Sang kien kinh nghiem su dung bat dang thuc co si trong giai s3c83hm8cbyx3i 102236

-***** - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CƠ-SI TRONG GIẢI TỐN THCS MƠN TỐN Tên tác giả: Nguyễn Cao Cường Giáo viên mơn Tốn Năm học 2013 - 2014 MỤC LỤC A – MỞ ĐẦU Trang I Lý chọn đề tài II Nhiệm vụ, mục đích đề tài III Phạm vi đề tài IV Đối tượng nghiên cứu phương pháp tiến hành B – NỘI DUNG Những quy tắc chung Bất đẳng thức Cô-si Các kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô-si 3.1 Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân .8 3.2 Kỹ thuật tách nghịch đảo .12 3.3 Kỹ thuật chọn điểm rơi 15 3.4 Kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng 21 3.5 Kỹ thuật nhân thêm số 24 3.6 Kỹ thuật ghép đối xứng 30 3.7 Kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo cho số, n số 33 3.8 Kỹ thuật đổi biến số .35 Một số ứng dụng khác bất đẳng thức Cô-si 38 4.1 Áp dụng BĐT để giải phương trình hệ phương trình 38 4.2 Sử dụng bất đẳng thức Cô - si để chứng minh bđt tìm cực trị hình học 42 Kết đề tài 55 Kết luận 56 Tài liệu tham khảo 57 MỞ ĐẦU  I Lý chọn đề tài Toán học nói chung tốn học phổ thơng nói riêng giúp người học, người nghiên cứu có kiến thức, tư logic khả suy luận Đối với học sinh trung học sở, toán học hình thành cho em kiến thức sở ban đầu, kiến thức toán học đại Qua học, vấn đề toán với cách thức suy luận giúp em hình thành tư tốn học Tốn học sơ cấp có lẽ mảng tốn học địi hỏi trí thơng minh, óc tư linh hoạt người học, bất đẳng thức vấn đề hay khó Từ lớp trung học sở, học sinh giới thiệu cách bất đẳng thức, phương pháp chứng minh bất đẳng thức Và hầu hết người học bất đẳng thức, biết bất đẳng thức kinh điển, tiếng: bất đẳng thức Cô-si Nhưng thực tế chung học sinh phổ thông việc vận dụng bất đẳng thức Cơ si vào giải tốn gặp nhiều khó khăn Khó khăn cách sử dụng bất đẳng thức Cô - si Khó khăn thứ hai khơng biết bất đẳng thức Cơ - si ứng dụng vào việc giải dạng tốn nào? Chính vậy, để giúp em học sinh khắc phục phần khó khăn trên, tơi viết đề tài " Sử dụng bất đẳng thức Cơ - si giải tốn trung học sở" II Nhiệm vụ, mục đích đề tài Đề tài " Sử dụng bất đẳng thức Cơ - si giải tốn THCS" giới thiệu đến với học sinh bất đẳng thức Cô - si; kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô-si việc sử dụng bất đẳng thức Cô-si giải toán THCS Đề tài viết theo cách thức lý thuyết kèm với ví dụ minh họa Bên cạnh việc cung cấp, tổng kết cách sử dụng bất đẳng thức Cơ - si, đề tài cịn giới thiệu toán minh họa, đặc biệt toán học sinh thường gặp bất đẳng thức, cực trị đại số, cực trị hình học III Phạm vi đề tài Với học sinh trung học sở, lớp em giới thiệu tiếp cận với bất đẳng thức nói chung bất đẳng thức Cơ -si nói riêng Vì vậy, đề tài " Sử dụng bất đẳng thức Cô - si giải toán THCS" hướng tới việc giúp cho học sinh lớp 8; lớp có kiến thức bất đẳng thức Cô-si; cách sử dụng bất đẳng thức Cô - si giải toán trung học sở, từ giúp cho em phát triển tư bất đẳng thức, đặt móng cho cấp độ lớn sau IV Đối tượng nghiên cứu phương pháp tiến hành Đề tài tập trung nghiên cứu bất đẳng thức Cô-si Trên sở kiến thức dạng bất đẳng thức, tổng kết kỹ thuật thường dùng; giới thiệu số ứng dụng bất đẳng thức Cô - si giải toán trung học sở Phương pháp chủ yếu đề tài phương pháp nghiên cứu tổng kết kinh nghiệm thực tế giảng dạy NHỮNG QUY TẮC CHUNG TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI Quy tắc song hành: hầu hết BĐT có tính đối xứng việc sử dụng chứng minh cách song hành, giúp ta hình dung kết nhanh chóng định hướng cách giả nhanh Quy tắc dấu bằng: dấu “ = ” BĐT quan trọng Nó giúp ta kiểm tra tính đắn chứng minh Nó định hướng cho ta phương pháp giải, dựa vào điểm rơi BĐT Chính mà dạy cho học sinh ta rèn luyện cho học sinh có thói quen tìm điều kiện xảy dấu kì thi học sinh khơng trình bày phần Ta thấy ưu điểm dấu đặc biệt phương pháp điểm rơi phương pháp tách nghịch đảo kỹ thuật sử dụng BĐT Cô Si Quy tắc tính đồng thời dấu bằng: khơng học sinh mà số giáo viên nghiên cứu chứng minh BĐT thương hay mắc sai lầm Áp dụng liên tiếp song hành BĐT không ý đến điểm rơi dấu Một nguyên tắc áp dụng song hành BĐT điểm rơi phải đồng thời xảy ra, nghĩa dấu “ = ” phải được thỏa mãn với điều kiện biến Quy tắc biên: Cơ sở quy tắc biên toán quy hoạch tuyến tính, tốn tối ưu, tốn cực trị có điều kiện ràng buộc, giá trị lớn nhỏ hàm nhiều biến miền đóng Ta biết giá trị lớn nhất, nhỏ thường xảy vị trí biên đỉnh nằm biên Quy tắc đối xứng: BĐT thường có tính đối xứng vai trị biến BĐT dấu “ = ” thường xảy vị trí biến Nếu tốn có gắn hệ điều kiện đối xứng ta dấu “ = ” xảy biến mang giá trị cụ thể Chiều BĐT : “ ≥ ”, “ ≤ ” giúp ta định hướng cách chứng minh: đánh giá từ TBC sang TBN ngược lại Trên quy tắc giúp ta có định hướng để chứng minh BĐT, học sinh thực hiểu quy tắc qua ví dụ bình luận phần sau BẤT ĐẲNG THỨC CÔ - SI (CAUCHY) Dạng tổng quát (n số): x1, x2, x3 …… xn ≥ ta có: x1  x2  xn   Dạng 1: n n  Dạng 2: x x x n x1  x2  xn  n x1 x2 xn n  x  x  xn    n    Dạng 3: n  x1 x2 .xn Dấu “ = ” xảy khi: x1  x2   xn Hệ 1: S n thì: Max P  x1x2 xn    n  Nếu: x1  x2  . xn  S  const x  x   xn  n S Hệ 2: Nếu: x1x2 xn  P  const thì: MinS   x . x 2 nP Dạng cụ thể ( số, số ): x   nn P x1  x2   xn  n = 2:  x, y ≥ đó: xy  xy xyz  xyz x  y  xy x  y  z  3 xyz 2.1 2.2 2.3 2.4 n = 3:  x, y, z ≥ đó: xy   2    xy  x  y  4xy xyz    xyz   3  x  y  z  27xyz 2.5 x   y xy 111 x y z xy z 2.6 Sử dụng bất đẳng thức Cô - si giải toán THCS 4 4 xy  x  y 2 xyz  x  y  z 3 Bình luận:  Để học sinh dễ nhớ, ta nói: Trung bình cộng (TBC) ≥ Trung bình nhân (TBN)  Dạng dạng đặt cạnh tầm thường lại giúp ta nhận dạng sử dụng BĐT Cô Si: (3) đánh giá từ TBN sang TBC khơng có thức Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP Hà Nội Sử dụng bất đẳng thức Cô - si giải toán THCS CÁC KỸ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ - SI 3.1 Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân Đánh giá từ TBC sang TBN đánh giá BĐT theo chiều “ ≥ ” Đánh giá từ tổng sang tích Bài 1: Chứng minh rằng:  a2  b2 b2  c2 c2  a2   8a2b2c2 a,b, c Giải Sai lầm thường gặp: Sử dụng:  x, y x2 - 2xy + y2 = ( x- y)2 ≥  x2 + y2 ≥ 2xy Do đó: a2  b2  2ab  2  a  b2 b  c   2bc c2  a2   2ca 2 8a b c b  c2 c2  a2   a,b,c (Sai) 2  Ví dụ: 2  24 = 2.3.4 ≥ (-2)(-5).3 = 30 ( Sai )  3  5 4  Lời giải đúng: Sử dụng BĐT Cô Si: x2 + y2 ≥ x2 y a2  b2  ab    b  c2  bc   a = 2|xy| ta có: b2 b2  c2 c2  a2   8| a2b2c2|  8a2b2c2 a,b,c (Đúng  2 c  a  ca   ) Bình luận: Chỉ nhân vế BĐT chiều ( kết BĐT chiều) vế không âm   10 Nguyễn Cao Cường - THCS Thái Thịnh – Quận Đống Đa – TP Hà Nội Cần ý rằng: x2 + y2 ≥ x2 y = 2|xy| x, y khơng biết âm hay dương Nói chung ta gặp tốn sử dụng BĐT Cơ Si tốn nói mà phải qu