy  �  x  y  x  y  xy  x  y  ( x  y ) �x  y P �x  y  � �2 �x  y  xy  � x  y  �2 x y2 � Vậy GTLN P = -2 � � x  y  2 � Mặt khác:  2( x  y )  xy  3( x  y )  ( x  y ) �3( x  y ) P � x  y  � �x  y  � � �2 �� �x  y  xy  �x   y  � � � x � Vậy GTNN P = � � � x � � 2 ;y 2 ;y 2 3 Bài 58: Cho số thực x, y, z thỏa mãn: x  y  z  Tìm GTLN biểu thức A  xy  yz  zx HD: 60 Từ giả thiết: x  y  z  � z   x  y � A  xy  y (4  x  y )  x(4  x  y )  2 x  y  xy  x  y � A  4 x  y  xy  x  y  4 x  x( y  2)  ( y  2)  ( y  2)  y  y  (2 x  y  2)  3( y  16 16 y)   (2 x  y  2)  3( y  )  � 3 3 16 � x � � �� �z �y  � A  Bài 59: Cho số thực x, y, z thỏa mãn: x + y + z = Tìm GTLN A  xy  yz  3xz HD: Từ giả thiết � z   x  y � A  xy  z (2 y  3x)  xy  (6  x  y )(2 y  3x)  3x  y  xy  18x  12 y � A  9 x  y 12 xy  54 x  36 y  9 x  x(2 y  9)  y 36 y  (3 x  y  9)2  y  81 �81 ��� A 27 3x  y   � � �y  �x  � �y  z Bài 60: Cho số thực x, y thỏa mãn: x  xy  7( x  y )  y  10  Tìm GTNN A  x  y  HD: Từ giả thiết x  xy  7( x  y)  y  10  � x  xy  28 x  28 y  y  40  � (2 x  y  7)  y  � (2 x  y  7) �9 � x  y  �3 � 3 �2 x  y  �3 � 5 �x  y �2 � 2 �A �1 A  � x  2; y  A  2 � x  5; y  Bài 61: Tìm GTLN, GTNN S  ab  2009 , với a, b, hai số thực khác 2a  b2  4 a2 HD: Ta có: b2  a    a   ab  ab  a b  (a  )  (a  )  ab  a �ab  a  ab 2 �S 2011 � a 0 � � a � b � a 0 � 61 a  1; b  2 � �� a  1; b  � a b (a  )2 � (a )2 ab Ta lại có: �� ab ab S 2007 � a 0 � � a � b � a 0 � a  1; b  2 � � a  1; b  � Vậy GTNN S = 2007 � (a, b)  (�1; �2) Bài 62: Cho số thực m, n, p thỏa mãn: n  np  p   3m Tìm GTNN, GTLN A mn p HD: Theo giả thiết có: 3m n  np  p   2 � 2n  2np  p  3m2  2 � m  n  p  2mn  2np  2mp  m  2mn  n  m  2np  p  � ( m  n  p )  ( m  n)  ( m  p )  � (m  n  p )2 �2 �  �m  n  p � �  �m  n  p � � mn  �  A � � m p  � mn p � m  n  p   � � mn 0 � A � � m p 0 �mn p � mn p  � Bài 63: Cho x, y, z số thực thỏa mãn : x  y  z  Tìm GTLN, GTNN A  x  y  z HD: Từ x  y  z  � x  y  z  18 � ( x  y  z )2  ( x  y )2  (2 x  z )  (2 y  z )  18 � x  y  z �18 � 3 �A �3 �x  y  �  � 2x  z  � �x  y  A  3 � � �� 2y  z  � �z   � � �x  y  z  A3 � x y ;z  2 2 2 Bài 64: Cho số thực m, n, p thỏa mãn: 2m  2n 4 p  3mn  mp  2np  (1) 62 Tìm GTLN, GTNN biểu thức: A mn p HD: (1) � 4m  4n  p  6mn  2mp  4np  � 3( m  n  p  2mn  np  pm)  ( m  4mp  p )  (n  2np  p )  � 3( m  n  p)  ( m  p )  (n  p )  � 3(m  n  p) �3 � 1 �m  n  p �1 m2p  � 1 1 � A  1 � � n p 0 � m  ;n  p  � m  n  p  1 � m2p  � 1 � A 1� � n p 0 � m  ;n  p  � m  n  p 1 � Bài 65: Cho x + y + z = 3; A  x  y  z ; B  xy  yz  zx a)Tìm GTNN A b)Tìm GTLN B c)Tìm GTNN A + B HD: ( x  y  z)2  2 �x  y  z  2( xy  yz  zx)  a � � 2 �x  y  z �xy  yz  zx �  x  y  z  2( xy  yz  zx) �3( x  y  z )  ۣ 9�ۣ 3A  A x y z  ( x  y  z )  2( xy  yz  zx) �3( xy  yz  zx)  3B b B � x  y  z 1 �A  B  � A  B   B �6 � x  y  z  �B �3 c Có: � Bài 66: Cho a, b, c � 1; 2 thỏa mãn: a  b  c  Tìm GTLN P  a  b  c HD: x 2��� ( x 1)( x Với x � 1, 2 , ta có: x �1;��  2) x2 x x2 x Áp dụng : P  a  b  c �a   b   c   a  b  c   � (a, b, c )  (1, 1, 2) � GTLN  Bài 67: Cho a, b, c � 1; 2 thỏa mãn a  b  c  Tìm GTLN P  a  b  c HD: Ta có : (a  1)(b  1)(c  1) �0 � abc  ab  bc  ca  a  b  c  �0 63 (2  a)(2  b)(2  c) �0 �  4(a  b  c)  2(ab  bc  ca)  abc �0 � 3( ab  bc  ca)   3( a  b  c) �0 � 3( ab  bc  ca ) �6 � ab  bc  ca �2 � P  (a  b  c)  2(ab  bc  ca )   2(ab  bc  ca ) �5 Dấu ‘ = ’’ xảy � (a, b, c)  ( 1, 0, 2) � maxP=5 Dạng : Sử dụng bất đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối Phương pháp giải : � �A۳ A �A - A A Định nghĩa: � A Tính chất A  R +) �� A 0; A , y R�۳x y +) x�� A x y xy +) x, y �R � x  y �x  y � ( x  y ) y �0 Bài 1: Tìm GTNN biểu thức sau a A  x   x  b B  x   x   x  c C  x   x   x   x  d D  x   x   x   x  e E  x   x   x   x   x   x  HD : A  x   x   x    x �x    x   a � A � 4 ۣ �  x ( x 3)(7 x) b B  x   x   x   x x �� x  � x 2(1)� ( x 1)(3 x) Ta có : B � 0� � x 2(2) Mà : x � C x x c C  x   x   x   x  Ta có : �=�  C =4 x � �1 x 3� x x x � �2 x 4� x C 4 x x x 3; 2 x 4 d D  x   x   x   x  Áp dụng bất đẳng thức M �M M �R Ta có : D  x   x    x   x �x   x    x   x  22x �R �x  �0 �x �5 �x  �0 �x �2 � � � D  22 � � �� � 2 �x �7  x � x � � � � �  x � � �x �8 64 e E  x   x   x   x   x   x  E  x 1   x    x   x   x   x  �� E � x 1�� x  x x x x x R E x Bài 2: Cho số thực x Tìm GTNN biểu thức sau a A  x   x   x  b B  x   x   x   x   x  HD : a A  x   x   x   x   x   x  �x    x �x    x  8x �R �x  �0 �x �3 � � Dấu ‘ = ’ � �x   � �x  � x  � �x �5  x �0 � � b B  x   x   x   x   x   x   x   x    x   x �x   x    x   x �x   x    x   x  6x �R � x  Bài 3: Cho số thực x Tìm GTLN biểu thức sau a A  x   x  b B  x   x   x  HD : a A  x   x  Áp dụng bất đẳng thức : x  y �x  y x, y �R � y ( x  y ) �0 A  x �  x �� x 5� ( x 2)�۳7 x R max A ( x 2)( x x 2) x b B  x   x   x   x �  � B x x x x �x   �� ( x  4)( x   x  4) �0 Vì � �x  �� � x5 �x �4 Bài : Cho số thực x Tìm GTNN A  x   x   x   x  HD : Đặt t  x  2(t �0) � t  x  � x  t  � A  t  2t   t  6t   (t  1)  (t  3) ���  t 1� t t t t  �0 �   t ����  t �0 � 1� x 3 x 11 Bài 5:Cho số thực x Tìm GTNN biểu thức sau a A  x   x   x   x  ( x �5) b B  x  x   x   x   x   x  1( x �1) HD : t  x  5(t �0) a Đặt � x  t  � A  (t  1)2  (2  t )  t    t  t    t �t    t  65 A �� � t� 0 b Đặt � t  2�  x� 5 x t  x  1(t �0) � x  t  � A  (t  1)2  (t  2)  (t  3)  t   t    t �t    t �t    t  t  �0 � � �� t2 � t �3 � �t2 � x 1  � x5 � A  � x  Bài 6:Tìm GTNN A  x   x   2012 HD : Ta có A  x   x   2012  x    x  2012 ۳x Lại có : x � x x � 2  x -x  A Mà �-� x x 2012 x x 2012 2017 Vậy MinA  2017 � 3 �x �2 Bài 7:Tìm GTNN A  x   x   x   HD : Ta có A  x   x   x    x   x    x  x  �0 � x  1; Lại có     x � ۳x x -�x 4 x x 3;  A x x Vậy MinA  � x  Bài 8:Tìm GTNN A  x  a1  x  a2   x  an  2017  a1  a2   an  HD : Trường hợp n  2k � A  x  a1  x  a2   x  ak  ak 1  x  ak   x   a2 k  x  2017 -� ۳xai�-  x i 1, k ; ak 1 x Ta có x    A x a1 x a2 x ak +a2 + �   a1  ak  2017 ak ak 1 x ak  ak  j x x x a2 k ak  j j 1, k x 2017  ak 1 ak  a2 k  x ak 1 Trường hợp: n  2k  � A  x  a1  x  a2   x  ak  x  ak 1  ak   x  ak 3  x   a2 k  x  2017 - �� ak 1 0�-  x ak 1; ak  j x Ta có: x  ak 1 x ۳xa�  x a i 1, k ; ak  j x Lại có x -� i x ak  j ak  j j 1, k x x ak  j j 1, k � A  x  a1  x  a2   x  ak   ak   x   a2 k 1  x  2017   ak 2  ak 3   a2 k 1   66  a1  a2  ak   2017 � MinB   ak 2  ak 3   a2 k 1    a1  a2  ak   2017 � x  ak 1 Bài 9:Tìm GTNN A  x   x   x  HD : Ta có A  x   x   x   x  Mặt khác x ��0�x۳ 3 ;3 x 5 3  x   2x   x 1 5 � 3� �x � x � 5� � 3� 2�x������������� 2x x  -B 0 � � x Lại có -������ � 2x � 5� 3 29 MinB 29 x 3 Bài 10:Tìm GTNN A  x   x   x   15 HD : Ta có MinA  1 � x 5 Bài 11:Tìm GTNN A  x   x   x   x  HD : 4 � Ta có MinA = x Bài 12:Tìm GTNN A   x  1  x   2 HD : Ta có Min A  1 1 � x  hay x  4 Bài 13:Tìm GTNN A  x   x   x    x  1998 HD : Ta có Min A = 9992 � 999 x 1000 hay x  1 Bài 14:Tìm GTNN A  x   x   x 11  HD : Ta có Min A  11   11   � x  1 hay x  11 Bài 15:Tìm GTNN A  x   x   x  2017 HD : Ta có Min A  1 2018   1 �x hay x  2 67 ... ( x  1) ( x  1) x  ( x  1) y x ? ?1 1 1? ?? � � A  ? ?1  y  11 y   (11 y  y  1)   � 11 ( y  y    � 22 22 22 11 � � 43 � 43 43 ? ?1 �  � 11 ( y  )  �  11 ( y  ) � � y � x   21 22... x  1)    �4 � x  2 x ? ?1 x ? ?1 x ? ?1 4x 4x2   4x2 ? ?1  4x (2 x  1)    ? ?1 � x  2 4x ? ?1 4x ? ?1 4x ? ?1 4x (4 x  1)  (4 x  x  1) (2 x  1) ? ?1     �? ?1 � x  2 4x ? ?1 4x ? ?1 4x ? ?1 26 Bài... ( x  1)  ( x  1) 2  ( x  1) �0 � ( x  1) 2  �2 1  ( x  1)  2 Có: � A  3  2 � Amax  � x  ? ?1 b B  Đặt  x  x  11  x  x   x   11 ( x  1)  ( x  1)  11 11    ? ?1   2