Qua những bài học,những vấn đề toán cùng với những cáchthức suy luận đã giúp các em hình thành tưduy toán học.Toán học sơ cấp có lẽ là mảng toán học đòihỏi trí thông minh, óc tư duy linh
Nhiệm vụ, mục đích của đề tài
Đề tài "Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô-si" nhằm giới thiệu cho học sinh về bất đẳng thức Cô-si cùng với các kỹ thuật áp dụng hiệu quả Bài viết cũng nêu rõ những sai lầm phổ biến mà học sinh thường gặp khi sử dụng bất đẳng thức này Nội dung được trình bày theo hình thức lý thuyết kết hợp với ví dụ minh họa, giúp người đọc dễ dàng tiếp cận Ngoài việc tổng hợp các phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cô-si, đề tài còn cung cấp các bài toán thực tiễn để áp dụng những kỹ thuật đã được giới thiệu.
Phạm vi của đề tài
Học sinh lớp 8 trung học cơ sở lần đầu được giới thiệu về bất đẳng thức, đặc biệt là bất đẳng thức Cô-si Đây là một bước quan trọng trong quá trình phát triển tư duy toán học của các em Việc hiểu và áp dụng bất đẳng thức Cô-si sẽ giúp học sinh nâng cao khả năng giải quyết vấn đề và tư duy logic trong toán học.
Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức
Cô - si" hướng tới việc giúp cho học sinh lớp 8; lớp 9 có được những kiến thức về bất đẳng thức
Cô-si và các kỹ thuật liên quan đến nó giúp học sinh phát triển tư duy về bất đẳng thức, tạo nền tảng vững chắc cho những kiến thức nâng cao trong tương lai.
GIỚI THIỆU BẤT ĐẲNG THỨC CÔ – SI 1 Bất đẳng thức Cô-si
Những quy tắc chung
Quy tắc song hành là một công cụ hữu ích trong bất động sản, vì hầu hết các bài toán đều có tính đối xứng Việc áp dụng phương pháp chứng minh song hành và tuần tự không chỉ giúp hình dung kết quả một cách nhanh chóng mà còn định hướng cách giải quyết hiệu quả hơn.
Quy tắc dấu bằng " = " trong bất đẳng thức (BĐT) đóng vai trò quan trọng trong việc kiểm tra tính chính xác của chứng minh và định hướng phương pháp giải
Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng rất quan trọng trong việc áp dụng bất đẳng thức (BĐT) Nhiều học sinh và thậm chí một số giáo viên thường mắc sai lầm khi sử dụng dấu "=" mà không chú ý đến điều kiện đồng thời Khi áp dụng các BĐT song hành, cần đảm bảo rằng các dấu "=" được thỏa mãn cùng một lúc với cùng một điều kiện của biến Việc hiểu rõ nguyên tắc này sẽ giúp tránh những sai sót trong quá trình chứng minh và áp dụng BĐT.
Quy tắc biên là một nguyên tắc quan trọng trong các bài toán quy hoạch tuyến tính và tối ưu hóa, đặc biệt là trong việc xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm nhiều biến trên miền đóng Các giá trị này thường xuất hiện tại các vị trí biên và các đỉnh nằm trên biên, cho thấy tầm quan trọng của việc phân tích các điểm biên trong quá trình giải quyết bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc.
Quy tắc đối xứng trong bất đẳng thức (BĐT) cho thấy rằng các biến thường có vai trò tương đương, dẫn đến việc dấu "=" thường xuất hiện khi các biến bằng nhau Khi bài toán có hệ điều kiện đối xứng, chúng ta có thể xác định rằng dấu "=" xảy ra khi các biến đạt giá trị cụ thể và bằng nhau.
Chiều của BĐT : “ ≥ ”, “ ≤ ” cũng sẽ giúp ta định hướng được cách chứng minh: đánh giá từ TBC sang TBN và ngược lại
Dưới đây là 5 quy tắc giúp học sinh định hướng trong việc chứng minh bất đẳng thức (BĐT), với việc hiểu rõ hơn thông qua các ví dụ và bình luận ở phần sau Đánh giá từ trung bình cộng (TBC) sang tổng bình quân (TBN) liên quan đến việc đánh giá BĐT theo chiều “≥”, đồng thời chuyển từ tổng sang tích.
MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ - SI 1 Kỹ thuật 1: Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân
Kỹ thuật 2: Kỹ thuật tách nghịch đảo
Giải: Ta có nhận xét: b + a – b = a không phụ thuộc vào biến b đo đó hạng tử đầu a sẽ được phân tích như sau: a 1 b a b 1 C ôsi
Để giải bài toán, ta cần tách hạng tử đầu thành các hạng tử khác bằng cách thêm bớt cho phù hợp, từ đó giúp rút gọn các thừa số dưới mẫu Biểu thức dưới mẫu có dạng a b b 1 2, trong đó thừa số thứ nhất là đa thức bậc nhất của b, còn thừa số thứ hai là đa thức bậc hai của b Do đó, cần phân tích thành tích của các đa thức để tiến hành giải.
22 a b b 1b 1 k k k k k k a n bậc nhất đối với b, khi đó ta có thể tách hạng tử a thành tổng các hạng tử là các thừa số của mẫu.
Vậy ta có: a b b 1 2 = (a - b)( b + 1)( b + 1) ta phân tích a theo 2 cách sau:
Từ đó ta có (1) tương đương :
4. 4 ĐPCM Bài 5: Bài toán tổng quát: Cho: x x x , x n 0 và 1 k Z CMR: 3 a 1
Trong kỹ thuật tách nghịch đảo, cần tách phần nguyên theo mẫu số để khi chuyển sang TBN, các phần chứa biến số sẽ bị triệt tiêu, chỉ còn lại hằng số.
Trong kỹ thuật tách nghịch đảo cho bài toán có điều kiện ràng buộc, học sinh thường gặp phải sai lầm khi thực hiện tách nghịch đảo.
Một kỹ thuật thường được sử dụng trong kỹ thuật tách nghịch đảo, đánh giá từTBN sang TBC là kỹ thuật chọn điểm rơi.
Kỹ thuật 3: Kỹ thuật chọn điểm rơi
Trong kỹ thuật chọn điểm rơi, dấu "=" trong bất đẳng thức Cô-si cùng với các quy tắc tính đồng thời, quy tắc biên và quy tắc đối xứng được áp dụng để xác định điểm rơi của biến.
Bài 1: Cho a ≥ 2 Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của
Sai lầm thường gặp của học sinh: S a 1
a = 1 vô lí vì giả thiết là a ≥ 2. a
Ta áp dụng điều kiện dấu "=" với điểm rơi a = 2 để tìm ra α = 4 Điều này cho thấy tính đồng thời của dấu "=" trong việc áp dụng BĐT Cô-si cho hai số a, 1 và 3a đạt giá trị lớn nhất khi a = 2.
Ta chọn điểm rơi: ta phải tách hạng tử a hoặc hạng tử 1 để sao cho khi áp dụng a
BĐT Cô-si dấu “ = ” xảy ra khi a = 2 Có các hình thức tách sau:
(1 ) Chẳng hạn ta chọn sơ đồ điểm rơi (1):
(sơ đồ điểm rơi (2), (3), (4) học sinh tự làm)
Bài 2: Cho a ≥ 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Sơ đồ chọn điểm rơi:
Mặc dù chọn điểm rơi a = 2 và MinS 9
4 là đáp số đúng nhưng cách giải trên đã mắc sai lầm trong việc đánh giá mẫu số: Nếu a ≥ 2 thì 2
Để đạt được lời giải chính xác, cần áp dụng kỹ thuật tách nghịch đảo, biến đổi S sao cho khi sử dụng bất đẳng thức Cô-si, các biến số a ở mẫu số sẽ được khử hoàn toàn.
Tìm giá trị nhỏ nhất của S a b c a b c
Phân tích và tìm tòi lời giải:
Do S là mọt biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đoán MinS đạt tại điểm rơi a b c 1
Hoặc ta có sơ đồ điêm rơi sau:
Vậy ta có cách giải theo sơ đồ 2 như sau:
Phân tích và tìm tòi lời giải a b c 2
Do S là một biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đoán MinS đạt tại a 2 1 1
Việc lựa chọn điểm rơi cho bài toán đã được giải quyết chính xác về mặt toán học, nhưng phương pháp hiện tại vẫn còn khá phức tạp Nếu áp dụng điểm rơi cho BĐT Bunhiacôpski, bài toán sẽ trở nên đơn giản và hiệu quả hơn.
Trong bài toán này,
a c b d c a c c b c ab c a c abc b c ab c b c ab c a c ab
4 Kỹ thuật 4: Kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân (TBN) sang trung bình cộng (TBC)
Khi đánh giá từ TBC sang TBN, chúng ta sử dụng dấu “ ≥ ”, trong khi đánh giá từ tổng sang tích thì thay dấu “ + ” bằng dấu “ ” Ngược lại, khi đánh giá từ TBN sang trung bình cộng, chúng ta thay dấu “ ” bằng dấu “ + ”.
Và cũng cần phải chú ý làm sao khi biến tích thành tổng, thì tổng cũng phải triệt tiêu hết biến, chỉ còn lại hằng số.
Theo BĐT Cô-si ta có:
Khi giữ nguyên vế trái, việc biến tích thành tổng sẽ không cho phép triệt tiêu ẩn số Do đó, chúng ta có thể thực hiện phép biến đổi tương đương (1) Sau khi biến tích thành tổng, các phân thức sẽ có cùng mẫu số.
Dấu “ ≤ ” gợi ý cho ta nếu sử dụng BĐT Cô-si thì ta phải đánh giá từ TBN sang TBC
Giải Ta có (1) tương đương với :
Theo BĐT Cô-si ta có: 1
Giải: Ta có biến đổi sau, (1) tương đương:
Theo BĐT Cô-si ta có:
Ta có bài toán tổng quát 1:
Bài 4 : Chứng minh rằng: 16ab(a b) 2 (a b) 4
Ta nhận thấy biểu thức có tính đối xứng do đó dấu “ = ” của BĐT sẽ xảy ra khi a b c 1
Sau khi sử dụng BĐT Cô-si, điều kiện để xảy ra dấu "=" là a = b = c Vì vậy, chúng ta có thể đưa ra lời giải như sau:
Trong kỹ thuật đánh giá từ TBN sang TBC, việc nhân thêm các hằng số là cần thiết để biến tích thành tổng, giúp triệt tiêu các biến Tuy nhiên, đối với những bài toán có điều kiện ràng buộc, học sinh thường dễ mắc sai lầm khi thực hiện phép nhân này Bài viết sẽ nghiên cứu thêm hai phương pháp: phương pháp nhân thêm hằng số và phương pháp chọn điểm rơi trong đánh giá từ TBN sang TBC, với nội dung được trình bày gộp lại.
Kỹ thuật 5: Kỹ thuật nhân thêm hằng số
Trong bài viết này, chúng ta có thể chia cả hai vế cho ab và áp dụng phương pháp đánh giá từ TBN sang TBC như đã trình bày trước đó Tuy nhiên, ở đây, chúng ta sẽ sử dụng một phương pháp mới, đó là phương pháp nhân thêm hằng số.
Việc thêm hằng số 1 vào biểu thức có vẻ không tự nhiên, và câu hỏi đặt ra là tại sao lại chọn 1 mà không phải là 2 Thực chất, sự lựa chọn này liên quan đến việc xác định điểm rơi của BĐT theo quy tắc biên, với a = b = 1/2.
Nếu không nhận thức được rõ vấn đề trên học sinh sẽ mắc sai lầm như trong VD sau.
Tìm giá trị lớn nhất: S
Dấu “ = ” xảy ra a + b = b + c = c + a = 1 a + b + c = 2 trái với giả thiết.
Phân tích và tìm tòi lời giải:
Do vai trò của a, b, c trong các biểu thức là như nhau do đó điểm rơi của BĐT sẽ là a b c
3 từ đó ta dự đoán Max S = 6 a + b = b + c = c + a = 2
3 hằng số cần nhân thêm là 2
Vậy lời giải đúng là:
Bài toán trên nếu cho đầu bài theo yêu cầu sau thì học sinh sẽ có định hướng tốt hơn:
Trong bài toán tìm giá trị nhỏ nhất (Min), chúng ta có thể áp dụng kỹ thuật đánh giá từ TBN sang TBC cho phần dưới mẫu số Việc đánh giá từ TNB sang TBC sử dụng dấu “≤”, do đó, nghịch đảo của nó sẽ là “≥”.
Ta cũng có thể đánh giá tử số từ TBC sang TBN để có chiều “ ≥ ”
Bài toán tổng quát : nhiên nếu nắm được kỹ thuật điểm rơi thì việc viết đầu bài theo hướng nào cũng có thể giải quyết được.
Việc lựa chọn điểm rơi trong bài toán thường gây khó khăn cho học sinh Tuy nhiên, để đánh giá từ TBN sang TBC, cần phải triệt tiêu hết biến Do đó, dựa vào các hệ số của tích, việc nhân thêm 2 vào thừa số thứ nhất là một phương pháp hợp lý.
Dấu “ = ” xảy ra 4x = 2y = 2y y = 2x > 0 Đó là tập hợp tất cả các điểm thuộc đường thẳng y = 2x với x dương.
Việc chọn hệ số trong bài toán có thể linh hoạt, miễn sao khi áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có thể chuyển đổi tích thành tổng của x + y Có thể thêm hệ số như 2x.y.y để đạt được điều này.
xyyzzx bc ca ab ca ab bc bc ab ac b a 2 2 b c 2 2 b 2 c 2 c 2 a 2
Để sử dụng BĐT Cô-si từ TBN sang TBC, cần lưu ý rằng chỉ số căn thức quyết định số lượng các số hạng trong căn Nếu số các số hạng ít hơn chỉ số căn, cần nhân thêm hằng số để đảm bảo số các số hạng bằng với chỉ số căn.
6.Kỹ thuật 6: Kỹ thuật ghép đối xứng
Trong kỹ thuật ghép đối xứng chúng ta cần nắm được một số kiểu thao tác sau:
Phép nhân: x 2 y 2 z 2 xy yz zx ; xyz= x, y, z
a,b,c 0 Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
Giải Áp dụng BĐT Cô-si ta có: b 2 c 2 a 2 a b c
Bài 3: Cho tam giác ∆ABC, a,b,c là số đo ba cạnh của tam giác CMR: a) p a p b p c 1 abc ; b) 1 1 1 2 1 1 1
Giải a)Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
b)Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
Dấu “ = ” xảy ra cho cả a) và b) khi vào chỉ khi ∆ ABC đều: a = b = c
( p là nửa chu vi của tam giác
Bài 4: Cho ∆ ABC, a, b, c là số đo ba cạnh của tam giác Chứng minh rằng:
Giải Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
Dấu “ = ” xảy ra ∆ ABC đều: a = b = c.
Kỹ thuật 7: Kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo cho 3 số, n số
Nội dung cần nắm đượccác thao tác sau:
Ta biến đổi (1) tương đương:
Ta biến đổi tương đương BĐT như sau:
9 (đpcm ) Bài 3: Chứng minh rằng: c a b
Ta có biến đổi tương đương sau: 1 c 1 a 1 b 3 3 9 a b b c c a 2 2 a b c a b c a b c 9 a b b c c a 2 1 1 1 9
Ta biến đổi BĐT như sau: c c 2
Kỹ thuật 8: Kỹ thuật đổi biến số
Phương pháp đổi biến là kỹ thuật hữu ích trong toán học, cho phép chuyển đổi các bài toán phức tạp thành dạng dễ giải hơn Khi gặp phải các biểu thức toán học cồng kềnh hoặc khó nhận biết phương hướng giải, việc áp dụng phương pháp này giúp đơn giản hóa tình huống, từ đó tìm ra giải pháp hiệu quả hơn.
Khi đó bất đẳng thức đã cho tương đương với bất đẳng thức sau:
Bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng, Thật vậy áp dụng BĐT Cô-si ta có:
Bài 2: Cho ∆ABC Chứng minh rằng: a 2
a b c z 0 yz zx xy zx xy yz yz xy xz b c a
Khi đó bất đẳng thức đã cho tương đương với bất đẳng thức sau:
≥ yz zx xy 1 yz zx
Bài 3:Cho ∆ ABC CMR : ( b + c – a ).( c + a – b ).( a + b – c ) ≤ abc
Khi đó ta có BĐT (1) tương đương với bất đẳng thức sau: xyz x y
2 2 2 Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
Dấu “ = ” xảy ra x = y = z a = b = c ∆ ABC đều.
Kết luận và khuyến nghị về đề tài "Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô-si" cho thấy rằng tác giả đã đạt được một số mục tiêu ban đầu Những kỹ thuật này không chỉ giúp hiểu rõ hơn về bất đẳng thức mà còn mở ra hướng nghiên cứu mới trong lĩnh vực toán học.
- Học sinh rất hứng thú, không còn sợ bất đẳng thức nhưng lúc mới tiếp cận.
Học sinh bắt đầu áp dụng bất đẳng thức Cô-si để giải quyết các bài toán đơn giản, bao gồm việc chứng minh các bất đẳng thức cơ bản và tìm cực trị đại số.
- Học sinh có được các kỹ thuật cơ bản sử dụng bất đẳng thức Cô-si và ít mắc sai lầm khi vận dụng.
- Học sinh giỏi vận dụng tốt bất đẳng thức Cô-si trong các kỳ thi học sinh giỏi, thi vào trường chuyên lớp chọn, thi vào lớp 10 THPT.
Kết quả khảo sát trước và sau khi thực hiện đề tài cho thấy sự tiến bộ rõ rệt ở 52 học sinh lớp 9G và 50 học sinh đội tuyển thi học sinh giỏi cấp Quận, cũng như thi Olympic cấp Quận.
Biết bất đẳng thức Cô-Si
Từng áp dụng BĐT Cô-si vào giải toán Đã biết về các kỹ thuật sử dụng BĐT Cô- si mà học sinh biết
Hứng thú khi vận dụng bất đẳng thức Cô- si
Trước khi thực hiện đề tài
Sau khi thực hiện đề tài
Bất đẳng thức, đặc biệt là bất đẳng thức Cô-si, đóng vai trò quan trọng trong toán học hiện nay, đặc biệt đối với học sinh giỏi và học sinh chuyên toán Việc nắm vững kiến thức về bất đẳng thức giúp học sinh phát triển tư duy chứng minh và áp dụng bất đẳng thức để giải quyết các bài toán từ đơn giản đến phức tạp.
Tuy nhiên, từ góc nhìn cá nhân, đề tài này không thể tránh khỏi những sai sót Đặc biệt, kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô-si còn chưa đầy đủ và hệ thống bài tập chưa phong phú Người viết rất mong nhận được ý kiến đóng góp để hoàn thiện đề tài hơn.
Mọi ý kiến đóng góp vui lòng liên hệ:
Trường THCS Thái Thịnh - Quận Đống Đa – Thành Phố Hà Nội Địa chỉ: 131 A - Phố Thái Thịnh – Quận Đống Đa – Thành Phố Hà Nội Email: nguyencaocuong.hanoi@gmail.com