MỤC LỤC Trang A MỜ ĐẦU 2 1) Lý do chọn đề tài 2) Mục đích nghiên cíni 3) Nhiệm vụ đề tài 4) Phạm vi đề tài 5) Đối tượng nghiên cứu và phương pháp tiến hành 6) Dự kiến kết quâ cùa đề tải B NỘI DUNG 4 P[.]
MỤC LỤC A 1) 2) 3) 4) 5) 6) MỜ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cíni Nhiệm vụ đề tài Phạm vi đề tài Đối tượng nghiên cứu phương pháp tiến hành Dự kiến kết quâ cùa đề tải Trang B NỘI DUNG PHÀN I: ÁP DỤNG GIẢI TOÁN BẨT ĐÁNG THỨC TRONG ĐẠI SỐ I MỘT SỐ KIẾN THỬC co BẢN VỀ BẤT ĐÁNG THỨC II MỘT só PHUONG PHÁP co BẢN CHỨNG MINH BÁT ĐÁNG THỬC 1) Phương pháp dựa vào định nghía 2) Phương pháp dùng tính chất bât đăng thức 3) Phương pháp biến đôi tương đương 4) Phương pháp dùng phương pháp phân chứng 11 5) Phương pháp dùng qui nạp toán học 13 6) Phương pháp biến đôi 14 7) Phương pháp dùng bất đăng thức đà biết 16 8) Phương pháp tam thức bậc 17 III MỘT VAI ỨNG DỤNG CỦA BẮT ĐÁNG THỨC 20 1) Tim giá trị lớn nhất, nhó hàm sổ, biêu thức đại 20 số 2) Tim điều kiện cùa tham số đê phương trình, hệ phương 22 trình có nghiệm, vơ nghiệm 3) Giài phương trinh, hệ phương trình 23 PHẦN II: ÁP DỤNG GIAI TỐN BẤT ĐẢNG THỨC TRONG 23 HÌNH HỌC 1) Một số kiến thức bàn bất đăng thức hình học 2) Một sổ cách chứng minh bất đăng thức 25 c KÉT LUẬN 30 D TÀI LIỆU THAM KHẢO 31 1/31 A MỞ ĐẦU 1) Lý chọn đề tài: Ngày khoa học kỳ thuật còng nghệ phát triên vũ bào, phát triên cùa tất ngành khoa học ứng dụng tất câ ngành còng nghệ then chốt dầu khí viễn thịng, hàng khơng dền khơng thê thiêu tốn học Sự đời phát triên mạnh mè cùa còng nghệ thòng tin thực đà dẫn đến tượng “ Bùng nô” ứng dụng toán học đưa lại hiệu quà to lớn cho đời sống xà hội Tốn học có vị trí đặc biệt quan trọng việc nâng cao phát triên dàn trí Tốn học khơng chi cung cấp cho học sinh(người học tốn) kì tính tốn cần thiết mà điều kiện yếu rèn luyện khà tư logic, phương pháp luận khoa học Trong việc dạy tốn việc tìm nhùng phương pháp dạy học giài bải tập tốn địi hỏi người giáo viên phái chọn lọc, hệ thống tập, sừ dụng dứng phương pháp dạy học Góp phần hình thành phát triển tư cho học sinh Đồng thời qua việc học toán học sinh cần bồi dường, rèn luyện phàm chất đạo đức, thao tác tư đè giải tập tốn có giài tốn bất đăng thức Một số thực trạng dạy toán bất đăng thức trường THCSđólà: Giáo viên dạy bất đăng thức chi chừa tập xong, khai thác, phân tích đề bài, mờ rộng bải tốn Dần đến học sinh gặp toán khác chút không giãi được, không nam phương pháp giãi cho loại dạng Học sinh thường ngại học tốn bất đăng thức kiến thức ít, khơng liền mạch, phương pháp giài hạn chế Vận dụng toán bất đãng thức vào loại tốn khó cực trị, giãi phương trình hạn che Vì vậy: phát tnên lực, tư học sinh thông qua việc giãi toán bất đăng thức cần thiết Hơn theo yêu cầu cùa thực tế, giáo viên nên cho học sinh tiếp cận dạng toán nâng cao, phân loại đối tượng đê học sinh tiếp cận sớm quen VỚI dạng tốn khó, bất đăng thức Trong nhiều năm học tịi đà tích luỳ số kiến thức toán bất đăng thức xin trình bày góc độ nhó 2) Mục đích nghiên cứu 2.1 Đe tài có tác dụng giúp học sinh học mịn tốn nói chung việc giài toán tập chứng minh bất đăng thức nói riêng Trang bị cho học sinh số kiến thức nhăm nàng cao lực học mơn tốn giúp em tiếp thu cách chù động, sáng tạo làm công cụ giãi tập có hên quan đến bất đăng thức 2.2 Gây hứng thú cho học sinh việc làm bải tập SGK, sách tham khảo, giúp học sinh tự giài số tập 2.3 Giãi đáp thac mac, sữa chừa nliừng sai lầm hay gặp giài toán bất đăng thức trình dạy học 2/31 2.4 Giúp học sinh nam vừng cách có hệ thống phương pháp bàn vận dụng thành thạo phương pháp đê giãi tập 2.5 Thòng qua việc giãi toán bất đăng thức giúp học sinh thấy mục đích cùa việc học tốn học tốt bải tập bất đăng thức, đồng thời góp phan nàng cao chất lượng giáo dục 3) Nhiệm vụ đề tài 3.1 Trong đề tài đira số kiến thức bàn bất đăng thức phù họp VỚI trình độ nhận thức cùa học sinh THCS 3.2 Trang bị cho học sinh số phương pháp giài toán bất đăng thức áp dụng đê làm tập 3.3 Rút số nhận xét ý làm phương pháp 3.4 Chọn lọc, hệ thống số tập hay gặp cho phù họp cho phương pháp giãi, cách đôi biến 3.5 Vận dụng giãi toán bất đăng thức vào giãi toán cực trị, giài số phương trình đặc biệt 4) Phạm vi đề tài Phát triển lực, tù’ cùa học sinh thơng qua giài tốn bất đăng thức đối VỚI học sinh cap THCS 5) Đoi tượng nghiên cứu phương pháp tiến hành Đe tải áp dụng dối VỚI học sinh buòi sinh hoạt câu lạc bộ, luyện tập, ôn tập cuối kỳ, cuối năm, kỳ học sinh giòi, tốt nghiệp THCS thi tuyên vào cấp Phương pháp tiến hành: Học sinh có kiến thức bân, đưa phương pháp giãi, tập áp dụng, sai lầm hay gặp, tập tự giãi nhà 6) Dự kiến kết đề tài Khi chưa thực đề tài này: Học sinh chi giãi số tập bất dăng thức đơn giãn, hay mac sai lầm, hay gặp khó khăn, ngại làm tập bất đăng thức Neu thực đề tài thi học sinh có hứng thú giãi tốn bất đăng thức, lảm tập tốt hơn, ựr giãi đirợc tập bất đăng thức có dạng tirơng tự, hạn che nhiều sai lầm giãi toán bất đăng thức 3/31 B NỘI DUNG PHẦN I: ẤP DỤNG GIẢI TOÁN BẤT ĐẢNG THỨC TRONG ĐẠI SỐ Ở TRƯỜNG THCS I Một số kiến thức bân bất đăng thức: Định nghĩa: Cho hai số a b ta có: a lớn b, kí a>bo a - b > a nhó b, kí a b b < a 2.2 Tính chất bắc cần: a>b;b>c=>a>c 2.3 Tính chất đơn điện phép cộng: cộng số vào hai vế bàt đăng thức a>b=>a + c>b + c Chú ý: không trừ vế cùa hai bất đăng thức chiểu 2.4 Trừ vế hai bất đăng thức ngược chiều, bất đăng thức chiều VỚI bất đăng thức bị trừ a < Z>1 , ■ => a - c > b - d c b; c > => ac > bc b) Nhân hai vế cùa bất đăng thức VỚI số âm đòi chiều cùa bất đăng thức a > b; c < => ac < bc 2.6 Nhân vế cùa hai bất đăng thức chiều mà bất đăng thức không âm a > b > 01 => ac > bd c > J > oj 2.7 Nàng lên luỳ thừa bậc nguyên dirơng hai vế bất đăng thức a>b>o=>an>bn a > b o an> bn với n = 2k + l(keN) 2.8 So sánh hai hiỹ thừa số VỚI số mù nguyên dương Nen 111 > 11 : a >1 => ara > an a =1 => a = a < a < => a b > a b) tức a > b a = b 4/31 Trong tính chất nhiều tính chất dấu “>” ( dấu” 0; - a2 < Xây dấu đẳng thức a=0 3.2 I a I > Xảy dấu đẳng thức a=0 3.3 -I a I < a < I a I Xây dấu đằng thức a=0 3.4 I a+b I < I a I T I b I Xày dấu đằng thức kill ab > 3.5 I a-b I > I a I -1 b I Xây dấu đẳng thức ab > 0; I a I > I b I 'a > b > ( điều kiện cịn có thê diễn đạt Một số bất đăng thức quan trọng ab hay (a+b)2 > 4ab ( bất đẳng thức côsi VỚI a > o.b > 0) 4.3 — + Ặ > ■ ; VỚI a, b >0 aba+b 4.4 + — > VỚI ab>0 ba 4.5 (ax + by)2 < (a2 + b2)(x2 T y2) (bất đẳng thức Biinlnacơpski) n MỘT SĨ PHƯƠNG PHÁP CHƯNG MINH 1.1 Phương pháp dùng định nghĩa Phương pháp Đê chứng minh : A > B ta xét hiệu A - B chứng tó A - B >0 1.2 A < B ta xét hiệu A - B chứng tó A - B - Giải: Xét hiệu (x-l)(x-2)(x-3)(x-4) - (-1) = (x2 - 5x + 4)(x2 - 5x + 6) +1 Đặt (x2 - 5x T 5) =y biểu thức bằng: (y-l)(y+l) T = y2 - T 1= y2 > =4>(x-l)(x-2)(x-3)(x-4)-(-l)>0 => (x-l)(x-2)(x-3)(x-4) >-1 Ví du 2: Chứng minh: 2(x2 T y2) > (x+y)2 Giải: Xét hiệu hai vế: 2(x2 T y2) - (x+y)2 = 2x2 T 2y2 - X2 - y2 - 2xy = X2 - 2xy + y = (x-y) > 2 Vậy 2(x T y ) > (x+y)2 5/31 Ví du 3: Chứng minh rang a b số thực khơng âm > Jab dấu xây a=b Giải: vr* Xét hiệu V a b > a + b rr _ — -Jab = a + b-ljab _ (Ja-Jl))2 A A• w -—!■— = 12— v > VỚI Dấu chi xày a = b 1.3 Bài tập tự giải Chứng minh bất đăng thức sau: 2 X + 4x +1 > 3x2 với x> •2 X - X >-1 Cho a+b = c+d chứng minh c2 + d2 +cd > 3ab a6 + bố + c6 > a5b + b5c T c5a (a, b, c > 0) VỚI a > b > — T - > 1 + u2 ỉ + b2 l + ab Phương pháp dùng tính chất bất đăng thức 2.1 Phương pháp: - Xuất phát hr bất đăng thức đà biết vận dụng tính chất cùa bất đăng thức đê suy bất đăng thức phải chứng minh - Thường áp dụng tính chất bân bất đăng thức( đà nên phan trên) 2.2 Ví dụ minh 110ạ: Ví du Cho a T b >1 Chứng minh rằng: a4 T b4 >— Giải Ta có: a+ b >1(1) bình phương hai vế ta được: (a+b)2 >1 => a2 + 2ab T b2 >1(2) Mặt khác: (a-b)2 > a2 - 2ab - b2 > (3) Cộng vế cừa (2) (3) ta dược: 2(a2+b2) >1=> a2+b2 Bình phương vế cừa (4) ta được: a T 2a2b2 + b4 > Ặ (5) Mặt khác (a-b)2 > => a4 - 2a2b2 + b4 > (6) Cộng vế cừa (5) (6) ta 2(a4 T b4) > — => a4 T b4> ị Ví du 2: Cho a, b, c độ dài cạnh cùa tam giác 6/31 (4) Chứng minh rằng: Ị + -—1 + ỉ—- >- + — + a+ b-c b + c-a c + a-b a b c Giải: Xét ; + -— -VỚI a+b-c>0, b+c-a>0 a + b-c b + c-a ' ’ 11 Ap dụng bàt đăng thức: —+ — > XyX+y _ + > _4_=2 a + b-c b+c-a 2b b Tương tự ta có: -—- + -—- > — b + c-a c + a-b c a+b-ca Cộng vế bất đăng thức chia cà vế cho ta được: '; >1+1+1 a+b-c b+c-a c+a-b a b c +, + \ Dau bang xây a = b = c Ví dư 3: Chứng minh rang với số tự nhiên n> > + *+.,.+ịB ( c đóng vai trị làm trưng gian) Ta có VỚI V k e N : -1 < ,1 Ẳ-3 Ả-3-Ả- Do đó: A< —1— + —1—+ +—1— — —ỉ— + —ỉ—+ + -— —— 22 -2 33-3 n3-n 1.2.3 2.3.4 (n - l).n.(z? +1) Đặt c= —-— + —-—+ + -———-—— 1.2.3 (M-1).7?.(M + 1) 2.3.4 Ta lại thấy: -—1 , (11 -1) 11 1.1 j_r 1.2 _Ị_ 1 2^2 »(n + l) 2.3 X + + 3 ■■ = -————— nên 11(11 +1) (11 -1) 11 (11 +1) 2.3 = j_ „3 11 (M-1)J? (M + 1).» 3.4 < j_ 2;?(/7 + l) J Ví dư 4: Chox>0,y>0,z>0 Chứng minh (x+y)(y+z)(z+x) > 8xyz(l) 7/31 Giải Vì hai vế (1) khơng âm nên đê chứng minh (1) ta chứng minh : Ta có : (x+y)2(y+z)2(z+x)2 > 64x2y2z2 Ta có (x+y)2>4xy (y+z)2 > 4yz (z+x)2 > 4zx Hai vế cùa bất đăng thức không âm nên nhân vế cùa bất đăng thức VỚI ta đirợc (x+y)2(y+z)2(z+x)2 > 64x2y2z2 => [(x+y)(y+z)(z+x)]2 > [8x2y2z2]2 => (x+y)(y+z)(z+x) > 8xyz ( vi xyz > 0; (x+y)(y+z)(z+x) > 0) Dau bang chi xây x = y = z = o 2.3 Chú ý: Khi sử dụng bất đăng thức ta cần tránh sai lầm sau: a>b' =>a-c>b-d od a>b => ac > bd od (Nhân vế với vế cũa bất đăng thức mà chưa biết hai vế có âm hay khơng) Bình phương hai vế cùa bất đăng thức mà chưa biết hai vế không âm a > b => a2 > b2 Khừ mẫu mà clnra biết dấu cùa chúng > — => ad > cb ỗ b => — > — ab Khi làm biêu thức, địi phâi chia biêu thức thành nhiều nhóm làm trội nhóm Ta xét ví dụ sau: Chứng minh rang với số tự nhiên 11 > thi 1+1+1+ +/>_0; b>°) 2/ a2 + b2 + c2 + d2 > 4ãbcẽ/ 2"_1 8/31 = +1 + +l=n 3/J-+± + + J- B ta biến đòi tương đương (dựa vào tính chất cùa bât đăng thức) A > B c >D Và cuối đạt bất đăng thức hiên nhiên c > D Vi phép biến đổi tương đương nên A > B - Đê dùng phép biến đòi tương đương ta cần ý hăng đăng thức sau: ( A+B)2 = A2+2AB +B2 (A-B)2 = A2-2AB +B2 (A+B+C)2 = A2 + B2 + c2 +2AB + 2BC + CA 3.2 Các ví dụ minh ho : Ví du 1: Chứng minh: X2 - X +1 >0 V X Giãi Ta có : X2 - X +1 >0 (x2-2.ị.x+-)+ ->0 1.2,3 o Ằ (x- Ỷ) 4 , > V X (điêu phải chứng minh) • Khai thác tốn: Từ lời giâi ta thây: (x |)_ +-^ > V X Dấu “=” xày X = Vậy giá trị nhò cùa X2 - X +1 — Hoặc tirơng tự là: X2 T X +1 >0 V X Ví du 2: Chứng minh rang VỚI ba so a, b, c ta có: a2 + b2 + c2 > ab + bc + ca Giải: 9/31 a2 + b2 + c2 > ab + bc + ca o 2(í72 + ồ2 + c2)> 2(ữồ + ỗc + cữ) o 2o2 + 2Ồ2 + 2c2 - 2ữồ - 2ỒC - 2ca > o (íĩ2 -2ữồ + ồ2) + (Z>2 - 2ồc + c2) + (c2 -2ca + fl2) > o ( • Khai thác bải toán: Xét trường hợp đặc biệt với c = ta có: a2 +b2 +ỉ>a2 +b2 +ab + b + ỉ Ket họp VỚI đãng thức (a + b + c)2 = a2 +b2 +c2 + 2ab + 2bc + 2ca ta có: (+c)3 2+c2 3 Ví dư CMR VỚI số a, b, X, y ta có: (a2+b2)(x2+y2) > (ax+by)2 (1) Dấu xây o — = — Xy Giãi Tacó(l)ax + a y +b X +b y a2y2 - 2abxy+ b2x2 > Ọ (aỵ-bx)2 > (2) Bất đăng thức (2) chứng minh nên bất đăng thức (1) đứng Dấn “=” xày ay-bx = — = — Xy Ví dư 4: Cho số tương đương a b thoà điền kiện a+b= CMR : 11 + -ÌÍ1 + ị'l >9 l b) Ta có fl + - ì fl + vi - (1) V a) \ b ) +1 z> +1 > ọ ab ab+ a+ b+ > 9ab a+b+ > 8ab > 8ab (vì a+b =1) l>4ab (a+b)2 > 4ab (a-b)2 >0 Bất đăng thức (2) đứng, mả phép biến đôi ưrơng đương Vậy bất đăng thức (1) chứng minh Dan bang xây chi kin a=b Ví dư 5: Chứng minh bất đẳng thức: ——— > Giải 2l2) VỚI a>0, b>0 ữ2 +z>2 > ía + bỴ z,x C2-Ị ' 4(a2+ b2) > (a+b)2 (nhàn hai vế VỚI 8) 4(a+b)(a2-ab+b2)> (a+b)(a+b)2 ( chia vế cho a+b >0) 4a2 - 4ab + b2 > a2 + 2ab T b2 o 3a2 - 6ab + 3b2 > 3(a-b)2 > (2) Bất đăng thức (2) mà phép biến đòi lả tương đương nên bất đăng thức (1) đứng 3.3 Chú ý: Sè mac sai lầm lời giâi thay dấn tương đương “ ” bang dấn kéo theo “=>” Thật nên (1) “=>” (2) mà bât đăng thức (2) dứng chưa thê kêt luận bât đăng thức (1) có đứng hay khơng - Khi sử dụng phép biến đôi tương đương, học sinh thường bị biến đổi tương đương có điền kiện dẫn đến không chặt chè Vi cần lưu ý biến địi tương đương có điền kiện Chẳng hạn: a2 > b2 o a >b VỚI a, b >0 m>n am > an, m, 11 eZ, a>l Cần chi rị diều kiện biến đơi tương đương 3.4 Bài tập tự giải: Bài 1: So sánh số A= 71-3 B= 72 -1( không dùng máy tính) Bài 2: Chứng minh rang VỚI số ngun dương X, y thô xy a _ k + Ị)k + Già sử bải toán VỚI n=k ta có: —-— > (2J / + z? (1) + (2J í+1 , ti+1 ( A\*+1 Ta phải chứng 11111111- -1 -> í I (2) Thật vậy, nhàn hai vế cừa (1) VỚI ^2 ta đttợc ( - -2 - > —í— Vậy bât đăng thức chứng 11111111 f/ + 5.4 Bài tập tự giải 1/ CMR: V n> ta có: 2n > 211+1 2/ CMR: 2n > n3 V , n e 2V* ,11 > 10 Phương pháp đôi biên: 6.1 Phương pháp B1 Đặt biến dựa theo biến cù B2 Biến đổi bất đăng thức theo biến mới, chứng minh bất đăng thức VỚI biến B3 Ket luận trà biến cù 6.2 Ví dụ minh hoạ Ví du 1: Chứng minh bất đăng thức sau: abc > (b+c-a)(a+c-b)(a+b-c) VỚI a, b,c độ dải cạnh cùa tam giác Giãi Đặt: b+c-a = X, a+c-b=y, a+b-c=z Ta phải chửng minh ' + ~ ■A + ~ A + > xyz (y+z)2(x+z)2(x+y)2 > 64 x2y2z2 ( hai vế khơng âm) Ta có: (x+y)2> 4xy (y+z)2> 4yz (z+x)2> 4zx Vì hai vế cùa bất đăng thức không âm nên ta nhàn vế bất đăng thức ta được: (y+z)2(x+z)2(x+y)2 > 64 x2y2z2 Vậy bất đăng thức (1) chứng minh Dau bang xây chi kill x=y=z a=b=c Ví du 2: Cho a+b+c=l; chứng minh rằng: a2+b2+ c2 > Giãi Đặt a= 7+x, b=-+y, c=-+z 3 Do a+b+c =1 nên x+y+z = Ta có: a2+b2+ c2 = (j+x)2+(j+y)2( j+z)2 = f—+—x + x2i+f—+—y + y2i+f—+—z + z2i = —+—(x+y+z)+x2+y2+z2 k J V ■■ J 19 J 3 - —L 2,2.2 , = -+x+y+z >3 Xây đẳng thức x=y=z a=b=c=|- 6.3 Chú ý Khi dùng phương pháp đòi biến đê chứng 11111111 bất đăng thức cần ý: + Đặt biến theo hệ điều kiện cùa biến cù, kèm theo điều kiện cùa biến T Nam phép biến đòi, bất đăng thức bàn, quen thuộc dễ áp dụng + Đòi biến cù 6.4 Bài tập tự giải: 1/ Cho a,b,c lả ba cạnh cùa tam giác CMR: ——c-— > b + c-a2 a+c-b a+b-c 2/ Cho x,y > thoâ màn: X yfx + y2 y[ỹ =x y/x + y y[ỹ CMR: x+y < ỉ+y[xỹ 3/ Cho a, b, c > CMR: + b2+c2 a2+c2 a2+b2 > a2+b"+c2 Phương pháp dùng bất đăng thức biết: 7.1 Phương pháp: Trong nhiên toán đê chứng minh bất đăng thức gọn, ta có thê sử dụng bất đăng thức đà dược chứng minh, lả bất đăng thức kinh điên bất đăng thức: Côsi, Bưnlna Côpski 7.2 Ví dụ minh hoạ: Ví dll 1: Giải: Trj a Vì _ , b (aT-,+ố- ì ba CMR: -+- > VỚI ab>0 a b đền dương nên áp dụng bất đăng thức CÒS1 ta được: _ a T- + — b a b a ĩj _ Dấu xây raakhi chi kill 7^=— hay a=b ba (Tích khơng đơi, tơng nhó hai so nhau) Ví du 2: Chứng minh bất đăng thức Becnuli đối VỚI a e R ; ll nên q=—•, m>n, 111,11 e N n Áp dụng bất đăng thức CÒS1 cho 111 số: 11 số hạng 11111 số hạng (l + gfl)+ + (l + gfl)+l + l > nị(ỵ + qaỴ A>n-n n (không xây dấu bang (l+qa)>l) ~ Hay 11(1+qa) T (m-n).l > n(l + qa 11+ nqa + 111 - 11 > 11 (1 + qa P / vĩ — qa+1 > (1 + qa )« ìn Nhưng — = — ta có: — qa +1 > (1 + qa )« ,, / d a +1 >(l + qa )ĩ (í7 + l)ợ > 1+qa Ví dư 3: Cho biêư thức: a) Rứt gọn p b) Tim giá trị cừa X cho p = -2 c) Tim giá trị nhỏ y[p 4P CĨ nghía y/x -1 > o Y > „ x-1 + , 1r, Đáp án: p = —Ị^r— (Học sinh tự làm) p = -ị=-— = y.x +1 + -=r— = Vx -1 + —f=— + V.X -1 y/x -1 yjx -1 „ =>P>2 + (bat đăng thức cosi) 7.3 Bài tập tự giải: 1/ CMR nến số dương a, b, c có tổng a+b+c =1 —+— + — > a b c 2/Cho |x|-2_ 11 r 1-x2 1-y2 1-xy 3/ Cho x,y e ; x,y > x2+y2=l CMR: -L0 a+b+c= a Ậ b c) 5/ Cho a>l, b>l; CMR: a^Ịb -1 + b\ía -1 < ab Phương pháp dùng tam thức bậc hai: 8.1 Phương pháp Ta có thê dừng định lý dấn cừa tam thức bậc 2, dấn nghiệm thức bậc đê chứng minh bất đăng thức Cho 2tam thức bậc 2: F(x) = ax2+bx+c A=b -4ac T Nen A 0 VỚI VxeR T Nen A =0 a F(x) >0 với V xự: — a => F(x) dấu VỚI a T Neu A >0 => Xi, X2; X2>X1 X nam ngồi khống hai nghiệm: XX2 a.F(x) => F(x) > với VxeR Vậy bất đăng thức (1) chứng 11111111 (dấu “=” xày x=y=z=0) 8.3 Chủ ý: Khi sừ dụng phương pháp tam thức bậc hai cần lưu ý: T Nam định lý dấu tam thức bậc hai T Thường dùng phép biến đòi tương đương đê đưa bất đãng thức cần chứng fAx)>0 f7^(j)>0 11111111 vẽ dạng ' ' ' _ ' l^ơ) (zi+z2)2 4/ Cho b>c>d CRM: VỚI aeR ta ln có: (a+b+c+d)2 > 8(ac+bd) 5/ Cho số a, b ,c, d, 111.11 thoã màn: a2+b2+c2+d2< m2+n2 CMR: (m2-a2-b2)(n2-c2d2)< (11111-ac-bd)2 III MỌT SÓ ỨNG DƯNG CỦA BẤT ĐẢNG THỨC A Một so định lý, bất đăng thức cần dùng Mệnh đề Neu tòng số thực dương X1, x2, xn bang số cho tiước, tích cùa chúng sè lớn X1= x2= =xn * Định lý 1: Neu có 11 số thực dương X1, x2, xncó tịng bang s khơng đổi tích p=xí"1 ,x2- X? có giá trị lớn — = — = = — 7»! m2 ìiin Trong niị số hừu tỷ dương Mệnh đề 2: đối ngẫu Neu tích cùa số dương X1, x2, Xn bang số cho trước tịng cừa chúng bé kin X1= x2= =x * Định lý 2: Neu 11 số thực dương X1, x2, xn có tích p=x1'"1x”2 x”" khơng địi tịng cừa chúng s= X1+ x2 + +xn có giá trị bé — = — = = — ntị m2 mn Trong niị số hữu tỷ cho trước Cho 31, a2 ane R Ta có: |a1| + |a2| + + |a„|>|ữ1+a2+ + a„|(l) Dấư “=” xày dấư(ai, a2 an>0) Đặc biệt: 1«! -Í72| - |fli| “ |a2| B Áp dụng: Tìm cực trị hàm so, biêu thức đại số: Bài 1: Tìm giá trị nhỏ cùa hàm số: y = 7(.Y-1993)2 + VU-1994)2 Giãi