Chuyên đề bất đẳng thức và cực trị đại số

Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ ĐẠI SỐ A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1 Định nghĩa 2 Tính chất + A > B và B > C + A > B A + C > B + C + A > B và C > D A+C > B + D + A > B và C > 0 A C > B C + A > B và C < 0[.]

Chuyên đề : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ ĐẠI SỐ A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Định nghĩa Tính chất + A > B B > C + A > B ⇒A + C > B + C + A > B C > D ⇒ A+C > B + D + A > B C > ⇒ A.C > B.C + A > B C < ⇒ A.C < B.C + < A < B < C < D ⇒ < A.C < B.D n n + A > B > ⇒ A > B ∀n n n + A > B ⇒ A > B với n lẻ + |A| > |B| ⇒ A > Bn với n chẵn m n + m > n > A > ⇒ A > A m n + m > n > + A < B A.B > ⇒ A B Một số bất đẳng thức thường dùng a) A ¿ với ∀ A ( Dấu “=” xảy A = ) b) A2n với ∀ A ( Dấu “=” xảy A = ) c) |A|≥0 với ∀ A (Dấu “=” xảy A = ) d) -|A| |A| e) ( Dấu “=” xảy A.B 0) f) ( Dấu “=” xảy A B ) g) Bất đẳng thức Cô si: Với số khơng âm a1; a2;……….an ta có: a1 + a2 + a3 + +a n n ≥n √ a1 a2 a3 an Dấu = xảy a1 = a2 = ….= an Thường sử dụng dạng sau: n Điều kiện n =2 x, y≥ n=3 x, y, z ≥ x+ y ≥ √ xy Dạng ( ) ( x+ y ≥ xy 1 + ≥ x y x+ y (x, y ¿ ¿ Dạng Dạng (x+ y) Dạng ) x+ y+ z ≥ xyz 1 + + ≥ x y y x+ y+z (x, y, z ¿ ¿ ( 1x + 1y )≥ (x+ y+z) (x, y >0) x= y Đẳng thức xảy x+ y + z ≥ √ xyz ( 1x + 1y + 1z )≥ (x, y, z >0) x=y=z Hệ quả: Hai số dương có tổng khơng đổi, tích lớn hai số Hai số dương có tích khơng đổi, tổng nhỏ hai số h) Bất đẳng thức Bunhiacopxki: Với hai số ta có: Dấu “=” xảy Hệ quả: ( Bất đẳng thức Svacxo): Với n số thực tùy ý n số dương ta có: Dấu “=” xảy B CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp : Dùng định nghĩa Lưu ý: Để chứng minh A > B ta chứng minh A – B > x +2 Ví dụ 1: Chứng minh rằng: ≥ √ x +1 Giải: x +2 √ x +1 −2= x + 2−2 √ x +1 2 √ x +1 = ( √ x +1−1) √ x 2+1 x +2 ≥2 ≥ Do đó: √ x +1 Ví dụ 2: Cho a ≥ , b ≥0 Chứng minh rằng: a √ b−1+b √ a−1 ≤ a b Hướng dẫn giải: Ta có: ab−a √ b−1−b √ a−1= (2 ab−2 a √ b−1−2 b √ a−1) ¿ [ ( ab−2 a √ b−1 )+ ( ab−2b √a−1 ) ] ¿ ¿ 2 ¿ [a ( √ b−1−1) +b ( √ a−1−1) ]≥ Do đó a √ b−1+b √ a−1 ≤ a b Phương pháp : Dùng phép biến đổi tương đương Lưu ý: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức bất đẳng thức chứng minh Ví dụ 1: Cho a > 0, b > Chứng minh rằng: ⇔ √ ab 4 ≤ √ ab❑ √ab ≤ √ ab( √ a+ √ b) √ a+ √ b ⇔ √ ab ≤ √ ab √ a+√ b Hướng dẫn giải: ⇔ 4 4 ❑ √ab ( √ a+ √ b−2 √ ab ) ≥ 0❑ √ ab ( √ a−√ b ) ≥0 (hiển nhiên đúng) √ ab ≤ √ ab Vậy √ a+ √ b Phương pháp 3: Phương pháp làm trội Lưu ý : Dùng tính bất đẳng thức để đưa vế bất đẳng thức dạng tính tổng hữu hạn tích hữu hạn a Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn : S = u1  u2   un Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát u k hiệu hai số hạng liên tiếp nhau: uk ak  ak 1 Khi : S = a1  a2  a2  a3   an  an1  a1  an1 b Phương pháp chung tính tích hữu hạn P = u1u2 un ak Biến đổi số hạng u k thương hai số hạng liên tiếp nhau: u k = ak 1 a1 a2 a a n  Khi P = a2 a3 an1 an1 Ví dụ : Cho Ta có: số nguyên dương Chứng minh Hướng dẫn giải: Áp dụng kết cho ta có điều phải chứng minh : Cho số tự nhiên phân biệt a1 , a2 , .an lớn Chứng minh rằng: Ví dụ HD giải: Khơng tính tổng qt, giả sử: Do Phương pháp 4: Chứng minh phản chứng Lưu ý: Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức , ta giả sử bất đẳng thức sai kết hợp với giả thiết để suy điều vơ lý , điều vơ lý điều trái với giả thiết , điều trái ngược Từ suy bất đẳng thức cần chứng minh Ví dụ: Cho < a, b, c < Chứng minh có bất đẳng thức sau sai: Hướng dẫn giải: Giả sử bất đẳng thức , ta có , < a, b, c < nên Suy Mặt khác , tương tự Do Ta thấy (1) (2) mâu thuẫn nên điều giả sử sai Vậy bất đẳng thức cho đầu có bất đẳng thức sai Phương pháp quy nạp: Lưu ý : Để chứng minh bất đẳng thức với ta thực bước sau : - Kiểm tra bất đẳng thức với n n0 - Giả sử BĐT với n = k (thay n = k vào BĐT cần chứng minh gọi giả thiết quy nạp ) - Ta chứng minh bất đẳng thức với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứng minh biến đổi để dùng giả thiết quy nạp) - Kết luận BĐT với Ví dụ: Chứng minh rằng: Với n = ta có với Hướng dẫn giải: Giả sử bất đẳng thức với n = k tức là: Ta cần chứng minh bất đẳng thức với n = k + Thật vậy, ta có: Ta cần chứng minh Ta có (*) Suy (*) Vậy bất đẳng thức (1) với Phương pháp 6: Phương pháp dùng bất đẳng thức cổ điển 6.1 Bất đẳng thức Cô si: số kỹ thuật thường dùng a) Kỹ thuật chọn điểm rơi Ví dụ 1: Cho x Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = Phân tích định hướng lời giải: Dự đốn dấu “=” xảy x = Để “ bảo toàn” dấu sử dụng bất đẳng thức Cô si ta chọn số Cho x = Từ ta có lời giải sau: A= Dấu “=” xảy x = Vậy A = x = Lời giải sai: Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số dương ta có: Kết luận: A = Nguyên nhân: Lời giải sai đánh giá , đẳng thức xảy , giá trị khơng nằm miền xác định tốn x 1, nói cách khác chọn sai điểm rơi tốn Ví dụ 2: Cho a, b, c ≥ a + b + c = Chứng minh: Hướng dẫn giải: a) √ a+b + √ b+ c +√ c +a < Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: a+b+ √ a+b ≤ b+ c+ √ b+ c ≤ c +a+ √ c +a ≤ 2 ( a+ b+c ) +3 =2 a+b=1 b+ c=1 Dấu “=” xảy ⇔ c +a=1 vô lý ⇒ Dấu “=” không xảy a+b+c =1 Vậy √ a+b + √ b+ c +√ c +a < b) √ a+b + √ b+ c +√ c +a ≤ √ √ a+b + √ b+ c +√ c +a ≤ { Phân tích định hướng lời giải: Dự đoán dấu “=” xảy Từ để bảo tồn dấu “=” cho tốn , ta đánh gía sau: Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có: √ √ √ 2 a + b + ≥ ( a+b) 2 b + c + ≥ (b +c) 2 c + a + ≥ ( c+ a) Suy 2(a + b + c) + 2≥ ⇔2: √ √ ¿ + √ b+ c +√ c +a ) ≥ √ a+ b + √ b+ c +√ c +a ⇒ đpcm Ví dụ 3: Cho số thực a, b thỏa mãn Tìm GTLN P = ab Phân tích định hướng lời giải Từ giả thiết ta dự đoán P đạt GTLN a = b = , 8a = 3b, ta sử dụng bất đẳng thức Cô si cách khéo léo sau: Kết luận: maxP = 24 a = b = Ví dụ 4: Cho a, b, c > thỏa mãn a2 + b2 + c2 = Tìm GTNN biểu thức : T= Sai lầm thường gặp: Nguyên nhân sai lầm: T = Phân tích tìm tịi lời giải: Dự đốn điểm rơi Sơ đồ điểm rơi (hệ số điểm rơi) T= Vậy T = * Điểm rơi tự hay nguyên lý đồng bậc bất đẳng thức Cô si Ví dụ 5: CMR: Hướng dẫn giải: Sử dụng giả thiết ab + bc+ ca = để đưa bất đẳng thức đồng bậc hai vế Ví dụ 6: Hướng dẫn giải: Ví dụ 7: CMR: Hướng dẫn giải: Sử dụng giả thiết a + b + c = để đưa bất đẳng thức đồng bậc hai vế 2 Sử dụng bất đẳng thức AM- GM ta có: Suy Ví dụ 8: Cho CMR: Hướng dẫn giải: Sử dụng giả thiết a + b+ c = để đưa bất đẳng thức đồng bậc hai vế Sử dụng bất đẳng thức AM- GM ta có: Ví dụ 9: CMR : Hướng dẫn giải: Sử dụng giả thiết ab + bc+ ca = để đưa bất đẳng thức đồng bậc hai vế Ta có: * Sử dụng bổ đề: Ví dụ 10: Cho a, b, c > CMR: Áp dụng Bổ đề Hướng dẫn giải: ta có: Ví dụ 11: Cho a, b, c > thõa mãn abc = CMR: Hướng dẫn giải: Bổ đề: Sử dụng bổ đề ta có: Suy b) Kỹ thuật Cơ si ngược dấu Ví dụ 1: Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a+ b + c = Chứng minh: Phân tích tìm tịi lời giải: Ở tốn này, nhìn sử dụng bất đẳng thức Cô si kiểu ngược dấu ta bị Để ý theo bất đẳng thức Cô si Hồn tồn tương tự ta có Cộng ba bất đẳng thức vế theo vế ta được: Vậy chứng minh hoàn tất ta Đây điều hiển nhiên Dấu “=” xảy a = b = c = Ví dụ Cho Chứng minh rằng: Hướng dẫn giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: Tương tự: Cộng ba bất đẳng thức lại vế theo vế, ta được: Bài toán quy chứng minh: Bất đẳng thức cuối hiển nhiên theo bất đẳng thức Cơ si , ta có: Bài tốn chứng minh xong Đẳng thức xảy c Kỹ thuật ghép đối xứng Chú ý: Ví dụ Cho ba số dương Từ giả thiết thỏa mãn Hướng dẫn giải: Chứng minh , ta suy ra: Hồn tồn tương tự ta có: Nhân ba bất đẳng thức lại theo vế, ta thu được: d) Kỹ thuật đặt ẩn phụ Một số kỹ thuật hay gặp sau: +) Khi có giả thiết : ta biến đổi thành: đặt +) Khi gặp giả thiết ta viết thành: Đặt +) Khi gặp giả thiết: Ta viết thành: Đặt +) Từ Đặt ta suy Từ suy gặp giả thiết: ta đặt: - Nếu đổi ta có: tương đương với Vì gặp giả thiết Ví dụ 1: Cho ta đặt số thực dương thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn biểu thức Từ giả thiết Hướng dẫn giải: , ta có Giả thiết trở thành: Đặt , Để ý rằng: Lúc có dạng Theo bất đẳng thức Cơ si, ta có: hay Dấu = xảy Vậy Ví dụ 2: Cho Chứng minh: Đặt Từ giả thiết ta có Hướng dẫn giải: , đặt Lúc dễ thấy Theo bất đẳng thức Cơ si ta có: , , Cộng vế ba bất đẳng thức chiều ta có Mặt khác ta có kết quen thuộc: Vậy kết hợp với suy Ví dụ 3: Cho x, y số thực thỏa mãn điều kiện x + y + xy = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x2 + y2 Hướng dẫn giải: Để ý theo bất đẳng thức AM-GM thì: 2 (x+ y) t = t + đó: t = x + y 4 ≥ Từ ta suy t + 4t – 32 t ≤ -8; t ≥ Và t ≥ 16 Mặt khác ta lại có: ( x + y ) t 16 = ≥ =8 x2 + y2 ≥ 2 x+ y=4 ⇔ x= y=2 x= y Đẳng thức xảy khi: x+ y+ xy =8 = x + y + xy ≤ x + y + { Vậy ta kết luận P = x = y = Bất đẳng thức Bunhiacopxki Ví dụ 1: Cho 2x + y = Chứng minh rằng: a) b) Hướng dẫn giải: a) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai số (2; 1) (x; y) ta được: Dấu “=” xảy b) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai số (1;1; 1) (x;x; y) ta được: Dầu “=” xảy Ví dụ 2: Cho x > 0; y > Tìm GTNN Hướng dẫn giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có : Dấu “=” xảy Vậy A = 2009 *) Nếu sử dụng hệ bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có : Dấu “=” xảy Vậy A = 2009 III MỘT SỐ BÀI TẬP Bài Cho số tự nhiên phân biệt a1 , a2 , .an lớn Chứng minh rằng: Hướng dẫn giải Khơng tính tổng quát, giả sử: Do Bài Cho số a, b, c thỏa mãn điều kiện Chứng minh rằng: Hướng dẫn giải Ta có: Nếu Mặt khác, nên: Tương tự: Nếu Từ ta có , tương tự Bài Cho x, y, z số dương thỏa mãn xyz = Chứng minh rằng: Hướng dẫn giải Ta có: Suy ra: Do đó, với VT biểu thức vế trái bất đẳng thức cần chứng minh, ta có: Dấu “=” xảy Bài Cho x, y, z số dương thỏa mãn x2 + y2 + z2 = 12 Chứng minh rằng: Hướng dẫn giải Ta có: Do đó: Dấu “=” xảy Bài Cho a, b, c số dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: Hướng dẫn giải Với , áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có: Do đó: Ta chứng minh: Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có: Dấu “=” xảy Bài Cho a, b, c số dương Chứng minh rằng: Hướng dẫn giải Ta có: Theo bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có: Dấu “=” khơng xảy ra, Bài Cho số dương thoả mãn Chứng minh rằng: Hướng dẫn giải Ta có: Cộng vế bất đẳng thức ta : Mặt khác ta có Tương tự: Vậy Dấu “=” xảy Bài Cho số dương Chứng minh rằng: Hướng dẫn giải Ta có: Đặt Từ suy Dấu “=” xảy Bài Cho số dương hay thoả mãn: Chứng minh rằng: Hướng dẫn giải Ta có: Dấu “=” xảy ... minh bất đẳng thức với n = k + Thật vậy, ta có: Ta cần chứng minh Ta có (*) Suy (*) Vậy bất đẳng thức (1) với Phương pháp 6: Phương pháp dùng bất đẳng thức cổ điển 6.1 Bất đẳng thức Cô si: số. .. đưa bất đẳng thức đồng bậc hai vế 2 Sử dụng bất đẳng thức AM- GM ta có: Suy Ví dụ 8: Cho CMR: Hướng dẫn giải: Sử dụng giả thiết a + b+ c = để đưa bất đẳng thức đồng bậc hai vế Sử dụng bất đẳng thức. .. dẫn giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: Tương tự: Cộng ba bất đẳng thức lại vế theo vế, ta được: Bài toán quy chứng minh: Bất đẳng thức cuối hiển nhiên theo bất đẳng thức Cơ si , ta có: