Chuyên đề bất đẳng thức và cực trị đại số

21 0 0
Chuyên đề  bất đẳng thức và cực trị đại số

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ ĐẠI SỐ A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1 Định nghĩa 2 Tính chất + A > B và B > C + A > B A + C > B + C + A > B và C > D A+C > B + D + A > B và C > 0 A C > B C + A > B và C < 0[.]

Chuyên đề : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ ĐẠI SỐ A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Định nghĩa Tính chất + A > B B > C + A > B ⇒A + C > B + C + A > B C > D ⇒ A+C > B + D + A > B C > ⇒ A.C > B.C + A > B C < ⇒ A.C < B.C + < A < B < C < D ⇒ < A.C < B.D n n + A > B > ⇒ A > B ∀n n n + A > B ⇒ A > B với n lẻ + |A| > |B| ⇒ A > Bn với n chẵn m n + m > n > A > ⇒ A > A m n + m > n > + A < B A.B > ⇒ A B Một số bất đẳng thức thường dùng a) A ¿ với ∀ A ( Dấu “=” xảy A = ) b) A2n với ∀ A ( Dấu “=” xảy A = ) c) |A|≥0 với ∀ A (Dấu “=” xảy A = ) d) -|A| |A| e) ( Dấu “=” xảy A.B 0) f) ( Dấu “=” xảy A B ) g) Bất đẳng thức Cô si: Với số khơng âm a1; a2;……….an ta có: a1 + a2 + a3 + +a n n ≥n √ a1 a2 a3 an Dấu = xảy a1 = a2 = ….= an Thường sử dụng dạng sau: n Điều kiện n =2 x, y≥ n=3 x, y, z ≥ x+ y ≥ √ xy Dạng ( ) ( x+ y ≥ xy 1 + ≥ x y x+ y (x, y ¿ ¿ Dạng Dạng (x+ y) Dạng ) x+ y+ z ≥ xyz 1 + + ≥ x y y x+ y+z (x, y, z ¿ ¿ ( 1x + 1y )≥ (x+ y+z) (x, y >0) x= y Đẳng thức xảy x+ y + z ≥ √ xyz ( 1x + 1y + 1z )≥ (x, y, z >0) x=y=z Hệ quả: Hai số dương có tổng khơng đổi, tích lớn hai số Hai số dương có tích khơng đổi, tổng nhỏ hai số h) Bất đẳng thức Bunhiacopxki: Với hai số ta có: Dấu “=” xảy Hệ quả: ( Bất đẳng thức Svacxo): Với n số thực tùy ý n số dương ta có: Dấu “=” xảy B CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp : Dùng định nghĩa Lưu ý: Để chứng minh A > B ta chứng minh A – B > x +2 Ví dụ 1: Chứng minh rằng: ≥ √ x +1 Giải: x +2 √ x +1 −2= x + 2−2 √ x +1 2 √ x +1 = ( √ x +1−1) √ x 2+1 x +2 ≥2 ≥ Do đó: √ x +1 Ví dụ 2: Cho a ≥ , b ≥0 Chứng minh rằng: a √ b−1+b √ a−1 ≤ a b Hướng dẫn giải: Ta có: ab−a √ b−1−b √ a−1= (2 ab−2 a √ b−1−2 b √ a−1) ¿ [ ( ab−2 a √ b−1 )+ ( ab−2b √a−1 ) ] ¿ ¿ 2 ¿ [a ( √ b−1−1) +b ( √ a−1−1) ]≥ Do đó a √ b−1+b √ a−1 ≤ a b Phương pháp : Dùng phép biến đổi tương đương Lưu ý: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức bất đẳng thức chứng minh Ví dụ 1: Cho a > 0, b > Chứng minh rằng: ⇔ √ ab 4 ≤ √ ab❑ √ab ≤ √ ab( √ a+ √ b) √ a+ √ b ⇔ √ ab ≤ √ ab √ a+√ b Hướng dẫn giải: ⇔ 4 4 ❑ √ab ( √ a+ √ b−2 √ ab ) ≥ 0❑ √ ab ( √ a−√ b ) ≥0 (hiển nhiên đúng) √ ab ≤ √ ab Vậy √ a+ √ b Phương pháp 3: Phương pháp làm trội Lưu ý : Dùng tính bất đẳng thức để đưa vế bất đẳng thức dạng tính tổng hữu hạn tích hữu hạn a Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn : S = u1  u2   un Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát u k hiệu hai số hạng liên tiếp nhau: uk ak  ak 1 Khi : S = a1  a2  a2  a3   an  an1  a1  an1 b Phương pháp chung tính tích hữu hạn P = u1u2 un ak Biến đổi số hạng u k thương hai số hạng liên tiếp nhau: u k = ak 1 a1 a2 a a n  Khi P = a2 a3 an1 an1 Ví dụ : Cho Ta có: số nguyên dương Chứng minh Hướng dẫn giải: Áp dụng kết cho ta có điều phải chứng minh : Cho số tự nhiên phân biệt a1 , a2 , .an lớn Chứng minh rằng: Ví dụ HD giải: Khơng tính tổng qt, giả sử: Do Phương pháp 4: Chứng minh phản chứng Lưu ý: Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức , ta giả sử bất đẳng thức sai kết hợp với giả thiết để suy điều vơ lý , điều vơ lý điều trái với giả thiết , điều trái ngược Từ suy bất đẳng thức cần chứng minh Ví dụ: Cho < a, b, c < Chứng minh có bất đẳng thức sau sai: Hướng dẫn giải: Giả sử bất đẳng thức , ta có , < a, b, c < nên Suy Mặt khác , tương tự Do Ta thấy (1) (2) mâu thuẫn nên điều giả sử sai Vậy bất đẳng thức cho đầu có bất đẳng thức sai Phương pháp quy nạp: Lưu ý : Để chứng minh bất đẳng thức với ta thực bước sau : - Kiểm tra bất đẳng thức với n n0 - Giả sử BĐT với n = k (thay n = k vào BĐT cần chứng minh gọi giả thiết quy nạp ) - Ta chứng minh bất đẳng thức với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứng minh biến đổi để dùng giả thiết quy nạp) - Kết luận BĐT với Ví dụ: Chứng minh rằng: Với n = ta có với Hướng dẫn giải: Giả sử bất đẳng thức với n = k tức là: Ta cần chứng minh bất đẳng thức với n = k + Thật vậy, ta có: Ta cần chứng minh Ta có (*) Suy (*) Vậy bất đẳng thức (1) với Phương pháp 6: Phương pháp dùng bất đẳng thức cổ điển 6.1 Bất đẳng thức Cô si: số kỹ thuật thường dùng a) Kỹ thuật chọn điểm rơi Ví dụ 1: Cho x Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = Phân tích định hướng lời giải: Dự đốn dấu “=” xảy x = Để “ bảo toàn” dấu sử dụng bất đẳng thức Cô si ta chọn số Cho x = Từ ta có lời giải sau: A= Dấu “=” xảy x = Vậy A = x = Lời giải sai: Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số dương ta có: Kết luận: A = Nguyên nhân: Lời giải sai đánh giá , đẳng thức xảy , giá trị khơng nằm miền xác định tốn x 1, nói cách khác chọn sai điểm rơi tốn Ví dụ 2: Cho a, b, c ≥ a + b + c = Chứng minh: Hướng dẫn giải: a) √ a+b + √ b+ c +√ c +a < Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: a+b+ √ a+b ≤ b+ c+ √ b+ c ≤ c +a+ √ c +a ≤ 2 ( a+ b+c ) +3 =2 a+b=1 b+ c=1 Dấu “=” xảy ⇔ c +a=1 vô lý ⇒ Dấu “=” không xảy a+b+c =1 Vậy √ a+b + √ b+ c +√ c +a < b) √ a+b + √ b+ c +√ c +a ≤ √ √ a+b + √ b+ c +√ c +a ≤ { Phân tích định hướng lời giải: Dự đoán dấu “=” xảy Từ để bảo tồn dấu “=” cho tốn , ta đánh gía sau: Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có: √ √ √ 2 a + b + ≥ ( a+b) 2 b + c + ≥ (b +c) 2 c + a + ≥ ( c+ a) Suy 2(a + b + c) + 2≥ ⇔2: √ √ ¿ + √ b+ c +√ c +a ) ≥ √ a+ b + √ b+ c +√ c +a ⇒ đpcm Ví dụ 3: Cho số thực a, b thỏa mãn Tìm GTLN P = ab Phân tích định hướng lời giải Từ giả thiết ta dự đoán P đạt GTLN a = b = , 8a = 3b, ta sử dụng bất đẳng thức Cô si cách khéo léo sau: Kết luận: maxP = 24 a = b = Ví dụ 4: Cho a, b, c > thỏa mãn a2 + b2 + c2 = Tìm GTNN biểu thức : T= Sai lầm thường gặp: Nguyên nhân sai lầm: T = Phân tích tìm tịi lời giải: Dự đốn điểm rơi Sơ đồ điểm rơi (hệ số điểm rơi) T= Vậy T = * Điểm rơi tự hay nguyên lý đồng bậc bất đẳng thức Cô si Ví dụ 5: CMR: Hướng dẫn giải: Sử dụng giả thiết ab + bc+ ca = để đưa bất đẳng thức đồng bậc hai vế Ví dụ 6: Hướng dẫn giải: Ví dụ 7: CMR: Hướng dẫn giải: Sử dụng giả thiết a + b + c = để đưa bất đẳng thức đồng bậc hai vế 2 Sử dụng bất đẳng thức AM- GM ta có: Suy Ví dụ 8: Cho CMR: Hướng dẫn giải: Sử dụng giả thiết a + b+ c = để đưa bất đẳng thức đồng bậc hai vế Sử dụng bất đẳng thức AM- GM ta có: Ví dụ 9: CMR : Hướng dẫn giải: Sử dụng giả thiết ab + bc+ ca = để đưa bất đẳng thức đồng bậc hai vế Ta có: * Sử dụng bổ đề: Ví dụ 10: Cho a, b, c > CMR: Áp dụng Bổ đề Hướng dẫn giải: ta có: Ví dụ 11: Cho a, b, c > thõa mãn abc = CMR: Hướng dẫn giải: Bổ đề: Sử dụng bổ đề ta có: Suy b) Kỹ thuật Cơ si ngược dấu Ví dụ 1: Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a+ b + c = Chứng minh: Phân tích tìm tịi lời giải: Ở tốn này, nhìn sử dụng bất đẳng thức Cô si kiểu ngược dấu ta bị Để ý theo bất đẳng thức Cô si Hồn tồn tương tự ta có Cộng ba bất đẳng thức vế theo vế ta được: Vậy chứng minh hoàn tất ta Đây điều hiển nhiên Dấu “=” xảy a = b = c = Ví dụ Cho Chứng minh rằng: Hướng dẫn giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: Tương tự: Cộng ba bất đẳng thức lại vế theo vế, ta được: Bài toán quy chứng minh: Bất đẳng thức cuối hiển nhiên theo bất đẳng thức Cơ si , ta có: Bài tốn chứng minh xong Đẳng thức xảy c Kỹ thuật ghép đối xứng Chú ý: Ví dụ Cho ba số dương Từ giả thiết thỏa mãn Hướng dẫn giải: Chứng minh , ta suy ra: Hồn tồn tương tự ta có: Nhân ba bất đẳng thức lại theo vế, ta thu được: d) Kỹ thuật đặt ẩn phụ Một số kỹ thuật hay gặp sau: +) Khi có giả thiết : ta biến đổi thành: đặt +) Khi gặp giả thiết ta viết thành: Đặt +) Khi gặp giả thiết: Ta viết thành: Đặt +) Từ Đặt ta suy Từ suy gặp giả thiết: ta đặt: - Nếu đổi ta có: tương đương với Vì gặp giả thiết Ví dụ 1: Cho ta đặt số thực dương thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn biểu thức Từ giả thiết Hướng dẫn giải: , ta có Giả thiết trở thành: Đặt , Để ý rằng: Lúc có dạng Theo bất đẳng thức Cơ si, ta có: hay Dấu = xảy Vậy Ví dụ 2: Cho Chứng minh: Đặt Từ giả thiết ta có Hướng dẫn giải: , đặt Lúc dễ thấy Theo bất đẳng thức Cơ si ta có: , , Cộng vế ba bất đẳng thức chiều ta có Mặt khác ta có kết quen thuộc: Vậy kết hợp với suy Ví dụ 3: Cho x, y số thực thỏa mãn điều kiện x + y + xy = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x2 + y2 Hướng dẫn giải: Để ý theo bất đẳng thức AM-GM thì: 2 (x+ y) t = t + đó: t = x + y 4 ≥ Từ ta suy t + 4t – 32 t ≤ -8; t ≥ Và t ≥ 16 Mặt khác ta lại có: ( x + y ) t 16 = ≥ =8 x2 + y2 ≥ 2 x+ y=4 ⇔ x= y=2 x= y Đẳng thức xảy khi: x+ y+ xy =8 = x + y + xy ≤ x + y + { Vậy ta kết luận P = x = y = Bất đẳng thức Bunhiacopxki Ví dụ 1: Cho 2x + y = Chứng minh rằng: a) b) Hướng dẫn giải: a) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai số (2; 1) (x; y) ta được: Dấu “=” xảy b) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai số (1;1; 1) (x;x; y) ta được: Dầu “=” xảy Ví dụ 2: Cho x > 0; y > Tìm GTNN Hướng dẫn giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có : Dấu “=” xảy Vậy A = 2009 *) Nếu sử dụng hệ bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có : Dấu “=” xảy Vậy A = 2009 III MỘT SỐ BÀI TẬP Bài Cho số tự nhiên phân biệt a1 , a2 , .an lớn Chứng minh rằng: Hướng dẫn giải Khơng tính tổng quát, giả sử: Do Bài Cho số a, b, c thỏa mãn điều kiện Chứng minh rằng: Hướng dẫn giải Ta có: Nếu Mặt khác, nên: Tương tự: Nếu Từ ta có , tương tự Bài Cho x, y, z số dương thỏa mãn xyz = Chứng minh rằng: Hướng dẫn giải Ta có: Suy ra: Do đó, với VT biểu thức vế trái bất đẳng thức cần chứng minh, ta có: Dấu “=” xảy Bài Cho x, y, z số dương thỏa mãn x2 + y2 + z2 = 12 Chứng minh rằng: Hướng dẫn giải Ta có: Do đó: Dấu “=” xảy Bài Cho a, b, c số dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: Hướng dẫn giải Với , áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có: Do đó: Ta chứng minh: Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có: Dấu “=” xảy Bài Cho a, b, c số dương Chứng minh rằng: Hướng dẫn giải Ta có: Theo bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có: Dấu “=” khơng xảy ra, Bài Cho số dương thoả mãn Chứng minh rằng: Hướng dẫn giải Ta có: Cộng vế bất đẳng thức ta : Mặt khác ta có Tương tự: Vậy Dấu “=” xảy Bài Cho số dương Chứng minh rằng: Hướng dẫn giải Ta có: Đặt Từ suy Dấu “=” xảy Bài Cho số dương hay thoả mãn: Chứng minh rằng: Hướng dẫn giải Ta có: Dấu “=” xảy ... minh bất đẳng thức với n = k + Thật vậy, ta có: Ta cần chứng minh Ta có (*) Suy (*) Vậy bất đẳng thức (1) với Phương pháp 6: Phương pháp dùng bất đẳng thức cổ điển 6.1 Bất đẳng thức Cô si: số. .. đưa bất đẳng thức đồng bậc hai vế 2 Sử dụng bất đẳng thức AM- GM ta có: Suy Ví dụ 8: Cho CMR: Hướng dẫn giải: Sử dụng giả thiết a + b+ c = để đưa bất đẳng thức đồng bậc hai vế Sử dụng bất đẳng thức. .. dẫn giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: Tương tự: Cộng ba bất đẳng thức lại vế theo vế, ta được: Bài toán quy chứng minh: Bất đẳng thức cuối hiển nhiên theo bất đẳng thức Cơ si , ta có:

Ngày đăng: 27/02/2023, 20:14

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan