Giúp học sinh tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất bằng phương pháp dồn biến

KẾT LUẬN...20 CHUYÊN ĐỀ - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP DỒN BIẾN... Nhiệm vụ nghiên cứu - Giúp học sinh nắm được phương p

Kon Tum 10 / 2013

GIÚP HỌC SINH TèM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT

VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP DỒN BIẾN

Sở giáo dục và đào tạo kon tum

TRƯỜNG THPT DUY TÂN

Sáng kiờ́n kinh nghiợ̀m

II Nhiệm vụ, phạm vi và đối tượng nghiên cứu 1

1 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

2 Phạm vi nghiên cứu 1

3 Đối tượng nghiên cứu 1

4 Phương pháp nghiên cứu 2

B KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 3

I Thực trạng của vấn đề trước khi nghiên cứu 3

II Giải pháp khắc phục 3

Dạng1Tìm GTLN, GTNN của hàm hai biến bằng phương pháp thế 4

Dạng 2 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức có tính đối xứng 6

Dạng 3 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức có tính đẳng cấp 10

Bài tập tổng hợp 12

Bài tập tự luyện 18

III Phân tích so sánh tác dụng của đề tài 19

C KẾT LUẬN 20

CHUYÊN ĐỀ - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ

NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP DỒN BIẾN

- Đây là vấn đề khó đối với đa số học sinh.

- Đây là vấn đề thường gặp trong các kì thi cao đẳng, đại học và thi học sinh giỏi các cấp

- Đây là vấn đề hay, hấp dẫn kích thích tư duy học sinh

- Đây là chuyên đề góp phần tích cực cho học sinh vào việc rèn luyện

tư duy logich, linh hoạt, sáng tạo Một yêu cầu quan trọng trong xu hướng đổi mới giáo dục hiện nay

- Đây là chuyên đề góp phần giáo dục học sinh thấy được cái hay cái đẹp quyến rũ của toán học tạo sự hứng thú say mê với môn toán

II Nhiệm vụ, phạm vi và đối tượng nghiên cứu

1 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Giúp học sinh nắm được phương pháp dồn biến đề tìm giá trị lớnnhất và giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến

- Chuyên đề này góp phần tích cực cho học sinh vào việc rèn luyện tư duy logich, linh hoạt, sáng tạo

- Chuyên đề này góp phần giáo dục học sinh thấy được cái hay cái đẹp quyến rũ của toán học tạo sự hứng thú say mê với môn toán

2 Phạm vi nghiên cứu

- Tìm GTLN và GTNN của hàm 2 biến, hàm 3 biến có điều kiện ràngbuộc đối với một số dạng cơ bản thường gặp trong các kì thi đại học,cao đẳng và thi học sinh giỏi

3 Đối tượng nghiên cứu

Học sinh khá, giỏi trường THPT Duy tân qua các năm học 2012; 2012-2013

2011-4 Phương pháp nghiên cứu

4.1.Quan sát, điều tra khảo sát thực trạng

4.2 Tổng kết kinh nghiệm, tham khảo tài liệu, tư liệu liên quan chuyên

đề để xây dựng giải pháp

4.3 Triển khai chuyên đề

4.4 Kiểm tra, phỏng vấn thống kê đánh giá kết quả.

B KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU I.Thực trạng của vấn đề trước khi nghiên cứu.

- Học sinh chỉ biết tìm GTLN và GTNN của hàm số 1 biến trongcác trường hợp cơ bản.

- Học sinh lúng túng, không biết tìm GTLN và GTNN của hàm số

2 biến , 3 biến và có điều kiều kiện ràng buộc, trong các trườnghợp cơ bản thường gặp

- Học sinh không biết dùng phương pháp dồn biến để đưa hàmnhiều biến về hàm một biến để giải quyết

II Giải pháp khắc phục.

- Giúp học sinh nắm được phương pháp Dồn biến để đưa hàm nhiềubiến về hàm một biến rồi dùng đạo hàm để khảo sát

- Hệ thống từng dạng bài tập cơ bản thường gặp

- Lựa chọn các ví dụ mẫu, cơ bản, điển hình đối với mỗi dạng

- Phân tích, định hướng giải cho mõi ví dụ

- Trình bày lời giải chính thức cho mỗi ví dụ

- Rút ra phương pháp chung cho từng dạng

- Ra bài tập củng cố, luyện tập cho học sinh qua từng dạng

- Ra các bài tập mang tính vận dụng tổng hợp cho học sinh vận dụng

Giải pháp được cụ thể hóa qua các dạng, các ví dụ và bài tập sauđây:

Dạng 1 Tìm GTLN, GTNN của hàm hai biến bằng phương pháp thế

VD1 Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn x y+ = 54 Tìm GTNN của biểu thức P 4 41

về hàm theo một biến x: P= f x( )

- Từ giả thiết, ta tìm miền biến thiên của biến x , giả sử x D∈

- Dùng đạo hàm khảo sát hàm: P= f x( ), với x D∈

- Từ đó suy ra được kết quả cần tìm

- Từ giả thiết, ta tìm miền của biến x , giả sử x D∈

- Dùng đạo hàm khảo sát hàm: P= f x( ), với x D∈

- Từ đó suy ra được kết quả cần tìm

Giải

Từ giả thiết suy ra: y x= 2 + −x 12

Do đó: P= f x( ) = +x3 3x2 − 9x− 7

Dạng 2 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức có tính đối xứng

VD 1 Cho x, y là hai số thực không âm thỏa mãn x y+ = 4 Tìm

GTLN, GTNN của biểu thức: P= (x3 − 1)(y3 − 1)

Phân tích:

- Ta thấy biểu thức P= (x3 − 1)(y3 − 1)là đối xứng đối với 2 biến x và y và biểu thức ở điều kiện ràng buộc cũng đối xứng đối với 2 biến x và y nên ta luôn biểu diễn được nó về theo hai biểu thức đối xứng cơ bản

là :S = +x y v P xyà =

- Mặt khác theo giả thiết ta đã có tổng: x y+ = 4 nên thế vào biểu thức

( 1)( 1)

P= x − y − ta đưa được vể hàm một biến: f t( ), với t=xy

- Dựa vào giả thiết, ta tìm được miền của biến t bằng cách dùng bất đẳng thức 0 ( )2 4 0 4

Đặt t=xy ta đưa về hàm theo một biến t là f t( ) = +t3 12t− 63

Bây giờ ta cần tìm miền biến thiên của t như sau: ta có

- Chọn t là một trong hai biến x y+ hoặc xy khi đó ta đưa được P

về hàm theo một biến t (dồn biến)

- Từ điều kiện ràng buộc ta tìm miền biến thiên của biến t Giả sử

t D∈

- Dùng đạo hàm khảo sát hàm f t( ) trên miền t D∈

- Suy ra GTLN, GTNN của P

Giải:

Bước 1 Chọn biến t= +x y Khi đó xy= − 3 t

Chuyển P sang hàm theo biến t: ( ) 6 6

(Chọn t=x+y hoặc t=xy Ở đây chọn t=x+y thuận tiện hơn)

Bước 2 Tìm miền của biến t : Từ ràng buộc: xy= − 3 t

Vậy: max m axf ( )[ ]2;3 33, min m inf ( )[ ]2;3 11

- Chọn t là một trong hai biến x y+ hoặc xy khi đó ta đưa được P

về hàm theo một biến t (dồn biến)

- Từ điều kiện ràng buộc ta tìm miền biến thiên của biến t Giả sử

Chuyển P sang hàm theo biến t: 1 3 2 7 1 3

(Chọn t=x+y hoặc t=xy Ở đây chọn t=x+y thuận tiện hơn)

Bước 2 Tìm miền của biến t :

( Chú ý: Đánh giá ? ≤xy≤ ?? Sao cho ? và ?? là hằng số hoặc biểu

thức chứa biến t nhưng chú ý dấu đẳng thức phải xảy ra được)

Bước 3 Tìm max, min của hàm f(t) trên miền t∈[ ]1; 2

Ta có: P/ > ⇒ 0 hàm số đồng biến

Suy ra: max m axf ( )[ ]1;2 4, min m inf ( )[ ]1;2 9

VD5 Cho các số thực không âm x ,,y z thoả mãn x2 + y2 +z2 = 3

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P xy yz zx 5

Thì đưa được P về hàm theo một biến t

Giải:

Đặt t=x+y+z ⇒

2

3 )

( 2 3

2

2 = + + + ⇒ + + = t −

zx yz xy zx

yz xy

2

≤

≤

− +

t

t t f

Suy ra f (t) đồng biến trên [ 3 , 3 ] Do đó .

3

14 ) 3 ( ) (t ≤ f =

f

Dấu đẳng thức xảy ra khi t= 3 ⇔x=y=z= 1

Kết luận: max m axf ( )3;3 14

Phân tích:

Ta thấy P là tổng của ba phân thức mà tử và mẫu đều là các đa thức dạng đẳng cấp bậc nhất theo các biến Do đó chia cả tử và mẫu cho một biến bậc nhất ta chuyển P về theo ba biến mới y x , z y, x z: Cụ thể là:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b hoặc ab=1

Áp dụng (*) với x và y thuộc đoạn [ ]1; 4 và x y≥

3 /

2) Cho x, y là các số thực thay đổi thỏa mãn điều kiện x2 + y2 +xy= 1.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S=x y xy2 − 2

4 3

0 4 4

Vì vai trò của x, y, z trong bài toán bình đẳng nên có thể giả sử x y z≤ ≤

Mặt khác x+y+z=1 nên say ra 0;1

8) Cho x,y,z là các số thực không âm thỏa mãn x+y+z=1 Tìm GTNN

của biểu thức 3 3 3 15

4

P x= +y + +z xyz

Giải Vai trò x, y z bình đẳng nên ta có thể giả sử x y z≤ ≤

Từ giả thiết suy ra: 0 1

9) Cho x, y là các số thực không âm thay đổi và thỏa mãn điều kiện

Bây giờ ta đi tìm max của ( ) 2

Giả sử: 1 ≤ ≤ ≤ ≤x y z 2, suy ra: 1 x 1 y 0

Ta dễ dàng tìm được GTLN của f x( ) bằng 14 khi x=2

Suy ra maxP= 14, chẳng hạn khi x=2, y=1, z=3

3) Cho hai số thực x, y thỏa mãn x2 +y2 = 2 Tìm max, min của

III Phân tích so sánh tác dụng của đề tài

Qua quá trình triển khai chuyên đề tôi thu được một số thông tin tíchcực từ phía học sinh như sau:

- Học sinh nắm được phương pháp dồn biến, vận dụng và giảiđược một số dạng cơ bản thường gặp

- Học sinh rất phấn khởi thích thú , tự tin không còn tâm lý e ngạinhư trước

- Học sinh say mê, yêu thích học toán nhiều hơn

Kết quả kiểm tra khảo sát ở năm học 2011-2012

Líp SÜ sè KÕt qu¶ ban ®Çu KÕt qu¶ thÓ nghiÖm víi chØ Vît so

%

C KẾT LUẬN

Trên đây là một số kinh nghiệm và giải pháp của bản thân tôi rút

ra được qua quá trình dạy học và luyện thi cho học sinh lớp 12 trong các năm học qua về vấn đề tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhât

Qua chuyên đề này các em học sinh đã nắm được phương pháp dồn biến để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, các em tự tin hơn, say mê hứng thú hơn với toán học và đặt biệt là giúp các em có thêm

cơ hội nâng cao kết quả trong các kì thi đại học cao đẳng

Để giải quyết vấn đề này chắc chắn còn phương pháp khác và giải pháp khác tốt hơn , rất mong được học hỏi quí thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp

Chuyên đề này không thể trách khỏi những thiếu sót Rất mong

sự góp ý xây dựng của quí thầy cô giáo

Kon tum , ngày 20 tháng 12 năm 2012

Người thực hiện

Huỳnh Văn Minh

ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI ĐỀ TÀI Đánh giávà xếp loại của hội đồng khoa học trường THPT Duy Tân

Đánh giávà xếp loại của Hội đồng khoa học sở GD&ĐT Kon Tum