http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần Bài giảng sô 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Định nghĩa Cho hàm số )(xfy xét trên tập . - Số gọi là giá trị lớn nhất của hàm số = ( ) trên nếu ∀ ∈ : ( ) ≤ ∃ ∈ : ( ) = . Kí hiệu là max ∈ ( ) = = ( ) . - Số gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số = ( ) trên nếu ∀ ∈ : ( ) ≥ ∃ ∈ : ( ) = . Kí hiệu là min ∈ ( ) = = ( ) . 2. phương pháp tìm min và max Phương pháp 1: Bảng biến thiên Bước 1: Tìm miền xác đinh và tính y’ Bước 2: Lập bảng biến thiên Bước 3: Kết luận giá trị min và max dựa vào bảng biến thiên. Phương pháp 2: Phương pháp hàm liên tục trên đoạn. B. CÁC VÍ DỤ MẪU Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số 2 2 3( 1) ( ) 2 2 x f x x x trên khoảng ; Lời giải Tập xác định =ℝ Ta có 2 2 2 6 1 (1) 3 3 '( ) ; '( ) 0 5 (2 2) 1 ( 1) 2 x f x f x f x x x x f 2 3 )( xfLim x Bảng biến thiên − ∞ − 1 1 + ∞ ′ ( ) + 0 − 0 + ( ) 3 2 2 6 5 3 2 Dựa vào bảng biến thiên ta có: 12)(max xxf D ; 1 5 6 )(min xxf D http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần Ví dụ 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số 2 4)( xxxf trên miền xác định của nó. Lời giải Tập xác định 2;2D Ta có: 20)(' 4 1)(' 2 xxf x x xf 2)2(;22)2(;0)2(;2)2( ffff Vậy 222)(max xxf D ; 22)(min xxf D Ví dụ 3: Tìm GTLN và GTNN của hàm số x x y 2 ln trên đoạn 3 ;1 e Lời giải Ta có : 2 )ln2(ln ' x xx y ; 32 3 ;1 ;11 2ln 0ln 0' eex ex x x y Khi đó 0)1( y ; 2 2 4 )( e ey ; 3 3 9 )( e ey Vậy 2 2 ;1 4 max 3 ex e y e ; 10min xy Ví dụ 4: Tìm GTNN của hàm số )sincos2(sin cos 2 xxx x y trên khoảng 3 ;0 Lời giải Hàm số xác định trên khoảng 3 ;0 3 ;0 x ta có 0cos x . Chia cả tử và mẫu cho x cos ta được )tan2(tan 1 tan2 1 2 xxx y Đặt x t tan thì 3;0 3 ;0 tx http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần Khi đó ta có: )( )2( 1 2 1 2 tg ttt y 1 0 0430)(' )2( 43 2 1 )(' 3 24 2 2 t t ttttg tt tt t tg Bảng biến thiên t 0 1 3 )(' tg - 0 + )(tg 2 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy 4 12)(minmin 1;0 3 ;0 xttgy Ví dụ 5: Cho các số thực không âm y x , thay đổi và thỏa mãn 1 yx . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức xyxyyxS 253434 22 . Lời giải Ta có S xyxyyxyx 2591216 3322 xyyxxyyxyx 3431216 3 22 xyxyyx 34311216 22 12216 22 xyyx Đặt xy t với 4 1 ;0 4 1 4 0 2 t yx xy Ta được 12216 2 ttS với 4 ;0 t 4 1 ;0 16 1 0'232' tStS Bảng biến thiên http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần t 0 16 1 4 1 )(' tg 0 )(tg 12 16 191 2 25 Dựa vào bảng biến thiên ta có 4 32 ; 4 32 4 32 ; 4 32 16 1 2 25 )(minmin 4 1 ;0 yx yx ttgS 2 1 4 1 2 25 )(maxmax 4 1 ;0 yxttgS Ví dụ 6: Tìm m để phương trình xxmxxx 4512 (1) có nghiệm. Lời giải Điều kiện: 40 x . Khi đó )( 45 12 1 xF xx xxx m Ta có: 12)( xxxxf có )(4;0,0 122 1 2 3 )(' xfx x x xf tăng trên 4;0 và 4;0,0)( xxf . xxxg 45)( có )(4;0,0 42 1 52 1 )(' xgx xx xg giảm trên 4;0 và 4;0,0)( xxg Do đó ) ( x F là hàm tăng trên 4;0 . Ta có bảng biến thiên: http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần x 0 4 )(' xF )(xF )0(F )4(F Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để (1) có nghiệm )4()0( FmF 12 25 12 m C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 1 1 2 x x y trên đoạn 2;1 . Đs: )1(0min);1(2max fyfy Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 1)3( 2 xxy trên đoạn 2;0 . Đs: 5min;3max yy Bài 3: Cho 1,0,0 yxyx .Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức yx P 33 2 . Đs: 3 3 3 3 3 2 3 log1; 2 3 log 4 9 min));0;1((10max yPyP Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số x x xx y 66 44 cos sin cossin . Đs: 1max; 7 5 min yy . Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 2 1 1 3 1 1 )( 2 2 2 3 2 2 xx xx xx xx xf Đs: 2min;2max yy Bài 6: Cho hai số thực 0,0 yx thay đổi thỏa mãn điều kiện xyyxxyyx 22 )( . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 33 11 yx A . http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần Đs: 2 1 16max yxA Bài 7: Cho x, y là hai số thực dương thay đổi thỏa mãn 4 5 yx . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức yx S 4 14 . Đs: )1(5max SS Bài 8: Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn 2 22 yx . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức xyyxP 32 33 . Đs: 7min, 2 13 max PP Bài 9: Cho 2 3 ;0,, zyxzyx . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức zyx zyxP 111 . Đs: Bài 10: Cho x, y là hai số thực thỏa mãn 24 3 xyyx . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức 123 222244 yxyxyxA . Đs: 2 1 16 9 min yxA Bài 11: Tìm m để phương trình mxxxxx 4sincossin4cossin4 26644 có nghiệm. Đs: 1 16 9 m . fyfy Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 1)3( 2 xxy trên đoạn 2;0 . Đs: 5min;3max yy Bài 3: Cho 1,0,0 yxyx .Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của. Đs: 3 3 3 3 3 2 3 log1; 2 3 log 4 9 min));0;1((10max yPyP Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số x x xx y 66 44 cos sin cossin . Đs: 1max; 7 5 min yy . Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 2 1 1 3 1 1 )( 2 2 2 3 2 2 xx xx xx xx xf . 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Định nghĩa Cho hàm số )(xfy xét trên tập . - Số gọi là giá trị lớn nhất của hàm số = ( ) trên nếu