Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 3. GTLN và GTNN của hàm số Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế 92 BÀI 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT A. KIẾN THỨC CẦN NẮM 1. Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định trên miền   D D   . a) 0 0 ( ) , max ( ) : ( ) D f x M x D M f x x D f x M              b) 0 0 ( ) , min ( ) : ( ) D f x m x D m f x x D f x m              2. Tính chất: a) Nếu hàm số f đồng biến trên , a b     thì [ ; ][ ; ] max ( ) ( ), min ( ) ( ) a ba b f x f b f x f a   . b) Nếu hàm số f nghịch biến trên , a b     thì [ ; ][ ; ] max ( ) ( ), min ( ) ( ) a ba b f x f a f x f b   . Bài 3. GTLN và GTNN của hàm số Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế 93 B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP DẠNG 1: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Phương pháp Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng.  Tính f (x).  Xét dấu f (x) và lập bảng biến thiên.  Dựa vào bảng biến thiên để kết luận. Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn [a; b].  Tính f (x).  Giải phương trình f (x) = 0 tìm được các nghiệm x 1 , x 2 , …, x n trên [a; b] (nếu có).  Tính f(a), f(b), f(x 1 ), f(x 2 ), …, f(x n ).  So sánh các giá trị vừa tính và kết luận.   1 2 [ ; ] max ( ) max ( ), ( ), ( ), ( ), , ( ) n a b M f x f a f b f x f x f x     1 2 [ ; ] min ( ) min ( ), ( ), ( ), ( ), , ( ) n a b m f x f a f b f x f x f x   BÀI TẬP MẪU Bài 1. Tìm GTLL và GTNN (nếu có) của các hàm số sau: 3 1 ) 3 x a y x    trên đoạn [0;2] b) 2 2 3 1 1 x x y x x      Bài 2. Tìm GTLL và GTNN (nếu có) của các hàm số sau: a) 2 4 3 y x x    b) 4 2 2 y x x   c) 4 2 2 2 y x x    Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:   2 2 x y x   trên   0;  Hướng dẫn: Bài 3. GTLN và GTNN của hàm số Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế 94 Hàm xác định trên tập   0;    2 0; ' 0 2 x y x            Bảng biến thiên x  0 2  ' y - + y   8  Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm đạt giá trị nhỏ nhất tại   0; 2, 8 x Min y    Hàm không có giá trị lớn nhất Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 2 5 6 y x x     trên đoạn [-1;6] Hướng dẫn: Hàm đạt giá trị nhỏ nhất tại 1; 6 x x    và đạt giá trị lớn nhất tại 5 2 x   Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:   2 6 4 y x x    trên đoạn [0;3] Hướng dẫn: Hàm đạt giá trị lớn nhất tại x=3, nhỏ nhất tại x=0 Bài 6. (TSĐH 2003 khối B) . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 2 4 y x x    Hướng dẫn: Cách 1: Tập xác định   2;2 D   ; 2 2 1 ; 0 4 4 x y y x x x          Bài 3. GTLN và GTNN của hàm số Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế 95 2 2 0 2 4 x x x x             max 2 2 min 2 y y         Cách 2: Đặt 2sin , ; 2 2 x u u                 2 sin cos 2 2 sin 2;2 2 4 y u u u            ; max 2 2 ; min 2 y y    Bài 7. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 2 1 1 x y x    trên đoạn [-1;2] Hướng dẫn Hàm đạt giá trị nhỏ nhất tại x=-1 và đạt giá trị lớn nhất tại 1 x  Bài 8. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 3 2 3 1 y x x    trên đoạn [-2;1] Hướng dẫn Hàm đã cho xác định trên 2;1      Đặt 3 2 ( ) 3 1, 2;1 g x x x x           , 0 '( ) 0 2 2;1 x g x x               Do đó: 2;1 2;1 ( ) 1; ( ) 19 Max g x Min g x              Ta có: 2;1 ( ) 19;1 ( ) 0;19 x g x g x                      1 1 (0). ( 1) 0 0;1 : ( ) 0 g g x g x       . Vậy 2;1 2;1 ( ) 19; ( ) 0 Max f x Min f x             BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau: a) 2 2 1 1 x x y x x      b) 3 4 4 3 y x x   c) 4 2 3 1 ( 0) x x y x x x      d) 2 2 y x x    e) 2 1 2 2 x y x x     Bài 3. GTLN và GTNN của hàm số Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế 96 f) 2 2 2 4 5 1 x x y x     g) 2 1 ( 0) y x x x    Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau: a) 3 2 2 3 12 1 y x x x     trên [–1; 5] b) 3 3 y x x   trên [–2; 3] c) 4 2 2 3 y x x    trên [–3; 2] d) 4 2 2 5 y x x    trên [–2; 2] e) 3 1 3 x y x    trên [0; 2] f) 1 1 x y x    trên [0; 4] g) 2 4 7 7 2 x x y x     trên [0; 2] h) 2 2 1 1 x x y x x      trên [0; 1] Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau: a) 2 100 y x   trên [–6; 8] b) 2 4 y x x     c) 2 2 y x x   Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất và gí trị nhỏ nhất của hàm số 3 2 72 90 y x x x    trên đoạn [-5;5] Hướng dẫn: Hàm số đã cho xác định trên 5;5      Đặt 3 2 ( ) 3 72 90, 5;5 g x x x x x           Ta có : 6 5;5 '( ) 0 4 5;5 x g x x                     Với (4) 86; ( 5) 400; (5) 70 g g g       Do đó: 86 ( ) 400 0 ( ) 400 0 ( ) 400 g x g x f x         Vậy 5;5 ax ( ) 400 5 M f x khi x         Bài 6. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số sin2 y x x   trên đoạn ; 2          Hướng dẫn: Bài 3. GTLN và GTNN của hàm số Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế 97 5 '( ) 0 ; ; 6 6 6 f x x        Vậy: ; ; 2 2 5 3 5 ( ) ; ( ) 6 2 6 2 2 Max f x khi x Min f x khi x                              Bài 3. GTLN và GTNN của hàm số Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế 98 DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN TÌM GTLL VÀ GTNN Khi đặt ẩn phụ, cần chú ý một số điều sau:  Nếu đặt 2 t x  thì 0 t  và giả sử 1;1 0;1 x t              Nếu sin 1;1 cos t x t t x           Nếu 2 2 sin 0;1 os t x t t c x         BÀI TẬP MẪU Bài 1. (Đề dự bị TSĐH 2003 khối B) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của   3 6 2 4 1 y x x    trên đoạn   1;1  . Hướng dẫn Đặt   2 0;1 u x  . Ta có   3 3 3 2 4 1 3 12 12 4 y u u u u u         2 2 3 9 24 12 0 2 0;1 u y u u u                    . Từ đó ta được 4 max 4;min 9 y y   Bài 2. Tìm GTLN và GTNN của hàm số 6 4 2 9 1 3 4 4 y x x x     trên đoạn [-1;1]. Hướng dẫn Đặt 2 0;1 , 1;1 t x t x               ta có: 3 2 9 1 ( ) 3 4 4 f t t t t     liên tục trên đoạn [0;1] 1 2 '( ) 0 3 0;1 2 t f t t                Bài 3. GTLN và GTNN của hàm số Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế 99 0;1 1;1 [ 1;1] 0;1 3 3 2 ( ) 0 ( ) 4 4 2 1 1 ( ) 0 ( ) 0 4 4 Max f t khi t hay Max f x khi x Min f t khi t hay Min f x khi x                        Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 4 2 sin os 2 y x c x    . Hướng dẫn Hàm đã cho xác định trên  4 2 4 2 sin os 2 sin sin 3 y x c x x x       Đặt 2 sin , 0;1 t x x       . Xét hàm 2 ( ) 3, 0,1 f t t t t          Vậy 0;1 0;1 11 ( ) 3; ( ) 4 Max f x Min f x           . Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 2 sinx 1 sin sinx 1 y x     . Hướng dẫn Đặt sin , 1;1 t x t        2 1 ( ) 1;1 1 t f t t t           , ( ) f t liên tục trên 1;1      , '( ) 0 0 f t t    1;1 1;1 ( ) ( ) 0 sin 1 2 , 2 ( ) ( ) 0 sin 0 , Max f x Max f t khi x x k k Min f x Min f t khi x x k k                               Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: 2 2 sin os 4 4 x c x y   Hướng dẫn: Cách 1: 2 2 2 2 2 2 sin os sin 1 sin sin sin 4 4 4 4 4 4 4 x c x x x x x y        Đặt 2 sin 4 , 0;4 x t t       , xét hàm số 2 4 , 1;4 t y t t        Bài 3. GTLN và GTNN của hàm số Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế 100 Từ đó suy ra được: 1;4 1;1 ( ) ( ) 5 ; ( ) ( ) 4 Max f x Max f t Min f x Min f t              Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng, trung bình nhân ta có: 2 2 sin os 4 4 2 4 4. x c x    Đẳng thức xảy ra khi 2 2 sin os 4 4 , 2 2 x c x k x k            2 2 2 2 2 2 sin sin os sin os os 4 1 4 1 4 1 0 4 4 5 4 1 x x c x x c x c x               Đẳng thức xảy ra khi sin 0 x  hoặc cos 0 x  Vậy 4 ; 5 4 2 2 k k Miny khi x Maxy khi x         BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau: a) 2sin 1 sin 2 x y x    b) 2 1 cos cos 1 y x x    c) 2 2sin cos 1 y x x    d) cos2 2sin 1 y x x    Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau: a) 2 4 2 1 1 x y x x     b) 2 2 4 4 3 y x x x x       g) 2 2 4 2 5 2 3 y x x x x       e) 3 3 sin cos y x x   Bài 3. GTLN và GTNN của hàm số Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế 101 DẠNG 3: ỨNG DỤNG VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên miền K và có . Khi đó: 1) Phương trình ( ) ( ) f x f m  có nghiệm x K   ( ) ( ) ( ) K K Min f x f m Max f x   2) Bất phương trình ( ) ( ) f x f m  đúng với mọi x K   in ( ) ( ) K M f x f m  . 3) Bất phương trình ( ) ( ) f x f m  có nghiệm x K   ax ( ) K M f x  ( ) f m . 4) Bất phương trình ( ) ( ) f x f m  đúng với mọi x K   ax ( ) K M f x  ( ) f m 5) Bất phương trình ( ) ( ) f x f m  có nghiệm x K   in ( ) ( ) K M f x f m  BÀI TẬP MẪU Bài 1. 2 Tìm tham số m để phương trình 3 1 có n ghiệm thực x x m   . Hướng dẫn: 2 2 2 2 Xét hàm số ( ) 3 1 và Hàm số f(x) liên tục trên . 0 6 6 6 f'(x)=0 3 1 3 , 6 6 3 3 1 9 6 6 Dựa vào bảng biến thiên,suy ra: ( ) mà ( ) , do đó m thì phư 3 3 f x x x y m x x x x f x x f x f x m                                   ơng trình có nghiệm thực. Bài 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2 5 1 5 6 x x x x m         . Hướng dẫn: Đặt 2 2 5 1 4 2 5 6 t x x t x x           PT    2 4 1;5 2;2 2 2 t t m khi x t               Xét hàm số   2 4 ( ) 2;2 2 ( ) 1 ( ) 0 1 2;2 2 2 t f t t t f t t f t t                        [...]...  9.15 , và hai nghiệm: x1,2  9  3 15 2 Dễ kiểm tra rằng cả hai nghiệm này đều bị loại vì nhỏ hơn 2 Vậy, đạo hàm của hàm số khơng thể đổi dấu trên 2;   , ngồi ra f (3)  0 nên f ( x )  0, x  2 Do đó, giá trị nhỏ  nhất của f ( x ) là f (2)  7  6 Cũng dễ thấy lim f  x    Từ đó suy ra: hệ phương trình đã cho có nghiệm (với x  2 ) x  khi và chỉ khi m  6  7 Bài 6 Giải và biện luận...     Xét hàm f (S )  S 2  S  3 , S   ; 6   2;     Hàm này nghịch biến trên  ;6 và f (S )  f  6   45 ;  Đồng biến trên 2;   và f (S )  f (2)  5 Vậy m  5  BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1 Tìm giá trị m để phương trình sau đây có nghiệm: x  x 1  m Hướng dẫn Xét hàm số y  x  x  1 hàm số xác định trên  0;     Ta có: f '( x )  0, x   0;   Do đó hàm tăng trên... GTLN và GTNN của hàm số  f(t) = m có nghiệm  2  m  2 1  2  BTTT: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 3  x  6  x  18  3 x  x 2  2m  1 @ Nhận xét: Qua các bài trên ta thấy  Khi đặt ẩn phụ t , ta cần phải tìm điều kiện của t tức là tìm miền giá trị của t , nếu khơng chú ý đến điều kiện này sẽ đưa đến kết quả sai  Qua các bài trên ta thấy chỉ cần căn cứ trên bảng biến thiên của hàm số- ... bảng biến thiên của hàm số- để kết luận về số nghiệm của phương trình dạng f(x)=m mà khơng nhất thiết phải vẽ đồ thị hàm số Bài 3 Xác định m để bất phương trình m 2 x 2  1  2 x  0 có tập nghiệm là  Hướng dẫn Ta có: m 2 x 2  1  2 x  0, x    m  2 x Xét hàm số g( x )  g '( x )  2x2  1 2 2x 2  1 2 2 x 2x 2  1 , x   , x    0, x   nên hàm nghòch biến trên  2x  1 lim g( x )... xy  x  y  3  a) Giải hệ phương trình khi m  5 ; b) Định các giá trị m để hệ có nghiệm Hướng dẫn S  x  y 2 a) Đặt  , S  4P  0  P  xy Ths.Trần Đình Cư GV Trường THPT Gia Hội, Huế Nhận dạy kèm và luyện thi đại học chất lượng cao SĐT: 01234332133 Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế 102 Bài 3 GTLN và GTNN của hàm số  x  y 2  xy  m  2  2  S  P  m S  S  3  m  0 ... được 10 x 2  8 x  4  2(2 x  1)2  2( x 2  1) ta dùng phương pháp hệ   Ths.Trần Đình Cư GV Trường THPT Gia Hội, Huế Nhận dạy kèm và luyện thi đại học chất lượng cao SĐT: 01234332133 Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế 104 Bài 3 GTLN và GTNN của hàm số số bất định x  y  3  Bài 5 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm với x  2 :  2 2  x 3  y 5  m  Hướng dẫn Đặt f ( x ) ... 2m    f ( x )  x  1  2m   f(x) liên tục trên 1;2  và có f ( x )    5  x  1 2  0, x  1;2   f ( x ) đồng biến trên 1;2      Ths.Trần Đình Cư GV Trường THPT Gia Hội, Huế Nhận dạy kèm và luyện thi đại học chất lượng cao SĐT: 01234332133 Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế 106 Bài 3 GTLN và GTNN của hàm số Bài tốn u cầu  f (1)  2m  f (2)  1 2 m 4 3 Bài 2 Tìm... x  1)3  ( x  1) Xét hàm số: f (t)  t 3  t , hàm số này đồng biến trên  f ( mx  1)  f ( x  1)  mx  1  x  1 Giải và biện luận phương trình trên ta có kết quả cần tìm  1  m  1 phương trình có nghiệm x = 2 m 1  m = –1 phương trình nghiệm đúng với x  1  Các trường hợp còn lại phương trình vơ nghiệm Ths.Trần Đình Cư GV Trường THPT Gia Hội, Huế Nhận dạy kèm và luyện thi đại học chất... Gia Hội, Huế Nhận dạy kèm và luyện thi đại học chất lượng cao SĐT: 01234332133 Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế 105 Bài 3 GTLN và GTNN của hàm số   Bài 7 Tìm m để 2 sin 4 x  cos4 x  cos 4 x  2sin 2 x  m  0 có nghiệm trên  0;   2   Hướng dẫn 1 Ta có sin 4 x  cos4 x  1  sin 2 2 x và cos4 x  1  2 sin 2 2 x 2 Do đó 1  3sin 2 2 x  2sin 2 x  3  m   Đặt t ...  x  Dựa vào bảng biến thiên thì phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m  0 Bài 2 Tìm m để phương trình sau có nghiệm x2  x  1  x2  x  1  m Hướng dẫn Xét hàm số f ( x )  x 2  x  1  x 2  x  1 Ta có: f '( x )  2x 1 2 x2  x  1  2x 1 2 x2  x  1 Ths.Trần Đình Cư GV Trường THPT Gia Hội, Huế Nhận dạy kèm và luyện thi đại học chất lượng cao SĐT: 01234332133 Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 2 1 1 x y x    trên đoạn [-1;2] Hướng dẫn Hàm đạt giá trị nhỏ nhất tại x=-1 và đạt giá trị lớn nhất tại 1 x  Bài 8. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ. đoạn [-1;6] Hướng dẫn: Hàm đạt giá trị nhỏ nhất tại 1; 6 x x    và đạt giá trị lớn nhất tại 5 2 x   Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:   2 6 4 y x x .  8  Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm đạt giá trị nhỏ nhất tại   0; 2, 8 x Min y    Hàm không có giá trị lớn nhất Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 2 5 6 y x