Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 67 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
CHUYÊN ĐỀ TÌM MIN, MAX CỦA BIỂU THỨC I.LÝ THUYẾT Định nghĩa Cho biểu thức A x; y; z Khi số M giá trị lớn (GTLN) A x; y; z thỏa mãn hai điều kiện sau: Với x; y; z mà A x; y; z xác định mà A x; y; z �M Tồn số x; y; z cho A x; y; z M Cho biểu thức A x; y; z Khi số N giá trị nhỏ (GTNN) A x; y; z thỏa mãn hai điều kiện sau: Với x; y; z mà A x; y; z xác định mà A x; y; z �N Tồn số x; y; z cho A x; y; z N II LUYỆN TẬP Dạng 1: ĐA THỨC BẬC ĐƠN GIẢN Phương pháp giải: Áp dụng đẳng thức số số Bài 1: Tìm GTNN của: A( x) x x 24 HD: A( x) x x 24 ( x 2) 20 �20x � A( x) 20 � x Bài 2: Tìm GTNN của: B( x) x x HD: B( x) x x 2( x x 4) 2( x x 4) 2( x 2) �7 � B(x) 7 � x Bài 3: Tìm GTNN của: C ( x) 3x x HD: 1 13 13 13 C ( x ) x x 3( x x ) 3( x ) � 36 12 12 12 Bài 4: Tìm GTLN của: A( x) 5 x x HD: A( x) 5 x x 5( x 4 9 x ) 5( x x ) 5( x ) � 5 25 5 5 Bài 5: Tìm GTLN của: B( x) 3x x HD: 1 13 13 13 B( x) 3 x x 3( x x ) 3( x ) � 36 12 12 12 Bài 6: Tìm GTNN : A x x 3x HD: 2 Đặt: 3x t t x x E t 4t Bài 7: Tìm GTLN của: A x 1 3x x 11 2 HD: � 17 � 9 A 4x 4x 1 9x 12x 4 x 11 5x 17x 14 5�x � � � 10 � 20 20 2 Bài 8: Tìm của: A x 3 x 1 2 HD: A x2 6x 9 x2 2x 1 2x2 8x 10 2 x 2 �2 Bài 9: Tìm của: B x 1 x x 3 2 HD: B x2 2x x2 4x x2 6x x2 8x 22 x 4 38 �38 2 Bài 10: Tìm Min của: P x x HD: TH1: x � P 5x2 6x TH2: x P 5x2 6x Dạng 2: ĐA THỨC BẬC ĐƠN GIẢN Phương pháp giải: Phân tích thành biểu thức tương đồng để đặt ẩn phụ Sử dụng phương pháp nhóm hợp lý làm xuất nhân tử để đặt ẩn phụ Sử dụng đẳng thức a �b , a b c 2 Dạng 2.1: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e Bài 1: Tìm GTNN của: C x x3 x 20 x 22 HD: C x x3 x x x C x x x x x ( x 2)2 ( x 5) Bài 2: Tìm của: I x x3 11x 12 x 20 HD: I x4 6x3 11x2 12x 20 x2 x2 6x 2x2 12x 20 I x2 x 3 x2 6x x2 x 3 2 x 3 �2 2 Bài 3: Tìm GTNN của: A( x) x x3 10 x x HD: A( x) x x 10 x x ( x x x ) ( x x 9) ( x x) ( x 3) �0x �x 3x � A( x) � � � x3 �x Bài 4: Tìm GTNN của: B( x) x 10 x 26 x 10 x 30 HD: �x x B( x) x 10 x 26 x 10 x 30 ( x x) ( x 5) �5 � � � x5 �x Bài 5: Tìm GTNN của: C ( x) x x x x 2017 HD: C ( x) x ( x 2) x( x 2) ( x 2) 2015 ( x 2)( x 1) 2015 �2015 � x Bài 6: Tìm GTNN của: D( x) x x x HD: D( x) x x x x D( x) ( x 1) ( x 1) ( x 1) [( x 1) 1] �5 � x 1 Bài 7: Tìm GTNN biểu thức: A a 2a 4a HD: A a a 2a a a = a a 2a 1 �3 dấu a=1 Dạng 2.2: (x+a)4 +( x+b)4 + Bài 1: Tìm GTNN của: D x x 4 HD: Đặt: x y D y 1 y 1 y 12 y �0 �2 4 Bài 2: Tìm của: A x x 4 HD: A x2 4x x2 4x 2[(x2 4)2 16x2] 2(x4 24x2) 32 �32 Bài 3: Tìm max của: F x 1 x 4 HD: Đặt x t F 3 t 3 3 t 3 F t2 6t t2 6t F 6[(t2 9)2 36t2 ] F 6t4 324t2 484 t4 54t2 484 Suy ra: F 6 t 54t 484 �484 Bài 4: Tìm của: G x 3 x 4 HD: 2 t Đặt x t G t 5 t 5 t2 10t 25 t2 10t 25 4 G 2t4 300t2 1250 t4 2.75t2 5625 104 2 75 104 �104 Dạng 2.3: x(x+a)( x+b)(x +c) + … Bài 1: Tìm GTNN của: A x x 3 x x HD: A x x 7 x 3 x 4 x2 7x x2 7x 12 , Đặt x2 7x t Khi đó: A t 6 t 6 t 36 �36 � x1 2 Dấu “ = ” t x 7x � x � Vậy Min A= - 36 x=1 x=6 Bài 2: Tìm GTNN của: B x 1 x 3 x x 5 HD: B x2 4x x2 4x , Đặt x2 4x t Khi đó: B t 1 t 1 t2 1�1 , Dấu “ = “ t2 x2 4x x Bài 3: Tìm của: A x x x x HD: A x x 6 x 2 x 4 x2 6x x2 6x , Đặt x2 6x t Khi đó: A t 4 t 4 t2 16 t2 �8 , Dấu “ = “ Khi đó: � x 3 t2 x2 6x � � x 3 � Bài 4: Tìm GTNN của: B x 1 x x 3 x HD: B x 1 x 4 x 2 x 3 x2 5x x2 5x , Đặt x2 5x t , Khi đó: B t 1 t 1 t2 1�1 , Dấu “ = “ t2 x2 5x x 5� 2 Bài 5: Tìm GTNN của: A x x x x HD: Đặt x2 x t Khi đó: A t 4 t 4 t 16 �16 � x1 Dấu “ = “ xảy khi: t x x � x 2 � Bài 6: Tìm GTNN : C x 1 x x 3 x HD: C x 1 x 6 x 2 x 3 x2 5x x2 5x , Đặt x2 5x t Khi đó: � x x 5 � C t 6 t 6 t2 36 �36 , Dấu “ = “ t x2 5x � Bài 7: Tìm GTNN của: D x 1 x x 3 x 1 HD: D 2x 1 x 3 x 2 2x 1 2x2 5x 2x2 5x , Đặt 2x2 5x t , Khi đó: � � 25 25 D t 3 t 2 t t � t � � � 2� Dấu “ = “ khi: t 1 5 � 29 2x2 5x x 2 Bài 8: Tìm của: C x 1 x x 3 x 2011 HD: C x 1 x 4 x 2 x 3 2011 x2 5x x2 5x 2011 , Đặt x2 5x t Khi đó: C t 1 t 1 2011 x2 5x x 5� Bài 9: Tìm max của: E x x x 3 x HD: E 5 x 1 x 6 x 2 x 3 x2 5x x2 5x , đặt x2 5x t 2 Khi đó: E t 6 t 6 t 36 t 41 �41 � x x 5 � 2 Dấu “ = “ Khi t x 5x � Bài 10: Tìm GTNN của: M x 1 x x x HD: M x 1 x 6 x 2 x 3 x2 5x x2 5x , Đặt x2 5x t � x x 5 � 2 Khi đó: M t 6 t 6 t 36 �36 , Dấu “ = ” t x 5x � Bài 11: Tìm của: D x 1 x x 5 2014 HD: D x 1 x 2 x 2 x 5 2014 x2 3x 10 x2 3x 2014 , Đặt x2 3x t Khi đó: D t 6 t 6 2014 t 1978 � x1 x 4 � 2 Dấu “= “ xảy khi: t x 3x � Bài 12: Tìm GTNN của: G ( x) ( x 1)( x 2)( x 3)( x 6) 2006 HD: x0 � G ( x) ( x x 6)( x x 6) 2006 ( x x) 2042 �2042 � � x 5 � Bài 13: Tìm số nguyên m lớn cho BĐT với x: x 1 x x 3 �m HD: VT x 1 x 3 x 2 x2 4x x2 4x , Đặt x2 4x t , Khi đó: 2 49 49 � � 1 VT t 3 t 4 t 7t 12 t 2.t 12 � t � � 1 4 � 2� 4 2 Bài 14: Tìm số nguyên m lớn cho BĐT với x: ( x 2) x 3 x x �m Dạng 3: NHĨM ĐƯA VỀ TỔNG BÌNH PHƯƠNG Phương pháp giải: Sử dụng biến dổi đưa đẳng thức a �b , a b c 2 Chú ý biến đổi thành nhiều ngoặc điều kiện dấu “ = ” xảy bị ràng buộc nhiều Dạng 3.1: đưa HĐT a �b Bài 1: Tìm của: I x xy y y 11 HD: I x2 4xy 4y2 y2 6y 11 Bài 2: Tìm của: M x xy y y HD: M x2 2xy y2 y2 2y Bài 3: Tìm của: R x y xy y HD: R x2 2y2 2xy 2y x2 2xy y2 y2 2y 1 x y y 1 1�1 2 Bài 4: Tìm của: A x y xy 16 y 32 HD: A 4x2 5y2 4xy 16y 32 A 4x2 4xy y2 4y2 16y 32 A (2x y)2 4(y 2)2 16 �16 Bài 5: Tìm của: B x y z xy yz z 12 HD: B x2 4xy 4y2 y2 4yz 4z2 z2 4z x 2y y 2z z 2 �8 2 Bài 6: Tìm của: C x 12 xy y x HD: C 4x2 2.2x.3y 9y2 x2 4x 2x 3y x 2 �0 2 Bài 7: Tìm của: E x y xy y HD: E x2 4xy 4y2 y2 2y 1 x 2y y 1 �4 2 Bài 8: CMR khơng có giá trị x, y, z thỏa mãn: x y z x y z 15 HD : x 2x 1 4y 8y 4 z 6z 9 1�1 2 Bài 9: Tìm của: A x y xy x HD : A x2 2xy y2 x2 2x 1 x y x 1 �2 2 Bài 10: Tìm max của: B x y xy x HD: B 5x2 y2 4xy 2x y2 2.y.2x 4x2 x2 2x 1 y 2x x 1 �3 2 B 2x y x 1 �3 2 Bài 11: Tìm GTNN của: A x2 2xy 2y2 4y HD: Ta có: A x2 2xy y2 y2 4y x y y 2 2 Do: x y �0, y 2 �0 , Nên A x y y 2 1�1 2 2 Bài 12: Tìm của: B x y xy x 2028 HD: B x2 2xy y2 x2 8x 16 2012 Bài 13: Tìm GTNN biểu thức : A x y xy y HD: Ta có A( x ) x y xy y x xy y y y x y y �� A 1�� x, y R " " �x y � �y x y 2 Vậy A � x y Bài 14: Tìm GTNN biểu thức : B x y y HD: B x y y x xy y x xy y y x y x y �5 2 �x y �x y0 � �x y Bài 15: Tìm GTNN biểu thức : A( x ) x y xy x HD: A( x) x y xy x ( x xy y ) ( x x 1) ( x y ) ( x 1) �2 � x y 1 Bài 16: Tìm GTNN biểu thức : D( x) x y z 2( x y z ) HD: D( x) x y z 2( x y z ) 2( x x) (3 y y ) (4 z z ) 2 � 1� 1 2( x x ) 3( y y ) � (2 z ) z � � 4� 1 11 11 1 2( x ) 3( y ) (2 z ) � � ( x, y, z ) ( ; ; ) 2 2 Bài 17: Tìm GTNN biểu thức : A 4 x y 8 xy 10 y 12 HD: A 4 x y 8 xy 10 y 12 4 x xy y y 10 y 25 37 4( x y )2 ( y 5) 37 �37 �x �� �y Bài 18: Tìm GTLN biểu thức : A x y z ( x y z ) HD: 2 A �� ( x ) 2( y ) (2 z ) 4 7 16 7 16 A 16 x ;y ;z Bài 19: Tìm của: A x y x 32 y 2018 HD: A x2 4x 4y2 32y 64 1950 x 2 4 y 4 1950 �1950 2 Bài 20: Tìm của: A x y x y HD: 2 � 2� � � � � � � 19 19 A 3x 4x y y 3�x2 2.x � �y2 2.y � 3�x � �y � � 3� � � � � � � 12 12 � Bài 21: Tìm của: B x y xy 12 x 18 HD: B 4x2 12x x2 2xy y2 18 2x 3 x y 27 �27 2 Bài 22: Tìm max của: B 3x 16 y xy x HD: � 5� 41 � � � x 4y 2�x � B � x xy 16 y x x � �� � � 4� 2 2 � � 41 41 B x 4y 2�x � � � 4� 8 Bài 23: Tìm max : N x y x y HD: N x2 4y2 6x 8y x2 6x 4y2 8y 16 N x 3 4 y 1 16 N x 3 4 y 1 16 �16 2 2 Bài 24: Tìm max của: P 3x y x y 23 HD: P 3x2 5y2 2x 7y 23 3x2 2x 5y2 7y 23 2 2 � � � � 1213 � 1� � � 1213 1213 P 3�x � 5�y � � => P 3�x � 5�y � 60 � 3� � 10 � 60 � 3� � 10 � 60 Bài 25: Tìm max của: R 7 x y xy 18 x HD: R 7x2 4y2 8xy 18x 4y2 8xy 4x2 3x2 18x 2 x y 3 x 3 36 2 R 2 x y 3 x 3 36 �36 2 Dạng 3.2: đưa HĐT a b c ; a �b mc 2 Bài 1: Tìm GTNN của: A x xy y x 10 y 17 HD: 2 2y2 10y 17 y 1 � A x2 2x y 1 2y2 10y 17 x2 2x y 1 y 1 � � � A x y 1 y2 8y 16 x y 1 y 4 �0 2 Bài 2: Tìm của: B x xy y x y HD: �2 y y2 4y 4� y2 B x2 x y 2 y2 2y � x 2.x y y y � 4 � � 4B 2x y 2 3y2 12y 2x y 2 3(y2 4y 4) 16 2 4B 2x y 2 3(y 2)2 16 �16 B Bài 3: Tìm của: C x xy y 3x y HD: �2 y y2 6y 9� y2 6y C x2 x y 3 y2 3y � x 2.x � y 3y 4 � � 4C 2x y 3 � 4y2 12y y2 6y 9� � � 4C 2x y 3 � 3y2 6y 3� � � 12 4C 2x y 3 3(y 1)2 12 �12 C Bài 4: Tìm của: D x xy y 12 x y 45 HD: D x2 2x y 6 6y2 2y 45 x2 2x. y 6 y 6 6y2 2y 45 y2 12y 36 x y 6 5y2 10y Bài 5: Tìm của: E x xy y x 10 y 20 HD: E x2 x y 2 3y2 10y 20 x2 2x y y2 4y y2 4y 3y2 10y 20 4 4E x y 2 12y2 40y 80 y2 4y x y 2 11y2 36y 76 2 Bài 6: Tìm max của: F x xy y x 10 y HD: F x2 2xy 4y2 2x 10y x2 2x y 1 4y2 10y F x2 2x y 1 y 1 4y2 10y 3 y 1 (x y 1)2 3(y 2)2 10 2 Bài 7: Tìm của: G x ay x ay x 16 y 8ay x y 10 HD: G� x2 2x 16y2 8ay 8y �x ay 6 x ay 9� � G x ay 3 x 1 16y2 8y a 1 a 1 a 1 2 G x ay 3 x 1 4y a 1 a 1 � a 1 2 2 2 Bài 8: Tìm max của: H x xy y x y 11 HD: H x2 xy y2 2x 4y 11 x2 x y 2 y2 4y 11 y 2 y y2 4y H x 2x y 4y 11 4 2 4H x y 2 4y2 16y 44 y2 4y Bài 9: Tìm của: K x y xy 3x y 20 HD: 10 HD: 2 � �2 � �2 y � 1� � y� x x xy xy Từ gt ta có : => �x � �x � xy � � �� � x �� � � x� � 2� => xy �4 xy �2 Bài 11: Cho hai số thực a,b �0, thỏa mãn: 2a b2 , Tìm min, max của: S ab 2017 a2 HD: 2 � �2 � �2 b � 1� � b� a a ab � ab �a � �a � ab Từ gt ta có : � �� � a �� � a� � 2� � => ab �4 ab 2017 �2019 S �2019 2 � �2 � �2 b � 1� � b� Mặt khác : �a � �a ab � ab �a � �a � ab � a �� � a� � 2� � => ab �4 ab �2 ab 2017 �2015 => S �2015 Bài 12: Cho hai số x,y khác thỏa mãn: x y2 , Tìm min, max của: A xy 2024 x2 HD: Từ gt ta có : x 2 � y2 16 y �2 16 � �2 y 16 x x x xy � xy � �� 2 x x � x �� � � 4� � y� => �x � �x � xy xy �16 xy �8 A xy 2024 �2016 � x� � 2� 2 � �2 16 � �2 y � 4� � y � Mặt khác : 16 �x � �x xy � xy �x � �x � xy � x �� � x� � 2� � => xy �16 xy �8 S xy 2024 �2032 2 Bài 13: Cho x,y �R khác biết: x y , Tìm x,y để B x y đạt đạt max 4x2 HD: 2 Ta có : x y � � = �2 x 1 � � � x � x y xy xy 2 4x � 4x � � � x y xy xy �4 B xy � 2x � � � � � 1 Mặt khác : �2 x � x y xy 4 xy �4 B xy � 2x 2 2 Bài 14: Cho x,y >0 thỏa mãn: x+y =1, Tìm của: A x y y 3x 25 xy HD: 3 2 3 Ta có : A 16( xy ) 12 x 12 y xy 25 xy x y 12 x y 34 xy 3 2 Vì x+y =1 nên x y x y x xy y x y 3xy 3xy , thay vào A A x y 12 xy 34 xy , Đặt xy=t : A 6t 2t 12 53 Bài 15: Cho x, y số thực thỏa mãn: x y 1Tìm biểu thức: C x2 4y y2 4x 8xy HD: 2 2 3 2 3 Ta có : C x 4y y 4x 8xy x y 4x 4y 16xy 8xy x y x y 24xy Do x y 1 x3 y3 x y 3xy x y 1 3xy Thay vào C ta : C x2y2 4 1 3xy 24xy x2y2 12xy x2y2 2xy.6 36 32 xy 6 32 �32 �x y �x �x 2 � MinC 32 , Dấu = xảy � � �xy 6 �y 2 �y Bài 16: Cho x,y hai số thực thỏa mãn: x+ 2y =3 tìm của: A x y HD: Từ gt ta có : x y thay vào A y y y 12 y Bài 17: Cho x,y hai số thực thỏa mãn: x y xy , Tìm max của: A x y HD: Ta có : x y xy x y xy x y x y => x y �8 hay A �8 mặt khác : x y xy x y xy 3x y x y �8 8 2 => x y � hay A � Bài 18: Cho x,y thỏa mãn: x+ y =2, Tìm của: A x y xy HD: Từ gt ta có : y x thay vào A ta : A x3 x x x Bài 19: Cho số thực x,y thỏa mãn: x y , Tìm max của: A x y x y 10 xy HD: Ta có : x y 4 , nên x3 y x y 3xy x y 64 12 xy , x y x y xy 16 xy thay vào A 64 12 xy 16 xy 10 xy Bài 20: Cho x, y, z � R, thỏa mãn: x y z , Tìm max của: A xy yz zx HD: Từ giả thiết=> z x y thay vào A ta : A xy y x y x x y 2 x y xy x y Bài 21: Cho x,y,z � R thỏa mãn: x y z Tìm max của: A xy yz 3zx HD: Từ gt => z x y thay vào A xy y x y 3x x y 2 Bài 22: Cho x,y � R thỏa mãn: x xy x y y 10 , Tìm max của: S x y 3 54 HD: Từ gt ta có : x xy x y y 10 7� y � y 7 (2 y 7) � => x x � y y 10 => �x y � y � � 2� 4 � � � => �x y � 5 �x y �2 => 2 �x y �1 2 2 2 Bài 23: Cho số thực m,n,p thỏa mãn: n np p 3m , Tìm min, max của: A m n p HD: Từ gt ta có : 2n 2np p 3m 3m 2n2 p 2np 2 2 2 => (m n p 2mn 2np 2mp ) 2m n p 2mn 2mp => m n p m p m n �2 => �m n p � 2 2 Bài 24: Cho x,y,z số thực thỏa mãn: x y z , Tìm min, max của: P x y z HD: Ta có : P x y z x y z xy yz xz , nên ta nhân vào gt : 18 x y z x y z xy yz zx 5x y z xy yz zx 18 x y z x y x z y z => x y z �18 2 2 18 �x y z � 18 2 Bài 25: Cho số thực m, n, p thỏa mãn: 2m 2n p 3mn mp 2np , Tìm max của: B m n p HD: Từ gt ta có : 4m 4n p 6mn 2mp 4np 2 2 2 => m n p 2mn 2mp 2np m n p 4mp 2np => m n p p m n p => m n p �3 1 �m n p �1 2 2 Bài 26: Cho x,y,z thỏa mãn: x y z , Tìm max của: A xy yz zx HD: Từ gt=> z x y thay vào A xy y x y x x y = x y xy 3x y Bài 27: Cho x,y,z thỏa mãn: x+y+z =3, Tìm max của: B xy yz zx HD: Từ gt ta có : z x y => B xy y x y x x y =>B= 4 x y 16 xy y 12 x Bài 28: Cho số thực x,y,z thỏa mãn: x y z , Tìm max A xy yz zx HD: Từ gt=> z x y thay vào A xy y x y x x y Bài 29: Cho số thực x,y,z thỏa mãn: x y z , Tìm max của: B 12 xy yz zx 55 HD: Từ gt ta có : z x y thay vào B 12 xy y x y x x y 3 Bài 30: Cho hai số thực x,y thỏa mãn: x y 2 , tìm của: A x y 15 xy HD: Từ x + y= -2, ta có : x3 y x y 3xy x y 8 xy thay vào A 8 xy 15 xy 3 xy y= - - x thay vào A 3 x 2 x Bài 31: Cho hai số thực x,y thỏa mãn: x y 2 , Tìm B x y x y x y xy x y 13xy HD: B x y x y x y xy x y 13xy x y xy x y Từ x+y= - 2, ta có: x y � x y xy � � � 2 x y xy , x y xy , Thay vào b ta : B xy x y xy x y xy xy 13 xy B xy 24 , thay y 2 x B x x 3 2 Bài 32: Cho hai số thực x,y thỏa mãn: x y , Tìm max của: A x y x y xy HD: Vì x y nên x y 125 15 xy x y 25 xy thay vào A 125 15 xy 25 xy xy Bài 33: Cho hai số x,y thỏa mãn: x+y =5, 4 3 2 2 Tìm max của: B x y x y 20 x y x y xy HD: B x y x3 y 20 x y x y xy Vì x+y=5 nên x y 25 xy x2 y , x y 125 15 xy , x y 25 xy B 25 xy x y 125 15 xy 20 25 xy x y xy 4 Bài 34: Cho hai số x,y thỏa mãn: x y xy xy , Tìm max của: P xy HD: Từ gt=> x y 3xy x y => x 2x y y 2 4x y 3xy x y 2 2 2 � 121 � � 121 � � xy � => �2 xy �� � 16 � 16 � � Bài 35: Cho số thực x,y thỏa mãn: x y 12 xy x y 15 , Tìm max của: A 2x 3y HD: Từ gt=> x y 2.2 x.3 y 2.2 x 2.3 y 3x 16 => x y 1 x 16 2 56 Bài 36: Cho số thực x,y,z thỏa mãn: x y z xy xz yz , Tìm max của: P x y HD: 2 2 Từ gt ta có: x y xy x y z xy xz yz 2 2 => x y x y z xy yz zx z xz x => x y �5 �x y � Bài 37: Cho số x, y, z thỏa mãn: x y z Tìm max của: p x y z HD: Từ gt ta có: y x z => y x z x 12 xz z : P 10 x z 12 xz x z Bài 38: Cho số x, y, z thỏa mãn: x+y+z=1, Tìm max của: A xy yz zx HD: Từ gt => z x y thay vào A xy y x y x x y Bài 39: Cho x, y �R, thỏa mãn: x+2y=1, Tìm max của: P = x.y HD: Từ gt=> x y thay vào P y y Bài 40: Cho x,y �0, x+y=1, Tìm min, max của: A x y HD: Từ gt=> y x thay vào A x x 2 2 Bài 41: Tìm max của: P x y z , biết: y z yz x HD: Từ gt => y z yz 3x 3x y z yz 2 2 2 => x y z xy yz zx x y z xy zx => x y z x y x z x y z �2 2 2 Bài 42: Cho x y xy 10 x 14 y 18 , Tìm min, max của: S x y HD: Từ gt=> x x y 5 y y 14 y 18 y 10 y 25 2 => x y 5 y y 1 x y �9 => 3 �x y �3 2 Bài 43: Cho a,b,c không âm thỏa mãn: 3a+2c=51 c+5b=21, Tìm max A=a+b+c HD: Cộng theo vế giả thiết ta : 3a 3c 5b 72 a b c 72 2b �72 72 24 Do b �0 a b c � Bài 44: Cho a,b,c số khơng âm thỏa mãn: 2a+b=6-3c 3a+4b=3c+4, Tìm E 2a 3b 4c 57 HD: � c� � a 3c a �0 � � � � Cộng theo vế ta : a b � � b �0 b 3c 2 � � � c� � Khi đó: E 3c 3c 4c c Bài 45: Cho x, y, z �0, x y 2014,3 x z 3031 , Tìm GTLN biểu thức : A x y z HD: Cộng theo vế gt ta có: x y z 5045 y �5045 y �0 nên x y z �5045 x y z �1009 2 Bài 46: Cho a b ,Tìm max của: A ab a b HD: 2 2 Ta có: a b a b 2ab A ab 2ab 2a b 4ab A a 2b 2ab 1 �2 , Max A Bài 47: Cho x,y thỏa mãn: 11x y 2015 x y 3 , Tìm của: P xy x 2016 HD: Từ gt ta có : 11x y 2015 x y TH1: Ta có : 11x y 2015 y 11x 2015 thay vào P TH2: ta có: x y y x thay vào P Bài 48: Cho số x,y,z thỏa mãn : x y z , Tìm GTLN : B xy yz zx HD: 3 x y � x y Ta có : B xy z x y xy � � � 2 � y � 3 = xy x y x y x y xy 3x y = �x � y 1 �3 � � Bài 49: Cho x xy y , Tìm Min max biểu thức : P x xy y HD : P x xy y Ta có : x xy y Bài 50: Tìm GTNN biểu thức sau thỏa mãn điều kiện : A x3 y xy; x y HD : A ( x y)( x xy y ) xy x y 58 4 2 Có : x y � x y � A (1 y ) y y y 2( y y.2 ) 2( y ) � Dấu ‘ = ’’ xảy x ; y Bài 51: Tìm GTNN biểu thức sau thỏa mãn điều kiện : B x y ; x y HD : x y 1 � y 1 x � B x (1 x) x x 1 6( x x ) 5 6( x ) � � x ; y 6 6 Bài 52: Tìm GTNN biểu thức sau thỏa mãn điều kiện : C x y ; x y HD : C x y y y � C 1 � yx 3 Bài 53: Tìm GTNN biểu thức sau thỏa mãn điều kiện : D x 5 y ; x y HD : 4x 4x � D x 5( ) � D 98 x 280 x 245 2(7 x 10) 45 �45 3 10 3 � D � x ; y 7 4x 3y � y Bài 54: Cho a + b = Tìm GTNN A a(a 2b) b(b a) HD : Có a + b = � b 1 a � A a (a 2b) b(b a ) a 2ab b3 ab a b3 ab a (1 a )3 a (1 a ) 2a a 1 1 1 2(a a ) 2( a ) � a � a b 2 2 Bài 55: Cho số thực x, y thỏa mãn: x + y = Tìm GTNN A x y xy HD : A x3 y xy ( x y )3 xy ( x y ) xy Theo giả thiết 59 x y � y 2 x � A 23 x(2 x) x(2 x) x x 4( x 1)2 �4 �R � x y 1 Bài 56: Cho số thực x, y thỏa mãn : x + y + = Tìm GTLN A 2( x3 y ) 3( x y ) 10 xy HD : Ta có : A 2( x y ) 3( x y ) 10 xy 2( x y )3 xy( x y ) 3( x y ) xy 10 xy 28 xy 80 28 x( 4 x) 80 28( x x 4) 32 � A 28( x 2) 32 �32 � x 2 � y Bài 57: Cho số thực x, y thỏa mãn: x y xy Tìm GTLN, GTNN P x y HD : Ta có: x y xy � x y x y xy x y ( x y ) �x y P �x y � �2 �x y xy � x y �2 x y2 � Vậy GTLN P = -2 � � x y 2 � Mặt khác: 2( x y ) xy 3( x y ) ( x y ) �3( x y ) P � x y � �x y � � �2 �� �x y xy �x y � � � x � Vậy GTNN P = � � � x � � 2 ;y 2 ;y 2 3 Bài 58: Cho số thực x, y, z thỏa mãn: x y z Tìm GTLN biểu thức A xy yz zx HD: 60 Từ giả thiết: x y z � z x y � A xy y (4 x y ) x(4 x y ) 2 x y xy x y � A 4 x y xy x y 4 x x( y 2) ( y 2) ( y 2) y y (2 x y 2) 3( y 16 16 y) (2 x y 2) 3( y ) � 3 3 16 � x � � �� �z �y � A Bài 59: Cho số thực x, y, z thỏa mãn: x + y + z = Tìm GTLN A xy yz 3xz HD: Từ giả thiết � z x y � A xy z (2 y 3x) xy (6 x y )(2 y 3x) 3x y xy 18x 12 y � A 9 x y 12 xy 54 x 36 y 9 x x(2 y 9) y 36 y (3 x y 9)2 y 81 �81 ��� A 27 3x y � � �y �x � �y z Bài 60: Cho số thực x, y thỏa mãn: x xy 7( x y ) y 10 Tìm GTNN A x y HD: Từ giả thiết x xy 7( x y) y 10 � x xy 28 x 28 y y 40 � (2 x y 7) y � (2 x y 7) �9 � x y �3 � 3 �2 x y �3 � 5 �x y �2 � 2 �A �1 A � x 2; y A 2 � x 5; y Bài 61: Tìm GTLN, GTNN S ab 2009 , với a, b, hai số thực khác 2a b2 4 a2 HD: Ta có: b2 a a ab ab a b (a ) (a ) ab a �ab a ab 2 �S 2011 � a 0 � � a � b � a 0 � 61 a 1; b 2 � �� a 1; b � a b (a )2 � (a )2 ab Ta lại có: �� ab ab S 2007 � a 0 � � a � b � a 0 � a 1; b 2 � � a 1; b � Vậy GTNN S = 2007 � (a, b) (�1; �2) Bài 62: Cho số thực m, n, p thỏa mãn: n np p 3m Tìm GTNN, GTLN A mn p HD: Theo giả thiết có: 3m n np p 2 � 2n 2np p 3m2 2 � m n p 2mn 2np 2mp m 2mn n m 2np p � ( m n p ) ( m n) ( m p ) � (m n p )2 �2 � �m n p � � �m n p � � mn � A � � m p � mn p � m n p � � mn 0 � A � � m p 0 �mn p � mn p � Bài 63: Cho x, y, z số thực thỏa mãn : x y z Tìm GTLN, GTNN A x y z HD: Từ x y z � x y z 18 � ( x y z )2 ( x y )2 (2 x z ) (2 y z ) 18 � x y z �18 � 3 �A �3 �x y � � 2x z � �x y A 3 � � �� 2y z � �z � � �x y z A3 � x y ;z 2 2 2 Bài 64: Cho số thực m, n, p thỏa mãn: 2m 2n 4 p 3mn mp 2np (1) 62 Tìm GTLN, GTNN biểu thức: A mn p HD: (1) � 4m 4n p 6mn 2mp 4np � 3( m n p 2mn np pm) ( m 4mp p ) (n 2np p ) � 3( m n p) ( m p ) (n p ) � 3(m n p) �3 � 1 �m n p �1 m2p � 1 1 � A 1 � � n p 0 � m ;n p � m n p 1 � m2p � 1 � A 1� � n p 0 � m ;n p � m n p 1 � Bài 65: Cho x + y + z = 3; A x y z ; B xy yz zx a)Tìm GTNN A b)Tìm GTLN B c)Tìm GTNN A + B HD: ( x y z)2 2 �x y z 2( xy yz zx) a � � 2 �x y z �xy yz zx � x y z 2( xy yz zx) �3( x y z ) ۣ 9�ۣ 3A A x y z ( x y z ) 2( xy yz zx) �3( xy yz zx) 3B b B � x y z 1 �A B � A B B �6 � x y z �B �3 c Có: � Bài 66: Cho a, b, c � 1; 2 thỏa mãn: a b c Tìm GTLN P a b c HD: x 2��� ( x 1)( x Với x � 1, 2 , ta có: x �1;�� 2) x2 x x2 x Áp dụng : P a b c �a b c a b c � (a, b, c ) (1, 1, 2) � GTLN Bài 67: Cho a, b, c � 1; 2 thỏa mãn a b c Tìm GTLN P a b c HD: Ta có : (a 1)(b 1)(c 1) �0 � abc ab bc ca a b c �0 63 (2 a)(2 b)(2 c) �0 � 4(a b c) 2(ab bc ca) abc �0 � 3( ab bc ca) 3( a b c) �0 � 3( ab bc ca ) �6 � ab bc ca �2 � P (a b c) 2(ab bc ca ) 2(ab bc ca ) �5 Dấu ‘ = ’’ xảy � (a, b, c) ( 1, 0, 2) � maxP=5 Dạng : Sử dụng bất đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối Phương pháp giải : � �A۳ A �A - A A Định nghĩa: � A Tính chất A R +) �� A 0; A , y R�۳x y +) x�� A x y xy +) x, y �R � x y �x y � ( x y ) y �0 Bài 1: Tìm GTNN biểu thức sau a A x x b B x x x c C x x x x d D x x x x e E x x x x x x HD : A x x x x �x x a � A � 4 ۣ � x ( x 3)(7 x) b B x x x x x �� x � x 2(1)� ( x 1)(3 x) Ta có : B � 0� � x 2(2) Mà : x � C x x c C x x x x Ta có : �=� C =4 x � �1 x 3� x x x � �2 x 4� x C 4 x x x 3; 2 x 4 d D x x x x Áp dụng bất đẳng thức M �M M �R Ta có : D x x x x �x x x x 22x �R �x �0 �x �5 �x �0 �x �2 � � � D 22 � � �� � 2 �x �7 x � x � � � � � x � � �x �8 64 e E x x x x x x E x 1 x x x x x �� E � x 1�� x x x x x x R E x Bài 2: Cho số thực x Tìm GTNN biểu thức sau a A x x x b B x x x x x HD : a A x x x x x x �x x �x x 8x �R �x �0 �x �3 � � Dấu ‘ = ’ � �x � �x � x � �x �5 x �0 � � b B x x x x x x x x x x �x x x x �x x x x 6x �R � x Bài 3: Cho số thực x Tìm GTLN biểu thức sau a A x x b B x x x HD : a A x x Áp dụng bất đẳng thức : x y �x y x, y �R � y ( x y ) �0 A x � x �� x 5� ( x 2)�۳7 x R max A ( x 2)( x x 2) x b B x x x x � � B x x x x �x �� ( x 4)( x x 4) �0 Vì � �x �� � x5 �x �4 Bài : Cho số thực x Tìm GTNN A x x x x HD : Đặt t x 2(t �0) � t x � x t � A t 2t t 6t (t 1) (t 3) ��� t 1� t t t t �0 � t ���� t �0 � 1� x 3 x 11 Bài 5:Cho số thực x Tìm GTNN biểu thức sau a A x x x x ( x �5) b B x x x x x x 1( x �1) HD : t x 5(t �0) a Đặt � x t � A (t 1)2 (2 t ) t t t t �t t 65 A �� � t� 0 b Đặt � t 2� x� 5 x t x 1(t �0) � x t � A (t 1)2 (t 2) (t 3) t t t �t t �t t t �0 � � �� t2 � t �3 � �t2 � x 1 � x5 � A � x Bài 6:Tìm GTNN A x x 2012 HD : Ta có A x x 2012 x x 2012 ۳x Lại có : x � x x � 2 x -x A Mà �-� x x 2012 x x 2012 2017 Vậy MinA 2017 � 3 �x �2 Bài 7:Tìm GTNN A x x x HD : Ta có A x x x x x x x �0 � x 1; Lại có x � ۳x x -�x 4 x x 3; A x x Vậy MinA � x Bài 8:Tìm GTNN A x a1 x a2 x an 2017 a1 a2 an HD : Trường hợp n 2k � A x a1 x a2 x ak ak 1 x ak x a2 k x 2017 -� ۳xai�- x i 1, k ; ak 1 x Ta có x A x a1 x a2 x ak +a2 + � a1 ak 2017 ak ak 1 x ak ak j x x x a2 k ak j j 1, k x 2017 ak 1 ak a2 k x ak 1 Trường hợp: n 2k � A x a1 x a2 x ak x ak 1 ak x ak 3 x a2 k x 2017 - �� ak 1 0�- x ak 1; ak j x Ta có: x ak 1 x ۳xa� x a i 1, k ; ak j x Lại có x -� i x ak j ak j j 1, k x x ak j j 1, k � A x a1 x a2 x ak ak x a2 k 1 x 2017 ak 2 ak 3 a2 k 1 66 a1 a2 ak 2017 � MinB ak 2 ak 3 a2 k 1 a1 a2 ak 2017 � x ak 1 Bài 9:Tìm GTNN A x x x HD : Ta có A x x x x Mặt khác x ��0�x۳ 3 ;3 x 5 3 x 2x x 1 5 � 3� �x � x � 5� � 3� 2�x������������� 2x x -B 0 � � x Lại có -������ � 2x � 5� 3 29 MinB 29 x 3 Bài 10:Tìm GTNN A x x x 15 HD : Ta có MinA 1 � x 5 Bài 11:Tìm GTNN A x x x x HD : 4 � Ta có MinA = x Bài 12:Tìm GTNN A x 1 x 2 HD : Ta có Min A 1 1 � x hay x 4 Bài 13:Tìm GTNN A x x x x 1998 HD : Ta có Min A = 9992 � 999 x 1000 hay x 1 Bài 14:Tìm GTNN A x x x 11 HD : Ta có Min A 11 11 � x 1 hay x 11 Bài 15:Tìm GTNN A x x x 2017 HD : Ta có Min A 1 2018 1 �x hay x 2 67 ... ( x 1) ( x 1) x ( x 1) y x ? ?1 1 1? ?? � � A ? ?1 y 11 y (11 y y 1) � 11 ( y y � 22 22 22 11 � � 43 � 43 43 ? ?1 � � 11 ( y ) � 11 ( y ) � � y � x 21 22... x 1) �4 � x 2 x ? ?1 x ? ?1 x ? ?1 4x 4x2 4x2 ? ?1 4x (2 x 1) ? ?1 � x 2 4x ? ?1 4x ? ?1 4x ? ?1 4x (4 x 1) (4 x x 1) (2 x 1) ? ?1 �? ?1 � x 2 4x ? ?1 4x ? ?1 4x ? ?1 26 Bài... ( x 1) ( x 1) 2 ( x 1) �0 � ( x 1) 2 �2 1 ( x 1) 2 Có: � A 3 2 � Amax � x ? ?1 b B Đặt x x 11 x x x 11 ( x 1) ( x 1) 11 11 ? ?1 2