1 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN MỸ ĐỨC TRƢỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ BỘT XUYÊN ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (CÔSI) CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ LĨNH VỰC TOÁN HỌC TÁ[.]
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN MỸ ĐỨC TRƢỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ BỘT XUYÊN ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (CÔSI) CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ LĨNH VỰC: TOÁN HỌC TÁC GIẢ: NGUYỄN TRỌNG TUÂN CHỨC VỤ: GIÁO VIÊN NĂM HỌC : 2012-2013 MỤC LỤC Nội dung Trang TT Sơ yếu lý lịch A Phần mở đầu 5 6 10 (cơsi) (cơsi) 2.1 Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân kết hợp chọn điểm rơi 2.2 Đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình kết hợp chọn điểm rơi 16 2.3 Phương pháp đổi biến số 22 2.4 Các bất đẳng thức thường dùng suy từ bất đẳng thức Cauchy (Côsi) Kết 26 38 11 39 12 41 CỘNG HOÀ XĂ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc o0o SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SƠ YẾU LÝ LỊCH Họ tên : NGUYỄN TRỌNG TUÂN Ngày tháng năm sinh : 05/10/1976 Năm vào ngành : 10/09/1997 : Giáo viên : TrƣờngTHCS Bột Xuyên- Mỹ Đức-Hà Nội Trình độ chun mơn : Đại học Bộ mơn giảng dạy : Tốn học Khen thƣởng : Giáo viên dạy giỏi cấp thành phố Chiến sĩ thi đua cấp sở A PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài: Trong nhà trƣờng phổ thơng mơn Tốn có vai trị, vị trí ý nghĩa quan trọng góp phần phát triển nhân cách, lực trí tuệ chung nhƣ phân tích, tổng hợp, trừu tƣợng hóa, khái quát hóa, ….Rèn luyện đức tính ngƣời lao động thời kỳ nhƣ tính cẩn thận, xác, tính kỷ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dƣỡng óc thẩm mỹ Bên cạnh tri thức kỹ toán học với phƣơng pháp làm việc tốn học trở thành cơng cụ để học tập môn học khác nhà trƣờng, công cụ nhiều ngành khoa học khác nhau, công cụ để hoạt động đời sống thực tế tốn học thành phần khơng thể thiếu trình độ văn hóa phổ thơng Chứng minh bất đẳng thức dạng toán phổ biến quan trọng chƣơng trình tốn phổ thơng, thƣờng gặp kỳ thi chọn học sinh giỏi, thi tuyển sinh vào trƣờng chuyên, lớp chọn Để giải đƣợc loại toán đòi hỏi học sinh phải biết cách vận dụng thành thạo nội dung kiến thức đƣợc học bên cạnh cịn phải biết phân tích tốn cách hợp lý tìm đƣợc lời giải cho tốn Tuy nhiên chƣơng trình tốn THCS thời lƣợng dành cho nội dung không nhiều học sinh thƣờng gặp nhiều khó khăn gặp dạng Các toán chứng minh bất đẳng thức đa dạng phong phú Xét lý luận thực tiễn dạy học chứng tỏ chúng có hiệu việc phát triển tƣ cho học sinh k nay, qua thực tiễn kiểm tra giảng dạy học sinh trƣờng , tơi nhận thấy việc hình thành kiến thức kĩ sử dụng Bất đẳng thức Cauchy ( Côsi ), vận dụng cách sáng tạo nhất, thơng minh việc học tốn, sống cho học sinh nhiệm vụ quan trọng ngƣời giáo viên Đó lý chọn đề tài Phạm vi thời gian thực đề tài Nghiên cứu phƣơng pháp giải tốn bất đẳng thức, cực trị thơng qua “rèn luyện kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy (Côsi)” đặc biệt phƣơng pháp chứng minh tập vận dụng để giúp học sinh học tốt hình thành kiến thức, kĩ mới, vận dụng cách linh hoạt, sáng tạo việc học toán nhƣ sống Thời gian thực năm ( Năm học 2012-2013) Mục đích nghiên cứu: Có nhiều phƣơng pháp đƣợc áp dung chứng minh bất đẳng thức : nhƣ biến đổi tƣơng đƣơng, sử dụng bất đẳng thức bản, làm trội, làm giảm, quy nạp… Trong việc sử dụng bất đẳng thức nhƣ bất đẳng thức Cauchy (Côsi ), bất đẳng thức Bunhiacopski, bất đẳng thức Tchebychev,…có vị trí đặc biệt quan trọng Rèn luyện kỹ giải loại tốn có ý nghĩa quan trọng học sinh: Giúp em củng cố hệ thống hoá đƣợc nhiều kiến thức , vận dụng cách linh hoạt, sáng tạo kiến thức bậc học THCS để có cách giải thơng minh phù hợp Bên cạnh giúp cho em ln ln có suy nghĩ khoa học, giúp em đạt đƣợc hiệu cao công việc sống đời thƣờng Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu phƣơng pháp « Rèn luyện kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy (Côsi) » phần quan trọng chứng minh bất đẳng thức giải toán cực trị chƣơng Toán THCS Đối tượng khảo sát, thực nghiệm Học sinh lớp trƣờng THCS Bột Xuyên, đội tuyển học sinh giỏi mơn Tốn dự thi cấp thành phố huyện Mỹ Đức Phương pháp nghiên cứu : B PHẦN NỘI DUNG Cơ sở lý luận Xu đổi mạnh mẽ Giáo dục nói chung Giáo dục THCS nói riêng lấy học sinh làm trung tâm, giáo viên ngƣời hƣớng dẫn, tổ chức hoạt động nhằm phát huy lực chung cho học sinh, đáp ứng với việc bƣớc đầu hình thành ngƣời cho xã hội đại khơng ngừng phát triển Học tốn giải tốn có vị trí quan trọng chƣơng trình cấp THCS, học sinh cần phải học có đƣợc phƣơng pháp học tập, phƣơng pháp giải toán độc đáo Muốn học sinh cần phải đƣợc phát triển kỹ vận dụng phƣơng pháp giải toán cách tốt nhất, nhanh nhất, hay tạo thói quen thành thạo phát triển khả tƣ duy, trí thơng minh cho học sinh Chính vậy, cấp THCS, việc phát triển trí thơng minh cho em thơng qua mơn Tốn cần thiết 2.1 Qua khảo sát cho thấy phần lớn học sinh lúng túng đứng trƣớc tố , em chƣa biết cách phân tích toán để áp dụng phƣơng pháp cách hợp lý Một số em khá, giỏi dừng lại mức giải đƣợc tập đơn giản mà đƣờng lối giải có sẵn 2.2 2.3 Lớp Sĩ số Giỏi Khá Trung bình Yếu 9C 32 11 ) (CÔSI) Cho n số không âm: a1 a2 a3 an n n a ; a ; a ; a n a a a a n Đẳng thức xảy a a * Dạng cụ thể ( số, số ) n = 2: 2.1 2.1 x, y x ta có a3 (n : y * N ) an n = 3: x xy x : x, y, z y z xyz y xy Đẳng thức xảy x = y x y z 3 xyz Đẳng thức xảy x = y = z Hệ 1: Nếu hai số dƣơng thay đổi có tổng khơng đổi tích chúng lớn hai số Chứng minh: Giả sử hai số dƣơng x y có tổng x + y = S khơng đổi Khi đó, x S y xy 2 nên S xy Đẳng thức xảy x = y S Do đó, tích xy đạt giá trị lớn x = y Hệ 2: Nếu hai số dƣơng thay đổi có tích khơng đổi tổng chúng nhỏ hai số Chứng minh: Giả sử hai số dƣơng x y có tích x.y = P khơng đổi Khi đó, x y xy P nên x y Đẳng thức xảy x = y P Do đó, tổng x + y đạt giá trị nhỏ P x = y : Trong tất hình chữ nhật có chu vi, hình vng có diện tích lớn Trong tất hình chữ nhật có diện tích, hình vng có chu vi nhỏ nhỏ CÁC KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (CÔSI) 2.1 Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân kết hợp chọn điểm rơi Đánh giá từ TBC sang TBN đánh giá BĐT theo chiều “ ”.Đánh giá từ tổng sang tích Bài 1: Cho x > chứng minh rằng: x x Giải Do x Áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có x x Đẳng thức xảy x x x x thỏa mãn đk x > x Lời bình Đây tốn đơn giản cần áp dụng trực tiếp bđt côsi ta có lời giải tốn Tuy nhiên ta gặp tốn có nội dung đơn giản Bài 2: Chứng minh rằng: x x 10 3 Giải Ta có x x x 2 3 x x x x Đẳng thức xảy 8 10 3 x 2 3 x 2 x x x Lời bình Lời giải thiếu tự nhiên, lại tách x x 3 (x 3) ? Điều dựa phân tích sau: +) Dễ thấy đẳng thức xảy x = +) Khi sử dụng bđt cơsi đẳng thức xảy hai số ta x có: k x x k Bài 3: Chứng minh rằng: a b b c 2 c a 2 2 8a b c a,b,c Giải Sử dụng BĐT Côsi : x2 + y2 a b 2 ab b c 2 bc c a 2 ca a b 2 b 2 x y c = 2|xy| ta có: c a 2 8|a b c | Sai lầm thường gặp Sử dụng bđt x, y x2 - 2xy + y2 = ( x- y)2 a b c b 2ab c 2bc a 2ca a b b c 2 a 2 24 = 2.3.4 (-2)(-5).3 = 30 ( Sai ) 2 a,b,c 2xy Do đó: 8a b c Cách giải sai ví dụ 2 x2 + y2 c 8a b c a,b,c Lời bình +) Chỉ nhân vế BĐT chiều ( kết BĐT chiều) vế không không âm +) Cần ý rằng: x2 + y2 x y = 2|xy| x, y khơng biết âm hay 2 dương +) Nói chung ta gặp tốn sử dụng BĐT Cơsi tốn nói mà phải qua vài phép biến đổi đến tình thích hợp sử dụng BĐT Cơsi +) Trong toán dấu “ ” đánh giá từ TBC sang TBN = 2.2.2 gợi ý đến sử dụng bất đẳng thức Côsi cho số, cặp số Bài 4: Cho hai số dƣơng x, y thỏa mãn x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 3x 4y x y Giải Biến đổi áp dụng giả thiết bđt côsi ta có P 3x 4y x y 5x 4 x x y 9y y y 5x 9y x y 21 Dấu “=” xảy x y 5x x 9y x x Vậy MinP = 21 x = y = Lời bình Một câu hỏi đặt nghĩ thành phần x y ? Liệu có thành phần khác khơng ? diều giải sau Với < m < ta có P m x y m x m y x 4m m x y m y x 4m m y m 9 x y m x x y x Đẳng thức xảy m y y m x 0; y Đây điểm mấu chốt toán Bài 5: Cho ba số thực dƣơng x, y, z thỏa mãn x y z 47 Tìm giá trị nhỏ 12 biểu thức A x y z Giải : Áp dụng bđt côsi cho hai số dƣơng ta có 3x 25 3x 4y 10 x 2 4y 25 5z A (1) 25 2 25 2 10 y (2) 25 25 z 5 10 z (3) 10(x y z) 10 47 A 12 235 470 12 12 Cộng theo vế bđt (1), (2), (3) ta đƣợc 235 A 12 Dấu “=” xảy 3x 25 x 4y 25 y 5z x 5 y z z 47 12 Vậy M in A 235 x 12 ; y ; z Lời bình Rõ ràng bđt đưa thiếu tự nhiên, có lời giải ? Tuy nhiên suy luậnsau hồn tồn thấy điều Khơng tính tổng qt, giả sử tồn số m, n, p thỏa mãn m > n > p > Áp dụng bđt cơsi cho hai số dương ta có 3x m m x ; 4y n 4n y; Do A m n p m x n y Ta cần xác định m, n, p cho 5z 2 p p z 10 p z ... toán bất đẳng thức, cực trị thông qua ? ?rèn luyện kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy (Côsi)? ?? đặc biệt phƣơng pháp chứng minh tập vận dụng để giúp học sinh học tốt hình thành kiến thức, kĩ mới, vận dụng. .. tƣơng đƣơng, sử dụng bất đẳng thức bản, làm trội, làm giảm, quy nạp… Trong việc sử dụng bất đẳng thức nhƣ bất đẳng thức Cauchy (Côsi ), bất đẳng thức Bunhiacopski, bất đẳng thức Tchebychev,…có vị... tra giảng dạy học sinh trƣờng , tơi nhận thấy việc hình thành kiến thức kĩ sử dụng Bất đẳng thức Cauchy ( Côsi ), vận dụng cách sáng tạo nhất, thông minh việc học toán, sống cho học sinh nhiệm vụ