Một số cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất nhằm rèn kỹ năng giải toán dành cho học sinh lớp 8 9

Mục đích nghiên cứu Mục tiêu giáo dục xã hội đang đặt ra là những học sinh cần thiết làm đượccác bài toán tìm GTLN và GTNN để cho học sinh có kiến thức tổng hợp và kĩnăng giải toán đó l

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ THANH HÓA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS NAM NGẠN – THÀNH PHỐ THANH HÓA GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – NHỎ NHẤT

Người thực hiện: Mai Thị Tâm

Chức vụ : Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THCS Nam Ngạn SKKN thuộc lĩnh vực : Môn Toán

(GTNN) của một đại lượng nào đó Các bài toán này gọi chung là các bài toáncực trị Đây là bài toán khó gây cản trở tâm lí dẫn đến nhiều học sinh ngại họccòn giáo viên dạy chưa tập hợp được phương pháp giải ảnh hưởng không tốt đếnchất lượng giáo dục học sinh.

Các bài toán cực trị rất phong phú và đa dạng mang nội dung vô cùng sâusắc trong việc giáo dục tư tưởng qua môn toán Đi tìm cái tốt nhất, rẻ nhất, ngắnnhất, dài nhất trong một bài toán Để dần dần hình thành cho học sinh thóiquen đi tìm giải pháp tối ưu cho một công việc nào đó trong cuộc sống sau này

Các bài toán cực trị Đại số ở bậc THCS có ý nghĩa rất quan trọng đối vớicác em học sinh ở bậc THCS chưa có lý thuyết đạo hàm nên phải bằng cáchgiải thông minh, tìm ra các biện pháp hữu hiệu và phù hợp với trình độ kiến thứctoán học ở bậc học để giải quyết loại toán này

Các bài toán về cực trị Đại số ở bậc THCS góp phần không nhỏ vào việcrèn luyện tư duy cho học sinh

Nhưng hiện tại chưa có các tài liệu nghiên cứu nào bàn sâu vào vấn đềnày danh cho học sinh lớp 8 và lớp 9, đồng nghiệp, nhà trường chưa có kinhnghiệm để giải quyết, khắc phục

Với ý nghĩa như vậy, Tôi mạnh dạn chọn sáng kiến “Hướng đẫn học sinh giỏi trường THCS Nam Ngạn – Thành phố Thanh Hóa giải các bài toán tìm GTLN – GTNN"

2

Mục đích nghiên cứu

Mục tiêu giáo dục xã hội đang đặt ra là những học sinh cần thiết làm đượccác bài toán tìm GTLN và GTNN để cho học sinh có kiến thức tổng hợp và kĩnăng giải toán đó là yêu cầu cấp thiết cần phải giải quyết

3 Đối tượng nghiên cứu

Dành cho học sinh lớp 8 lớp 9 và những học sinh thi vào lớp 10 trường THCS

Nam Ngạn

- Thống kê thu tập các bài tập toán cực trị thông qua các sách tham khảo và nâng cao lớp 8 và lớp 9, các đề thi học sinh giỏi lớp 8 và lớp 9 , các nguồn tài liêu trên mạng internet để tạo được các cách giải và cách suy luận bài toán trên.

- Cùng tham khảo và bàn luận với đồng nghiệp về vấn đề giải quyết bài toán cực trị để tạo cho minh một phương pháp đầy đủ để truyền đạt cách giải bàitoán trên một cách tốt nhất cho học sinh

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

và có kỹ luật, giàu lòng nhân ái, yêu nước, sống lành mạnh, đáp ứng những nhucầu phát triển của đất nước và cuộc sống của cộng đồng”

Xuất phát từ tình hình trên, song song với việc đổi mới phương pháp dạyhọc được đặt ra như một tất yếu trên cơ sở đã và đang thực hiện phương phápdạy và học theo tinh thần đổi mới nhằm giúp học sinh rèn luyện kĩ năng tự học

tự, nghiên cứu, tư duy và sáng tạo Trong đó dạng toán tìm GTNNvà GTLN làvấn đề của ngành toán học nhằm giúp các em THCS có khả năng tư duy và lậpluận và các em có khả năng áp dụng vào cuộc sống và có ứng dụng trong nhiềungành khoa học khác Nhằm đào tạo các em dần dần trở thành những con ngườigiàu tri thức, hoàn thiện về nhân cách để đáp ứng nhu cầu nền giáo dục hiện đạicũng như đạt được mục tiêu mà Đảng và Nhà nước đặt ra

2 Thực trạng vấn đề:

2.1 Đối với nhà trường

Hiện nay thực tế việc dạy của giáo viên và việc học của học sinh trong trường phần kiến thức này có nhiều vấn đề cần quan tâm Đó là trong sách giáo khoa

toán 8; toán 9 chỉ đưa ra một phần nhỏ phương pháp giải bài toán Vì vậy trong

khi ôn tập giáo viên chưa có đủ thời gian để hệ thống phương pháp giải một cách lôgic đầy đủ và khoa học cho học sinh và tài liệu tham khảo cho học sinh

về GTNN và GTLN khi viết và đưa ra các ví dụ hoặc bài toán còn liên quan đến nhiều kiến thức mà học sinh trong trường chưa tiếp cận đến vì vậy khi gặp dạng toán này học sinh trong trường thường không làm được hoặc làm được thì giải thích chưa được cặn kẽ

- Thời lượng chương trình dành cho học dạng toán này hầu như không có

mà chỉ thông qua các bài tập

2.2 Đối với giáo viên và bản thân:

- Giáo viên đầu tư thời gian nghiên cứu còn ít, việc dạy tự chọn phần nàyđôi khi bỏ qua vì cho là khó với học sinh và trong sách giáo khoa nói đến còn rất

ít Vì vậy khi ôn tập cho học sinh lớp 9 thi học sinh giỏi và thi vào phổ thôngtrung học giáo viên nhặt nhạnh vài bài thấy hay là dạy dẫn đến học sinh ngơ

ngác chẳng hiểu gì Trong quá trình lên lớp “GTLN và GTNN” không đơn giản

chút nào Ngoài ra phương pháp giảng dạy giáo viên chưa quan tâm rèn kĩ năng

- Nhưng dạng toán tìm GTNN và GTLN là một trong những bài toán khó của THCS mà trong những năm gần đây được các thầy cô quan tâm đến nhiều hơn về phương pháp và những dạng toán cụ thể nhằm rèn luyện khả năng

tư duy sáng tạo cho học sinh và khả năng làm toán tìm GTNN và GTLN, không những thế mà đây là một dạng toán thường hay thi HSG và thi vào lớp 10

- Qua những năm tôi đã dạy học thì thấy học sinh tiếp thu bài toán tìm

“GTLN và GTNN” là khó khăn và tiếp thu một cách thụ động, giáo viên chữa

bài nào biết bài đó không vận dụng linh hoạt sáng tạo được dạng toán để làm bàitập tương tự Do vậy khi gặp bài toán dạng này học sinh rất lúng túng Sỡ dĩ như

vậy là trong các đề toán ra những bài toán của “ GTLN và GTNN” trong việc

giải toán đòi hỏi sự vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học sự uyển chuyểntrong phương pháp giải

2.3 Đối với học sinh:

- Học sinh thấy phần kiến thức này ít và khó nên không đầu tư học nhiều

- Học sinh chưa biết cách vận dụng tổng hợp các kiến thức liên quan đãhoc vào vận dụng vào giải bài toán GTNN và GTLN nên gặp loại bài toán nàyhọc sinh bí tắc trong cách giải

- Tài liệu tham khảo cho học còn ít và chưa đưa ra các phương pháp cụthể để cho học sinh trung học cơ sở dễ tiếp cận

- Cụ thể khi khảo sát dạy HS lớp 8A và 8B trường THCS Nam Ngạn năm

học 2014 - 2015 sau khi học xong bài “GTLN và GTNN”.

Số em vận dụng kiến thức đã học vào làm đúng và làm tốt đạt 25 %

Số em biết vận dụng vào làm bài tập đạt 55%

Số em chưa vận dụng kiến thức thành thạo vào làm bài tập giảm còn 20%

Từ thực trạng trên để học sinh hiểu và vận dụng làm tốt hơn tôi đã mạnh

dạn đưa vào chủ đề tự chọn để giảng dạy: “Phần GTNN và GTLN ”

- Đổi mới phương pháp một cách thực sự và phù hợp với đặc điểm họcsinh

- Tổ chức sinh hoạt chuyên đề này cho giáo viên trong tổ toán để trao đổirút kinh nghiệm

- Tham mưu với ban giám hiệu tăng cường mua thêm tài liệu tham khảo

- Phòng đọc thư viện liên tục mở để GV và HS đọc tài liệu bồi bổ thêmkiến thức

3.1.2 Học sinh:

- Nắm vững kiến thức trong sgk và vận dụng làm bài tập từ dễ đến khó

- Mỗi học sinh nên có sổ tích lũy ghi chép từng dạng toán ôn tập

- Học sinh nên mượn hay mua tài liệu để học thêm,ôn thêm phần kiếnthức này

3.2.Các phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất là:

3.2.1 Phương pháp giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức đại số bằng cách đưa về dạng A(x) ≥0 (hoặc A(x) ≤ 0).

- Để tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức A(x) ta cần:

+ Chứng minh rằng A(x) ≥ k với k là hằng số.

+ Chỉ ra dấu "=" có thể xảy ra

- Để tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức A(x) ta cần:

+ Chứng minh rằng A(x) ≤ k với k là hằng số

+ Chỉ ra dấu "=" có thể xảy ra

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x) = (x - 1)2+(x-3)2

Giải:

A(x) = (x-1)2 +( x-3)2 = x2 - 2x+1+ x2 - 6x+ 9=2(x2 - 4x +5)=2(x-2) 2+2 ≥2

Vì (x-2)2 ≥ 0 với ∀x Vậy Min A(x) = 2 khi x = 2

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B(x) = - 5x2 - 4x+1

Giải : Từ B(x) = -5x2 - 4x+1 ta có B(x)= - 5(x2+4

5x)+1

2 2 (x 4) 6

Vậy tổng P =x+y lấy giá trị nhỏ nhất x+ y =2 k khi x=y

b Tương tự trên nếu hai số dương x và y có x+ y = k (hằng số)

Vậy Min A = 2 khi m = - 3; p = 1.

Ví dụ 8 : Tìm các giá trị của x, y, z sao cho biểu thức sau đây đạt giá trị

nhỏ nhất P(x, y, z) = 19x2 + 54y2 + 16z2 - 16xz - 24yz + 36xy + 5

Giải: Khi gặp một biểu thức chứa nhiều biến số, ta cấn biến đổi biểu

thức đã cho về tổng các biểu thức không âm

Ta có: P(x, y, z) = (9x2 + 36xy + 36y2) + (18y2 - 24yz + 8z2) +(8x2 - 16xz + 8z2) + 2x2 + 5 = 9(x+2y)2 + 2(3y - 2z)2 + 8(x - z)2 + 2x2 + 5

Ta thấy: (x +2y)2 ≥ 0 với ∀x, y

(3y - 2z)2 ≥ 0 với ∀y,z(x - z)2 ≥ 0 với ∀x, z

x2 ≥ 0 với ∀x

Biểu thức P(x,y,z) đạt giá trị nhỏ nhất khi các hạng tử (x+2y)2, (3y-2z)2; (x-z)2, x2

đạt giá trị nhỏ nhất cùng một lúc hay nói cách khác chúng phải có giá trị đồngthời bằng 0, nghĩa là hệ phương trình sau đây có nghiệm

x 2y 0

x 0 3y 2z 0

Để tìm ra các biến số tương ứng với P(min) ta giải hệ phương trình:

2 1 2 2 2 3

≥Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

4, đạt được khi

Ví dụ 10: Tìm các giá trị x, y, z để sao cho biểu thức sau đây đạt giá trị

nhỏ nhất P = x2 + y2 + z2 Tìm giá trị nhỏ nhất đó biết rằng x+y+z = 1995

Giải: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho các bộ số: 1, 1, 1; x, y, z

Ví dụ 11: Cho x2 + y2 =52 Tìm giá trị lớn nhất của A = 2x 3y +

Giải: Áp dụng bất đẳng thức bunhiacôpxki cho các bộ số 2, 3; x,y, ta có:

Thay y 3x

2

= vào x2 + y2 = 52 ta có x2 + 9x2 52 x 4

Vậy Max A = 26 <=> x = 4; y = 6 hoặc x = - 4; y = - 6

3.2.6 Phương pháp giải các bài toán cực trị đại số thoả mãn một hệ các điều kiện nào đó:

Ví dụ 12: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P(x,y) = 6x+4y thoả mãn điều kiện

Giải: Từ P(x,y) = 6x+4y với x>0; y > 0 do đó 6x > 0; 4y > 0

=> [P(x,y)]2 = (6x+4y)2 ≥ 4.6x.4y=96.xy

Min P(x,y) = 144 khi x= 12; y = 18

Ví dụ 13: Tìm giá trị lớn nhất của A(x,y,z) = xyz (x+y)(y+z)(z+x)

biết x, y, z ≥ 0 và x+ y + z=1

Giải: áp dụng bất đẳng thức CôSi cho 3 số không âm x, y, z ta có:

1 = x+ y+ z ≥ 33 xyz (1)

2 = (x+y) + (y+z) + (z+x) ≥ 33 (x y)(y z)(z x) + + + (2)

Nhân từng vế của (1) với (2) (do hai vế đều không âm)

3 2 9

 

 ÷

  khi và chỉ khi x=y=z=

1 3

3.2.7 Phương pháp dùng tam thức bậc hai:

a Đổi biến để đưa về tam thức bậc hai đối với biến mới

Ví dụ 14: Tìm giá trị lớn nhất của A = x+ 2 x −

Giải: Điều kiện x≤ 2

Đặt 2 x − = y ≥0 Ta có y2 = 2-x

A = 2-y2 + y =

2

1 9 9 y

b Đổi biến để đưa về bất phương trình bậc hai đối với biến mới

Ví dụ 15: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A=x2 + y2

Biết rằng x2 (x2 + 2y2 -3) + (y2 -2)2 =1

Giải: Từ x2 (x2 + 2y2 -3) + (y2 -2)2 =1 => (x2 + y2)2 - 4(x2 + y2) +3=-x2 ≤0

Do đó: A2 - 4A + 3≤0 <=> (A-1)(A-3) ≤0 <=> 1≤A≤3

Min A=1 <=> x= 0 khi đó y =±1

Min A=3 <=> x= 0 khi đó y =± 3

c Đưa về phương trình bậc hai và sử dụng điều kiện ∆ ≥0

Ví dụ 16: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của A=x22 x 1

x x 1

− + + +

Giải: Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình ẩn x sau đây

có nghiệm a = x22 x 1

x x 1

− + + + (1)

Trường hợp 1: Nếu a = 1 thì (2) có nghiệm x = 0

Trường hợp 2: Nếu a ≠1 để (2) có nghiệm, cần và đủ là ∆ ≥0

=> ∆ = (a+1)2 - 4(a-1)2 ≥0

<=> (3a-1) (a-3) ≤0 <=> 1 a 3 (a 1)

3 ≤ ≤ ≠Với a =1

3 hoặc a = 3 thì nghiệm của (2) là x=− +2(a 1)(a 1)− = 2(1 a)a 1+−1

Gộp cả hai trường hợp 1 và 2 ta có

Min A =1

3 khi và chỉ khi x = 1; Max A = 3 khi và chỉ khi x = -1

3.2.8 Một vài phương pháp đăc biệt :

(Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của biểu thức biết quan hệ giữa các biến

Tìm cực trị có điều kiện)

Ở dạng này thường dùng đó là biểu thị ẩn nọ qua ẩn kia (qua việcgiải hệ phương trình bằng phương pháp thế) Trên cơ sở điều kiện củabài để biến đổi đưa về biểu thức về dạng 1

=++

)2(4343

)1(632

z y x

z y x

Theo phương trình (1) và (2), tìm được:

33

4

;2

C ( x, y, z có vai trò như nhau)

+ Dựa vào điều kiện: x ≥ 0 , y ≥ 0 , z ≥ 0 để lập luận và tìm ra yêu cầu của bài

40

20

z

x y

Do đó: 0≤ x≤ 2 ( kết hợp với điều kiện) nên khi đó học sinh tìm được:

3

43

Sau khi học xong các phương pháp toán tìm cực trị này giáo viên chốt lạicho học sinh kiến thức tổng hợp cần thiết khi gặp giải bài toán tìm cực trị củamột biểu thức bằng cách tìm hiểu đề toán và lựa chọn các phương pháp trênmột cách thích hợp.

4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

a) Kết quả đạt được so với các năm học trước.

b Hiệu quả sau khi học sinh đã học

Trong các năm học trước tôi chưa áp dụng phương pháp dạy học theo đề tàinày thì kết quả chất lượng mũi nhọn ở trường THCS chúng tôi rất thấp Sau khi

áp dụng phương pháp giảng dạy giải bài toán theo đề tài đã nêu trong năm học2014- 2015 và đặc biệt là từ đầu năm học 2015 - 2016 này thì chất lượng họcsinh ở trường THCS chúng tôi nâng lên rõ rệt vì lí do sau:

Mức độ yêu thích môn toán nói chung nâng lên, các em không còn thấyngại dạng toán tìm GTLN và GTNN của môn đại số nữa mà trở nên hứng thúhọc và tìm hiểu nhiều hơn

Đa số các em nắm được các phương pháp tìm GTLN và GTNN, biết sủdụng các pháp này vào giải từng bài toán cụ thể

Học sinh đã từng bước khai thác các bài toán khó dựa vào kiến thức đã học

để mở rộng kiến thức và rèn luyện kĩ năng giải toán tìm GTLN và GTNN

III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

1 Kết luận:

Phương pháp tìm cực trị trong việc giải toán là một vấn đề lớn, đòi hỏingười học phải có tính sáng tạo, có tư duy tốt và kỹ năng vận dụng lý thuyết mộtcách linh hoạt Chính vì lẽ đó, trong quá trình giảng dạy, người giáo viên cầnchuẩn bị chu đáo, tỉ mỉ, rõ ràng từng thể loại bài tập cụ thể để học sinh hiểu sâubản chất và cách vận dụng Xây dựng cho các em niềm đam mê, hứng thú tronghọc tập, tôn trọng những suy nghĩ, ý kiến và sáng tạo của các em Cần thườngxuyên kiểm tra, đánh giá kết quả học tập, bổ sung thiếu sót kịp thời, dạy sâu, dạychắc và kết hợp nhuần nhuyễn, lôgic giữa các bài khác nhau.Nghiên cứu đề tài

“ứng dụng GTLN và GTNN trong việc giải toán” không chỉ giúp cho học sinhyêu thích học bộ môn toán, mà còn là cơ sở giúp cho bản thân có thêm kinhnghiệm trong giảng dạy Mặc dù đã rất cố gắng khi thực hiện đề tài, song khôngthể tránh khỏi thiếu sót về cấu trúc, ngôn ngữ và kiến thức khoa học Vì vậy, tôimong sự quan tâm của các đồng chí, đồng nghiệp góp ý kiến chân thành để đềtài này hoàn thiện hơn

- Đề nghị Phòng giáo dục và Đào tạo mở các chuyên đề để chúng tôi có điều kiện trao đổi và học hỏi thêm

- Các trường thường xuyên trao đổi kiến thức và kinh nghiệm qua hệ thống mạng “ trường học kết nối”

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Nam Ngạn, ngày 8 tháng 4 năm 2016

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác

TÀI LIỆU THAM KHẢO

3 Toán phát triển đại số 8 Nguyễn Ngọc Đạm NXB Giáo dục

4 500 Bài toán cơ bản và

nâng cao

Nguyễn Đức Nguyễn Đức Hoà- Tạ Hoàn

Tấn-NXB Đại học quốcgia TPHCM

Ngô Long Hậu

NXB Hà Nội

7 Các dạng toán điển hình Lê Đức NXB Đại học quốc

gia Hà Nội

Ý KIẾN NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ

VÀ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG

………

………

………

………

………

CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC NGÀNH ………

………

………

………

……

……….

……….

………

………

………

………

………

……

……….

……….

………

………