SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI SÁNG KIÉN KINH NGHIỆM MỌT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI Lĩnh vực Toán cấp học Trung học cơ sở Tên tác giả Nguyễn Cao Cường Đơn vị công tác Trường THCS Thái Thịn[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI SÁNG KIÉN KINH NGHIỆM MỌT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CƠ - SI Lĩnh vực: Tốn cấp học: Trung học sở Tên tác giả: Nguyễn Cao Cường Đơn vị công tác: Trường THCS Thái Thịnh, Quận Đống Đa Chức vụ: Phó Hiệu trưởng Năm học 2018 - 2019 MỤC LỤC Trang I Lý chọn đề tài II Nhiệm vụ, mục đích cùa đề tài III Phạm vi đề tài IV Đối tượng nghiên cứu phương pháp tiến hành Chương GIỚI THIỆU BẤT ĐẲNG THỨC CƠ - SI Bất đẳng thức Cơ-si 2 Nhùng qưy tăc chung Chương MỘT SỔ KỸ THUẬT sử DỤNG BĐT CÔ - SI Kỳ thuật 1: Đánh giá từ tiling bình cộng sang trung bình nhân .4 Kỳ thuật 2:Kỳ thuật tách nghịch đảo Kỳ thuật 3:Kỳ thuật chọn diêm rơi .7 Kỳ thuật 4:Kỳ thuật đánh giá từ TBN sang TBC .11 Kỳ thuật 5:Kỳ thuật nhân thêm số .12 Kỳ thuật 6: Kỳ thuật ghép đối xứng 15 Kỳ thuật 7:Kỳ thuật ghép cặp nghịch đào cho số, n số 16 Kỳ thuật 8:Kỳ thuật đổi biến số 18 Ket luận khuyến nghị 20 Tài liệu tham khảo MỜ ĐẦU I Lý chọn đề tài Tốn học nói chung tốn học phơ thơng nói riêng đà giúp người học, người nghiên cứu có kiến thức, tư dưy logic khả suy luận Đối với nhùng học sinh tiling học sờ, tốn học đă hình thành cho em nhùng kiến thức sở ban đầu, nhùng kiến thức cùa toán học đại Qua nhùng học nhùng van đề toán với nhùng cách thức suy luận đà giúp em hình thành tư tốn học Tốn học sơ cấp có lè màng tốn học địi hỏi trí thơng minh, óc tư linh hoạt người học, bất đăng thức (BĐT) van đề hay khó Từ lớp trung học sở, học sinh giới thiệu cách bàn bất đăng thức, phương pháp chứng minh bất đăng thức Và hầu hết nhùng người đà học bất đăng thức, biết bất đăng thức kinh điên, nôi tiếng: bất đăng thức Cô-si Nhưng thực tế chung học sinh phô thông việc vận dụng bất đăng thức Cơ - si vào giải tốn gặp nhiều khó khăn Chính vậy, đê giúp học sinh có thê khắc phục phần /-^1kỹ -^2 thuật nhùng khó khăn trên, tơi viết đề tài "Một số sử dụng bat đăng thức Cô - si” II Nhiệm vụ, mục đích đền tài ' —" ^Aj X2 *11 Đe tài "Một sốI I kỹ sử dụng bất đăng thức %n Cô - si" sè giới thiệu đen với I • • thuật ••• í *1 *2 học sinh bất đăng thức Cô số kỳ thuật sử dụng bat đăng thức Cô-si Bên n - si %n cạnh đó, đề tài chì nhùng sai lầm thường gặp học sinh sừ dụng bất đăng A\ = — n thức Cô - si ”2 Đe tài viết theo cách thức lý thuyết kèm với ví dụ minh họa Bên cạnh việc cung cap tơng kết+A„ nhùng sử thì: dụngMax bất (p đăng thức Cơ - si, đề tài cịn giới thiệu = s cách = const = XjX nhùng toán minh họa, áp dụng kỳ thuật giới thiệu III Phạm vi đề tài Xj = x2 = '”~n Với học sinh trung học sở, lớp em giới thiệu tiếp cận với Hệ 2: bất đăng thức nói chung bat đăng thức Cơ -si nói riêng Vì vậy, đề tài "Một số kỹ Neu: AjAS n=p = const thì: Min í = X + X thuật sử dụng bat đăng■thức Cô - si" hướng tới việc giúp cho học sinh lớp 8; lóp có nhùng thức về=bat đăng thức Cô-si số kỳ thuật sử dụng từ giúp cho A^ = A%kiến = xn = em phát triển tư bất đăng thức, đặt móng cho cấp độ lớn sau 1.2.Dạng cụ the ( số, số ): 11 = 2: V X, y > đó: 11 = 3: V X, y, z > đó: IV Đối tượng nghiên cứu phương pháp tiến hành Đề tài tập trung nghiên cứu bất đẳng thức Cô-si Trên sở nhùng kiến thức 1.2.1 bàn dạng bất đăng thức, tông kết kỳ thuật thường dùng 1.2.2 Phương pháp chủ yếu cùa đề tài phương pháp nghiên cứu tông kết kinh nghiệm thực tế giảng dạy 1.2.3 1.2.4 1,1,1^ X y z x+y 1.2.6 >4 , ,3 Bình luận: • Đê học sinh dề nhớ, ta nói: Trung bình cộng (TBC) > Trung bình nhân (TBN) • Dạng dạng đặt cạnh có vê tầm thường lại giúp ta nhận dạng sử dụng BĐT Cô Si: (3) đánh giá từ TBN sang TBC khơng có thức Những quy tắc chung chứng minh bất đăng thức sử dụng bất đăng thức Cô Si: Quy tắc song hành: hầu het BĐT có tính đoi xứng việc sừ dụng chứng minh cách song hành, sè giúp ta hình dung kết nhanh chóng định hướng cách giả nhanh Quy tắc dấu bằng: dấu “ = ” BĐT quan trọng Nó giúp ta kiêm tra tính đắn chứng minh Nó định hướng cho ta phương pháp giải, dựa vào diêm rơi BĐT Chính mà dạy cho học sinh ta rèn luyện cho học sinh có thói quen tìm điều kiện xây dấu kì thi học sinh có thê khơng trình bày phần Ta thay ưư diêm cùa dấu đặc biệt phương pháp diêm rơi phương pháp tách nghịch đào kỳ thuật sữ dụng BĐT Cơ Si Quy tắc tính đồng thời dấu bằng: khơng chì học sinh mà số giáo viên nghiên cứu chứng minh BĐT thương hay mắc sai lầm Áp dụng liên tiếp song hành BĐT không ý đen diêm rơi dấu Một nguyên tắc áp dụng song hành BĐT diêm rơi phải đồng thời xảy ra, nghía dấu “ = ” phải được thôa với điều kiện cùa biến Quy tắc biên: Cơ sờ quy tắc biên tốn quy hoạch tuyến tính, tốn toi ưu, tốn cực trị có điều kiện ràng buộc, giá trị lớn nhô cùa hàm nhiều biến miền đóng Ta biết giá trị lớn nhất, nhỏ thường xây vị trí biên đình nằm biên Quy tắc đối xứng: BĐT thường có tính đoi xứng vai trị biển BĐT dấu “ = ” thường xảy vị trí biển Neu tốn có gắn hệ điều kiện đối xứng ta có thê chi dấu “ = ” xảy biến mang giá trị cụ thê Chiều BĐT : “ > ”, “ < ” sè giúp ta định hướng cách chứng minh: đánh giá từ TBC sang TBN ngược lại Trên quy tắc sè giúp ta có định hướng đê chứng minh BĐT, học sinh thực hiêu quy tắc qua ví dụ bình luận phần sau CHƯƠNG MỘT SỔ KỸ THUẬT sử DỤNG BĐT CÔ - SI Kỹ thuật Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân Đánh giá từ TBC sang TBN đánh giá BĐT theo chiều “ > ” Đánh giá từ tơng sang tích Bài 1: Chứng minh rằng: (ứ2 + b2)(b2 + c2)íc2 + ứ2) > 8a2b2c2 x/a,b,c Giải Sai lầm thường gặp: Sử dụng: V X, y X2 - 2xy + y2 = ( X- y)2 > X2 + y2 > 2xy Do đó: ữ2 +Ẳ>2 >2ab b2+c2>2bc => (ữ2+ỗ2)(ỗ2+c2)(c2+ữ2)>8ữ2ố2c2 \ỉa,b,c (Sai) c2 +a2 > 2ca >-2 Ví dụ: < >-5 =>24 = 2.3.4 >(-2)(-5).3 = 30 (Sai) 4> Lòi giải đúng: Sử dụng BĐT Cô Si: X2 + y2 > yjx2y2 = 2|xy| ta có: a2+b2 >2|ằ| > < b2 + c2 >2|Ẵ»C|>0 =^(ứ2+ồ2)(Zr+c2 Vc2+tf2)>8|672Zrc2| = 8(72&2c2 Vtf,ố,c(Đú c2+a2 > 2|cơ| >0 ng) Bình luận: _ • Chi nhân vế BĐT chiều ( kết BĐT chiều) chi vế khơng âm • Cần ý rang: X2 + y2 > Jx2y2 = 2|xy| X, y khơng biết âm hay dương • Nói chung ta gặp tốn sứ dụng BĐT Cơ Si tốn nói mà phải qua phép biên đơi đen tình thích hợp sừ dụng BDT Cơ Si • Trong tốn dấu “ > ” => đánh giá từ TBC sang TBN = 2.2.2 gợi ý đến việc sừ dụng bất đăng thức Cô-si cho số, cặp số Bài : Chứng minh rằng: (VỠ +Vó) > 64ữb(a + bÝ V a.b > Giải = 64ab(a+bý (a + b) + 2yfãb Côsi , - -14 2yj2(a + b)J0b = 2\22.ab\a + b} Bài 3: Chứng minh rằng: (1 + a + b)(a + b + ab) > 9ab V a, b > Giải Ta có: (1 + a + b)(a + b + ab) > 3Ẩ/1 a.b 3ẦỊa.b.ab = 9ab Bình luận: * • = 3.3 gợi ý sử dụng Cô-si cho ba số, cặp Mỗi biến a, b xuất ba lần, sử dụng Cô Si cho ba số sè khử thức cho biến Bài 4: Chứng minh rằng: 3a3 + 7b3 > 9ab2 V a, b > Giải: Ta có: 3a3 + 7b3 > 3a3 + 6b3 = 3a3 + 3b3 + 3b3 c> ĩỉ/M3 = 9ab2 Y(í W-H1’ Bình luận: ' +■ 1 - b + c + d + d y + Ễ* + c + d ^ I bed vỢ + b^l + e^l + d') C S1 ị _>81 abcà _ (l + 9 1111 CMR: abed < fBài 5: Cho: 1+ứ1+b1+c1+d Giải Từ già thiết suy ra: • Đối với nhùng tốn có điều kiện biêu thức đối xứng cùa biền việc biển đơi điều kiện mang tính đối xứng sè giúp ta xù lí tốn chứng minh BĐT dề dàng Trong việc đánh giá từ TBC sang TBN có kỳ thuật nhỏ hay đuợc sù dụng Đó kì thuật tách nghịch đảo Kỹ thuật 2: Kỹ thuật tách nghịch đảo Bài 1: CMR: ậ + ->2 Vơ.ồ>0 n A Cơsi Giải Ta CĨ: ~r+— > “b a ba \ab ba Bài3:CMR: a+ _ b(a-b\ >3 VZ)>0 Giải: Ta có nhận xét: b + a - b = a không phụ thuộc vào biến b đo hạng tù đầu a sè phân tích sau: a+ , , =ò + (ỗ>0 b(a-b) Dấu “ = ” xảy b = (a - b ì = cx> a = b = ’ b(a-b} Bài4:CMR: a-\ >3 \/a>b>Q (1) (ứ-Z>)(Z> + l) Giải: Vì hạng tử đầu chi có a cần phải thêm bớt đê tách thành hạng tử sau sử dụng BĐT sè rút gọn cho thừa số mẫu Tuy nhiên biêu thức mầu có dạng (ữ-ỗ)(ó + l)2(thừa số thứ đa thức bậc b, thừa số thức bậc hai b) ta phải phân tích thành tích đa thức bậc b, ta có thê tách hạng tử a thành tông hạng tử thừa số mẫu Vậy ta có: (ữ-ồ)(ồ + l)2 = (a - b)( b + 1)( b + 1) => ta phân tích a theo cách sau: 2a +2 = 2(a -b) + (b+l) + (b+l) a +1 = ^67—+ + Từđótacó(l) tương đương : 23 VT + =