Bài giảng bài bất đẳng thức đại số 10 (2)

CỦNG CỐ KIẾN THỨC... Nếu 2 số thực dương có ‘tổng’ không đổi thì ‘tích’ của chúng đạt GTLN khi 2 số đó bằng nhau.. Nếu 2 số thực dương có ‘tích’ không đổi thì ‘tổng’ của chúng đạt GTNN k

Giáo án giảng dạy môn toán lớp 10

Tiết 34: Bài tập

BÀI - BẤT ĐẲNG THỨC

1./ CỦNG CỐ KIẾN THỨC

3).a b, b c a c 4).a b 0 a b

ac bc khi c 0 7).a b

ac bc khi c 0





Các tính chất của BĐT

Định nghĩa:

a>b  a - b >0 ab  a - b 0

Từ đó suy ra:

ab  a - b 0

 

 

2

a b

a b (1) 2

a b 2 ab 2

a b

2





  



BĐT Côsi Cho 2 số không âm

BĐT Côsi Cho 3 số không âm

 

3

3

3

a b c

abc (1') 3

a b c 3 abc (2 ')

a b c

3

 



   

 

Dấu ‘=‘ xãy ra khi

a=b

Dấu ‘=‘ xãy ra khi

a=b=c

1./ CỦNG CỐ KIẾN THỨC

Hệ quả : {Của BĐT Côsi}

1) Nếu 2 số thực dương có ‘tổng’ không đổi thì ‘tích’ của

chúng đạt GTLN khi 2 số đó bằng nhau

2) Nếu 2 số thực dương có ‘tích’ không đổi thì ‘tổng’ của

chúng đạt GTNN khi 2 số đó bằng nhau

 a.b 0 (a, b cùng dấu)

 a.b 0 (a, b trái dấu)

BĐT

chứa dấu

GTTĐ

1./ CỦNG CỐ KIẾN THỨC

 Chú ý các Tính chất sau:

 x2  0 , xR

 x2+y2+z2 0,x,y, z R

Dấu ‘=‘ xãy ra khi x=y=z=0.

 x.y> 0  x và y cùng dấu.

Nếu a, b ‘không âm’, ta có:

a b  a2  b2

B2

1./ CỦNG CỐ KIẾN THỨC

Bài tập 1 Cho a> b>0 CMR: 1/a <1/b (1)

 Cách1 Cách1::

(1)

(1) 1/a 1/a 1/b>0 1/b>0



(b (b a)/ab>0 a)/ab>0 (1’)

 Vì a>b>0 Vì a>b>0 b b a<0 và a<0 và

a.b >0 Do

a.b >0 Do đ đó ó (1’)

đ

đúng Vậy (1) úng Vậy (1) đ đúng úng.

 Cách 2 Cách 2::

Nhân hai vế của (1) với a.b>0 ta

với a.b>0 ta đư được: ợc:

(1) (1)  b < a b < a (1’)

 Vì (1’) đ đúng theo giả úng theo giả thiết, nên (1)

thiết, nên (1) đ đúng úng.

KT C2

KT

C1

Bài 2: Cho a>0, b>0 CMR:

a b   2 a  b

 Giải Giải::

Vì 2 vế

Vì 2 vế đđều dều dươương Bình phng Bình phươương 2 vế ta ng 2 vế ta đưđược:ợc:

(2)

(2)  (a+b)(a+b)2  2(a2(a2+b2))



 aa2+b2 2ab2ab 00



 (a(a b)b)2  0 (2’).0 (2’)

 Vì (2’) Vì (2’) đđúng nên (2) úng nên (2) đđúng úng

C1

KT

 Do a  0, b   0 a  b   a b 

Cách 2: Ta dễ dàng CM được: a2+b2  2ab áp dụng

tính chất này, ta biến đổi Vế phải của (2) như sau:

KT

Cách 2

VP  a  b  a  b   a b  VT

a b 2ab

H ay : 2 a  b  a  b C M x on g

2 2 2 2

Nhận xét: Để ý

Nhận xét: Để ý đ đến tổng bình ph ến tổng bình phươ ương ở VP, ta có cách ng ở VP, ta có cách

giải nh giải như ư sau: (PP vect sau: (PP vectơ ơ))

u 1;1 , v a;b    

 

u v u v c o s u , v

u v u v (* )



2 2

2 2

u.v a b,

u 2, v a b

u v 2 a b

 

  

  

 

 

 

C2

 

 d o cos u   , v  1

Từ định nghĩa Tích vô hướng

của 2 vectơ, ta có:

áp dụng (*) với:

Nhận xét: Để ý

Nhận xét: Để ý đ đến tổng bình ph ến tổng bình phươ ương ở VP, ta có cách ng ở VP, ta có cách

giải nh giải như ư sau: (PP vect sau: (PP vectơ ơ))

u  1;1 , v  a;b

 

u v u v c o s u , v

u v u v (* )



u.v a b,

 

 

 

C2

 

 d o cos u   , v  1

Từ định nghĩa Tích vô hướng

của 2 vectơ, ta có:

ÁP DỤNG (*) VỚI:

Ta có:

Thay vào (*) ta có BĐT

Cần chứng minh !

a) a 2 b+ab 2   a a 3 +b 3

b) a/b+b/a

b) a/b+b/a  2 c) (a+b)(ab+1) 2 c) (a+b)(ab+1)  4ab 4ab

Giải:

a).Ta có:

(a)a3-a2b+b3-ab2 0

a2(a-b)- b2(a-b)0

(a-b)(a2-b2)0

(a-b)2(a+b)0 (a’)

Vì (a-b)20 và a+b>0

nên (a’) luôn đúng

3 3 3 3 3 3 3 3 2 2

VP

CÁCH KHÁC:

ÁP DỤNG BĐT CÔSI CHO 3 SỐ DƯƠ

TA BIẾN ĐỔI VẾ PHẢI CỦA (A) NH

KT

a) a 2 b+ab 2   a a 3 +b 3

b) a/b+b/a

b) a/b+b/a  2 c) (a+b)(ab+1) 2 c) (a+b)(ab+1)  4ab 4ab

 Câu c):

áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm, ta có:

 Nhân theo vế (1) và (2), ta Nhân theo vế (1) và (2), ta đưđược:ợc:

(a+b)(ab+1)

(a+b)(ab+1)4ab (4ab (đđpcm).pcm)

 Dấu ‘=‘ xảy ra Dấu ‘=‘ xảy ra  {a=b và ab=1}{a=b và ab=1} a=b=1a=b=1

 

a b 2 ab (1)

ab 1 2 ab 2

 

 

Cách 2

 Câu c): Câu c): Cách 2Cách 2::

Cũng áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm:

VP= (a2b+b)+(ab2+a)

 VPVP 4ab= VT Hay:(a+b)(ab+1)4ab= VT Hay:(a+b)(ab+1) 4ab (4ab (đđpcm).pcm)

 Dấu ‘=‘ xãy ra khi: a2b=b và ab2=a



 a=b=1 (vì a,b da=b=1 (vì a,b dươương).ng)

 Nhận xét: Nếu a, b không âm Khi làm theo cách này, ta còn thấy dấu ‘=‘ xãy ra khi a=b=0.

Hãy tích cực suy nghĩ

Hãy tích cực suy nghĩ đ để có ể có đư được ợc

nhiều lời giải hay !

1

VP  2 a b  2 a b  2ab 2ab

3

2

BÀI TẬP LÀM THÊM.

Bài 1 Chứng minh các BĐT sau:

3) tgx cot gx 2 4)



Bài 2

XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN QUÝ THẦY CÔ VÀ CÁC EM HỌC SINH ĐẾN THAM DỰ

BUỔI HỌC NGÀY HÔM NAY

Chúc quý thầy cô sức khỏe và hạnh phúc !

Chúc các em học sinh mạnh khỏe, học giỏi !