Để giải quyết những bài toán dạng này người giải cần linh hoạt trong việc tách các nhóm số hạng sao cho đảm bảo dấu bằng và tạo ra các bất đẳng thức phụ quen thuộc.. Chứng minh rằng:.[r]
(1)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Chủ đề - BẤT ĐẲNG THỨC
Phần 1: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (CÔ SI) Cho số thực không âm a b c, , ta có:
1 a b 2 ab Dấu đẳng thức xảy ab a b c 33abc
Dấu đẳng thức xảy abc Các bất đẳng thức 1, gọi bất đẳng thức Cauchy cho số thực khơng âm (Cịn gọi bất đẳng thức Cô si hay bất đẳng thức AM- GM) Để vận dụng tốt bất đẳng thức Cauchy Ta cần nắm kết sau:
1)
2
1 2
ab a b a b ;
2
2 x y
x y
a b a b
2)
2 2
1 1 3
abc a b c a b c
3) 2 3( )2 1( )2 3( )2
4 4
a ab b a b a b a b
4) 2 1( )2 3( )2 1( )2
4 4
a ab b a b a b a b
5)
2
2 2
3 a b c
ab bc ca a b c
6)
2
2 2 x y z
x y z
a b c a b c
7)
3 3
4 a b a b
8)
2
2 4 4
2
4 2 ( ) 4 ( )
2( )
2
a b a b a b
a b a b a b
9) Với a b, 0 1( )
m n m n m m
a b a b (*) Thật BĐT cần chứng minh tương đương với
(2)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ (**) Tổng quát ta có
2
n n n
a b a b
Thật áp dụng (*) ta có
1
2 2
n
n n n n
a b a b a b a b
10) Với a b c, , 0 1( )( )
m n m n m n m m m n n n
a b c a b c a b c (*) Thật ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
(ambm)(anbn) ( bmcm)(bn cn) ( cmam)(cnan)0 mà điều hiển nhiên
Tổng quát ta có:
3
n
n n n
a b c a b c
Thật áp dụng (*) ta có:
1 1 2
3 3 3
n n n n n n n n n
a b c a b c a b c a b c a b c
Áp dụng bất đẳng thức ta có:
3 3
n
n n n n n n n n n n n n
n
a b b a b c a b c a b c
Tương tự ta có:
1 1 1
3
n
n n n
a b c a b c
Do 1
abca b c suy
1 1
3
n
n n n
a b c a b c
11) 1
1 1
a b ab với a b, 1
Tổng quát: với a b, 1 ta có
1
(1a)n (1b)n 1 ab n
12) Với 0a b, 1 1
1 1
(3)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Tổng quát: Với a b, 0;1 ta có: 1
1 1
n n n
a b ab
13) Một số kết suy từ bất đẳng thức Cô si
+ a3b3x3y3m3n3axm byn 3 (*)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
3 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3
3
3
a x m axm
a b x y m n a b x y m n
3 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3
3
3
b y n byn
a b x y m n a b x y m n
Cộng hai bất đẳng thức chiều ta suy ra:
3 3 3
3
3
3 axm byn
a b x y m n
3 3 3 3
a b x y m n axm byn
+ Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được:
3 3 3 3 3 3 3
a b c x y z m n p axm byn czp
Ví dụ 1: Cho số thực khơng âm a b c, , Chứng minh rằng:
a) 3
a b ab a b
b) 3 13 3 31 3 31
a b abcb c abcc a abc abc Với ( , ,a b c0)
c) a b b c ca8abc
d) 8
9
a b b c c a a b c ab bc ca
e) Cho ab b c c a1 Chứng minh:
4
ab bc ca ( Trích
(4)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Lời giải:
a) Ta có : 3 2
a b a b a ab b Suy
2
3 2
2
a b ab a b a b a ab b a b a b suy
đpcm
b) Áp dụng bất đẳng thức câu a ta có:
3
a b abcab a b abcab a b c Suy
3
1
a b abc ab a b c Tương tự ta có:
3 3
1 1
;
b c abcbc a b c c a abc ca a b c Cộng ba bất
đẳng thức chiều suy ra:
3 3 3
1 1
a b abcb c abcc a abc abc Dấu xảy
chỉ abc
c) a b b c ca8abc
Cách 1: Ta có:
2 , ,
a b ab b c bc ca ca a b b c ca abc
Cách 2: a b b c c a a b c ab bc caabc Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
3 2
3 ,
a b c abc ab bc ca a b c
a b cab bc ca9abc Suy
a b b c c a a b c ab bc caabc8abc
Chú ý: a b b c c a a b c ab bc caabc biến đổi sử dụng nhiều chứng minh bất đẳng thức:
d) 8
9
(5)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Chú ý rằng: a b b c c a a b c ab bc caabc Áp dụng câu c ta có đpcm
e) Ta ý: a b b c c a a b c ab bc caabc Suy
ra ab bc ca abc
a b c
Theo bất đẳng thức Cơ si ta có:
3
3
2
a b b c c a a b b c c a a b c Mặt
khác sử dụng: 8
a b b c c a abcabc Từ suy ra:
1
1 8
3 4
2
abc ab bc ca
a b c
Dấu ‘’=’’ xảy
1
ab c
Ví dụ 2:
a) Cho số thực dương a b c, , cho a b c ab bc ca 6 Chứng minh rằng: a2b2c2 6 Trích đề tuyển sinh lớp 10- TP Hà Nội 2013
b) Cho số thực dương a b, cho : 1
ab Chứng minh:
4 2 2
1 1
2 2
Q
a b ab b a a b
Trích đề tuyển sinh lớp 10
chuyên Nguyễn Trãi- Hải Dương 2013)
c) Cho số thực dương a b, cho a b 2 Chứng minh:
2
2
1
2 a b a b 10
b a a b
(6)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ d) Cho số thực dương a b c, , thỏa mãn a b c 2 Tìm giá trị
nhỏ P 2a bc 2b ac 2c ab Trích đề tuyển sinh lớp 10- TP Hà Nội 2014
e) Cho số thực khơng âm a b, cho a2b2 4 Tìm GTLN
2
ab P
a b
Trích đề tuyển sinh lớp 10- TP Hà Nội 2015
Lời giải:
a) Dự đoán dấu xảy ab c Ta có cách giải sau: Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có:
2 2 2 2 2
2 , , , , ,
a b ab b c bc c a ac a a b b c c Cộng bất đẳng thúc chiều ta suy
2 2 2
3 a b c 3 ab bc ca a b c 12a b c 3 Dấu
bằng xảy ab c
b) Dự đốn ab1 bất đẳng thức xảy dấu Từ ta có cách áp dụng BĐT Cơ si sau:
Ta có: a4b2 2a b b2 , a2 2ab2 Từ suy
2 2
1 1 1
2 2 2
Q
a b ab b a a b ab a b ab a b ab a b
Từ
giả thiết 1 a b a b 2ab
a b ab
suy
2
2
Q
a b
Do
1 1
2
2
a b a b a b
Suy
1
Q Dấu xảy ab1
c) Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành:
2
2
2
2
2 a b 2ab a b ab a b ab 10
ab a b
(7)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
2 3 2
2
4
8 4ab ab ab 10 2a b 4a b 24ab 12a b 36 18ab
ab a b
2 3 2
2a b 4a b 24ab 12a b 36 18ab 4t 10t 42t 36
(*) với
2
0
4 a b t ab
Ta có (*) tương đương với:
3
2t 5t 21t180
1 18
t t t
Do 2t23t180
t nên t1 2 t23t180 Dấu xảy
1
t ab
d) 2abc a a b c bc Áp dụng bất đẳng thức Cô si
2
a b a c
a b a c , tương tự ta có:
2
2
b a b c
bac b a b c ac ba b c ,
2
2
c a c b
cab Từ suy
2 2
2 2 2( )
2 2
a b c b c a c a b
P a bc b ac c ab a b c
.Dấu xảy
3
ab c
Ta viết lại
2
ab P
a b
Đặt a b 2 t t
2
2 2
2 2 2
a b ab t ab t t
a b 2 t22.Ta có :
2 2 2
2 a b a b a b 8 a b 2 22 t 22 Ta chứng minh:
2
2
2
ab t t
P
a b t
Dự đoán dấu xảy
2 2
ab t nên ta chứng minh:
2
2
1 2
2 2 2
2
t t
P t t
t
(8)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Hay t2 1 t 2 0t2 22t 1 0 Bất đẳng thức 2 t 22 Dấu xảy
2 2
t a b
MỘT SỐ KỸ THUẬT VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI 1. Dự đốn dấu để phân tích số hạng vận dụng bất đẳng
thức Cô si
Đối với toán bất đẳng thức đối xứng thông thường dấu xảy biến sở để ta phân tích số hạng cho áp dụng bất đẳng thức Cơ si dấu phải đảm bảo
Ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 1: Cho x y, số dương thỏa mãn xy2 Chứng minh
2 2
2
x y x y
(Đề thi tuyển sinh lớp 10 Chu Văn An, Hà Nội – Amsterdam 2006-2007) Lời giải:
Ta dự đoán dấu xảy x y1 Khi xy1, x2y2 2 Mặt khác để tận dụng giả thiết xy2 ta đưa đẳng thức
xy2 Vì ta phân tích tốn sau: 2 2 2
.2
x y x y xy xy x y Theo bất đẳng thức Cauchy
2
1
x y
xy ,
2
2
2 2
2
2
x y xy x y
xy x y
Từ
suy 2 2
2
(9)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Ngồi cách làm ta giải tốn cách đưa biến:
t x y txy với ý: xy2 4xy, 2x2y2xy2 Thật vậy: Đặt 2 2
;
txy xy x y xy
2 2
4 x y 2t x y 2t
Do
2
1
4 x y
xy t Ta cần chứng minh: 2
4 2 1
t t t t t t t
Bất đẳng thức ln với giá trị 0 t Ví dụ 2:
a) Cho a b, số không âm thỏa mãn a2b2 2 Chứng minh rằng:
3
a a a b b b b a (Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Ngoại Ngữ ĐHQGHN năm 2008-2009)
b) Với ba số dương x y z, , thỏa mãn x y z 1, tìm giá trị lớn
của biểu thức:Q x y z
x x yz y y zx z z xy
(Đề thi tuyển
sinh lớp 10 chuyên Toán TP Hà Nội 2014) Lời giải:
a) Dự đoán dấu xảy ab1 Khi
(10)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng
2
x y
xy , dễ thấy
2
3 2
2
a a b
a a a b a a ab,
2
3 2
2
b b a
b b b a b b ab
Cộng hai bất đẳng thức lại vế theo vế, ta được:
2
3 2
M a a a b b b b a a b ab ab Tiếp tục sử dụng bất đẳng thức Cauchy kết hợp với giả thiết, ta có:
2
42ab 4 a b 6 Từ ta có M 6 Dấu xảy
a b
b) Ta có:
2
x x x y z yz x x x yz x
x
x yz x x x y z yz x x x yz
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy co hai số thực dương
2
a b
ab ta có:
2
2 x y x z
x x
x x y x z x xy xz
xy yz xz xy yz xz xy yz xz
Chứng
minh tương tự cộng vế, ta suy Q1.Đẳng thức xảy
1
xyz Vậy Q lớn
3
x yz Ví dụ 3: Cho c0 a b, c Chứng minh
c a c c b c ab
(11)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
c a c c b c P
b a a b
Sử dung bất đẳng thức Cauchy dạng:
2
x y
xy , ta có:
1
1
2 2
c a c c b c c c c c
b a a b b a a b
P
Bài
tốn giải hồn toàn Đẳng thức xảy
1 1
c a c
b a
c b c a b c
a b
Ngồi ta chứng minh toán
biến đổi tương đương
Ví dụ 4: Cho x y z, , số thực dương Chứng minh rằng:
2 2
2 2
2 2
x y z
x yz y zx z xy Lời giải:
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng: 2
2aba b , dễ thấy:
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
x y z x y z
P
x yz y zx z xy x y z y z x z x y
Đẳng thức xảy x yz
Ví dụ 5: Cho x y, 0 xy1 Chứng minh 8x4 y4
xy
Giải:
Dự đoán dấu xảy
2
(12)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Suy 8x4 y4 16x y2
xy xy
Để ý dấu xảy 2
16x y 1 nên ta phân tích
sau:16 2 16 2 1
4
x y x y
xy xy xy xy
Áp dụng bất đẳng thức Cô si
3
a b c abc ta có: 16 2 1
4
x y
xy xy
,
2
4
4
xy xy xy Suy 2 1
16
4
x y
xy xy xy
Đẳng thức xảy
2
x y
Ví dụ 6) Cho a b c, , số dương thỏa mãn a b c 3 Chứng minh rằng:
2 2
2 2
2 2
9
a b c a b b c c a
a b c
Lời giải:
Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành:
2
2 2
1
2
a b b c c a
a b c
2
2 2
1 1
2 a b b c c a
ab bc ca
Mặt khác sử dụng bất đẳng
thức Cauchy ba số, ta có: 2 2
2
1
3
a b a b a b a b a
ab ab
,
2 3 2
2
1
3
b c b c b c b c b
bc bc
2 3 2
2
1
3
c a c a c a c a c
ca ca
(13)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Cộng ba bất đẳng thức lại vế theo vế, ta được:
2
2 2
1 1
2 a b b c c a
ab bc ca
Dấu đẳng thức xảy hcir ab c
Ví dụ 7) Cho x y, 1 Chứng minh rằng:
3 2
8
1
x y x y
x y
Giải:
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
2 2
2
2
1 1 1 1
x y x y xy
P
y x y x x y
(1) Mặt khác, lại để ý
rằng sử dụng bất đẳng thức Cauchy hai số dạng
2
a b ab , thì:
1
1 1 ; 1
2 2
x x y y
x x y y Nhân hai bất đẳng thức lại theo vế, ta thu
được:
2
1
4 1 1
xy xy
x y
x y
(2) Từ (1) (2) suy
ra điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy
2
2
1
2,
x y
x y
y x
x y
Đối với toán mà dấu không xảy biến Ta cần ý tính đối xứng phận , để dự đốn sau liên kết liệu tốn để tìm điểm rơi Từ áp dụng bất đẳng thức Cauchy để thu kết quả:
(14)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Ví dụ 8: Cho x y z, , 0 thỏa mãn: xyyzzx1 Tìm GTNN
2 2
2
Px y z
Giải:
Ta dự đoán dấu xảy x yaz mong muốn biến đổi :
2 2
2 ( )
Px y z k xyyzzx để tận dụng giả thiết xyyzzx1 dấu xảy x yaz Để có tích x y ta áp dụng x2y2 2xy Để tạo yz ta áp dụng: y2a z2 2ayz Để tạo zx ta áp dụng:
2 2
2 a z x azx
Vì hệ số yz zx, a nên ta nhân a vào bất đẳng thức cộng lại theo vế ta thu
được
2 2 2 2 2 2 2
1
( )
2
a x y y a z a z x a x y a z
a xy yz zx
Hay 2a(a1)(x2y2)2a z2 Để tạo Px2y22z2ta cần có tỷ
lệ:( 1) : 2 1: 2 1
2
a a a a a
Từ ta tìm được: 1
a P
a
Các em học sinh tự hoàn thiện lời
giải
Ví dụ 9) Cho x y z, , 0 thỏa mãn: x y z Tìm GTNN
2
Px y z
(15)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Ta dự đốn dấu có x ya z, b; 2a b 3 Theo bất đẳng
thức Cơ si ta có:
2
2
3 3
2
3
x a ax
y a ay
z b b b z
Cộng ba bất đẳng thức chiều ta
có: x2y2z32a22b32 (a xy) 3 b z2 Tức là:
2 2
2 ( ) 2
x y z a xy b z a b
Bây ta cần chọn a, b cho : 3a b2 1:1
2
2
2
a b a b
Giải hệ tìm
được: 19 37; 37
12
x ya zc
Từ bạn đọc tự hồn thiện lời giải:
Ví dụ 10) Cho số thực dương a b c, , thỏa mãn: a22b23c2 1 Tìm GTNN P2a33b34c3
Lời giải:
Dự đoán dấu xảy ax b; y c; z với x y z, , 0
2 2
2
x y z
Ta có: a3a3x33a x2 ; b3b3y33b y2 ; c3c3z33c z2 , suy
3
2a 3a xx
3 3
3
b b y b y 3 3
2
b yb y
,
3 3 3
3
(16)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ đẳng thức chiều suy ra: 3 2 3 3
2
P xa yb zc x y z
Ta cần chọn x y z, , để: :3 : 1: :
x y z x22y23z21 Áp dụng tính chất dãy tỷ số ta dễ dàng tìm được:
6
; ;
407 407 407
x y z Học sinh tự hồn thiện lời giải
Ví dụ 11) Cho số thực dương a b c d, , , thỏa mãn:
abc bcd cda dab Tìm GTNN P4a3b3c39d3.(Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Trường chuyên KHTN- ĐHQG Hà Nội 2012) Lời giải:
Biểu thức P cho ta dự đoán dấu xảy ,
ab c xd Để giảm ẩn toán ta áp dụng bất đẳng thức Cơ si theo cách:
Khi a3b3c33abc, b3c3x d3 3xbcd, c3a3x d3 3xcad, 3 3
3 a b x d xabd
Suy
3 3
3 3 3 3 3 3
3 3 x a b c xabc b c x d xbcd c a x d xcad a b x d xabd
Cộng bốn bất đẳng thức chiều ta có:
3
2 2 3
x a x b x c x d x abc bcd cdadab x
Bây ta chọn x cho : 3 : 32 4 3
3
x
x x x x
x
Đặt 1
x y
y
(17)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
3 3
6 35 , 35 35 35
2
y y x Bạn đọc tự hoàn thiện lời giải
2. Kỹ thuật ghép đối xứng
Trong nhiều toán mà biểu thức hai vế tương đối phức tạp, việc chứng minh trực tiếp trở nên khó khăn ta sử dụng kỹ thuật ghép đối xứng để toán trở nên đơn giản
ở toán bất đẳng thức, thông thường hay gặp hai dạng sau: Dạng 1: Chứng minh X YZ A B C
ý tưởng: Nếu ta chứng minh XY 2A Sau đó, tương tự hóa đẻ YZ 2B ZX 2C (nhờ tính đối xứng tốn) Sau cộng ba bất đẳng thức lại theo vế rút gọn cho 2, ta có điều phải chứng minh
Dạng 2: Chứng minh XYZABC với X Y Z, , 0
Ý tưởng: Nếu ta chứng minh XY A2 Sau đó, tương tự hóa để
YZ B
ZX C (nhờ tính chất đối xứng tốn) Sau nhân ba bất đẳng thức lại theo vế lấy bậc hai, ta có:
2 2
XYZ A B C ABC ABC
Ví dụ 1. Cho ba số dương x y z, , thỏa mãn xy z Chứng minh
2 2 2
2x xy2y 2y yz2z 2z zx2x
(18)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Ta cần đánh giá dạng :2x2xy2y2 mxny2sao cho dấu xảy x y Để có đánh giá thơng thường ta viết lại
2 2
2 2
2x xy2y a xy b xy a b x 2 b a xy a b y
Từ suy
3
4
5
4
a b a
b a
b
Từ ta
có:
2 2 2
2 5 2
2 2
4 4
x xy y xy xy xy x xy y xy
tương tự ta có bất đẳng thức cộng lại ta có:
2 2 2
2x xy2y 2y yz2z 2z zx2x x y z dấu xảy
3
x yz Ta chứng minh trực tiếp:
2
2 2
2 2
2
x y
x xy y x xy y xy
2
2
2
4
x y
x y xy x y xy
(đúng theo Cauchy)
Ví dụ 2.Cho số thực dương a b c, , cho ab bc ca 1 Chứng minh
rằng: 4
9
abc a b c a b b c c a (Trích đề tuyển sinh vào lớp 10- Trường Chuyên KHTN- ĐHQG Hà Nội 2014)
Lời giải:
(19)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
4 2
4 2 4
4 2
1
3
1
3 9
1
3
a b abc ca a bc
b c a bc ab b ca abc a b c a b b c c a
c a ab c bc c ab
(1)
Mặt khác ta có:
1 2
3
abc a b c ab ac bc ba ca cb ab bc ca Suy
4
3abc a b c 9 (2) Cộng theo vế (1) (2) ta có đpcm
Ví dụ 3) Cho ba số dương x y z, , thỏa 1
1x1y1z Chứng minh
rằng
8
xyz
Giải:
Từ giả thiết 1
1x1y1z , ta suy ra:
1 1
1
1 1 1 1
y z yz
x y z y z y z
1
1 1
yz
x y z
Hoàn tồn tương tự ta có:
1
2 ;
1 1 1
zx xy
y z x z x y
(20)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Nhân ba bất đẳng thức lại theo vế, ta thu
được:
1
1 1 1
xyz
xyz
x y z x y z
Ví dụ 4. Cho x y z, , 2 1 1
x y z Chứng minh
x2y2z21
(Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Lam Sơn Thanh Hóa năm 2005-2006) Lời giải:
Với giả thiết x y z, , 2, ta nghĩ đến việc đặt ẩn phụ để đưa toán dạng đơn giản quen thuộc Đặt xa2;y b 2;z c với a b c, , 0 Bài toán quay chứng minh abc1
Với a b c, , 0 thỏa mãn: 1 1
2 2 2
a b c
a b c a b c
Ta có:
1 1 1 1
1
2 2 2 2
c a b a b
2 2 2
a b ab
a b a b
Tương tự:
1
;
2 2 2
ca bc
b c a a b c
Nhân ba bất đẳng thức lại theo vế, ta được:
1
1
2 2 2
abc
(21)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Ví dụ 5) Cho x y z, , số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức
1 1
2 2
x y z
P
y z z x x y
Giải:
Ta có
2 2
8
x y z y z x z x y
P
x y y z z x
(1)
Theo bất đẳng thức Cô si ta có:
2x y z xy xz 2 xy xz (2)
2y z x yz yx 2 yz xy (3)
2z x y zx zy 2 zx zy (4)
Nhân vế (2),(3),(4) từ (1) suy P1
Dấu (5) xảy đồng thời có dấu (2),(3),(4)
0
x y x z
y z y x x y z
z x z y
.Từ suy minP1
3. Kỹ thuật si ngược dấu:
Ví dụ 1. Cho a b c, , 0 a b c 3 Chứng minh
rằng: 3 3 3
2
a b c
b abc bca ca
(22)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
3 2
1 1 1 1
1
2
a b b
b ab b a b b ab b a b a
Tương tự:
3
1 1 1
1 ;
4
b c
c bc c b a ca a c
Cộng ba bất đẳng thức lại vế theo vế, ta được:
3 3
3 1
4
a b c
b ab c bc a ca a b c
Bài toán quy chứng
minh:3 1 3 1
4 a b c a b c
1 1
3
a b c a b c
a b c
Bất đẳng thức cuối
hiển nhiên theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:1 a 2, ;1 b 2;1 c
a b c
Bài toán chứng minh xong Đẳng thức xảy
ab c
Ví dụ 2) Cho a b c, , 0,a b c Chứng minh:
3 3 3
9
9 9
a b b c c a
ab bc ac
Ta chứng minh
3
3
3 3
2
1 36( )
( ) , ( )
4 ( ) 36 ( ) 36
a b
a b a b
a b a b ab a b a b
ab a b a b
(23)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Mặt khác ta có:
(a b ) 36 12( a b ) Suy
3
3
a b
a b ab
Cộng ba
bất đẳng thức chiều suy đpcm
Ví dụ 3) Cho x y z, , 0 x y z 3.Tìm giá trị nhỏ biểu thức
2 2
1 1
x y z
P
y z x
Lời giải: Ta có:
2
2
1
x xy
x y y
Theo bất đẳng thức Cơ si
2
1y 2y Suy
ra 2
1
x xy
x
y
Tương tự, ta có: 2
y yz
y z
, 2
z zx
z x
Cộng vế ba bất đẳng thức ta có 1
P x y z xyyzzx Mặt khác theo bất đẳng thức Cơ si, ta có: 3xyyzzx xyz2 Vì
3
x y z xyyzzx Như
2
P x yz
4. Phương pháp đặt ẩn phụ:
Kỹ thuật đặt ẩn phụ kỹ thuật đặc biệt chứng minh bất đẳng thức:
Việc chọn ẩn phụ thích hợp giúp toán trở nên đơn giản hơn: Một số kỹ thuật hay gặp sau:
1 Khi có giả thiết : a b c abc ta biến đổi thành:
1 1
1
abbcca đặt
1 1
; ;
x y z xy yz zx
(24)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Khi gặp giả thiết a b c 1 ta viết thành:
ab ac bc ba ac cb
c b a c b a Đặt
, ,
ab bc ca
x y z xy yz zx
c a b
3 Khi gặp giả thiết: ab bc ca abc 4 Ta viết thành:
1 1
1
2 2
a b c Đặt
1 1
; ;
2 2
x y z x y z
a b c
4 Từ điều hiển nhiên: +
1 1
1
1 1
x y z
y z z x x y
x y z x y z x y z
x y z
Đặt a y z;b z x;c x y
x y z
ta suy
1 1
1
1 1 abc a b c
a b c Từ suy gặp
giả thiết: abca b c 2 ta đặt:
; ;
y z z x x y
a b c
x y z
+ Nếu đổi a b c, , 1 1; ;
a b c
ta có: abca b c 2 tương
đương với ab bc ca 2abc1 Vì gặp giả thiết
2
ab bc ca abc ta đặt a x ;b y ;c z
y z z x x y
Một cách tổng quát: Khi gặp giả thiết: 1 1
kakbkc
(25)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
3 2
3
k k k k a b c k ab bc ca abc Suy
ra tồn số x y z, , cho
1 1
; ;
x y z
ka xyz kb xyz kc xyz Như vậy: Với
các số thực dương a b c, , thỏa mãn: 1 1
kakbkc Thì tồn
tại số m n p, , 0 cho:
; ;
m n p m n p m n p
a k b k c k
m n p
+ Nếu a b c, , 0 ab bc ca abc 4 ta đặt
2 2
; ;
m n p
a b c
n p p m m n
+ Nếu a b c, , 0 a b c 1 4abc ta đặt
; ;
2 2
n p p m m n
a b c
m n p
5 Khi gặp giả thiết: xyz1 Ta chọn phép đặt:
2 2
; ; 1;
a b c
x y z abc
b c a
2 2
; ;
a b c
x y z
bc ac ab
; ;
x y z
a b c
y z x
…
6 Đặt: x a b c y; b c a z; c a b đặt
; ;
x a b y b c z c a…
Ví dụ 1: Cho x y z, , số thực dương thỏa mãn điều kiện x y z xyz Tìm giá trị lớn biểu thức
2 2
1 1
1 1
P
x y z
(26)
hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Từ giả thiết x y z xyz, ta có 1 1
xy yz zx Đặt
1 1
; ; c , ,
a b a b c
x y z
Giả thiết trở thành: ab bc ca 1 ,
2 2
1 1
a b c
P
a b c
Để
ý rằng:
1 ; ,
a a b ac b ba b c c ca c b
Lúc P có dạng
a b c
P
a b a c b a b c c a c b
a a b b c c
a b a c a b b c c a c b
Theo bất đẳng thức Cơ si,
ta có:
2
a a b b c c
P
a b a c b a b c c a c b
hay
3
P
Dấu = xảy
3
abc x yz Vậy max
P Giá trị lớn đạt x yz
Ví dụ 2) Cho x y z, , 0 xy z 3xyz.Chứng minh:
3 3
2 2
yz zx xy
x z y y x z z y x Lời Giải:
Đặt
3 3
2 2
yz zx xy
P
x z y y x z z y x
, đặt
1 1
; ;
a b c
x y z
Từ giả thiết ta có a b c, , 0 ab bc ca 3 Lúc dễ thấy
3 3
2 2
a b c
P
b c c a a b
(27)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
3
2
9
2
2
a
b c a a
b c ,
3
2
9
2
2
b
c a b b
c a ,
3
2
9
2
2
c
a b c c
a b Cộng vế ba bất đẳng thức chiều ta có
2 2
9P3 ab bc ca 6 a b c Mặt khác ta có kết quen thuộc:
2 2
a b c ab bc ca kết hợp với ab bc ca 3 suy P1 Vậy minP1 Giá trị nhỏ đạt x yz1
Ví dụ 3: Cho a b c, , độ dài cạnh tam giác Chứng minh rằng:
a b c b c a c a babc
Lời giải:
Đặt , ,
2
x y z
xa b c y b c a z c a b a b c Từ ta
suy ; ;
2 2
z x x y y z
a b c Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng: xyyzzx8xyz Đây bất đẳng thức quen thuộc ( xem 1)
Ví dụ 4. Cho x y z, , 2 1 1
x y z Chứng minh
x2y2z21
(Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Lam Sơn Thanh Hóa năm 2005-2006) Giải:
Với giả thiết x y z, , 2, ta nghĩ đến việc đặt ẩn phụ để đưa toán dạng đơn giản quen thuộc
(28)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Với a b c, , 0 thỏa mãn:
1 1
1
2 2 2
a b c
a b c a b c Đến ta đặt tiếp
; ;
2 2
a b c
m n p m n p
a b c
Ta có:
1 2 2
1
a n p m
a
m a a a m m n p
Tương tự:
2
;
n p
b c
p m m n
Do bất đẳng thức trở
thành: 2m 2n 2p m nn pp m 8mnp
np pm m n
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta
có:mnnppm2 mn.2 np.2 pm8mnp Bài tốn giải xong Đẳng thức xảy
1
m n p a b c x y z
Ví dụ 5. Cho a b c, , số thực dương thỏa mãn ab bc ca abc 4 Chứng minh rằng: ab bc ca3
Lời giải: Ta có:
4 12
ab bc ca abc abc ab bc ca a b c ab bc ca a b c a 2b 2c 2 a 2b 2c 2 c 2a 2
1 1
1
2 2
a b c
(29)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Suy tồn số dương m n p, , cho:a 2m ,b 2n ,c 2p
n p p m m n
Thay vào bất đẳng thức cần chứng minh ta
được: 2m 2n 2n 2p 2p 2m
n p pm pm mn mn n p
2 m n n p p m
m p n p m n m p n p m n
Sử dụng bất
đẳng thức Cauchy, ta
có:2 m n m n
m p n p mpnp
n p n p
mn mp mnm p,
2 p m p m
np mn npmn
Cộng ba bất đẳng thức lại theo vế, ta được:
2 m n n p p m m n n p m p
m p n p m n m p n p m n m n n p m p
BẤT ĐẲNG THỨC SCHUR
Cho x y z, , số thực không âm số thực dương t Khi ta có:
( )( ) ( )( ) ( )( )
t t t
x xy xz y yz yx z zy zx (*)
Đây bất đẳng thức có nhiều ứng dụng tương đối chặt nhiều toán Bđt hệ BĐT Việc chứng minh (*) đơn giản: Giả sử:
(*) t( ) t( ) t( )( )
(30)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Các bất đẳng thức suy từ BĐT SCHUR t 1 là:
1) a3b3c33abcab a b( )bc b c( )ca c( a)
2) a b c39abc4(a b c ab bc)( ca)
3) abc(a b c b c a c )( )( a b)
4) a2 b2 c2 9abc 2(ab bc ca)
a b c
5)
( )( )( )
a b c abc
b c caa b a b b c c a
Các BĐT (4) (5) gọi BĐT SCHUR dạng phân thức t1 Ngoài cần ý biến đổi:
2
3 3
3
a b c abc a b c a b c ab bc ca
.Hoặc:
3 3 2
3
a b c abc a b c a b c ab bc ca
Ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 1) Cho , ,a b c ba số thực không âm a b c 1 Chứng minh rằng: 9abc4ab bc ca 1
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Schur dạng:
a b c 39abc4(a b c ab bc ca )( ).Thay a b c 1 ta có:
1 9 abc4 ab bc ca Dấu đẳng thức xảy có hai số
bằng
2 số
1
abc
(31)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Lời giải:
Áp dụng BĐT Schur dạng phân số ta có:
2 2
2( )
abc
a b c ab bc ca
a b c
Để chứng minh toán ta cần
chỉ ra: a b c 9abc a b c2 9abc a b c
Theo bất đẳng thức Cơ si
ta có: a b c 33 abca b c 2 93abc2 Ta chứng minh:
abc Thật từ giả thiết ta có: ab bc ca abc 4 mà 2
3
ab bc ca a b c Đặt t 3abc ta suy ra:
2
3
3
t t t t t Suy abc1 hay
3abc2 abc suy đpcm Dấu xảy a b c 1
Ví dụ 3) Cho , ,a b c số thực không âm cho a b c 1 Chứng minh 4a3b3c315abc1
Lời giải: Ta có:
2
3 3
3 3
a b c abc a b c a b c ab bc ca ab bc ca
Suy
3 3
4 a b c 15abc27abc 4 12 ab bc ca
3 ab bc ca 12 ab bc ca
Theo ví dụ ta có:
9abc4 ab bc ca 1 Từ suy ra:
27abc 4 12 ab bc ca 3 4 ab bc ca 1 4 12 ab bc ca 1
Hay 3 3
4 a b c 15abc1 Dấu đẳng thức xảy có hai số
2 số
1
(32)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Ví dụ 4) Cho số thực không âm a b c, , Chứng minh rằng:
2
2 2 3
3
a b c abc ab bc ca (Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 Trường chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An 2014)
Lời giải:
Đặt a2 x;3b2 y;3c2 z
Suy ra: a2 x b3; y c3; z3a x b3; y c3; z3
, ,
x y z Bất đẳng thức cho thành:
3 3 3 3 3
3
x y z xyz x y y z z x (1) Áp dụng bất đẳng thức Schur ta suy ra:
3 3
3
x y z xyzxy xy yz yz zx zx
Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta có: xy x y2xy xy 2 x y3 Tương tự ta có: yz y z2 y z3 , zx z x2 z x3 Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta thu được:
3 3 3
2
xy xy yz yz zx zx x y y z z x (2) Từ (1) (2) ta có: 3 3 3 3
3
x y z xyz x y y z z x
Hay a2b2 c233abc2 ab bc ca Đẳng thức xảy
xyz hay abc
Ví dụ 5) Cho , ,a b c số thực dương có tổng 1.Chứng minh
3 3 2 2
6 a b c 1 a b c
Lời giải: Ta có:
2
3 3
3 3
a b c abc a b c a b c ab bc ca ab bc ca
(33)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
3 3
6 a b c 1 3 ab bc ca 18abc1
2
1 18abc a b c 18 ab bc ca
2 2
1 18 abc5 a b c a b c 18 ab bc ca
2 2 2
1 a b c 18abc a b c ab bc ca
2 2
5 a b c 9abc ab bc ca
Theo ví dụ ta có:
9abc4 ab bc ca 1 9abc 1 ab bc ca 0 Suy
3 3 2 2
6 a b c 1 a b c Ví dụ 6) Cho , ,a b c số thực dương
Chứng minh 2
2
a b c abc ab bc ca
Lời giải:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
a b c 22abc 1 4ab bc ca
2
2abc ab bc ca a b c
, Áp dụng bất đẳng thức Schur dạng phân số ta có: a2 b2 c2 9abc 2ab bc ca
a b c
Hay : 9abc 4ab bc ca a b c2
a b c Do ta cần chứng minh
9 2abc abc
a b c
hay
9
2 abc
a b c
Nếu
S hiển nhiên bất đẳng thức Nếu
2
a b c , áp dụng
(34)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
được:
3
3 9 2
9
2
27 27
s s s
s s abc
a b c s
với
sa b c
Ví dụ 7) Cho , ,a b c số thực không âm thỏa mãn điều kiện
1
abbcca Chứng minh a3b3c36abc a b c Lời giải:
Ta có:
3 3 2
3
a b c abc a b c a b c ab bc ca
2
1
a b c a b c
Suy
3 3 2
6
a b c abc abc a b c a b c Áp dụng bất đẳng thức Schur dạng: a b c 39abc4(a b c ab bc ca )( ) Ta suy ra:
2 2 2
9abc a b c a b c 1 4ss a b c ss
2 2
3
s s a b c s
với sa b c.Dấu xảy
khi
3
ab c có hai số 1, số
BÀI TẬP RÈN LUYỆN CƠ BẢN Câu 1) Cho
4 x
Chứng minh rằng: 4 x 4 x 2
Câu 2) Chứng minh với số thực khác khơng x y, , ta có:
2
2
x y x y
y x y x
(35)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 2
2
x y x y
y x y x
Câu 4) Cho x1,y1 Chứng minh x y 1 y x 1 xy Câu 5) Cho hai số thực x y, khác Chứng minh rằng:
2 2
2 2
2
3
x y x y
y x x y
Câu 6 Cho số thực dương a b, Chứng minh bất đẳng thức sau:
2
3 2
2
2
a b a ab
a b a b
Câu 7) Cho số thực dương a b, Chứng minh bất đẳng thức 2
2
2
ab a b a b
ab a b
Câu 8) Cho a b c, , 1; 2 a b c 0 Chứng minh rằng: a) 2
6
a b c ;
b) 2
2abca b c 2abc2; c) 2
8
a b c abc
Câu 9) Cho số thực không âm a b c, ,
Chứng minh a b c 3 a3b3c324abc Câu 10) Cho a b c, , thỏa mãn a b c 1
Chứng minh
2
a bc b ca c ab
a bc b ca c ab
(36)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Câu 11) Cho số thực dương a b c, ,
Chứng minh 3
2 2
2
33
a b c a b c
abc a b c
Câu 12) Cho số thực a b c, , Chứng minh
2 22 3
3
a b c a b b c c a
Câu 13) Cho số x y z, , 0 xyz1 Chứng minh x2y z 1 x1y1z
Câu 14) Cho số thực dương a, b Chứng minh:
2 2
2
4
ab b
a b a b
Câu 15) Cho số thực dương a b, Chứng minh bất đẳng thức 2
16 1
5
a b
b a a b a b
Câu 16) Cho số thực dương a b, Chứng minh bất đẳng thức sau:
2
2
3
2 a ab b
a b a b
Câu 17) Giả sử x y, số thực không âm thỏa mãn:
3 2
x y xyx y Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
1
2
x x
P
y y
Câu 18) Cho a b c, , dương thỏa mãn: 6a3b2cabc.Tìm giá trị lớn
2 2
1
1
B
a b c
(37)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Câu 19) Cho số a b c, , không âm Chứng minh
2
2 2 3
3
a b c abc ab bc ca Đẳng thức xảy nào?
Câu 20) Cho số thực dương a b, cho ab 1 b Tìm GTNN
2
1
P a b
a b
HƯỚNG DẪN GIẢI;
Câu 1) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
4 x 4 x2 4
4 4x 4x 4x 4x
Bất đẳng thức chứng minh
Câu 2) Bất đẳng thức cho tương đương với:
2
2
x y x y x y x y
y x y x y x y x
2 2
2
2 x y x xy y
x y x y
y x y x x y
Mà 2x2xyy2x2y2xy2 0,x y, 0 nên ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy x y0 Câu 3) Bất đẳng thức cho tương đương với:
2
2
2 3
x y x y x y
y x y x y x
(38)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
2 2
2
2 x y x xy y
x y x y
y x y x x y
Mà 2x2xyy2x2y2xy2 0 với số thực x y, khác nên ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy x y0 Câu 4)
Đặt a x1,b y1 a0,b0 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
1 1
a b b a a b b
1 1
a b b a b a b b a
2
1 1
a b b b a
Bất đẳng thức cuối nên ta có điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy a b hay x y2
Câu 5) Bất đẳng thức cho tương đương với:
2
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
4
4
1 x y x y
x y x y x x y y
y x x y
x y x y
2
2 2
2 2
2 2 2
2 2
1
0
x y x y
x y
x y x y
x y x y
(39)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
2
2 2 4 4 2 2
2
2 2
2
2 2 2 2
0
x y x y x y x y
x y x y
x y x y x y x y
Bất đẳng thức cuối nên ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy x y
Câu 6)
Dấu đẳng thức xảy với ab khi:
2
3 2
1
;
2
a b a ab
a b a b
Ta có biến đổi sau:
2 2
3 2 3 2
2 2
1
2 2
a b a ab a b a ab
a b a b a b a b
2
2 2
3 3
2
0
2
3
a b a b a b a b
a b
a b a b
a b a b
2 3 2
3 2
a b a b a b a b
2 3 2 4
2 2 0
a b a b a b ab a b a b
(đpcm)
Câu 7) Ta có:
2
2
a b a b ab
a b a b
2 2
2 2
2
2
2
a b
ab a b
a b
ab
a b a b
ab ab
(40)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
2
2
2
2 1
0
2 2
2 a b
a b a b ab
ab
a b a b a b
ab
2 2
2 2
a b a b a b ab
Vì a b 2 0 nên ta cần chứng minh:
2
2a2b a b 2 ab 0 (*)
2 2
2
2
2
a b
a b a b
a b a b
2
2
2 a b
a b ab a b
a b
Do bất đẳng thức (*) tương đương với:
2
2 2 2
1
0
a b
a b a b
a b
2 2 2
2
a b a b a b a b
2 2
2
a b a b ab
4 2
2
2 2
2
0
2 2
a b ab a b
a b
a b ab a b ab
(41)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Bất đẳng thức hiển nhiên đúng, ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ab
Câu 8) Vì a b c, , 1; 2 nên có số bất đẳng thức hiển nhiên
a1a20,a1b1c10,a2b2c20
a) Do a b c, , 1; 2 nên
1 2
a a a a
Tương tự ta suy ra: a2b2 c2 a b c 66 (do a b c 0) b) Vì a b c, , 1; 2 nên a1b1c10, hay
1 abc ab bc ca a b c
1 abc ab bc ca
(do a b c 0) (1)
Mặt khác a b c 0 nên a b c 2 0, tức
2 2
2 a b c ab bc ca (2) Từ (1) (2) ta có:
2 2
2 2
1 2
2 a b c
abc a b c abc
Dấu đẳng thức có, chẳng hạn a 1,b1,c0
Ta phải chứng minh 2
2
a b c abc
Khơng tính tổng qt, giả sử a b c
Từ suy 1
3
a b c
c c
Sử dụng đánh giá này, ta 2abc2a b c 2a b
Suy 2 2 2 2
2
a b c abca b c a b a b c
Dấu đẳng thức có a b c
c) Vì a b c, , 1; 2 nên a2b2c20, hay
2
abc ab bc ca a b c
2
abc ab bc ca
(42)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Từ (3) (2) ta có: abca2b2c2 8 0a2b2c2 8 abc
Dấu đẳng thức có, chẳng hạn a2,b 1,c 1 Câu 12 Cho a b c, , 0; 2 a b c 3
Chứng minh 3a3b3c33a1b1c19 Giải:
Đặt ax1,b y1,cz1 x y z, , 1;1 xyz0
Ta có Pa3b3c33a1b1c1
x 13 y 13 z 13 3xyz
3 3 2
3 3
x y z xyz x y z x y z
Mà xyz0 nên
3 3 2
3
x y z xyz xyz x y z xyyzzx
Do 2 2
3
P x y z
Vậy ta có 0x2y2z2 2 nên 3P9 Câu 9)
Giải:
Ta có: a b c 3a3b3c33a b b c ca
Nên bất đẳng thức cho tương đương với: a b b c c a 8abc
2 2 2
6
ab ac bc ba ca cb abc
(43)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
2 2 2
2 2
ab abc ac bc abc ba ca abc cb
2 2 2
a b c b c a c a b
Vậy ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy a b c Câu 10)
Ta có a bc a a b c bca b a c nên bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
3
a a b c bc b a b c ca c a b c ab
a b a c b c b a c a c b
a ab ac bc b c b ba bc ca c a
3
2
c cacaab a b a b b c c a
2 2 2
6
ab ac bc ba ca cb abc
2 2 2
a b c b c a c a b
Vậy toán chứng minh
Đẳng thức xảy
3
abc
Câu 11)
Bất đẳng thức cho tương đương với:
3 3 2
2 2
2 9
6 27
a b c a b c
abc a b c
(44)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
2 2
2 2
2 18
0 a b c a b c ab bc ca a b c ab bc ca
abc a b c
2
2 2
9
2 a b c ab bc ca a b c
abc a b c
2 2 2 2 2 2
9
a b b c c a a b c a b c abc
Do a b 2b c 2c a 2 nên ta cần chứng minh
2 2
9
a b c a b c abc
3 3 2 2 2
3
a b c abc a b c b c a c a b abc
Bất đẳng thức ta có:
3 3 2
3
a b c abc a b c a b c ab bc ca
2 2 2
0
a b c a b b c c a
Và
2 2 2 2 2 2
6
a b c b c a c a b abca b c b c a c a b
Đẳng thức xảy a b c Câu 12) Giải:
Từ đẳng thức:
2 22 3 1 2 2
3
2
(45)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
2 2 2 2
1
2
2 b c ca bc ba c a ab ca cb
Suy ta có điều phải chứng minh Câu 13)
Do xyz1 nên bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành:
x2yzxyz2 4xyyzzx
Do vai trò x z bất đẳng thức nên ta hồn tồn giả sử xz
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng a b 2 4ab, ta có
2
4
xyz x yz
Sử dụng đánh giá này, dễ thấy chứng minh hoàn tất ta
x x yz xy zx y xz , hiển nhiên theo giả sử
xz
Bài toán chứng minh xong
Đẳng thức xảy 1;
xz y
Câu 14) Viết lại bất đẳng thức thành:
2 2
2
4
ab b
a b a b
2 2 2
2 2 2 2
2 2 10 3
0
5
ab b a ab b a b
a b a b a b a b
2 2
2
0
4
a b a b a b a b
a b a b
(46)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
2 2
2 3
a b a b a b a b a b
2 3 2 2
9 21 16
a b a a b ab b a b a b
Ta có điều phải chứng minh.Đẳng thức xảy ab
2
a b
Câu 15) Vì a b, 0 nên bất đẳng thức cho tương đương với:
2
1 1
4
a b
b b a a a b a b
2
2
4
4 ab a b a b b a
b a a b ab
2
2
4
0 a b a b a b
a b a b ab
a b 2 a b2 4ab a b4
Bất đẳng thức cuối nên có điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy a b
Câu 16) Bài tốn có chứa nên để xuất nhân tử chung dạng
a b 2 ta cần ý đến phép biến đổi
2 2
2
2
2
a b
a b a b
a b a b
(47)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Khi đó:
2
2
3
2 a ab b
a b a b 2 2
3
2 2
a ab b
a b a b a b
a b 2 2 2
a b a b
a b a b a b
2 2
2
a b a b a b a b
2 2 2
2
2 0
2
a b
a b a b a b
a b a b
Bất đẳng
thức cuối a b, dương.Đẳng thức xảy ab Câu 17)
3 2
3 2
3
x y xyx y xy xy xy xy xy xy
Đặt xya xy; b, ta có:
3 2
3 3
a ab b a a a b a
2 1
1
3
x y a
a a b
a b x y xy
Vì xy2 4xy;x y, 0 suy x y0 xy1
Với x y0
2
P
Nếu x y khác , ta có 1
0 x x y y ,
min 1; max
0 y y P P x x
Vậy min
(48)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Câu 18) Đặt , ,
2
b c
xa y z x y z, , số dương x y z xyz
Khi đó:
2 2
1 1
1 1
A
x y z
Ta có:
2
1
2
1
xyz yz y z
x x y z xyz x y x z x y x z x
Tương tự ta có:
2
1
;
2 2
1
x z x y
x y y z x z y z
y z
3
2 2
x y x z y z
A
x y x z y z
Dấu đẳng thức xảy
khi: x yz 3a 3,b2 3,c3 3.Vậy giá trị lớn biểu thức A
2 đạt a 3,b2 3,c3
Câu 19) Đặt 3
; ;
a x b y c z
Suy ra: a2 x b3; y c3; z3a x b3; y c3; z3 x y z, , 0 Bất đẳng thức cho thành:
3 3 3 3 3
3
x y z xyz x y y z z x (1)
Vì vai trị x y z, , bình đẳng nên giả sử x yz0
Khi đó: x x y2z y z2z x yxyyz0
(49)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
3
2
zx zx z x (5) Cộng vế theo vế bất đẳng thức (3),(4),(5) ta được:xy x yyz y zzx z x2 x y3 y z3 z x3 3 (6) Từ (2) (6) ta có: x3y3z33xyz2 x y3 y z3 z x3 3
Hay a2b2c233abc2 ab bc ca
Đẳng thức xảy x yz hay abc Câu 20) Giả thiết ta suy a 1
b
Ta có P a 12 b2 a 2b
b a b a
Đặt
1
2
a
a b
t b
Ta chứng minh: P9 Thật ta có:
3
2 2
2
2
2t t t t t t
t t t
Do
2
t
, dấu đẳng
thức xảy
4
1
2
b a
t
a b
BÀI TẬP RÈN LUYỆN NÂNG CAO
Câu 1) Cho x y z, , số thực dương thỏa mãn điều kiện x y z Tìm giá trị lớn biểu thức P xyz yzx zxy Câu 2) Cho x y z, , ba số thực dương xyz1
Tìm giá trị nhỏ biểu thức
2 2 2
1 x y y z z x
P
xy yz zx
(50)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
4
xy z yz x zx y P
xyz
Câu 4) Cho x y z, , số dương cho x y z Tìm giá trị lớn
nhất biểu thức Px xy3 xyz.
Câu 5) Cho x y, 0 thỏa mãn điều kiện
2
x y xy
Tìm giá trị nhỏ biểu thức P27x38y3
Câu 6) Cho x y z, , số thực dương xyz1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
3 3
1 1 1
x y z
P
x y z x x y
Câu 7) Cho x y z, , số dương thỏa mãn điều kiện x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức
3 3
3 3
2
8 8 27
x y z
P xy yz zx
y z x
Câu 8) Cho x y z, , ba số dương x y z
Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2 2 2
1 1
x y z
P
y z x
Câu 9) Cho x y z, , ba số thực dương thỏa mãn điều kiện x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2 2 2
1 1
x y z
P
y z x
Câu 10) Cho x y z, , ba số thực dương thỏa mãn điều kiện x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức
2 2
3 3
2 2
x y z
P
x y y z z x
(51)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Câu 11) Cho x y z, , 0 thỏa mãn điều kiện x y z
Tìm giá trị bé biểu thức
2 2
2
2 2
x y z
P
x y y z z x
Câu 12) Cho x y z, , ba số thực dương x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức 21 21 21
1 1
P
x y z
Câu 13) Cho x y z, , ba số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz8 Tìm giá trị lớn biểu thức 2
1 1
x y z
P
x y z
Câu 14) Cho x y z, , số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức
3 3
1 1
1 P
x y z y z z x y
Câu 15) Cho x y z, , 0 thỏa mãn điều kiện x y z Tìm giá trị lớn biểu thức 1
1 1
x y z y z x
P
x y z x y z
Câu 16) Cho x y z, , số thực dương Tìm giá trị lớn biểu thức:
x y z
P
x x y x z y y z y x z z x z y
(52)
hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
5 5
1 1
3 6
P
x x xy y y yz z z xy
(1)
Câu 18) Cho x y z, , 0 thỏa mãn điều kiện x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức
P x y z xyyzzx
Câu 19) Cho x y z, , số thực không âm thỏa mãn điều kiện
2 2
3 x y z
Tìm giá trị lớn biểu thức
2 2
2 3
x y z
P
x y y z z x
Câu 20) Cho x y z, , số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz8 Tìm giá trị nhỏ biểu thức
2
3 3 3
1 1 1
x y z
P
x y y z z x
Câu 21) Cho x y z, , số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
3 3
3 3
3 3
x y z
P
x y z y z x z x y
Câu 22) Cho x y z, , 0 thỏa mãn điều kiện x Y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức
2 2 2
1 1
x y z
P
y z z x x y
(53)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Tìm giá trị lớn biểu thức
3 3 3
1 1
2 6
P
x y y z z x
Câu 24) Cho x y z, , số thực dương cho xyz1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức
2 2
2 2
x y z y z x z x y
P
y y z z z z x x x x y y
Câu 25) Cho x y z, , số thực dương thỏa mãn điều kiện
x y z
Tìm giá trị nhỏ biểu thức
3 3
1 1
x y z
P
y z x
Câu 26) Cho x y z, , ba số dương thảo mãn điều kiện 1 1
x yz
1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức
2 2
2 2 2
8 14 14 14
x y z
P
x y xy y z yz z x zx
2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức
1 1
x y y z z x
Q
x y z
Câu 27) Cho x y z, , số thực dương cho x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức Px2 y2 z2xyz
Câu 28) Cho x y z, , 0 thỏa mãn xyz1
(54)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Câu 29) Cho số thực dương a b c, ,
Chứng minh rằng:
3 3 3
3 3
2
4 4
a b b c c a
c a b a b c b c a
Câu 30) Cho số thực dương a b c, , cho a b c 1 Tìm GTLN
2 2 2
6
P ab bc ca a a b b b c c c a
LỜI GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN Câu 1)
Từ điều kiện x y z 1, ta có xyzx x yzyzxyxz Tương tự, ta có
P xy xz yz yx zx zy
Áp dụng bất đẳng thức Cơ si, ta có:
2 2
x y x z y z y x z x z y
P hay
2
P xyz
Như P2 Dấu xảy
1
x y x z y z y x
x y z z x z y
x y z
Từ ta có max
P xyz
Câu 2) Áp dụng bất đẳng thức Cơ si, ta có:
2 2 2
3
3 x y y z z x P
xy yz zx
(55)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Hay P 3
xy yz zx
Lại theo bất đẳng thức Cô si, ta có:
3
2 2
3 3 3
3
xy yz zx x y z Do xyz1, nên suy P3 Vậy
minP3 3xyz1 Câu 3)
Đưa biểu thức dạng P z x y
z x y
Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có:
4
1
4 4
2 2 4
z z
z z
z
2
1
2 2
2
2 2 2
x x x
x x
x
3 3
1 1
3 3
2
3 3
y y y
y y
y
Cộng vế ba bất đẳng thứctrên ta có 1 1
2 2
P
Vậy
1 1
max 4, 6,
2
P x y z
Câu 4)
Viết lại biểu thức dạng: .4 13 .4 16
2
Px x y x y z
(56)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
4 16
4 12
x y x y z
P x hay 4
3
x y z
P Từ x y z (2)
suy
3
P Vậy max
P
Câu 5) Theo bất đẳng thức Cơ si, ta có:
1
8
x x
;
1
27
y y
; 3
1
8 27
x y xy
Cộng vế ta có:
3
2
8 27
x y x y xy
Do
2
x y xy
, ta có:
3 27 x y
Suy P27x38y3432 (4)
Dấu (4) xảy x2,y3 Vậy minP432, giá trị nhỏ đạt x2,y3
Câu 6) Theo bất đẳng thức Cơ si, ta có:
3
1 1
3
1 8 1 8
x x y x x y
x y x y
Hay
3
1
1 8
x x y x
x y
Lập luận tương tự ta có:
3
1
1 8
y z x y
z x
3
1
1 8
z x y z
x y
Cộng
từng vế ta có 1
4
P xyz .Dấu = xảy xyz1 Lại theo bất đẳng thức Cơ si, ta có: xy z 33 xyz 3 Từ suy
3 3
4
P P Dấu (5) xảy x yz1 (do
1
xyz ) Như
(57)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Câu 7) Theo bất đẳng thức Cô si, ta có:
3
3
2
8 27 27
x y y y x
P y 3 27
x x y y
y
(1) Dấu (1) xảy
3
3
2
8 27 27
x y y y
P y 3 3 1; 1 27 2; 2; 27 x y
y x y
y y x x y y y
Lập luận tương tự ta có:
3
3
9
8 27
y y z z
z
(2)
3
3
9
8 27
z z x x
x
(3) Cộng vế (1),(2),(3) có:
2 2
3 3
3 3
10 18
8 8 27
x y z x y z
x y z
y z x
(4)
Do x y z nên (4) có
2
3 3
3 3
30 18
8 8 27
x y z xy yz zx
x y z
y z x
3 3
3 3
2
8 8 27
x y z
xy yz zx
y z x
hay
1
P (5)
Dấu (5) xảy đồng thời có dấu (1),(2),(3)
x y z
(58)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Vậy
9
P x yz1
Câu 8) Ta có:
2
1
1
1
x y x
x
y y
Theo bất đẳng thức Cơ si ta có:
2 y y
Suy
2
1
1
1 2
x y
x xy y
x x
y y
Chứng minh tương tự, ta
có: 2 1
1
y yz z
y z
;
1
1
1
z zx x
z x
suy
3
2
x y z xy yz zx
P
Do 9xyz33xyyzzxxyyzzx3 Vậy minP 3 xyz3
Câu 9) Giải: Ta có:
2
2
1
x xy
x y y
Theo bất đẳng thức Cơ si, ta có:
2
1y 2y,
đó
2
2
1 2
xy xy xy y y
suy ra: 2
x xy
x
y
Tương tự ta có:
2 ;
1
y yz
y
z
2
z zx
z
x
Cộng vế ta có
2
xy yz zx
P x y z
1 x y z
Do
2 2
3
(59)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
9 xy yz zx xy yz zx xy yz zx
(7) Vậy
3
min
2
P xyz
Câu 10) Ta có:
2
3
2
2
x xy
x
x y x y Theo bất đẳng thức Cơ si,
3 3
2 3
x y xy y xy y x suy
2
3
3 2 3
2
2
x xy
x x y x
x y y x Tương tự, có:
3
2
2
y
y z z y z ,
3
2
2
z
z x z
z x Cộng vế ta có:
2 3 2
3
P xyz z y x z y x , hay 3 2
2
3
P z y x z y x Theo bất đẳng thức si ta có:
3
xxzxz x z ,yyxyx3y x3 zzyzy3z y3
Cộng vế ba bất đẳng thức ta có:
xyz2xyyzzx3x z3 y x3 z y3 2
2
9 xyz 3 xyyzzx xyyzzx3 Do x y z 3, suy
3 2 3
(60)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Câu 11) Ta có:
2
2
2
2
x xy
x
x y x y Áp dụng bất đẳng thức Cơ si, ta có:
2 2
2
x y xy y xy Suy
2 2
3
2 4
3
2
2 3
x xy
x x xy
x y xy
Tương tự, ta có:
2 2
3
2
2
y
y yz
y z ,
2
3
2
2
z
z zx
z x Cộng theo vế
ta có:
2 2
3 3
2
P xyz xy yz zx
Theo bất đẳng thức Cơ si,
ta có: xxyy33 x y2 ,yyz z 33 y z2 2
,zzxx3 z x Từ
suy
2 2
3 3
2 xyz xyyzzx 3 xy yz zx
(7) Dễ thấy dấu (7) xảy xyz1 Kết hợp với x y z 1, ta
có:
2 2 2
3 3 3
6 3 3 xy yz zx xy yz zx 3
Vậy
2
3
3
P P hay minP 1 xyz1
Câu 12) Ta có:
2
2
1
1
x
x x Theo bất đẳng thức Cô si,
2
1 x x
2
1
1
1 2
x x
x x
Tương tự, ta có: 21
1
y
y ,
1
1
z
z Suy
3
2
x y z
P
(do x y z 3)
(61)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Câu 13) Viết lại P dạng: 3 1
1 1
y P
x y z
Đặt
2 2
; ;
X Y Z
x y z
Y Z X
Khi có X Y Z, , 0 (vì xyz8) Lúc này:
1 1 1
2 2
1 1 X 1 Y 1 Z 1
x y z
Y Z X
2 2
2 2
2 2 2
Y Z X Y Z X
X Y Y Z Z X XY Y YZ Z ZX X
Áp
dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz
2
2
2 2
1 1
1
1 1 2
X Y Z X Y Z
x y z XY Y YZ Z ZX X X Y Z
,
suy P0 Vậy maxP0x yz2
Câu 14) Ta có:
2
2
1
1
1 y
x z
P
x y z y z z x y
Áp dụng bất đẳng thức
Cauchy- Schwarz
2
2 2
1 1
2
xy yz zx
x y z
P
xy yz zx xy yz zx x y z
Do
1
xyz , nên ta có:
2
xy yz zx
P
Lại theo bất đẳng thức Cơ si ta có: xyyzzx33xyz2 3 (do xyz1 Suy
2
P Vậy
P x yz
(62)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
2 2 1 1 1
1 2 2
1 1 1
x y z y z x
P x y z
x y z x y z x z y x z y
Do x y z 1, nên ta có:
1 1 1
2 2
P x y z
y z z z x x x y y
2 2
3
xy yz zx xy yz zx
z y z x z x y x y z y z x z x y x y
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:
2
xy yz zx xy yz zx
y z z x x y
z x y z x y x z x y x y
xy yz zx
y z z x x y z x z x z x y x y
Rõ ràng, ta lại có:
2 xy yz zx
x y z
z x y
Dựa vào bất đẳng
thức hiển nhiên a b c 2 3ab bc ca suy ra:
3 x y z xy yz zx x y z
z y z x z x y x y
Từ
1 x y z ta có:
2 xy yz zx
z y z x z x y x y
suy P0
Vậy max
3
(63)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Câu 16)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:
xyxz x 2 y 2 x 2 z 2 x x y z2
x yx z x yz2
Suy ra:
x x
x yz x x y x z
Tương tự, ta có:
y y
y zx y y z y x
,
z z
z xy z z x z y
Suy
2 2
x y z
P
x yz y zx z xy
1 1
2
P
y z z x x y
x x y y z z
Đặt
; ;
y z z x x y
a b c
x x y y z z
, a b c, , 0
1
abc 1
2 2
P Q
a b c
2 2 2
2 2
b c c a a b
a b c
12
8
a b c ab bc ca
a b c ab bc ca abc
9
9
a b c ab bc ca
a b c ab bc ca ab bc ca
Theo bất đẳng thức Cô si
(64)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Câu 17) Ta có: x5x2 6 3x3x5x23x 3 x2x213x1
1 3
x x x x x x x
2
1 1 1 3
x x x x x x x x
Do x 0 x32x23x0, nên từ (2) suy x5x2 6 3x3
5
5
1
6 3
3
6
x x xy xy x
xy x
x x xy
Tương tự, ta có:
5
1
3
3 yz y
y y xyz
,
5
1
3
3 zx z
z z xyz
Suy 1 1
3 1
P
xy x yz y zx z
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta
có:
1 1 1
1 1
1 1 1
xy x yz y zx z xy x yz y zx z
1 1 1
3
1 1
1 1 xy x yz y zx z
xy x yz y zx z
1 1
1 1
P
xy x yz y zx z
Vậy
maxP 1 x yz1
Câu 18) Ta có:
2 2 2 2 2
9
2
x y z x y z x y z
xyyzzx
(65)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
2 2
9
2 x y z P x y z
2
2P x y x y z
Áp dụng bất đẳng thức Cô si, ta có: 2
3 3
x x x x
y y y y
z z z z
Suy : x2y2z22 x y z3xyz9.Vậy minP0x yz1
Câu 19)
Vì x2 1 ;x y2 1 ;y z2 1 2z, nên ta có:
2 2
x y z
P
x y y z z x
Ta có:
1 1
1 1
1 1 1
x y z y z x
x y y z z x x y y z z x
1 1
3
1 1
y z x
x y y z z x
3 1 1
2 1
y z x
P
x y y z z x
2 2
1 1
3
2 1 1 1
y z x
y x y z y z x z x
Áp dụng
(66)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
2 2
1 1
1 1 1
y z x
y x y z y z x z x
2
1 1
1 1 1
y z x
y x y z y z x z x
Để ý do:
2 2
3
x y z , nên ta
có:y1xy1z1y z 1 x1z x 1
2
3 x y z xy yz zx x y z
2 2
1
9 6 2
2 x y z x y z xy yz zx x y z
2 2
1 1
2
1 1 1
y z x
y x y z y z x z x
Vậy
1
max
2
P x yz
Câu 20) Nhận xét: a 1 a3 a222 Thật vậy,
2
3 4 2
4 4a a 4a a 4a 4a a a
Cũng có
thể chứng minh bất đẳng thức Cauchy:
2
2
2
3 1
1 1
2
a
a a a
a a a a
Áp dụng vào tốn ta có:
2 2
3 3 3
4 4
4 1 4 1
x y z
P
x y y z z x
2 2
2 2 2
4 4
2 2 2
x y z
x y y z z x
Đặt
2 2
; ;
4 4
x y z
(67)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Khi x y z, , 0 xyz 8 a b c, , 0 abc1
Suy ra:
16 16 16
2 4 4 4
a b c
P
a b b c c a
Hay
4
1 2 1 2
a b c
P
a b ab c c a
1 2 2
4
1 2 2
a c b a c b a b c ab bc ca
P P
a b c a b c ab bc ca abc
Ta có: a b c 33 abc 3a b c 2ab bc ca9 8 abc
1 8abc 2a b c 4ab bc ca a b c 2ab bc ca
Suy
3
P Vậy
P x yz
Câu 21) Ta có nhận xét sau: với x y z, , số thực dương, ta có:
3
3 2
3
x x
x y z
x yz (1) Thật vậy, (1)
3
3
3 2
x x
x y z x y z
2 3
3 2 2
2
x x x y z y z x x x z
2 3
2 2 2
2x y z y z x y z
Theo bất đẳng thức Cô si, ta có:
2 3
2 2 2 2 2
2x 2x y z y z 2 2x y z (3) Rõ ràng:
2 2
2 y z yz (4)
(68)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Tương tự (1), ta có:
3
3 2
3
y y
x y z y z x
(6),
3
3 2
3
z z
x y z
z xy (7)
Cộng vế (1),(6),(7) có P1 (8) Vậy minP 1 x yz0
Chú ý: Ta chứng minh:
3
3 2
3
x x
x y z
x yz nhanh
cách áp dụng bất đẳng thức Cau chy
2
3
2
2
1 1
2 1
a
a a a a
a a
thay a y z x
suy
3
3
3
2
x x
x y z x y z
Lại có
2 2 2
2
xy x y suy
ra
3
3 2
3
x x
x y z x y z
Câu 22) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:
2 2 2
2 2 2
1 1
1 1
x y z
x y z y z x z x y x y z
y z z x x y
Từ (1) x y z 1, ta có:
2 2 2
1
1 1
P
x y z y z x z x y
Đặt
2 2 2
1 1
Qx y z y z x z x y
x y z xy x y yz z y zx z x
1 xy x y yz z y zx z x
(69)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
2 2
1 x y z y z x z x y
Có thể thấy rằng:
2 2
4
x yz y zx z xy
Từ có:
4
Q
5
P Vậy
P Giá trị nhỏ đạt
1
;
2
xy z
Câu 23) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
3 3 3
1 1
2 6
x y y z z x
3 3 3
1 1
3
2 6
x y y z z x
Hay 3 3 3 13 3 13
2 6
P
x y y z z x
Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có:
3 3 3
2 1 3 3
x y x y y xy y
3
2
x y xy y
Tương tự, có: y32z3 6 3yz z 1,z32x3 6 3zx x 1
Suy : 1
1 1
P
xy y yz z zx x
Do xyz1, nên dễ
thấy 1 1
1 1 1
xy y
xyy yz z zx x xyy xyy xyy
suy P1
(70)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Câu 24) Theo bất đẳng thức Cơ si, ta có: y z yz
x
(do xyz1)
Từ suy ra:
2
2 2
2
2
x y z x x
x y z x x x
x y y z z y y z z
(1)
Lập luận tương tự, có:
2
2
2
y z x y y
z z x x z z x x
, 2 2
z x y z z
x x y y x x y y
Cộng vế
2
2 2
y y
x x z z
P
y y z z z z x x x x y y
Đặt ; ;
X x x Y y y Z z z X Y Z, , 0 XYZ 1
Khi (4) có dạng
2 2
X Y Z
P
Y Z Z X X Y
2 2
2
2 2
X Y Z
P
XY ZX YZ XY XZ YZ
Áp dụng bất đẳng thức
Cauchy- Schwarz ta có:
2
3
X Y Z P
XY YZ ZX
2
3
X YZ XY YZZX P3 vàP 3 X Y Z 1 Vậy minP 3 xyz1
Câu 25)
Áp dụng bất đẳng thức Cô si, ta có:
2
3 1
1 1
2
y y y
y y y y
2 2 y y 2 x x y y
tương tự, ta có: 2 2 y y z z
, 2
(71)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
2 2
2
2 2
x y z
P
y z x
Dấu (5) xảy đồng thời có dấu x yz2 Ta chứng minh
2 2
2 2
2
2 2
x y z
y z x
2 2
2 2
4
2 2
x y z
x y z
y z x
(do
6 x y z )
2 2
2 2
2
xy yz zx
y z x
Áp dụng bất đẳng thức Cơ si, ta
có: 2y24 y2y2 4 3 43 y4 3y3 4y 2 3 4
2
y y y
Tương
tự có: 2 3
z z z, 2 34
2
x x z
VT
2 2
3
3
3 3
4 4
2 2
xy yz zx
y y z x x
Áp dụng bất đẳng thức Cơ si, ta có:
3 2
3
x xy xy
x xy xy ,
3 2
3
y yz yz
y yz yz
2
3
z zx zx
z zx zx VT
1
2
9 x y z xy yz zx
Mặt khác, ta có: 3xyyzzx xyz2xyyzzx12 Từ suy P2 Vậy minP2 x yz2
Câu 26) Giải:
(72)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
2
3 14 2
2
x y x y
x y xy x y x y x y
Như suy
2
2 2 3
3 14
x x
x y
x y xy
Tương tự ta có:
2
2 2 3
3 14
y y
y z
y z yz
2
2 2 3
3 16
z z
z x
z x zx
2 2
2 3
x y z
P
x y y z z x
Theo bất
đẳng thức Cauchy- Schwarz ta
có:
2 2
1
2 3
x y z
x y z
x y y z z x Theo bất đẳng thức Cô si bản, ta có: x y z 1
x y z
Do 1 1
x y z
, nên có:
9
x y z
5
P Vậy
5
P x yz
Câu 27) Do tính bình đẳng x y z, , nên giả sử x yz Kết hợp với x y z suy 0 z Ta có Px2y2z2xyz
2
2
x y z xyz xy yz zx
9 xy z 22z y x
9 xy z 2z z
(1)
Hiển nhiên ta có:
2
3
2
x y z
xy
Do 0 z z 0, từ
(73)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
2
3
9 2
2
z
P z z z
Ta có
VP(2) 23 3
2 2
z z z
z z z z z
2
3 1
9 18 16
2 4
z
z z z z z z
2
1
1 16
4 z z
Do 0x1 nên suy P4 Vậy
minP4xyz1 Câu 28) Áp dụng đồng thức
xyyzzx xyzxyyzzxxyz (*)
Ta có: Pxyzxyyzzxxyz2xyz Theo bất đẳng thức Cơ si ta có: xy z 33 xyz 3 (do xyz1).Lại có:
2 2
3
xyyzzx x y z (do x y z2 2 1) suy ra:
3
P xyz xyz
P x y z
2)Trước hết ta chứng minh xyyzzx x1y1z1
Thật vậy, dựa vào (*) suy ra:
x y zxy yz zx xyz xy yz zx x y z
x y zxy yz zx xy yz zx x y z
(do xyz1)
x y zxy yz zx xy yz zx x y z
Do
1
(74)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
3
x y z xy yz zx
xyz xyyzzx xyyzzx xyz
3
xyz xyyzzx
suy
xyzxyyzzxxyyzzx x y z 3.Theo bất đẳng thức Cơ si ta có:
3
3
1 1
x y y z z x Q
x y z
Vậy
minQ 3 x yz1 Câu 29) Giải:
Ta có:
3 3 2 3 3
4 a b a b 3 a b a ab b a b 3 a b ab a b
Suy 4a3b3 a b c 4a3b3 a b c Do
3
34
a b a b
a b c
c a b
, đẳng thức xảy ab Tương
tự có
3 3
3 4 4
b c b c c a c a
a b c a b c
a c a b c a
Suy
3 3 3
3 3
2
4 4
a b b c c a
c a b a b c b c a
Đẳng thức xảy abc Câu 30) Ta có: 0a b c, , 1 suy
2 2 2 2
2
a b a a b a b aba a b Tương tự bất đẳng thức
(75)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
2 2 2
6
P ab bc ca a a b b b c c c a
2 2
4 ab bc ca a b c
hay P2 Dấu xảy
khi
3
ab c
BẤT ĐẲNG THỨC ABEL VÀ ỨNG DỤNG
CÔNG THỨC ABEL VÀ ỨNG DỤNG 1. Công thức tổng Abel:
Giả sử a a1, 2, ,an b b1, 2, ,bn hai dãy số thực Khi ta có: 1 2 n n ( 2) ( 3) n n
a b a b a b b b S b b S b S
k k
S a a a
Chứng minh: Thật thay ak SkSk1 với k2, 3, n ta có vế trái bằng:
1 2( 1) 3( 2) n( n n 1)
b S b S S b S S b S S VP Trường hợp n3 ta
có:ax by czxy a yz a b( )z a b c đẳng thức
quan trọng có nhiều ứng dụng giải toán Bất đẳng thức Abel:
Cho hai dãy số thực: a a1, 2, ,an b1b2 b3 bn Đặt
k k
S a a a với k1, 2,3, n
min , , , n , max , , , n
m S S S M S S S Khi ta có: 1 2 n n
(76)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Ta có: a b1 1a b2 2 a bn n (b1b S2) 1(b2b S3) 2 b Sn n mà
1
k k
b b nên
1 2 2
(b b m) (b b m) b mn A(b b M) (b b M) b Mn hay
1
mb AMb MỘT SỐ VÍ DỤ:
Ví dụ 1: Cho x yz0 thỏa mãn: x3,xy5,xy z Chứng minh: x2y2z2 14
Lời giải:
Ta có: x2y2z214x3x3 y2y1 z1z1 Áp dụng cơng thức Abel ta có:
2 2
14 ( 2)( 3) ( 1) ( 1)( 1)
x y z x y x y z z x y z
x y ( x 3) y z ( x y 5) z 1x y z 6
Dấu
bằng xảy x3;y2;z1
Ví dụ 2) Cho số thực dương x y z, , cho x3,xy6,xyz6 Chứng minh: xy z
Lời giải: Ta có:
6 1 2
3 3
x y z x x y
xy z
1 1 1
3 3
x y z x x y x y z
(77)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ bất đẳng thức Cơ si ta có: 2;
3
x y xy
33 3
3 3.2.1 x y z xyz
Suy đpcm Dấu xảy x3,y2,z1
Ví dụ 5: Cho x y z, , 0 cho x2y3z
1, 3,
x xy xy z Chứng minh:6xyyzzx11xyz Lời giải:
Ta cần chứng minh: 1 11
x y z Ta có:
11 1 1 1 1
1
6 3
x y z
x y z x y z x y z
1 1 1
1
2 x x y x y z
x y y z z
Dấu xảy x3,y2,z1 Ví dụ 3: Cho số thực khơng âm x y z, , cho
1, 5, 14
x xy xy z Chứng minh: x y z6 Lời giải:
Tacó:
1 1 1
1 2 3
x y z
x x y x y z
1 1 1
.1 14
1 2 3
Ta suy
2 1 3 1 32 36
1
x y z
x y z
(78)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Ví dụ 4: Cho số thực dương ab1,a3,ab6,ab6c Chứng minh: a b c 4
Lời giải:
Ta cần chứng minh: a b 1 c Ta có:
3 3 6
3
1
c c
c b a b b a b
a b a b a ab ab a
3 2(b 1) a b a b
Dấu xảy
3, 2,
a b c
Ví dụ 5: Cho số thực dương a b c, , cho
0 ,
9
9
a b c c b
a
c b
c
Chứng minh: a b c Lời giải:
Ta có: 9 2
4
b b
a b a c
c c c
9
9
4
3 2 2
3 2
b b
a
c c c c c
(79)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Ví dụ 6) Cho số thực a b c, , cho
1
2
2
3
a b c
c b
c a b
Chứng minh:
1 1
6
abc
Lời giải:
Ta cần chứng minh: 1 1 1
3
ab c Tacó:
1 1 1 1 1
1
3 2
1 1 1 1 1
1
3 2
a b b
c a c b a c b c
a c b a c b c
a b b
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz Ta có:
1 1 1
3,
3 c 2 c
c c
a b a b b b
, ta có
1 1 1 1
2 1
3 c a b a b a b
Ví dụ 7) Giả sử a b c, , số thực dương thỏa mãn:
3
a b c
c b a b c
(80)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Tìm GTNN ( 1)
( 1)( 1)( 1) ab a b c ab Q
a b c
(Trích đề thi vào lớp 10 Trường chuyên KHTN- ĐHQG Hà Nội) Lời giải:
Ta có:
( 1)( 1)( 1) 1
abc ab ac a abc bc ba b abc ca cb c a b c Q
a b c a b c
Ta chứng minh:
1
0 1 1 1 12 3(1 ) 3( 1) 2(1 )
a b c c b a
a b c c b a
Hay
1 1
(3 ) (3 2)
4( 1) 3( 1) 3( 1) 2( 1)
c c b
c b b a
3 1
2(1 )
c b a
a
Rút gọn ta thu được:
2 1
(3 1)
(3 )
12( 1)( 1) 6( 1)( 1) 2( 1)
a b b c
c b c a b c
b c b a a
Điều hiển nhiên
BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI Một số kết quan trọng:
Cho số thực dương a b c x y z, , , , ,
a) a2b2c2ab bc ca
(81)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ d) ax by cz 2a2b2c2x2y2 z2
e) 8a b c ab bc ca9a b b c c a
f) b c2 2a c2 2a b2 abc a b c( ) g)
2 2
1 1
a bc
a b a c
h)
2
2 x y
x y
a b a b
i)
2
2 2 x y z
x y z
a b c a b c
Chứng minh:
a) a2b2c2 ab bc ca 2a2b2c22ab bc ca a b 2b c 2 c a 0 Bất đẳng thức Dấu đẳng thức xảy abc
b) Khai triển hai vế thu gọn ta quy câu a
c) Khai triển hai vế thu gọn ta đưa bất đẳng thức dạng:
ay bx 2 0 Dấu đẳng thức xảy a b
x y
d) Khai triển hai vế thu gọn ta đưa bất đẳng thức dạng:
ay bx 2bz cy 2cx az 2 0 Dấu đẳng thức xảy
a b c
x y z Các bất đẳng thức c, d gọi bất đẳng thức
Bunhiacopxki cho số, số
e) Khai triển hai vế thu gọn ta đưa bất đẳng thức dạng:
a b b c c a8abc bất đẳng thức theo AM- GM
(xem chứng minh phần Bất đẳng thức Cô si)
(82)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ g) Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki cho số ta có:
2
2 2 2
b b b c
a b a bc a bc a bc
c c c
suy
2
1 c
a bc b c
a b
Tương tự
2
1 b
a bc b c
ac
Cộng hai
bất đẳng thức chiều ta suy đpcm
h) Quy đồng rút gọn đưa bất đẳng thức cần chứng minh dạng:
ay bx 2 0
i) Áp dụng bất đẳng thức h) ta có:
2 2
2 2 x y x y z
x y z z
a b c a b c a b c
Bất đẳng thức gọi bất đẳng thức Cauchy-Chwarz 1. Những kỹ vận dụng bản:
Ví dụ 1: Cho số thực dương a b c, , cho a b c 3 Chứng minh rằng:
1
2 2
a b c
a bcb acc ab Giải:
2 2
2 2
2 2 2 2
a a a b c a b c
a bc a abca bcb acc ab a abcb abcc abc
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz ta có:
2
2 2
2 2 2
2 2
a b c
a b c
a abc b abc c abc a b c abc
Ta cần chứng
minh:
2
2 2
6 a b c a b c abc
3
ab bc ca abc a b c ab bc ca abc
(83)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
thức Cơ si ta có: 3 2
3 ,
a b c abc ab bc ca a b c nhân vế bất đẳng thức dương chiều ta có đpcm Dấu xảy
1 ab c
Ví dụ 2: Cho số thực dương a b c, , Chứng minh rằng:
3 3 2
2 2
a b c a b c
a b b c c a
Giải: Ta có:
2
2 2
3 4 4
2
2 2
2 2 2
a b c
a a a b c
VT
a b a ab a ab b bc c ca a b c
Ta cần chứng
minh:
2
2 2 2 2 2
2 2
2
3
a b c a b c
a b c ab bc ca
a b c
Điều
là hiển nhiên
Ví dụ 3: Cho số thực dương a b c, , Chứng minh:
2
2 2
a b c a b c
Giải:
Ta có:
2
2 2
2
2
b c b c
a b c a a
Suy ra:
2
2 2
3
2 b c a b c a
Ta cần chứng minh:
2
2 2
3 2 2
2 b c
a a b c
(84)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
2
2
3 2
2 b c
b c
Sau khai triển thu gọn ta được:
2 2
3
2
b c
b c bc
Để ý rằng:
2
2
b c
bc
nên bất đẳng thức trở thành: b c2 22bc 1 0bc12 0
Ví dụ 4: Cho số thực dương a b c, , Chứng minh:
3 3
2 2 2 2 2 2
1
2 2 2
a b c
a b c a b a c b c b a c a c b
Giải:
Ta mong muốn xuất lượng: a b c
Ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2a b 2a c a b a a a c a abac a a b c
Từ suy ra:
3
2
2 2
2
a a
a b a c a b c Tương tự ta có bất đẳng
thức cộng lại suy điều phải chứng minh
Ví dụ 5: Cho số thực dương a b c, , cho ab bc ca abc 4 Chứng minh: a2b2c2 a b c 2ab bc ca (Trích đề tuyển sinh vào lớp 10- Trường Chuyên KHTN- ĐHQG Hà Nội 2015)
Lời giải:
Ta viết lại giả thiết toán thành:
12 ab bc ca 4 a b c 8 a b c 2 ab bc ca abc
(85)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
1 1
1
2 2
a b c
Ta có:
2 2
2 2
1
2 1
a b c a b c
a a a b c a b c
, Tương tự ta
có:
2 2
2
1
;
2
b c a a a b
b a b c c a b c
Suy
2 2
2
1 1
1
2 2
a b c a b c
a b c a b c
2 2 2
2
a b c a b c a b c
hay
2 2
2
a b c a b c ab bc ca Dấu xảy
ab c
Ví dụ 6) Cho số thực dương a b c, , cho ab bc ca 1 Chứng minh rằng: 4
9
abc a b c a b b c c a (Trích đề tuyển sinh vào lớp 10- Trường Chuyên KHTN- ĐHQG Hà Nội 2014)
Lời giải:
Sử dụng bất đẳng thức x2y2z2 xyyzzx Ta có:
4 4 2 2 2 2 2
a b b c c a a b b c b c c a c a a b abc ab bc ca
Tiếp tục sử dụng bất đẳng thức: Cauchy- Shwarz giá thiết
ab bc ca ta có:
2
2 2
2
2 2
1 1 1
a b c b c a
ab bc ca abc a b c
a b c a b c
Từ suy
4 4
a b b c c a abc a b c Bây ta chứng minh:
2 5
9
abc a b c abc a b c t t t t
(86)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ với t abc a b c Mặt khác ta có:
1 2 1
3
abc a b c ab ac bc ba ca cb ab bc ca t
Suy đpcm Dấu đẳng thức xảy
3
abc
Ví dụ 7: Cho số thực dương a b c, , Chứng minh:
2 2
1 1 a b c
a ab bc b bc ca c ca ab ab bc ca
Lời giải:
Ta muốn làm xuất hiện: ab bc ca
Ta có:
2
2
2 2
1 c ab bc c ab bc
a ab bc a ab bc c ab bc ac ab bc
Tương
tự với số hạng cịn lại ta có:
2
2
2
1 c ab bc a b c
a ab bc ac ab bc ac ab bc
Ví dụ 8: Cho số thực dương a b c, , Chứng minh:
2 2
2 2
ab bc ca a b c
a bc ca b ca ab c ab bc ab bc ca
Giải:
Ta muốn làm xuất hiện: ab bc ca
2
2
2 2
( ) ( )
ab ab b bc ca ab b bc ca
a bc ca a bc ca b bc ca ab bc ca
(87)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Từ suy ra:
2 2
2 2
( ) ( ) ( )
ab b bc ca bc c ca ab ca a ab bc VT
ab bc ca ab bc ca ab bc ca
Ta cần chứng minh:
2 2 2
( ) ( ) ( )
ab b bc ca bc c caab ca a ab bc a b c ab bc ca
3 3
( )
a b b c c a abc a b c
2 2
a b c
a b c
c a b
Nhưng bất đẳng thức hiển nhiên theo bất đẳng thức Cauchy- Shwarz Ví dụ 9: Cho số thực dương a b c, , cho a b c 1 Chứng minh rằng: 3 a2 3 b2 3 c2
a b cb c ac a b
Giải:
Ta muốn làm xuất a b c
2
3
3
1
1
1
1
1
a c a c
a a a a ca
a b c a b c
a b c c
a
Từ suy
ra: 3 2 3 2 3 2 1
9 9
a b c a ca b ab c bc
a b c b c a c a b
Ta cần chứng minh: 1 1
9 9
a ca b ab c bc
ab bc ca
Nhưng điều hiển nhiên do:
3
a b c ab bc ca
Ví dụ 10: Cho số thực dương a b c, , cho abc1 Chứng minh rằng:
2 2
1 1
(88)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Ta đặt ax b3, y c3, z xyz3, 1 Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: 31 6 13 6 31 6
1x y 1y z 1z x
Ta có:
4
2 2
2
3 2 2 2 2 2 2
3
2
1
1
1
1
z x z x
y y z x yz z x
x y x y z x y z
x y z x
y
Ta cần chứng minh:
2 2 2 22 2 2 2
( )
z x yz z x x y z x y y z z x xyz x y z
Điều hiển nhiên theo bất đẳng thức a2b2c2 ab bc ca
Ví dụ 11: Cho số thực dương a b c, , Chứng minh rằng:
3 3 3
1 1
a b abcb c abcc a abc abc
Do bất đẳng thức nên ta chuẩn hóa: abc1 Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: 3 13 3 13 3 13
1 1
a b b c c a
Ta có:
2
2
2
3
3
1 1
1
1
1
1
c c
bc ca c c
a b a b
a b a b c a b c a b c a b c
a b
(89)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Ví dụ 12) Với ba số dương x y z, , thỏa mãn xy z 1, tìm giá trị lớn
nhất biểu thức:Q x y z
x x yz y y zx z z xy
(Trích đề
tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán TP Hà Nội – 2014) Lời giải:
Ta có: xyz x x y zyz xyxz Chú ý rằng: Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki thì:
xyxz x y z x2 xyxz x y z x Từ suy ra:
x x x
x x yz x x y z x y z
Tương tự
ta có: y y ; z z
y yzx x y z z zxy x y z Cộng bất đẳng thức chiều ta suy Q1 Dấu đẳng thức xảy
1 xyz
Ví dụ 13) Cho số thực không âm a b c, , cho a0,b c 0
2 2
1
a b c Chứng minh:
3 3
2 2
a b c
b bc c a
Lời giải: Ta có:
2
2 2
4 4
2 2
2 2 2
1
a b c
a b c
a b a c a b bc c a b c
a b bc c a b bc c a b a c
(90)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
2
2 a b c a b c
2 2
2
1
2
a b bc c a b c a b c
a b bc c
2 2 2
2
3 3
a a b c a a
Bây ta chứng minh :
2
2
2 2
2 2
2
3 a a a a
a a Theo bất đẳng
thức Cauchy cho số ta có: 2
2
a a Dấu xảy
chỉ 2,
ab c Ta chứng minh:
2 2
3 2 2
2 a a a a a a
Bất đẳng thức
Ví dụ 14) Cho số thực x y, cho x y2 22y 1 Tìm GTNN, GTLN
3
xy P
y
(Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Trường
chuyên – KHTN- ĐHQG Hà Nội 2015) Lời giải:
Từ giả thiết ta suy y0
2
2 2
2
1
2 1 1
x y y x x
y y y
Đặt a 1
y
Ta 2
1
(91)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
2
2
2
1
3
x x
P P x Pa P x Pa
a y
Theo bất đẳng thức
Bunhiacopxki ta có: xPa2 1P2x2a2 1 a2 Suy
2 2 3
4
3
P P P P Với 3;
2 3
x y P ,
3
;
2 3
x y P Vậy GTLN P
3 , GTNN P
3
2. Kỹ thuật tách ghép
Để giải toán dạng người giải cần linh hoạt việc tách nhóm số hạng cho đảm bảo dấu tạo bất đẳng thức phụ quen thuộc
Ta cần ý bất đẳng thức quen thuộc sau: 1 1
4
a b a b
1 1 1
9
a b c a b c
Ví dụ 1: Cho số thực dương a b c, , Chứng minh:
2 2
bc ca ab a b c
a b c b c a c a b
Giải:
Ta có: 1 1
2a b c (a b) (a c) a b a c
Từ suy ra: 1
2 4
bc bc bc
a b c
a b c a b a c
(92)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Ví dụ 2: Cho số thực dương a b c, , Chứng minh:
2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )
3
( ) ( ) ( )
b c c a a b
b c a b c c a b c a a b c a b
Giải: Ta có:
2 2
2
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b c b c b c b c
b c a b c b b a c c a b b a c c a b a c a
Từ suy
2 2
( )
3 ( )
b c b c
b c a b c b a c a
Ví dụ 3: Cho số thực dương a b c, , cho a b c 3 Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2
1 1
4a b c 4b c a 4c a b Giải:
Ta có:
2 2
2 2 2 2 2 2 2
9
4 ( ) ( ) ( ) ( )
a b c a b c
a b c a a b a c a a b a c
Suy
2 2
2 2 2 2
9
4 ( ) ( )
a b c
a b c a a b a c
Ví dụ 4: Cho số thực a b c, , cho a2b2c2 1.Chứng minh rằng:
2 2
3
1 1
bc ca ab a b c
(93)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Ta có:
2 2
2 2 2
1
1 1 1
b c c a a b
bc ca ab
a b c a b c
Mặt khác ta có:
2 2 2
2 2 2 2 2 2
b c b c b c
a a b c a b a c a b a c
Từ suy
2 2 2
2 1 2 2
b c b c
a a b a c
Suy điều phải chứng minh
Ví dụ 5:
Cho số thực dương a b c, , Chứng minh rằng:
2 2
1 1 b c c a a b
a bc b ac c ab a b c
Giải: Ta có:
2 2 2
2 2 2 2 2
b c b c
b c b c
a bc a bc b c c a b b a c c a b b a c
Từ suy :
2 2
2 2 2 2 2
1
b c b c b a
a bc c a b b a c c a b c a b c
Chú ý: Nếu ta thay a b c, , 1 1, ,
a b c
thu bất đẳng thức là:
2 2
2 2
( ) ( ) ( )
a b c b c a c a b
a b c
a bc b ca c ab
(94)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Nếu phân tích:
2
2
( ) ( )
a b c bc b c
b c
a bc a bc
thu bất đẳng thức mới:
2 2
( ) ( ) ( )
bc b c ca c a ab a b
a b c a bc b ca c ab
Đây bất đẳng thức đẹp
và khó
Ví dụ 6: Cho số thực dương a b c, , Chứng minh rằng:
2 2
2 2
2 2
a b c
a bcb acc ab
Giải: Ta có:
2
2 2
2 2 2
2 2 2
a b c
a b c
a bc b ac c ab a bc b ac c ab
Thay a b c, , 1 1, ,
a b c
ta thu kết quả:
2 2
2 2
bc ca ab
bc a ca b ab c
Mặt khác ta có:
2
2
2
2
bc a
bc a a bc nên bất đẳng thức viết lại
thành:
2 2
2 2
2 2
a b c
a bc b ac c ab Thay
1 1
, , , ,
a b c
a b c
ta lại thu
được:
2 2 2 2
bc ca ab
a bcb acc ab
(95)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
2 2
1 (2 )(2 ) (2 )(2 ) (2 )(2 )
a b c
a b a c b c b a c a c b
Giải: Ta có
2
2 2
2 2
2
1
(2 )(2 ) ( ) ( ) ( )
a a
a a a a
a b a c a a b c a bc a a b c a bc a a b c a bc
Từ suy ra:
2 2
2
1
(2 )(2 ) ( )
a a a a a
a b a c a a b c a bc a b c a bc
Áp dụng kết VD ta suy điều phải chứng minh
Ví dụ 8: Cho số thực dương a b c, , cho ab bc ca 3 Chứng minh rằng:
2 2
1 1
1 1
a b c
Giải:
Ta có:
2
2
1
1
a
a a nên bất đẳng thức tương đương với
2 2
2 2
3
1 1
a b c
a b c
2 2
2 2
1
3 3 3
a b c
a b c
Ta có:
2
2 2
2 2
4
3 3 ( ) ( )
a a
a a a a
a a ab bc ca a a b c a bc a a b c a bc
(96)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
2
( )
a a
a b c a bc
Tương tự với số hạng cịn lại ta có:
2
2
1
3 2
a a a
a a b c a bc
Ở ta sử dụng kết quả:
2
2
2
a
a bc
Ví dụ 9: Cho số thực dương a b c, , Chứng minh:
2 2
2 2 2
1
5 ( ) ( ) ( )
a b c
a b c b c a c a b
Giải: Ta có:
2
2
2 2 2 2 2
2
9
5 ( ) 2(2 ) 2(2 )
a a
a a
a b c a b c a bc a b c a bc
2 2
2
2 2 2
4
2(2 )
a a a a
a bc a bc
a b c a b c
Từ suy ra:
2 2
2 2 2
1
5 ( )
a a a
a b c a b c a bc
Ví dụ 10: Cho số thực dương a b c, , thỏa mãn: a b c 1 Chứng
minh:
3 3
ab bc ca
ab b c bc c a ca a b
Giải: Ta có:
(97)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Từ ta có:
2
2
1 1
2
2 ab bc ca c ab b ab bc ca c ab b
Như vậy:
2
1
3 16 2 16 2
ab ab ab ab ab ab a
ab b c ab bc ca c ab b ab bc ca c ab
Từ suy ra: 2
3 16 2
ab ab ab a
ab b c ab bc ca c ab
3. Kỹ thuật thêm bớt
Ví dụ 1: Cho số thực dương a b c, , cho a2b2 c2 3 Chứng minh rằng:
1 1
3 2a2b2c
Phân tích: Nếu ta áp dụng trực tiếp bất đẳng thức:
2
2 2 x y z
x y z
a b c a b c
phần sau bị ngược dấu Để khắc phục ta
thêm bớt sau:
Xét 1
2
m ma m
a a
ta chọn msao cho 2 m ma 0
1 2 m ma đơn giản số hạng Điều làm ta nghỉ đến m
Từ ta có cách chứng minh sau:
1 1 1
3
2 2 2 2 2
a b c
a b c a b c
(98)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
2 2
2 2
2 2
a b c
a a b b c c
Áp dụng bất đẳng thức:
2
2 2 x y z
x y z
A B C A B C
ta có:
2
2 2
2( )
a b c VT
a b c a b c
Ta cần chứng minh:
2
2 2 3
2( )
2( )
a b c a b c
a b c a b c a b c
a b c2 6(a b c)
a b c 32 0
Ví dụ 2: Cho số thực dương a b c, , cho ab bc ca 3 Chứng minh rằng:
2 2
1 1
1
2 2
a b c
Phân tích: Xét:
2
2
1
2
m ma m
a a
ta nghỉ đến chọn
1
m Khi ta có:
2 2
2 2 2
1 1 1 1
1
2 2 2 2 2
a b c
a b c a b c
Áp dụng bất đẳng thức:
2 2 x y z
x y z
A B C A B C
ta có:
2
2 2
2 2 2
2 2
a b c
a b c
a b c a b c
Ta cần chứng minh:
2
2 2 2
6
a b c a b c
a b c a b c ab bc ca
Nhưng
đẳng thức Suy điều phải chứng minh
(99)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
2
2
2
2
1
1 2 2
2
2
b c b c
a b c a b c
a
Từ cộng bất đẳng thức
cùng chiều ta suy điều phải chứng minh:
Chú ý: Với giả thiết a b c, , độ dài ba cạnh tam giác ta cần ý biến đổi để sử dụng điều kiện: a b c 0,b c a 0,c a b
Ví dụ 3: Cho a b c, , độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng:
3 3
a b c
a b c b c a c a b
Phân tích:
Ta viết lại: (3 )
3
a a m a b c
m
a b c a b c
Ta chọn
1
m đó:
1
3 4(3 )
a a b c
a b c a b c
Từ ta có bất đẳng thức cần chứng minh
được viết lại thành:
1 1
3 4 4
a b c
a b c b c a c a b
1
3 3
a b c b c a c a b a b c b c a c a b
Ta có
2
2 2
3 2( )
a b c b c a a c b a b c
VT
a b c a b c a b c ab bc ca
(100)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Ví dụ 4: Cho số thực dương a b c, , cho abc1.Chứng minh rằng:
2 2
1 1
3
1 1
a a b b c c Phân tích:
Ta lấy
2
2
1
1
m ma ma
m
a a a a
để
2
1m ma ma phân tích thành: (xay)2 1m ma 2ma0 có nghiệm kép Hay
2
4 (1 )
3
m m m m m m
Ta viết lại bất đẳng
thức thành: 2 2 2
1 3
a a b b c c hay
2 2
2 2
(2 1) (2 1) (2 1)
3
1 1
a b c
a a b b c c
Áp dụng bất đẳng thức:
2
2 2 x y z
x y z
A B C A B C
ta thu được:
2
2 2
2( )
( )
a b c VT
a b c a b c
Ta cần chứng minh:
2 2 2 2
2(a b c) 3 3 a b c (a b c ) 3 hay
a b c 26(ab bc ca )9a b c
Ta có: (ab bc ca )2 a b2 2b c2 2c a2 22abc a b c( )
2 2 2 ( ) 3 ( ) 3( )
a bc b ca c ab abc a b c abc a b c a b c
Ta quy
bài toán chứng minh: a b c 26 3(a b c )9a b c Đặt
3( )
t a b c t Ta có bất đằng thức trở thành:
4
2
6 27 54 27 54 ( 3) ( 6)
9
t
t t t t t t t t t t t
(101)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Cho số thực dương a b c, , cho a2 b2c2 3 Chứng minh rằng:
2 2
1
2 3
a b c
a b b c c a
Một số cách thêm bớt không mẫu mực:
Ví dụ 5: Cho số thực dương a b c, , cho a b c 1 Chứng minh:
2 2
1
3 3 18( )
a b c
a b c ab bc ca
Giải: Ta có:
2
1
3 3 3
a a a
a
a a a
Vì ta quy toán chứng
minh: 1
3 3 6( )
a b c
a b c ab bc ca
Ta có:
2
2 2
1
3 3 3
a b c a
a a a b b c c a b c
Suy
2 2 2
1
1
6( )
3
VT
ab bc ca
a b c a b c
Ví dụ 6: Cho số thực dương a b c, , cho a b c 1.Chứng minh:
1 1
2
1 1
b c a a b c
a b c a b c
Giải:
Do
1
a a
a b c
nên ta viết lại bất đẳng thức thành:
3
b c a a b c
abc b c c a a b Lại có: ( )
a a ab
(102)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ chứng minh:
( )
ab c b c
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Shwarz ta có:
2 2
( ) ( )
ab bc ca
ab a b
c b c abc b c abc a b c
Ta cần chứng minh:
2
2
ab bc ca abc a b c
toán quen thuộc
Ví dụ 7: Cho số thực dương a b c, , cho ab bc ca 1.Chứng
minh: 3
2
ab bc ca
a b c
b c c a a b
Giải:
Nhân vế với a b c ý:
2
ab a b
a b c ab
b c b c Ta viết bất
đẳng thức cần chứng minh thành:
2 2
2 3
1
2
a b b c c a
a b c a b c
b c c a a b
Ta có:
2
2 2
2
( ) ( ) ( )
ab bc ca a b b c c a
b c c a a b b b c c c a a a b a b c
Cuối ta chứng minh:
2
2
1 3
1
2
a b c a b c
a b c
Nhưng 3 2
2 a b c a b c
nên ta quy về:
2
2
1
1
4
a b c a b c
a b c
Dành cho học sinh
4) PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
(103)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
1) a b c, , 1 1, ,
a b c
2) a b c, , ka kb kc, ,
b c a
3) a b c, , kb kc ka, ,
a b c
4)
2 2
, , ka ,kb ,kc a b c
bc ac ab
5) a b c, , kbc kca kab2 , 2 , 2
a b c
Ví dụ 1: Cho số thực dương x y z, , cho xyz1 Chứng minh rằng:
2 2
1 1
1
1 1
x x y y z z
Phân tích: Nếu áp dụng trực tiếp bất đẳng thức:
2
2 2 X Y Z
X Y Z
A B C A B C
bất đẳng thức bị ngược dấu
Để không bị ngược dấu ta thay x y z, , bc ca ab2, 2 , 2
a b c
bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
4 4
4 2 2 2
a b c
a a bc b c b b aca c c c aba b (*)
Bây áp dụng bất đẳng thức:
2 2 X Y Z
X Y Z
A B C A B C
(104)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
2 22
4 2 2 2
a b c VT
a a bc b c b b ac a c c c ab a b
Ta cần chứng
minh:
2 22
4 2 2 2
a b c
a a bc b c b b ac a c c c ab a b
2 2 2
( )
b c a c a b abc a b c
Nhưng kết quen thuộc Ví dụ 2: Cho số thực dương x y z, , cho xyz1 Chứng minh rằng:
1 1
(x1)(x2)(y1)(y2)(z1)(z2)
Phân tích:
Đặt x bc2;y ac2 ;z ab2
a b c
bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
4
2
1
(2 )( )
a
a bc a bc
Áp dụng bất đẳng thức:
2
2 2 X Y Z
X Y Z
A B C A B C
ta có:
2 2 22
2
(2 )( )
a b c
VT
a bc a bc
Ta cần chứng minh:
2 22 2
2 a b c (2a bc a)( bc)
2 2 2
( )
a b b c c a abc a b c
Đây kết quen thuộc Ví dụ 3: Cho số thực dương x y z, , Chứng minh rằng:
2 2
3
x y z
xy yz zx
(105)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Đặt x a;y b;z c
b c a
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
2 2
2 2
3
a b c
a bc b ac c ab Áp dụng bất đẳng thức
Bunhiacopxki ta có:
2
2 2
2 2
( )( )
( )( )
a b c a a a b a c
a bc b ac c ab a b a c a bc
Mặt khác ta có: 8a b c ab bc ca9a b b c c a Mặt
khác ta có: 2
( )( ) ( )( )( ) 4( )
ab bc ca a
a b a c a b b c c a a b c
Ta quy
toán chứng minh: a a b a c( 2 )( ) 2a b c a bc
Mặt khác ta có:
2
2
( )( ) ( )
a a b a c a b c
a
a bc a bc
Ta quy toán chứng minh:
2
( )
a b c
a b c
a bc
KỸ THUẬT ĐỐI XỨNG HĨA
Ví dụ 1: Cho số thực dương a b c, , Chứng minh:
2 2
3
a b c
a b b c c a
(106)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Ta có:
2
2
2
( ) ( )
a a c a a c
a
a b a b a c a b a c
2( )
( ) ( ) ( )
a b c
a b c
a b a c b c b a c a c b
8 a b c ab bc ca
a b b c c a
Bây ta cần chứng minh:
8
9
a b c ab bc ca
a b c ab bc ca a b b c c a
a b b c c a
Nhưng kết quen thuộc:
Ví dụ 2: Cho số thực dương a b c, , Chứng minh:
2 2
a b c
a b c b c a c a b
Giải: Ta có:
2
2
2 2 2 2 2
a a b c a a b c
a
a b c a b c a b c a b c a b c
2
4
1
2 2 ( )
a ab a
a a b c
a b c a b c a b c a b c b a c
Ta cần chứng minh:
2
4 9
2 ( )
a ab a
a b c a b c b a c
Sau khai
(107)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Ví dụ 3: Cho số thực dương a b c, , cho a b c 1
Chứng minh:
2
ab bc ca
ab bc bc ca caab
Giải:
Ta có:
2
a b a b
ab a b
a c a c a b
ab bc
suy
2
2
2 2
( ) a a b abc a
a b a b a b
a b
a c a b a c a b a b b c c a
Ta cần chứng minh:
2
2
2 1
4
( )
a a b abc a
a a b abc a a b b c c a
a b ca b b c c ( a)
Khai triển thu gọn ta quy về:
2 2 2 2 2 2
2
ab a b bc b c ca c a a b b c c a Nhưng bất đẳng thức hiển nhiên theo BĐT cô si:
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Cho số thực dương a b c, , Chứng minh rằng:
1) 2 a 2 2 b 2 2 c 2 a b c
b bc c c ca a c ca a ab bc ca
2) 2 a 2 2 b 2 2 c 2 2a b c2 2 a ab b b bc c c ca a a b c
3) a23b2 3c234a b c 12 4)
3 3
2 2
( )
1 1
a b b c c a abc a b c
ab bc ca abc
(108)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 5)
2 2
2 2
2 2
a b c
a b b c c a với a b c 3
6) 1
3 3
ab bc ca
a b c a b cb c ac a b
7)
2 2
2 2 2 2 2
2 2
ab bc ca a b c
a b c b c a c a b
8) 12 12 12
2ab 12bc 12ca 1 với a b c 3
9) 3
2 2
a b b c c a a c b a c b
Với a b c, , độ dài cạnh tam giác
10) 10) 2 2 2
2
a b c ab bc ca
b c c a a b a b c
Với a b c, , độ dài
cạnh tam giác
11) 2 2 2 2 2 2
2
ab bc ca
a b b c c a biết a b c, , 0 cho khơng có số đồng thời a2b2c2 2(ab bc ca )
12)
4 4
a b c
a bc b ca c ab biết a b c, , 0 cho
khơng có số đồng thời a b c 2
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
1) 2 a 2 2 b 2 2 c 2 a b c b bc c c ca a c ca a ab bc ca
Ta có:
2
2 2
a a
b bc c ab abcac Suy
2
2
2 2 2
3 a b c a
ab abc ac ab ac bc ba abc
(109)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Ta cần chứng minh:
2
2 2
3
a b c a b c
ab ac bc ba abc ab bc ca
2 2
3
ab bc ca a b c ab ac bc ba abc
(Nhưng
hằng đẳng thức)
2) Ta có: 2
ab bc caa b c
Suy 2 a 2 2 b 2 2 c 2 2a b c2 2 b bc c c ca a c ca a a b c
3)
2
2 2
1 3
3
b c b c
a b c a a
Từ suy
2
2 2
4
3 b c
a b c a
Ta chứng minh:
2
2
2 2 2
4 3 3 3 3
3 b c
a a b c b c b c
Bất đẳng thức tương đương với:
2 2 2 2
4 3 b c 1 3 b 3 c 3 4 4 b c 2bc2b2c9b 9c 3b c 27
2 2
5 b c 3b c 8(b c) 8bc 13
Ta viết lại bất đẳng thức thành: 5b2c22bc8(b c ) 3 bc120
Ta có b2c2 2bc,2b2c2b c 24b2c22b c 2 Nên
2 2 2
5 b c 2bc8(b c ) 3 bc1 2(b c ) 8(b c ) 2 bc2bc3(bc1)
2
2 b c 3(bc 1)
(110)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 4)
3 3
2 2
( )
1 1
a b b c c a abc a b c
ab bc ca abc
Ta có:
3 2
2 2
1
a b a b c
ab abc a b c
Suy
2 2
3 2
2 2 2 2 2
1
a bc b ac c ab a b a b c
ab abc a b c abc a b c bca b c a cab c a b
2
2 2
2 2 2 a b c a b c
abc a b c bca b c a cab c a b
Ta chứng minh:
2
2 2
2 2 2
( )
1
a b c a b c abc a b c
abc a b c bca b c a cab c a b abc
2 2 2
1abc abc a b c( )abc a b c bca b c a cab c a b Đây
là đẳng thức.Dấu xảy abc
5)
2
2 2
2
a a
a b a a b
Suy
2
2 2
2
2 2 2
2 2
a b c
a a
a b a a b a a b
Ta chứng minh:
2 22
3 2
2 a b c
a a b
Hay
2
2 2
4 4 3
3 2
2 a b c
a b c a b c
a a b
Ta cần chứng minh: a4b4c4 a3b3c3 với a b c 3 Ta chứng minh:
4 4 3 3 4 4 2 2 2
(111)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Để ý rằng:
4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2
2 a b a b a b a b 2ab a b a b ab a b
Cộng ba bất đẳng thức chiều ta suy điều phải chứng minh: 6) Ta có:
1 1 1 1
3 ( ) ( ) 9
ab ab ab
a b c a c b c b a b b c b a b c a b b c
Tương tự ta có bất đẳng thức cộng lại thu được:
1 1
3 3 2
ab bc ca ab ab bc bc ca ca
a b c
a b c b c a c a b a c b c b a c a c b b a
1
3 3
ab bc ca
a b c a b c b c a c a b
7) Ta có
2 2
2 2 2 2 2
2 2
ab bc ca a b c
a b c b c a c a b
2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 4
a b
ab b b a b
a b c a b b c a b b c
Suy
2 2 2
2 2 2 2 2 2
4 4
b a b c b c a a c a b c
VT
a b b c b c c a a b c a
8) 12 12 12
2ab 12bc 12ca 1
Ta có:
2
2 2
1
2
c
ab ab c c suy
2
2 2 2 2 2 2 2 2 a b c
VT
a b c a b c a bc ab c
(112)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
a b c
ab bc ca a b c a bc ab c a b c a b c a bc ab c
( )
ab bc ca abc a b c abc
Theo bất đẳng thức Cơ si ta có:
3a b c 3 abc 3 abc1 điều phải chứng minh
9) Ta xét: (3 )
2
a b a m b mc
m
a c a c
Chọn m1 để xuất hiện:
2
a b a b c
a c a c
Khi ta có: Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng:
2 2
a b c b c a c a b
a c b a c b
Suy
2
2
( )(2 )
a b c b c a c a b a b c VT
a b c a c a b c
Đpcm
10)Ta viết lại bất đẳng thức thành:
2 2
1
1 1
2
a b c ab bc ca
b c c a a b a b c
2
2 2
2
a b c b c a a c b a b c
b c c a a b a b c
Ta có
2
2 2
4
2
a b c a b c
VT
b c a b c a b c
11)Ta có:
2
2 2 2
2
ab ab a b ab
a b a b a b
(113)hoc360.ne t
Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Ta quy tốn chứng minh: 22ab2 22bc2 22ca2
a b b c c a Hay
2 2 2
2 2 2
a b b c c a
a b b c c a
Thật ta có:
2
2 2 2
4
4
2 2
a b c a b c
VT
a b c a b c ab bc ca
Dấu xảy
ra ab c, 0 hốn vị 12)Ta có:
4 4
a b c
VT a b c
a bc b ca c ab
2
4 4
a b c
a bc b ca c ab
Ta chứng minh:
1
4 4
a b c
a bc b ca c ab
1 1
4 4 4 4
a b c
a bc b ca c ab
1
4 4 3
bc ca ab
a bc b ca c ab
Ta có:
2
2 2 2 2 2 2
1
3
ab bc ca ab bc ca
VT
a b b c c a abc a b b c c a abc a b c