Chuyên đề “ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ HỆ THỨC VI ÉT (THCS Tiên Yên và THCS Thành Mỹ) A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1 Phương trình bậc hai một ẩn 1 1 Định nghĩa Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạn[.]
Chuyên đề “ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ HỆ THỨC VI-ÉT (THCS Tiên Yên THCS Thành Mỹ) A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Phương trình bậc hai ẩn 1.1 Định nghĩa: Phương trình bậc hai ẩn phương trình có dạng x ẩn, a,b,c số cho trước gọi hệ số 1.2 Các trường hợp đặc biệt + Với c = 0, phương trình có dạng + Với b = 0, phương trình có dạng Nếu Nếu phương trình vơ nghiệm 1.3 Cơng thức nghiệm a Đối với phương trình ( ) biệt số + Nếu > phương trình có nghiệm phân biệt: x1 = + ; x2 = Nếu = phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = + Nếu < phương trình vơ nghiệm b Cơng thức nghiệm thu gọn: Đối với phương trình ( ) + Nếu ’> phương trình có nghiệm phân biệt: biệt số x1 = ; x2 = +Nếu ’= phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = +Nếu ’ < phương trình vơ nghiệm Chú ý: Nếu a.c < (a, c trái dấu) phương trình ( ) có hai nghiệm phân biệt trái dấu 1.4 Định lí Vi-ét Cho phương trình ( ) - Nếu x1; x2 hai nghiệm phương trình - Hệ : Nếu a + b + c = phương trình có nghiệm: x1 = 1; x2 = Nếu a – b + c = phương trình có nghiệm: x1 = -1; x2 = Phương trình có hai nghiệm trái dấu - Định lí: (đảo Vi-ét) Nếu hai số u v thỏa mãn phương trình: x2 - S x + P = u, v nghiệm Chú ý: + Định lí Vi-ét áp dụng phương trình có nghiệm (tức ≥ 0) + Nếu a c trái dấu phương trình ln có nghiệm trái dấu 2 Phương trình quy phương trình bậc hai 2.1 Phương trình trùng phương Phương trình có dạng Đặt ta phương trình 2.2 Phương trình tích Phương trình tích phương trình có dạng Để giải phương trình ta áp dụng tính chất 2.3 Phương trình chứa ẩn mẫu Để giải phương trình chứa ẩn mẫu ta thực bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình Bước 2: khử mẫu đưa phương trình dạng thông thường Bước 3: kiểm tra điều kiện cho nghiệm tìm kết luận B BÀI TỐN CƠ BẢN Phương trình bậc hai khơng chứa tham số Ví dụ Giải phương trình sau: a b c Ví dụ Giải phương trình sau: a e b c d f Lời giải: a Ta giải cách sau: Cách 1: ta có: nghiệm phân biệt nên phương trình có hai Cách 2: Sử dụng công thức nghiệm tổng quát Cách 3: Sử dụng công thức nghiệm thu gọn b Ta có Nên phương trình vơ nghiệm c ta có: , suy Phương trình có hai nghiệm phân biêt d Ta có: , suy Phương trình có nghiệm kép e Ta có: , suy Phương trình có hai nghiệm phân biêt f Ta có: , suy Phương trình có hai nghiệm phân biêt Lưu ý - Khi giải phương trình bậc hai nên sử dụng cơng thức nghiệm để tránh sai sót dấu tính tốn - Đối với phương trình có hệ số a < nên nhân hai vế phương trình với -1 để phương trình có hệ số a > - Đối với phương trình có hệ số phân số hay hệ số lớn nên quy đồng hay rút gọn ( có thể) để tránh việc tính tốn phức tạp Dạng Phương trình bậc hai chứa tham số Ví dụ Cho phương trình phương trình: ( m tham số) Tìm m để a Có nghiệm b Chứng minh với m phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Lời giải: a Phương trình có nghiệm Vậy phương trình có nghiệm b Ta có với m nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Ví dụ Cho phương trình trình : ( m tham số) tìm m để phương a Có hai nghiệm phân biệt b Có nghiệm kép Tìm nghiệm kép c Vơ nghiệm d Có nghiệm Lời giải Nếu m = phương trình trở thành nhất, có nghiệm Nếu phương trình bậc Khi phương trình cho phương trình bậc có a Phương trình có hai nghiệm phân biệt hợp với điều kiện biệt , ta có kết phương trình cho có hai nghiệm phân b Phương trình có nghiệm kép có nghiệm kép Khi phương trình c Phương trình vơ nghiệm d Phương trình có nghiệm Lưu ý: Khi giải dạng tốn hệ số a phương trình tham số ta phải xét a = 0, chứa phương trình phương trình bậc hai lúc ta xét điều kiện Dạng Ứng dụng hệ thức Vi-ét Ví dụ a Tìm hai số biết tổng chúng 14 tích chúng 45 b Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm Lời giải a Nếu hai số tồn chúng hai nghiệm phương trình Ta có: Vậy hai số cần tìm b ta có Vậy phương trình bậc hai cần lập Ví dụ Cho phương trình (với m tham số) a Tìm giá trị m để phương trình cho có nghiệm -2 Tìm nghiệm cịn lại b Tìm giá trị m để phương trình cho có hai nghiệm trái dấu c Gọi hai nghiệm phân biệt phương trình cho Tìm giá tri m để biểu thức đạt giá trị nhỏ Lời giải a Phương trình có nghiệm -2 theo định lí Vi ét ta có với m = -1 phương trình có nghiệm kép với m = phương trình có hai nghiệm b Phương trình cho có hai nghiệm trái dấu c Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt áp dụng định lí Vi-ét, ta có: Dấu xảy ( thỏa mãn điều kiện m > -1) Vậy giá trị nhỏ biểu thức Ví dụ Cho phương trình: ( m tham số) Gọi hai nghiệm phân biệt phương trình cho Tìm giá trị m để thỏa mãn điều kiện sau: a b c Lời giải Phương trình có hai nghiệm phân biệt Áp dụng đinh lí Vi-ét, ta có: (1) (2) Ta có Đối chiếu với điều kiện m =2 thỏa mãn b ta có thay vào (1) ta suy thay ; vào (2) ta Đối chiếu với điều kiện ta thấy thõa mãn c Có thể giải theo hai cách sau Cách áp dụng tính chất thỏa mãn điều kiện Cách Ta có áp dụng định lí Vi-ét ta (thỏa mãn điều kiện ) Lưu ý: Khi giải dạng tốn này, gíá trị tham số tìm phải đối chiếu với điều kiện phương trình bậc hai có nghiệm hay có hai nghiệm phân biệt phải có điều kiện để biểu thức chứa nghiệm có nghĩa C CÁC BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI , HỆ THỨC VI-ÉT TRONG ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT TỈNH HÀ TĨNH Bài 1: ( Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2022– 2023) Cho phương trình x2 - 2( m - 1) x + m2 – = ( m tham số ) Tìm giá trị m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn: x1 ( x1 – 3) + x2 ( x2 – 3) = Lời giải : - Tính ∆ ' =[ −( m−1 ) ] −(m2−4 ) = -2m +5 - Điều kiện để Phương trình ( 1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 là: ' ∆ > 0⇔−2 m+5> 0⇔ m< (*) - Áp dụng định lý Vi ét ta có: { x1 + x 2=2 m−2 x x 2=m −4 (**) - Theo đề ta có: x1 ( x1 – 3) + x2 ( x2 – 3) = Biến đổi biểu thức ta được: ( x + x2 ) −2 x x 2−3( x 1+ x )= - Thay (**) vào biểu thức ta được : ( m−2 )2−2( m2−4)−3(2 m−2)= [ m=1 Suy ra: m2 – 7m + = ⇔ m=6 - Đối chiếu điều kiện (*) m = giá trị cần tìm Bài 2: ( Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2021– 2022) Cho phương trình x2 - 2( m +1) x + m2 = ( m tham số ) a) Giải phương trình với m = b) Tìm giá trị m để phương trình cho có hai nghiệm x1 , x2 thõa mãn: x12 + x22 + = 4x1x2 Lời giải : a) Thay m = vào phương trình x2 - 2( m +1) x + m2 = ( m tham số ) Ta phương trình: x2 – 4x + = ' ∆ =4−1=3 Do ∆ ' > nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1=2+ √ 3; x 2=2− √ b) - Tính ∆ ' =( m+ )2−m2 = 2m + - Điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 ∆' ≥ ⇔2m + 1≥ ⇔m ≥ - Áp dụng định lý Vi ét ta có: 10 −1 (*) { x1 + x 2=2 m+2 x x 2=m2 (**) - Theo đề ta có x12 + x22 + = 4x1x2 Biến đổi biểu thức ta được: ( x + x2 ) −2 x x +6=4 x1 x2 Thay (**) vào biểu thức ta ( m+ )2−2 m2 +6=4 m ⇔ 2m2−8 m−10=0 [ ⇔ m −4 m−5=0 ⟺ m=−1 m=5 - Đối chiếu điều kiện (*) m = giá trị cần tìm Bài 3: ( Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2019 – 2020) Cho phương trình x2 – 6x + m- = ( m tham số) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn: ( x1 - 1) ( x22 – 5x2 + m – 4) = Lời giải - Tính ∆ ' = – m + = 12 – m - Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ∆ > ⇔12-m >0⇔ m