Chuyên đề: Bất đẳng thức - Chuyên đề Toán 9 - Tài liệu học tập

Để giải quyết những bài toán dạng này người giải cần linh hoạt trong việc tách các nhóm số hạng sao cho đảm bảo dấu bằng và tạo ra các bất đẳng thức phụ quen thuộc.. Chứng minh rằng:.[r]

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Chủ đề - BẤT ĐẲNG THỨC

Phần 1: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (CÔ SI) Cho số thực không âm a b c, , ta có:

1 a b 2 ab Dấu đẳng thức xảy ab a b c  33abc

Dấu đẳng thức xảy abc Các bất đẳng thức 1, gọi bất đẳng thức Cauchy cho số thực khơng âm (Cịn gọi bất đẳng thức Cô si hay bất đẳng thức AM- GM) Để vận dụng tốt bất đẳng thức Cauchy Ta cần nắm kết sau:

1)

2

1 2

ab a b  a b ;

 2

2 x y

x y

a b a b



 



2)

2 2

1 1 3

abc a b c   a b c

3) 2 3( )2 1( )2 3( )2

4 4

a ab b  a b  a b  a b

4) 2 1( )2 3( )2 1( )2

4 4

a ab b  a b  a b  a b

5)  

2

2 2

3 a b c

ab bc ca     a b c

6)  

2

2 2 x y z

x y z

a b c a b c

 

  

 

7)  

3 3

4 a b a b  

8)    

2

2 4 4

2

4 2 ( ) 4 ( )

2( )

2

a b a b a b

a b a b a b

    

        

 

 

9) Với a b, 0 1( )

m n m n m m

a  b   a b (*) Thật BĐT cần chứng minh tương đương với

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ (**) Tổng quát ta có

2

n n n

a b a b 

  

 

Thật áp dụng (*) ta có

1

2 2

n

n n n n

a b a b a  b   a b 

    

    

10) Với a b c, , 0 1( )( )

m n m n m n m m m n n n

a  b  c   a b c a b c (*) Thật ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

(ambm)(anbn) ( bmcm)(bn cn) ( cmam)(cnan)0 mà điều hiển nhiên

Tổng quát ta có:

3

n

n n n

a b c a b c  

  

 

Thật áp dụng (*) ta có:

1 1 2

3 3 3

n n n n n n n n n

a b c a b c  a  b  c   a b c   a  b  c  

     

      

Áp dụng bất đẳng thức ta có:

3 3

n

n n n n n n n n n n n n

n

a  b  b  a b c a b c a b c 

   

 

 

Tương tự ta có:

1 1 1

3

n

n n n

a b c a b c

 

     

  

 

 

Do 1

abca b c  suy

1 1

3

n

n n n

a b c a b c

 

    

 

 

11) 1

1 1

a b   ab với a b, 1

Tổng quát: với a b, 1 ta có

 

1

(1a)n (1b)n  1 ab n

12) Với 0a b, 1 1

1 1

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Tổng quát: Với a b, 0;1 ta có: 1

1 1

n n n

a  b  ab

  

13) Một số kết suy từ bất đẳng thức Cô si

+ a3b3x3y3m3n3axm byn 3 (*)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

   

3 3

3 3 3 3 3 3 3 3 3

3

3

a x m axm

a b x y m n  a b x y m n

   

3 3

3 3 3 3 3 3 3 3 3

3

3

b y n byn

a b x y m n  a b x y m n

Cộng hai bất đẳng thức chiều ta suy ra:

 3 3 3

3

3

3 axm byn

a b x y m n



 

  

 3 3 3  3

a b x y m n  axm byn

+ Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được:

 3 3 3 3 3 3  3

a b c x y z m n p  axm byn czp 

Ví dụ 1: Cho số thực khơng âm a b c, , Chứng minh rằng:

a) 3  

a b ab a b

b) 3 13 3 31 3 31

a b abcb c abcc a abc abc Với ( , ,a b c0)

c) a b b c   ca8abc

d)     8  

9

a b b c c a    a b c  ab bc ca 

e) Cho ab b c c a1 Chứng minh:

4

ab bc ca   ( Trích

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Lời giải:

a) Ta có : 3   2

a b  a b a ab b Suy

       2

3 2

2

a b ab a b  a b a  ab b  a b a b  suy

đpcm

b) Áp dụng bất đẳng thức câu a ta có:

   

3

a b abcab a b abcab a b c  Suy

 

3

1

a b abc ab a b c  Tương tự ta có:

   

3 3

1 1

;

b c abcbc a b c  c a abc ca a b c  Cộng ba bất

đẳng thức chiều suy ra:

3 3 3

1 1

a b abcb c abcc a abc abc Dấu xảy

chỉ abc

c) a b b c   ca8abc

Cách 1: Ta có:

   

2 , ,

a b  ab b c  bc ca ca a b b c  ca  abc

Cách 2: a b b c c    a  a b c  ab bc caabc Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

3 2

3 ,

a b c   abc ab bc ca a b c 

a b cab bc ca9abc Suy

a b b c c    a  a b c  ab bc caabc8abc

Chú ý: a b b c c    a  a b c  ab bc caabc biến đổi sử dụng nhiều chứng minh bất đẳng thức:

d)     8  

9

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Chú ý rằng: a b b c c    a  a b c  ab bc caabc Áp dụng câu c ta có đpcm

e) Ta ý: a b b c c    a  a b c  ab bc caabc Suy

ra ab bc ca abc

a b c



  

 

Theo bất đẳng thức Cơ si ta có:

   

3

3

2

a b b c c    a a b b c c  a  a b c   Mặt

khác sử dụng:     8

a b b c c  a  abcabc Từ suy ra:

1

1 8

3 4

2

abc ab bc ca

a b c

 

    

  Dấu ‘’=’’ xảy

1

ab c

Ví dụ 2:

a) Cho số thực dương a b c, , cho a b c ab bc ca     6 Chứng minh rằng: a2b2c2 6 Trích đề tuyển sinh lớp 10- TP Hà Nội 2013

b) Cho số thực dương a b, cho : 1

ab  Chứng minh:

4 2 2

1 1

2 2

Q

a b ab b a a b

  

    Trích đề tuyển sinh lớp 10

chuyên Nguyễn Trãi- Hải Dương 2013)

c) Cho số thực dương a b, cho a b 2 Chứng minh:

 2

2

1

2 a b a b 10

b a a b

   

       

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ d) Cho số thực dương a b c, , thỏa mãn a b c  2 Tìm giá trị

nhỏ P 2a bc  2b ac  2c ab Trích đề tuyển sinh lớp 10- TP Hà Nội 2014

e) Cho số thực khơng âm a b, cho a2b2 4 Tìm GTLN

2

ab P

a b



  Trích đề tuyển sinh lớp 10- TP Hà Nội 2015

Lời giải:

a) Dự đoán dấu xảy ab c Ta có cách giải sau: Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có:

2 2 2 2 2

2 , , , , ,

a b  ab b c  bc c a  ac a   a b   b c   c Cộng bất đẳng thúc chiều ta suy

 2 2   2

3 a b c  3 ab bc ca  a b c 12a b c 3 Dấu

bằng xảy ab c

b) Dự đốn ab1 bất đẳng thức xảy dấu Từ ta có cách áp dụng BĐT Cơ si sau:

Ta có: a4b2 2a b b2 , a2 2ab2 Từ suy

     

2 2

1 1 1

2 2 2

Q

a b ab b a a b ab a b ab a b ab a b

    

     Từ

giả thiết 1 a b a b 2ab

a b ab



       suy

 2

2

Q

a b



 Do

1 1

2

2

a b a b a b

    

  Suy

1

Q Dấu xảy ab1

c) Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành:

     

2

2

2

2

2 a b 2ab a b ab a b ab 10

ab a b

   

     

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

2 3 2

2

4

8 4ab ab ab 10 2a b 4a b 24ab 12a b 36 18ab

ab a b

 

            

2 3 2

2a b 4a b 24ab 12a b 36 18ab 4t 10t 42t 36

            

(*) với  

2

0

4 a b t ab 

    Ta có (*) tương đương với:

3

2t 5t 21t180   

1 18

t t t

     Do 2t23t180

t  nên t1 2 t23t180 Dấu xảy

1

t ab

d) 2abc  a a b c   bc Áp dụng bất đẳng thức Cô si

  

2

a b a c

a b a c     , tương tự ta có:

    

2

2

b a b c

bac  b a b c  ac  ba b c     ,

2

2

c a c b

cab     Từ suy

2 2

2 2 2( )

2 2

a b c b c a c a b

P a bc  b ac  c ab           a b c  

.Dấu xảy

3

ab c

Ta viết lại

2

ab P

a b

 

  Đặt a b    2 t t

 2

2 2

2 2 2

a b ab t ab t t

         a b 2 t22.Ta có :

 2  2  2

2 a b  a b  a b  8 a b 2 22 t 22 Ta chứng minh:

2

2

2

ab t t

P

a b t

 

 

  Dự đoán dấu xảy

2 2

ab  t  nên ta chứng minh:

   

2

2

1 2

2 2 2

2

t t

P t t

t

 

         

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Hay t2 1 t 2 0t2 22t 1 0 Bất đẳng thức 2 t 22 Dấu xảy

2 2

t  a b

MỘT SỐ KỸ THUẬT VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI 1. Dự đốn dấu để phân tích số hạng vận dụng bất đẳng

thức Cô si

Đối với toán bất đẳng thức đối xứng thông thường dấu xảy biến sở để ta phân tích số hạng cho áp dụng bất đẳng thức Cơ si dấu phải đảm bảo

Ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 1: Cho x y, số dương thỏa mãn xy2 Chứng minh

 

2 2

2

x y x y 

(Đề thi tuyển sinh lớp 10 Chu Văn An, Hà Nội – Amsterdam 2006-2007) Lời giải:

Ta dự đoán dấu xảy x y1 Khi xy1, x2y2 2 Mặt khác để tận dụng giả thiết xy2 ta đưa đẳng thức

xy2 Vì ta phân tích tốn sau: 2 2  2

.2

x y x y  xy xy x y Theo bất đẳng thức Cauchy

 2

1

x y

xy   ,    

2

2

2 2

2

2

x y xy x y

xy x y       

 

Từ

suy 2 2

2

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Ngồi cách làm ta giải tốn cách đưa biến:

t x y txy với ý: xy2 4xy, 2x2y2xy2 Thật vậy: Đặt  2 2

;

txy xy x y  xy

2 2

4 x y 2t x y 2t

        Do  

2

1

4 x y

xy     t Ta cần chứng minh: 2    

4 2 1

t  t  t  t    t t  t 

Bất đẳng thức ln với giá trị 0 t Ví dụ 2:

a) Cho a b, số không âm thỏa mãn a2b2 2 Chứng minh rằng:

   

3

a a a b b b b a  (Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Ngoại Ngữ ĐHQGHN năm 2008-2009)

b) Với ba số dương x y z, , thỏa mãn x  y z 1, tìm giá trị lớn

của biểu thức:Q x y z

x x yz y y zx z z xy

  

      (Đề thi tuyển

sinh lớp 10 chuyên Toán TP Hà Nội 2014) Lời giải:

a) Dự đoán dấu xảy ab1 Khi

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng

2

x y

xy  , dễ thấy

  2

3 2

2

a a b

a a a b a    a ab,

  2

3 2

2

b b a

b b b a b    b ab

Cộng hai bất đẳng thức lại vế theo vế, ta được:

     2

3 2

M a a a b b b b a  a b  ab  ab Tiếp tục sử dụng bất đẳng thức Cauchy kết hợp với giả thiết, ta có:

2

42ab 4 a b 6 Từ ta có M 6 Dấu xảy

a b

  

b) Ta có:      

 

2

x x x y z yz x x x yz x

x

x yz x x x y z yz x x x yz

   

 

 

     

 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy co hai số thực dương

2

a b

ab  ta có:

  

 

 

2

2 x y x z

x x

x x y x z x xy xz

xy yz xz xy yz xz xy yz xz

  

 

  

   

 

 

      Chứng

minh tương tự cộng vế, ta suy Q1.Đẳng thức xảy

1

xyz Vậy Q lớn

3

x yz Ví dụ 3: Cho c0 a b, c Chứng minh

   

c a c  c b c  ab

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

c a c c b c P

b a a b

 

   Sử dung bất đẳng thức Cauchy dạng:

2

x y

xy  , ta có:

1

1

2 2

c a c c b c c c c c

b a a b b a a b

P

 

      

    Bài

tốn giải hồn toàn Đẳng thức xảy

1 1

c a c

b a

c b c a b c

a b

 

  

  





 

 

Ngồi ta chứng minh toán

biến đổi tương đương

Ví dụ 4: Cho x y z, , số thực dương Chứng minh rằng:

2 2

2 2

2 2

x y z

x  yz y  zx z  xy  Lời giải:

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng: 2

2aba b , dễ thấy:

2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

x y z x y z

P

x yz y zx z xy x y z y z x z x y

      

        

Đẳng thức xảy x yz

Ví dụ 5: Cho x y, 0 xy1 Chứng minh 8x4 y4

xy

  

Giải:

Dự đoán dấu xảy

2

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Suy 8x4 y4 16x y2

xy xy

    Để ý dấu xảy 2

16x y 1 nên ta phân tích

sau:16 2 16 2 1

4

x y x y

xy xy xy xy

     Áp dụng bất đẳng thức Cô si

3

a b c   abc ta có: 16 2 1

4

x y

xy xy

   ,

 2

4

4

xy xy  xy Suy 2 1

16

4

x y

xy xy xy

     

Đẳng thức xảy

2

x y

Ví dụ 6) Cho a b c, , số dương thỏa mãn a b c  3 Chứng minh rằng:

2 2

2 2

2 2

9

a b c a b b c c a

a b c

  



Lời giải:

Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành:

 2 

2 2

1

2

a b b c c a

a b c

 

    

 

 2 

2 2

1 1

2 a b b c c a

ab bc ca

       Mặt khác sử dụng bất đẳng

thức Cauchy ba số, ta có: 2 2

2

1

3

a b a b a b a b a

ab ab

    ,

2 3 2

2

1

3

b c b c b c b c b

bc bc

   

2 3 2

2

1

3

c a c a c a c a c

ca ca

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Cộng ba bất đẳng thức lại vế theo vế, ta được:

 2 

2 2

1 1

2 a b b c c a

ab bc ca

      Dấu đẳng thức xảy hcir ab c

Ví dụ 7) Cho x y, 1 Chứng minh rằng:    

  

3 2

8

1

x y x y

x y

  



 

Giải:

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

  

2 2

2

2

1 1 1 1

x y x y xy

P

y x y x x y

   

      (1) Mặt khác, lại để ý

rằng sử dụng bất đẳng thức Cauchy hai số dạng

2

a b ab   , thì:

    1

1 1 ; 1

2 2

x x y y

x  x     y  y     Nhân hai bất đẳng thức lại theo vế, ta thu

được:   

  

2

1

4 1 1

xy xy

x y

x y

    

 

(2) Từ (1) (2) suy

ra điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy

2

2

1

2,

x y

x y

y x

x y

  

  

 



  



Đối với toán mà dấu không xảy biến Ta cần ý tính đối xứng phận , để dự đốn sau liên kết liệu tốn để tìm điểm rơi Từ áp dụng bất đẳng thức Cauchy để thu kết quả:

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Ví dụ 8: Cho x y z, , 0 thỏa mãn: xyyzzx1 Tìm GTNN

2 2

2

Px y  z

Giải:

Ta dự đoán dấu xảy x yaz mong muốn biến đổi :

2 2

2 ( )

Px y  z k xyyzzx để tận dụng giả thiết xyyzzx1 dấu xảy x yaz Để có tích x y ta áp dụng x2y2 2xy Để tạo yz ta áp dụng: y2a z2 2ayz Để tạo zx ta áp dụng:

2 2

2 a z x  azx

Vì hệ số yz zx, a nên ta nhân a vào bất đẳng thức cộng lại theo vế ta thu

được

 2  2 2  2 2   2 2

1

( )

2

a x y y a z a z x a x y a z

a xy yz zx

       

   

Hay 2a(a1)(x2y2)2a z2 Để tạo Px2y22z2ta cần có tỷ

lệ:( 1) : 2 1: 2 1

2

a a  a   a a 

Từ ta tìm được: 1

a P

a

  

 Các em học sinh tự hoàn thiện lời

giải

Ví dụ 9) Cho x y z, , 0 thỏa mãn: x  y z Tìm GTNN

2

Px y z

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Ta dự đốn dấu có x ya z, b; 2a b 3 Theo bất đẳng

thức Cơ si ta có:

2

2

3 3

2

3

x a ax

y a ay

z b b b z

  

 

 

 

  

 

Cộng ba bất đẳng thức chiều ta

có: x2y2z32a22b32 (a xy) 3 b z2 Tức là:

2 2

2 ( ) 2

x y z  a xy  b z a  b

Bây ta cần chọn a, b cho : 3a b2 1:1

2

2

2

a b a b

 

  

  



Giải hệ tìm

được: 19 37; 37

12

x ya  zc 

Từ bạn đọc tự hồn thiện lời giải:

Ví dụ 10) Cho số thực dương a b c, , thỏa mãn: a22b23c2 1 Tìm GTNN P2a33b34c3

Lời giải:

Dự đoán dấu xảy ax b;  y c; z với x y z, , 0

2 2

2

x  y  z 

Ta có: a3a3x33a x2 ; b3b3y33b y2 ; c3c3z33c z2 , suy

3

2a 3a xx

3 3

3

b b y  b y 3 3

2

b yb y

   ,

3 3 3

3

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ đẳng thức chiều suy ra: 3 2 3 3

2

P xa  yb  zc x  y  z

 

Ta cần chọn x y z, , để: :3 : 1: :

x y z x22y23z21 Áp dụng tính chất dãy tỷ số ta dễ dàng tìm được:

6

; ;

407 407 407

x y z Học sinh tự hồn thiện lời giải

Ví dụ 11) Cho số thực dương a b c d, , , thỏa mãn:

abc bcd cda dab  Tìm GTNN P4a3b3c39d3.(Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Trường chuyên KHTN- ĐHQG Hà Nội 2012) Lời giải:

Biểu thức P cho ta dự đoán dấu xảy ,

ab c xd Để giảm ẩn toán ta áp dụng bất đẳng thức Cơ si theo cách:

Khi a3b3c33abc, b3c3x d3 3xbcd, c3a3x d3 3xcad, 3 3

3 a b x d  xabd

Suy

 3 3

3 3 3 3 3 3

3 3 x a b c xabc b c x d xbcd c a x d xcad a b x d xabd

   



   



  

 

  



Cộng bốn bất đẳng thức chiều ta có:

      3  

2 2 3

x a  x b  x c  x d  x abc bcd cdadab  x

Bây ta chọn x cho  : 3 : 32 4 3

3

x

x x x x

x



      

Đặt 1

x y

y

 

   

 

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

 

3 3

6 35 , 35 35 35

2

y  y  x    Bạn đọc tự hoàn thiện lời giải

2. Kỹ thuật ghép đối xứng

Trong nhiều toán mà biểu thức hai vế tương đối phức tạp, việc chứng minh trực tiếp trở nên khó khăn ta sử dụng kỹ thuật ghép đối xứng để toán trở nên đơn giản

ở toán bất đẳng thức, thông thường hay gặp hai dạng sau: Dạng 1: Chứng minh X YZ  A B C 

ý tưởng: Nếu ta chứng minh XY 2A Sau đó, tương tự hóa đẻ YZ 2B ZX 2C (nhờ tính đối xứng tốn) Sau cộng ba bất đẳng thức lại theo vế rút gọn cho 2, ta có điều phải chứng minh

Dạng 2: Chứng minh XYZABC với X Y Z, , 0

Ý tưởng: Nếu ta chứng minh XY A2 Sau đó, tương tự hóa để

YZ B

ZX C (nhờ tính chất đối xứng tốn) Sau nhân ba bất đẳng thức lại theo vế lấy bậc hai, ta có:

2 2

XYZ  A B C  ABC ABC

Ví dụ 1. Cho ba số dương x y z, , thỏa mãn xy z Chứng minh

2 2 2

2x xy2y  2y yz2z  2z zx2x 

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Ta cần đánh giá dạng :2x2xy2y2 mxny2sao cho dấu xảy x y Để có đánh giá thơng thường ta viết lại

 2  2      

2 2

2x xy2y a xy b xy  a b x 2 b a xy  a b y

Từ suy

3

4

5

4

a b a

b a

b



  

 

 



 

 

  

 



Từ ta

có:

 2  2  2  

2 5 2

2 2

4 4

x xy y  xy  xy  xy  x xy y  xy

tương tự ta có bất đẳng thức cộng lại ta có:

 

2 2 2

2x xy2y  2y yz2z  2z zx2x  x y z  dấu xảy

3

x yz Ta chứng minh trực tiếp:

 

 2

2 2

2 2

2

x y

x xy y    x xy y  xy

     

2

2

2

4

x y

x y xy x y  xy

       (đúng theo Cauchy)

Ví dụ 2.Cho số thực dương a b c, , cho ab bc ca  1 Chứng minh

rằng:   4

9

abc a b c   a b b c c a (Trích đề tuyển sinh vào lớp 10- Trường Chuyên KHTN- ĐHQG Hà Nội 2014)

Lời giải:

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

 

4 2

4 2 4

4 2

1

3

1

3 9

1

3

a b abc ca a bc

b c a bc ab b ca abc a b c a b b c c a

c a ab c bc c ab



  

  

         

  

  

 

(1)

Mặt khác ta có:

  1 2

3

abc a b c  ab ac bc ba ca cb   ab bc ca   Suy

 

4

3abc a b c  9 (2) Cộng theo vế (1) (2) ta có đpcm

Ví dụ 3) Cho ba số dương x y z, , thỏa 1

1x1y1z  Chứng minh

rằng

8

xyz

Giải:

Từ giả thiết 1

1x1y1z  , ta suy ra:

  

1 1

1

1 1 1 1

y z yz

x y z y z y z

   

       

          

  

1

1 1

yz

x y z

 

  

Hoàn tồn tương tự ta có:

     

1

2 ;

1 1 1

zx xy

y  z x z  x y

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Nhân ba bất đẳng thức lại theo vế, ta thu

được:

       

1

1 1 1

xyz

xyz

x y z  x y z  

     

Ví dụ 4. Cho x y z, , 2 1 1

x y z  Chứng minh

x2y2z21

(Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Lam Sơn Thanh Hóa năm 2005-2006) Lời giải:

Với giả thiết x y z, , 2, ta nghĩ đến việc đặt ẩn phụ để đưa toán dạng đơn giản quen thuộc Đặt xa2;y b 2;z c với a b c, , 0 Bài toán quay chứng minh abc1

Với a b c, , 0 thỏa mãn: 1 1

2 2 2

a b c

a b c   a b c 

Ta có:

1 1 1 1

1

2 2 2 2

c a b a b

   

        

        

      

2 2 2

a b ab

a b a b

  

   

Tương tự:

     

1

;

2 2 2

ca bc

b  c a a  b c

Nhân ba bất đẳng thức lại theo vế, ta được:

       

1

1

2 2 2

abc

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Ví dụ 5) Cho x y z, , số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức

1 1

2 2

x y z

P

y z z x x y

   

      

    

   

Giải:

Ta có     

   

2 2

8

x y z y z x z x y

P

x y y z z x

      



   (1)

Theo bất đẳng thức Cô si ta có:

     

2x  y z xy xz 2 xy xz (2)

     

2y  z x yz yx 2 yz xy (3)

     

2z x y zx zy 2 zx zy (4)

Nhân vế (2),(3),(4) từ (1) suy P1

Dấu (5) xảy  đồng thời có dấu (2),(3),(4)

0

x y x z

y z y x x y z

z x z y

  

 

       

    

.Từ suy minP1

3. Kỹ thuật si ngược dấu:

Ví dụ 1. Cho a b c, , 0 a b c  3 Chứng minh

rằng: 3 3 3

2

a b c

b abc bca ca

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

3 2

1 1 1 1

1

2

a b b

b ab b a b b ab b a b a

 

          

    Tương tự:

3

1 1 1

1 ;

4

b c

c bc c b a ca a c

   

         

     

Cộng ba bất đẳng thức lại vế theo vế, ta được:

3 3

3 1

4

a b c

b ab c bc a ca a b c

 

      

    

Bài toán quy chứng

minh:3 1 3 1

4 a b c a b c

 

       

 

 

1 1

3

a b c a b c

a b c

     

            

      Bất đẳng thức cuối

hiển nhiên theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:1 a 2, ;1 b 2;1 c

a   b  c 

Bài toán chứng minh xong Đẳng thức xảy

ab c

Ví dụ 2) Cho a b c, , 0,a  b c Chứng minh:

3 3 3

9

9 9

a b b c c a

ab bc ac

  

  

  

Ta chứng minh

 3

3

3 3

2

1 36( )

( ) , ( )

4 ( ) 36 ( ) 36

a b

a b a b

a b a b ab a b a b

ab a b a b



 

         

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Mặt khác ta có:

(a b ) 36 12( a b ) Suy

3

3

a b

a b ab



  

 Cộng ba

bất đẳng thức chiều suy đpcm

Ví dụ 3) Cho x y z, , 0 x  y z 3.Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2 2

1 1

x y z

P

y z x

  

  

Lời giải: Ta có:

2

2

1

x xy

x y   y

  Theo bất đẳng thức Cơ si

2

1y 2y Suy

ra 2

1

x xy

x

y  

 Tương tự, ta có: 2

y yz

y z  

 , 2

z zx

z x  



Cộng vế ba bất đẳng thức ta có   1 

P x y z  xyyzzx Mặt khác theo bất đẳng thức Cơ si, ta có: 3xyyzzx  xyz2 Vì

3

x   y z xyyzzx Như

2

P  x yz

4. Phương pháp đặt ẩn phụ:

Kỹ thuật đặt ẩn phụ kỹ thuật đặc biệt chứng minh bất đẳng thức:

Việc chọn ẩn phụ thích hợp giúp toán trở nên đơn giản hơn: Một số kỹ thuật hay gặp sau:

1 Khi có giả thiết : a b c  abc ta biến đổi thành:

1 1

1

abbcca đặt

1 1

; ;

x y z xy yz zx

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Khi gặp giả thiết a b c  1 ta viết thành:

ab ac bc ba ac cb

c b  a c  b a  Đặt

, ,

ab bc ca

x y z xy yz zx

c  a  b     

3 Khi gặp giả thiết: ab bc ca abc   4 Ta viết thành:

1 1

1

2 2

a b c  Đặt

1 1

; ;

2 2

x y z x y z

a b c

      

  

4 Từ điều hiển nhiên: +

1 1

1

1 1

x y z

y z z x x y

x y z x y z x y z

x y z

      

  

     

  

Đặt a y z;b z x;c x y

x y z

  

   ta suy

1 1

1

1 1 abc a b c

a b c       Từ suy gặp

giả thiết: abca b c  2 ta đặt:

; ;

y z z x x y

a b c

x y z

  

  

+ Nếu đổi a b c, ,  1 1; ;

a b c

 

  

  ta có: abca b c  2 tương

đương với ab bc ca  2abc1 Vì gặp giả thiết

2

ab bc ca   abc ta đặt a x ;b y ;c z

y z z x x y

  

  

Một cách tổng quát: Khi gặp giả thiết: 1 1

kakbkc 

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

     

3 2

3

k  k  k  k a b c   k ab bc ca abc Suy

ra tồn số x y z, , cho

1 1

; ;

x y z

ka  xyz kb  xyz kc xyz Như vậy: Với

các số thực dương a b c, , thỏa mãn: 1 1

kakbkc  Thì tồn

tại số m n p, , 0 cho:

; ;

m n p m n p m n p

a k b k c k

m n p

     

     

+ Nếu a b c, , 0 ab bc ca abc   4 ta đặt

2 2

; ;

m n p

a b c

n p p m m n

  

  

+ Nếu a b c, , 0 a b c   1 4abc ta đặt

; ;

2 2

n p p m m n

a b c

m n p

  

  

5 Khi gặp giả thiết: xyz1 Ta chọn phép đặt:

2 2

; ; 1;

a b c

x y z abc

b  c  a   

2 2

; ;

a b c

x y z

bc  ac  ab 

; ;

x y z

a b c

y z x

   …

6 Đặt: x  a b c y;   b c a z;   c a b đặt

; ;

x a b y b c z c a…

Ví dụ 1: Cho x y z, , số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y z xyz Tìm giá trị lớn biểu thức

2 2

1 1

1 1

P

x y z

  

  

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Từ giả thiết x  y z xyz, ta có 1 1

xy yz zx Đặt

1 1

; ; c , ,

a b a b c

x y z

    

Giả thiết trở thành: ab bc ca  1 ,

2 2

1 1

a b c

P

a b c

  

  

Để

ý rằng:         

1 ; ,

a   a b ac b   ba b c c   ca c b

Lúc P có dạng

        

a b c

P

a b a c b a b c c a c b

  

     

a a b b c c

a b a c a b b c c a c b

  

      Theo bất đẳng thức Cơ si,

ta có:

2

a a b b c c

P

a b a c b a b c c a c b

 

       

     

  hay

3

P

Dấu = xảy

3

abc  x yz Vậy max

P Giá trị lớn đạt x yz

Ví dụ 2) Cho x y z, , 0 xy z 3xyz.Chứng minh:

     

3 3

2 2

yz zx xy

x z y  y x z  z y x  Lời Giải:

Đặt

     

3 3

2 2

yz zx xy

P

x z y y x z z y x

  

   , đặt

1 1

; ;

a b c

x y z

   Từ giả thiết ta có a b c, , 0 ab bc ca  3 Lúc dễ thấy

3 3

2 2

a b c

P

b c c a a b

  

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

 

3

2

9

2

2

a

b c a a

b c   ,  

3

2

9

2

2

b

c a b b

c a   ,

 

3

2

9

2

2

c

a b c c

a b   Cộng vế ba bất đẳng thức chiều ta có

   2 2

9P3 ab bc ca  6 a b c Mặt khác ta có kết quen thuộc:

2 2

a b c ab bc ca  kết hợp với ab bc ca  3 suy P1 Vậy minP1 Giá trị nhỏ đạt x yz1

Ví dụ 3: Cho a b c, , độ dài cạnh tam giác Chứng minh rằng:

a b c b c a     c a babc

Lời giải:

Đặt , ,

2

x y z

xa b c y    b c a z   c a b a b c     Từ ta

suy ; ;

2 2

z x x y y z

a  b  c  Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng: xyyzzx8xyz Đây bất đẳng thức quen thuộc ( xem 1)

Ví dụ 4. Cho x y z, , 2 1 1

x y z  Chứng minh

x2y2z21

(Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Lam Sơn Thanh Hóa năm 2005-2006) Giải:

Với giả thiết x y z, , 2, ta nghĩ đến việc đặt ẩn phụ để đưa toán dạng đơn giản quen thuộc

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Với a b c, , 0 thỏa mãn:

1 1

1

2 2 2

a b c

a b c   a b c  Đến ta đặt tiếp

; ;

2 2

a b c

m n p m n p

a b c

      

   Ta có:

1 2 2

1

a n p m

a

m a a a m m n p

 

        

 Tương tự:

2

;

n p

b c

p m m n

 

 

Do bất đẳng thức trở

thành: 2m 2n 2p m nn pp m 8mnp

np pm m n      

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta

có:mnnppm2 mn.2 np.2 pm8mnp Bài tốn giải xong Đẳng thức xảy

1

m n p a b c x y z

          

Ví dụ 5. Cho a b c, , số thực dương thỏa mãn ab bc ca abc   4 Chứng minh rằng: ab bc ca3

Lời giải: Ta có:

   

4 12

ab bc ca abc    abc ab bc ca   a b c    ab bc ca   a b c  a 2b 2c 2 a 2b 2c 2 c 2a 2

          

1 1

1

2 2

a b c

   

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Suy tồn số dương m n p, , cho:a 2m ,b 2n ,c 2p

n p p m m n

  

  

Thay vào bất đẳng thức cần chứng minh ta

được: 2m 2n 2n 2p 2p 2m

n p pm  pm mn  mn n p 

2 m n n p p m

m p n p m n m p n p m n

   

      Sử dụng bất

đẳng thức Cauchy, ta

có:2 m n m n

m p n p mpnp

n p n p

mn mp  mnm p,

2 p m p m

np mn  npmn

Cộng ba bất đẳng thức lại theo vế, ta được:

2 m n n p p m m n n p m p

m p n p m n m p n p m n m n n p m p

  

     

        

BẤT ĐẲNG THỨC SCHUR

Cho x y z, , số thực không âm số thực dương t Khi ta có:

( )( ) ( )( ) ( )( )

t t t

x xy xz y yz yx z zy zx  (*)

Đây bất đẳng thức có nhiều ứng dụng tương đối chặt nhiều toán Bđt hệ BĐT Việc chứng minh (*) đơn giản: Giả sử:

 

(*) t( ) t( ) t( )( )

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Các bất đẳng thức suy từ BĐT SCHUR t 1 là:

1) a3b3c33abcab a b(  )bc b c(  )ca c( a)

2) a b c39abc4(a b c ab bc)(  ca)

3) abc(a b c b c a c  )(   )(  a b)

4) a2 b2 c2 9abc 2(ab bc ca)

a b c

     

 

5)

( )( )( )

a b c abc

b c caa b  a b b c c  a 

Các BĐT (4) (5) gọi BĐT SCHUR dạng phân thức t1 Ngoài cần ý biến đổi:

   2  

3 3

3

a b c  abc a b c   a b c   ab bc ca  

 .Hoặc:

   

3 3 2

3

a b c  abc a b c  a b c  ab bc ca  

Ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 1) Cho , ,a b c ba số thực không âm a b c  1 Chứng minh rằng: 9abc4ab bc ca  1

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Schur dạng:

a b c  39abc4(a b c ab bc ca  )(   ).Thay a b c  1 ta có:

 

1 9 abc4 ab bc ca  Dấu đẳng thức xảy có hai số

bằng

2 số

1

abc

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Lời giải:

Áp dụng BĐT Schur dạng phân số ta có:

2 2

2( )

abc

a b c ab bc ca

a b c

     

  Để chứng minh toán ta cần

chỉ ra: a b c 9abc a b c2 9abc a b c

      

  Theo bất đẳng thức Cơ si

ta có: a b c  33 abca b c  2 93abc2 Ta chứng minh:

abc Thật từ giả thiết ta có: ab bc ca abc   4 mà 2

3

ab bc ca   a b c Đặt t 3abc ta suy ra:

  2

3

3

t  t    t t   t Suy abc1 hay

3abc2 abc suy đpcm Dấu xảy a  b c 1

Ví dụ 3) Cho , ,a b c số thực không âm cho a b c  1 Chứng minh 4a3b3c315abc1

Lời giải: Ta có:

   2    

3 3

3 3

a b c  abc a b c   a b c   ab bc ca    ab bc ca 

 

Suy

 3 3  

4 a b c 15abc27abc 4 12 ab bc ca 

   

3 ab bc ca 12 ab bc ca

          Theo ví dụ ta có:

 

9abc4 ab bc ca  1 Từ suy ra:

     

27abc 4 12 ab bc ca  3 4 ab bc ca  1 4 12 ab bc ca  1

Hay  3 3

4 a b c 15abc1 Dấu đẳng thức xảy có hai số

2 số

1

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Ví dụ 4) Cho số thực không âm a b c, , Chứng minh rằng:

 2  

2 2 3

3

a b c  abc  ab bc ca  (Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 Trường chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An 2014)

Lời giải:

Đặt a2 x;3b2  y;3c2 z

Suy ra: a2 x b3;  y c3; z3a x b3;  y c3;  z3

, ,

x y z Bất đẳng thức cho thành:

 

3 3 3 3 3

3

x y z  xyz x y  y z  z x (1) Áp dụng bất đẳng thức Schur ta suy ra:

     

3 3

3

x y z  xyzxy xy yz yz zx zx

Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta có: xy x y2xy xy 2 x y3 Tương tự ta có: yz y z2 y z3 , zx z x2 z x3 Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta thu được:

       3 3 3

2

xy xy yz yz zx zx  x y  y z  z x (2) Từ (1) (2) ta có: 3  3 3 3

3

x y z  xyz x y  y z  z x

Hay a2b2 c233abc2 ab bc ca   Đẳng thức xảy

xyz hay abc

Ví dụ 5) Cho , ,a b c số thực dương có tổng 1.Chứng minh

 3 3  2 2

6 a b c  1 a b c

Lời giải: Ta có:

   2    

3 3

3 3

a b c  abc a b c   a b c   ab bc ca    ab bc ca 

 

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

 3 3  

6 a b c  1 3  ab bc ca  18abc1

 2  

1 18abc a b c 18 ab bc ca

        

 2  2  

1 18 abc5 a b c   a b c  18 ab bc ca 

 2 2  2  

1 a b c 18abc a b c ab bc ca

          

 2 2  

5 a b c 9abc ab bc ca

          Theo ví dụ ta có:

   

9abc4 ab bc ca   1 9abc 1 ab bc ca  0 Suy

 3 3  2 2

6 a b c  1 a b c Ví dụ 6) Cho , ,a b c số thực dương

Chứng minh 2  

2

a b c  abc  ab bc ca 

Lời giải:

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

a b c  22abc 1 4ab bc ca  

   2

2abc ab bc ca a b c

        , Áp dụng bất đẳng thức Schur dạng phân số ta có: a2 b2 c2 9abc 2ab bc ca

a b c

     

 

Hay : 9abc 4ab bc ca a b c2

a b c        Do ta cần chứng minh

9 2abc abc

a b c

 

  hay

9

2 abc

a b c

 

 

 

 

 

Nếu

S  hiển nhiên bất đẳng thức Nếu

2

a b c   , áp dụng

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

được:  

3

3 9 2

9

2

27 27

s s s

s s abc

a b c s

  

 



 

     

 

 

    với

sa b c 

Ví dụ 7) Cho , ,a b c số thực không âm thỏa mãn điều kiện

1

abbcca Chứng minh a3b3c36abc  a b c Lời giải:

Ta có:

   

3 3 2

3

a b c  abc a b c  a b c  ab bc ca  

  2

1

a b c a b c 

        Suy

  

3 3 2

6

a b c  abc abc a b c  a b c  Áp dụng bất đẳng thức Schur dạng: a b c  39abc4(a b c ab bc ca  )(   ) Ta suy ra:

  2   2 2

9abc a b c  a b c 1 4ss  a b c ss

 2 2

3

s s a b c s

      với sa b c.Dấu xảy

khi

3

ab c có hai số 1, số

BÀI TẬP RÈN LUYỆN CƠ BẢN Câu 1) Cho

4 x

   Chứng minh rằng: 4 x 4 x 2

Câu 2) Chứng minh với số thực khác khơng x y, , ta có:

2

2

x y x y

y  x  y x

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 2

2

x y x y

y x y x

 

     

 

Câu 4) Cho x1,y1 Chứng minh x y 1 y x 1 xy Câu 5) Cho hai số thực x y, khác Chứng minh rằng:

 

2 2

2 2

2

3

x y x y

y x x y

  



Câu 6 Cho số thực dương a b, Chứng minh bất đẳng thức sau:

2

3 2

2

2

a b a ab

a b a b



 

 

Câu 7) Cho số thực dương a b, Chứng minh bất đẳng thức 2

2

2

ab a b a b

ab a b

 

  



Câu 8) Cho a b c, ,   1; 2 a b c  0 Chứng minh rằng: a) 2

6

a b c  ;

b) 2

2abca b c 2abc2; c) 2

8

a b c  abc

Câu 9) Cho số thực không âm a b c, ,

Chứng minh a b c  3 a3b3c324abc Câu 10) Cho a b c, ,  thỏa mãn a b c  1

Chứng minh

2

a bc b ca c ab

a bc b ca c ab

  

  

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Câu 11) Cho số thực dương a b c, ,

Chứng minh     3

2 2

2

33

a b c a b c

abc a b c

   

 

 

Câu 12) Cho số thực a b c, , Chứng minh

 2 22  3 

3

a b c  a b b c c a

Câu 13) Cho số x y z, , 0 xyz1 Chứng minh x2y z 1 x1y1z

Câu 14) Cho số thực dương a, b Chứng minh:

2 2

2

4

ab b

a  b  a  b 

Câu 15) Cho số thực dương a b, Chứng minh bất đẳng thức 2

16 1

5

a b

b a a b a b

 

     

  

Câu 16) Cho số thực dương a b, Chứng minh bất đẳng thức sau:

 

2

2

3

2 a ab b

a b a b

 

 



Câu 17) Giả sử x y, số thực không âm thỏa mãn:

3 2

x  y xyx y Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

1

2

x x

P

y y

 

 

 

Câu 18) Cho a b c, , dương thỏa mãn: 6a3b2cabc.Tìm giá trị lớn

2 2

1

1

B

a b c

  

  

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Câu 19) Cho số a b c, , không âm Chứng minh

 2  

2 2 3

3

a b c  abc  ab bc ca  Đẳng thức xảy nào?

Câu 20) Cho số thực dương a b, cho ab 1 b Tìm GTNN

2

1

P a b

a b

   

HƯỚNG DẪN GIẢI;

Câu 1) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

 4 x 4 x2 4

4 4x 4x 4x 4x

        

Bất đẳng thức chứng minh

Câu 2) Bất đẳng thức cho tương đương với:

2

2

x y x y x y x y

y x y x y x y x

 

        

 

 2 2

2

2 x y x xy y

x y x y

y x y x x y

  

   

         

   

Mà 2x2xyy2x2y2xy2 0,x y, 0 nên ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy x y0 Câu 3) Bất đẳng thức cho tương đương với:

2

2

2 3

x y x y x y

y x y x y x

   

          

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

 2 2

2

2 x y x xy y

x y x y

y x y x x y

  

   

       

   

   

Mà 2x2xyy2x2y2xy2 0 với số thực x y, khác nên ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy x y0 Câu 4)

Đặt a x1,b y1 a0,b0 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

       

1 1

a  b b  a a  b b 

          

1 1

a b b a b a b b a

            

      2

1 1

a b b b a

       

Bất đẳng thức cuối nên ta có điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy a b hay x y2

Câu 5) Bất đẳng thức cho tương đương với:

 

 

 

2

2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

4

4

1 x y x y

x y x y x x y y

y x x y

x y x y

   

       

 

 

 

 

 

 

2

2 2

2 2

2 2 2

2 2

1

0

x y x y

x y

x y x y

x y x y

 

  

 

      

 

 

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

   

     

2

2 2 4 4 2 2

2

2 2

2

2 2 2 2

0

x y x y x y x y

x y x y

x y x y x y x y

   

     

 

Bất đẳng thức cuối nên ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy x y

Câu 6)

Dấu đẳng thức xảy với ab khi:

2

3 2

1

;

2

a b a ab

a b a b



 

 

Ta có biến đổi sau:

2 2

3 2 3 2

2 2

1

2 2

a b a ab a b a ab

a b a b a b a b

                        2

2 2

3 3

2

0

2

3

a b a b a b a b

a b

a b a b

a b a b

                     

 2  3  2 

3 2

a b  a b a b a b 

       

 2 3 2   4

2 2 0

a b a b a b ab a b a b

          (đpcm)

Câu 7) Ta có:  

 

2

2

a b a b ab

a b a b

        2 2

2 2

2

2

2

a b

ab a b

a b

ab

a b a b

ab ab                   

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

 2

2

2

2 1

0

2 2

2 a b

a b a b ab

ab

a b a b a b

ab

 

 



   

     

 

  



 

 

 2  2

2 2

a b  a b a b ab

      

 

 

Vì a b 2 0 nên ta cần chứng minh:

 2

2a2b a b 2 ab 0 (*)

   

   

2 2

2

2

2

a b

a b a b

a b a b



    

  

     

2

2

2 a b

a b ab a b

a b



    



Do bất đẳng thức (*) tương đương với:

 

     

2

2 2 2

1

0

a b

a b a b

a b

 

 

  

 

  



 

 

 2  2  2

2

a b  a b a b a b 

       

 

 

 2  2

2

a b  a b ab

    

 

 

   

 

 

 

4 2

2

2 2

2

0

2 2

a b ab a b

a b

a b ab a b ab

  

    

   

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Bất đẳng thức hiển nhiên đúng, ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ab

Câu 8) Vì a b c, ,   1; 2 nên có số bất đẳng thức hiển nhiên

a1a20,a1b1c10,a2b2c20

a) Do a b c, ,   1; 2 nên   

1 2

a a  a a

Tương tự ta suy ra: a2b2 c2 a  b c 66 (do a b c  0) b) Vì a b c, ,   1; 2 nên a1b1c10, hay

1 abc ab bc ca a b c       

1 abc ab bc ca

      (do a b c  0) (1)

Mặt khác a b c  0 nên a b c  2 0, tức

2 2

2 a b c ab bc ca      (2) Từ (1) (2) ta có:

2 2

2 2

1 2

2 a b c

abc     a b c   abc

Dấu đẳng thức có, chẳng hạn a 1,b1,c0

Ta phải chứng minh 2

2

a b c  abc

Khơng tính tổng qt, giả sử a b c

Từ suy 1

3

a b c

c   c

     

Sử dụng đánh giá này, ta 2abc2a b c 2a b

Suy 2 2 2  2

2

a b c  abca b c  a b  a b c 

Dấu đẳng thức có a  b c

c) Vì a b c, ,   1; 2 nên a2b2c20, hay

   

2

abc ab bc ca   a b c   

 

2

abc ab bc ca

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Từ (3) (2) ta có: abca2b2c2 8 0a2b2c2  8 abc

Dấu đẳng thức có, chẳng hạn a2,b 1,c 1 Câu 12 Cho a b c, , 0; 2 a b c  3

Chứng minh 3a3b3c33a1b1c19 Giải:

Đặt ax1,b y1,cz1 x y z, ,   1;1 xyz0

Ta có Pa3b3c33a1b1c1

x 13 y 13 z 13 3xyz

      

   

3 3 2

3 3

x y z xyz x y z x y z

          

Mà xyz0 nên

  

3 3 2

3

x y z  xyz xyz x y z xyyzzx 

Do  2 2

3

P x y z 

Vậy ta có 0x2y2z2 2 nên 3P9 Câu 9)

Giải:

Ta có: a b c  3a3b3c33a b b c   ca

Nên bất đẳng thức cho tương đương với: a b b c c a     8abc

2 2 2

6

ab ac bc ba ca cb abc

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

2 2 2

2 2

ab abc ac bc abc ba ca abc cb

         

 2  2  2

a b c b c a c a b

      

Vậy ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy a b c Câu 10)

Ta có a bc a a b c   bca b a c    nên bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

 

  

 

  

 

  

3

a a b c bc b a b c ca c a b c ab

a b a c b c b a c a c b

        

  

     

     

a ab ac bc b c b ba bc ca c a

          

   3   

2

c cacaab a b  a b b c c  a

2 2 2

6

ab ac bc ba ca cb abc

      

 2  2  2

a b c b c a c a b

      

Vậy toán chứng minh

Đẳng thức xảy

3

abc

Câu 11)

Bất đẳng thức cho tương đương với:

 3 3  2

2 2

2 9

6 27

a b c a b c

abc a b c

   

   

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

  2   2 

2 2

2 18

0 a b c a b c ab bc ca a b c ab bc ca

abc a b c

           

  

 

 2 

2 2

9

2 a b c ab bc ca a b c

abc a b c

 

 

        

 

 

 2  2  2   2 2 2

9

a b b c c a a b c a b c abc

   

            

 

Do a b 2b c 2c a 2 nên ta cần chứng minh

  2 2

9

a b c  a b c  abc

     

3 3 2 2 2

3

a b c abc a b c b c a c a b abc

           

Bất đẳng thức ta có:

  

3 3 2

3

a b c  abc a b c  a b c ab bc ca 

   2  2  2

0

a b c   a b  b c  c a 

 

 

Và

 2  2  2  2  2  2

6

a b c b c a c a b  abca b c b c a c a b 

Đẳng thức xảy a b c Câu 12) Giải:

Từ đẳng thức:

 2 22  3  1 2 2

3

2

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

 2 2  2 2

1

2

2 b c ca bc ba c a ab ca cb

         

Suy ta có điều phải chứng minh Câu 13)

Do xyz1 nên bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành:

x2yzxyz2 4xyyzzx

Do vai trò x z bất đẳng thức nên ta hồn tồn giả sử xz

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng a b 2 4ab, ta có

 2  

4

xyz  x yz

Sử dụng đánh giá này, dễ thấy chứng minh hoàn tất ta

      

x x yz  xy zx  y xz  , hiển nhiên theo giả sử

xz

Bài toán chứng minh xong

Đẳng thức xảy 1;

xz y

Câu 14) Viết lại bất đẳng thức thành:

2 2

2

4

ab b

a  b  a  b 

2 2 2

2 2 2 2

2 2 10 3

0

5

ab b a ab b a b

a b a b a b a b

  

       

   

     

2 2

2

0

4

a b a b a b a b

a b a b

   

  

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

    2   2

2 3

a b  a b a b a b a b 

       

 

  2 3   2 2

9 21 16

a b a a b ab b a b a b

         

Ta có điều phải chứng minh.Đẳng thức xảy ab

2

a b

Câu 15) Vì a b, 0 nên bất đẳng thức cho tương đương với:

2

1 1

4

a b

b b a a a b a b

 

       



 

 

 

2

2

4

4 ab a b a b b a

b a a b ab

 

 

   

 

     

 

2

2

4

0 a b a b a b

a b a b ab

  

  



a b 2 a b2 4ab a b4

       

 

Bất đẳng thức cuối nên có điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy a b

Câu 16) Bài tốn có chứa nên để xuất nhân tử chung dạng

a b 2 ta cần ý đến phép biến đổi

     

   

2 2

2

2

2

a b

a b a b

a b a b



   

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Khi đó:

 

2

2

3

2 a ab b

a b a b            2 2

3

2 2

a ab b

a b a b a b

a b                   2 2 2

a b a b

a b a b a b

 

 

   

 2  2    

2

a b  a b a b a b 

                     

2 2 2

2

2 0

2

a b

a b a b a b

a b a b



 

       

 

     Bất đẳng

thức cuối a b, dương.Đẳng thức xảy ab Câu 17)

 3    2

3 2

3

x y xyx y  xy  xy xy xy xy  xy

Đặt xya xy; b, ta có:

   

3 2

3 3

a  ab b a  a a  b a 

     2 1

1

3

x y a

a a b

a b x y xy

                 

Vì xy2 4xy;x y, 0 suy x y0 xy1

Với x y0

2

P

Nếu x y khác , ta có 1

0 x x y y           ,

min 1; max

0 y y P P x x            

Vậy min

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Câu 18) Đặt , ,

2

b c

xa y z x y z, , số dương x  y z xyz

Khi đó:

2 2

1 1

1 1

A

x y z

  

  

Ta có:

        

2

1

2

1

xyz yz y z

x x y z xyz x y x z x y x z x

   

      



Tương tự ta có:

       

2

1

;

2 2

1

x z x y

x y y z x z y z

y z

   

   

 

     

3

2 2

x y x z y z

A

x y x z y z

  

    

   Dấu đẳng thức xảy

khi: x yz 3a 3,b2 3,c3 3.Vậy giá trị lớn biểu thức A

2 đạt a 3,b2 3,c3

Câu 19) Đặt 3

; ;

a x b  y c z

Suy ra: a2 x b3;  y c3; z3a x b3;  y c3;  z3 x y z, , 0 Bất đẳng thức cho thành:

 

3 3 3 3 3

3

x y z  xyz x y  y z  z x (1)

Vì vai trị x y z, , bình đẳng nên giả sử x yz0

Khi đó: x x y2z y z2z x yxyyz0

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

  3

2

zx zx  z x (5) Cộng vế theo vế bất đẳng thức (3),(4),(5) ta được:xy x yyz y zzx z x2 x y3  y z3  z x3 3 (6) Từ (2) (6) ta có: x3y3z33xyz2 x y3  y z3  z x3 3

Hay a2b2c233abc2 ab bc ca  

Đẳng thức xảy x yz hay abc Câu 20) Giả thiết ta suy a 1

b

  Ta có P a 12 b2 a 2b

b a b a

     

Đặt

1

2

a

a b

t b



   Ta chứng minh: P9 Thật ta có:

  

3

2 2

2

2

2t t t t t t

t t t

  

 

     Do

2

t

  , dấu đẳng

thức xảy

4

1

2

b a

t

a b

  

  

 

 

BÀI TẬP RÈN LUYỆN NÂNG CAO

Câu 1) Cho x y z, , số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y z Tìm giá trị lớn biểu thức P xyz yzx zxy Câu 2) Cho x y z, , ba số thực dương xyz1

Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2 2 2

1 x y y z z x

P

xy yz zx

     

  

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

4

xy z yz x zx y P

xyz

    



Câu 4) Cho x y z, , số dương cho x  y z Tìm giá trị lớn

nhất biểu thức Px xy3 xyz.

Câu 5) Cho x y, 0 thỏa mãn điều kiện

2

x y xy

   Tìm giá trị nhỏ biểu thức P27x38y3

Câu 6) Cho x y z, , số thực dương xyz1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

        

3 3

1 1 1

x y z

P

x y z x x y

  

     

Câu 7) Cho x y z, , số dương thỏa mãn điều kiện x  y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức

 

3 3

3 3

2

8 8 27

x y z

P xy yz zx

y z x

     

  

Câu 8) Cho x y z, , ba số dương x  y z

Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2 2 2

1 1

x y z

P

y z x

  

  

  

Câu 9) Cho x y z, , ba số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2 2 2

1 1

x y z

P

y z x

  

  

Câu 10) Cho x y z, , ba số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2 2

3 3

2 2

x y z

P

x y y z z x

  

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Câu 11) Cho x y z, , 0 thỏa mãn điều kiện x  y z

Tìm giá trị bé biểu thức

2 2

2

2 2

x y z

P

x y y z z x

  

  

Câu 12) Cho x y z, , ba số thực dương x  y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức 21 21 21

1 1

P

x y z

  

  

Câu 13) Cho x y z, , ba số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz8 Tìm giá trị lớn biểu thức 2

1 1

x y z

P

x y z

  

  

  

Câu 14) Cho x y z, , số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức

     

3 3

1 1

1 P

x y z y z z x y

  

  

Câu 15) Cho x y z, , 0 thỏa mãn điều kiện x  y z Tìm giá trị lớn biểu thức 1

1 1

x y z y z x

P

x y z x y z

 

  

       

    

Câu 16) Cho x y z, , số thực dương Tìm giá trị lớn biểu thức:

        

x y z

P

x x y x z y y z y x z z x z y

  

        

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

5 5

1 1

3 6

P

x x xy y y yz z z xy

  

        

(1)

Câu 18) Cho x y z, , 0 thỏa mãn điều kiện x  y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức

 

P x y z xyyzzx

Câu 19) Cho x y z, , số thực không âm thỏa mãn điều kiện

2 2

3 x y z 

Tìm giá trị lớn biểu thức

2 2

2 3

x y z

P

x y y z z x

  

     

Câu 20) Cho x y z, , số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz8 Tìm giá trị nhỏ biểu thức

        

2

3 3 3

1 1 1

x y z

P

x y y z z x

  

     

Câu 21) Cho x y z, , số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

     

3 3

3 3

3 3

x y z

P

x y z y z x z x y

  

  

Câu 22) Cho x y z, , 0 thỏa mãn điều kiện x Y  z Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2 2 2

1 1

x y z

P

y z z x x y

  

     

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Tìm giá trị lớn biểu thức

3 3 3

1 1

2 6

P

x y y z z x

  

     

Câu 24) Cho x y z, , số thực dương cho xyz1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức

     

2 2

2 2

x y z y z x z x y

P

y y z z z z x x x x y y

  

  

  

Câu 25) Cho x y z, , số thực dương thỏa mãn điều kiện

x  y z

Tìm giá trị nhỏ biểu thức

3 3

1 1

x y z

P

y z x

  

  

Câu 26) Cho x y z, , ba số dương thảo mãn điều kiện 1 1

x yz 

1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2 2

2 2 2

8 14 14 14

x y z

P

x y xy y z yz z x zx

  

     

2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức

1 1

x y y z z x

Q

x y z

  

  

  

Câu 27) Cho x y z, , số thực dương cho x  y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức Px2 y2 z2xyz

Câu 28) Cho x y z, , 0 thỏa mãn xyz1

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Câu 29) Cho số thực dương a b c, ,

Chứng minh rằng:

 3  3  3

3 3

2

4 4

a b b c c a

c a b a b c b c a

  

  

     

Câu 30) Cho số thực dương a b c, , cho a b c  1 Tìm GTLN

   2  2  2

6

P ab bc ca  a a b b b c c c a

LỜI GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN Câu 1)

Từ điều kiện x  y z 1, ta có xyzx x yzyzxyxz Tương tự, ta có

        

P xy xz  yz yx  zx zy

Áp dụng bất đẳng thức Cơ si, ta có:

        

2 2

x y x z y z y x z x z y

P         hay

 

2

P xyz 

Như P2 Dấu xảy

1

x y x z y z y x

x y z z x z y

x y z

  



   



    

  



    

Từ ta có max

P xyz

Câu 2) Áp dụng bất đẳng thức Cơ si, ta có:

2 2 2

3

3 x y y z z x P

xy yz zx

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Hay P 3

xy yz zx

   Lại theo bất đẳng thức Cô si, ta có:

3

2 2

3 3 3

3

xy  yz  zx  x y z Do xyz1, nên suy P3 Vậy

minP3 3xyz1 Câu 3)

Đưa biểu thức dạng P z x y

z x y



 

   Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có:

   4

1

4 4

2 2 4

z z

z z

z

  

      

   2

1

2 2

2

2 2 2

x x x

x x

x

  

      

   3 3

1 1

3 3

2

3 3

y y y

y y

y

  

      

Cộng vế ba bất đẳng thứctrên ta có 1 1

2 2

P    

 

Vậy

1 1

max 4, 6,

2

P    x y z

 

Câu 4)

Viết lại biểu thức dạng: .4 13 .4 16

2

Px x y x y z

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

4 16

4 12

x y x y z

P x     hay 4 

3

x y z

P   Từ x  y z (2)

suy

3

P Vậy max

P

Câu 5) Theo bất đẳng thức Cơ si, ta có:

1

8

x x

   ;

1

27

y y

   ; 3

1

8 27

x y xy

   Cộng vế ta có:

3

2

8 27

x y x y xy

   

    

   

 

 

Do

2

x y xy

   , ta có:

3 27 x y

 

 

 

 

Suy P27x38y3432 (4)

Dấu (4) xảy x2,y3 Vậy minP432, giá trị nhỏ đạt x2,y3

Câu 6) Theo bất đẳng thức Cơ si, ta có:

     

3

1 1

3

1 8 1 8

x x y x x y

x y x y

   

  

    Hay

  

3

1

1 8

x x y x

x y

 

  

  Lập luận tương tự ta có:

  

3

1

1 8

y z x y

z x

 

  

    

3

1

1 8

z x y z

x y

 

  

  Cộng

từng vế ta có 1 

4

P  xyz .Dấu = xảy xyz1 Lại theo bất đẳng thức Cơ si, ta có: xy z 33 xyz 3 Từ suy

3 3

4

P  P Dấu (5) xảy x yz1 (do

1

xyz ) Như

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Câu 7) Theo bất đẳng thức Cô si, ta có:

3

3

2

8 27 27

x y y y x

P y         3 27

x x y y

y

  

 

 (1) Dấu (1) xảy

3

3

2

8 27 27

x y y y

P y         3 3 1; 1 27 2; 2; 27 x y

y x y

y y x x y y y                        

Lập luận tương tự ta có:

3

3

9

8 27

y y z z

z

  



 (2)

3

3

9

8 27

z z x x

x

  



 (3) Cộng vế (1),(2),(3) có:

   2 2

3 3

3 3

10 18

8 8 27

x y z x y z

x y z

y z x

     

   

   (4)

Do x  y z nên (4) có

 2  

3 3

3 3

30 18

8 8 27

x y z xy yz zx

x y z

y z x

                  

3 3

3 3

2

8 8 27

x y z

xy yz zx

y z x

      

   hay

1

P (5)

Dấu (5) xảy  đồng thời có dấu (1),(2),(3)

x y z

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Vậy

9

P  x yz1

Câu 8) Ta có:  

2

1

1

1

x y x

x

y y

 

  

  Theo bất đẳng thức Cơ si ta có:

2 y   y

Suy  

2

1

1

1 2

x y

x xy y

x x

y y



 

     

 Chứng minh tương tự, ta

có: 2 1

1

y yz z

y z

 

  

 ;

1

1

1

z zx x

z x

 

  

 suy

 

3

2

x y z xy yz zx

P      

Do 9xyz33xyyzzxxyyzzx3 Vậy minP 3 xyz3

Câu 9) Giải: Ta có:

2

2

1

x xy

x y   y

  Theo bất đẳng thức Cơ si, ta có:

2

1y 2y,

đó

2

2

1 2

xy xy xy y  y 

 suy ra: 2

x xy

x

y  

 Tương tự ta có:

2 ;

1

y yz

y

z  

 2

z zx

z

x  

 Cộng vế ta có

2

xy yz zx

P x y z  

1 x y z

    Do

 2 2  

3

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

   

9 xy yz zx xy yz zx xy yz zx

           (7) Vậy

3

min

2

P xyz

Câu 10) Ta có:

2

3

2

2

x xy

x

x y   x y Theo bất đẳng thức Cơ si,

3 3

2 3

x y xy y  xy  y x suy

2

3

3 2 3

2

2

x xy

x x y x

x y   y x   Tương tự, có:

3

2

2

y

y z z y z   ,

3

2

2

z

z x z

z x   Cộng vế ta có:

  2 3 2

3

P xyz  z y x z y x , hay  3 2

2

3

P  z y x z y x Theo bất đẳng thức si ta có:

3

xxzxz x z ,yyxyx3y x3 zzyzy3z y3

Cộng vế ba bất đẳng thức ta có:

xyz2xyyzzx3x z3 y x3 z y3 2

 2  

9 xyz 3 xyyzzx xyyzzx3 Do x  y z 3, suy

 3 2 3

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Câu 11) Ta có:

2

2

2

2

x xy

x

x y   x y Áp dụng bất đẳng thức Cơ si, ta có:

2 2

2

x y xy y  xy Suy  

2 2

3

2 4

3

2

2 3

x xy

x x xy

x y   xy  

Tương tự, ta có:  

2 2

3

2

2

y

y yz

y z   ,  

2

3

2

2

z

z zx

z x   Cộng theo vế

ta có:        

2 2

3 3

2

P xyz   xy  yz  zx 

  Theo bất đẳng thức Cơ si,

ta có: xxyy33 x y2 ,yyz z 33 y z2 2

,zzxx3 z x Từ

suy          

2 2

3 3

2 xyz  xyyzzx 3 xy  yz  zx 

 

(7) Dễ thấy dấu (7) xảy xyz1 Kết hợp với x  y z 1, ta

có:            

2 2 2

3 3 3

6 3 3 xy  yz  zx  xy  yz  zx 3

  Vậy

2

3

3

P  P hay minP 1 xyz1

Câu 12) Ta có:

2

2

1

1

x

x    x  Theo bất đẳng thức Cô si,

2

1 x   x

2

1

1

1 2

x x

x x

    



Tương tự, ta có: 21

1

y

y    ,

1

1

z

z    Suy

3

2

x y z

P    

(do x  y z 3)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Câu 13) Viết lại P dạng: 3 1

1 1

y P

x y z

 

     

  

 

Đặt

2 2

; ;

X Y Z

x y z

Y Z X

  

Khi có X Y Z, , 0 (vì xyz8) Lúc này:

1 1 1

2 2

1 1 X 1 Y 1 Z 1

x y z

Y Z X

    

     

2 2

2 2

2 2 2

Y Z X Y Z X

X Y Y Z Z X XY Y YZ Z ZX X

     

      Áp

dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz

   

 

2

2

2 2

1 1

1

1 1 2

X Y Z X Y Z

x y z XY Y YZ Z ZX X X Y Z

   

    

          ,

suy P0 Vậy maxP0x yz2

Câu 14) Ta có:

     

2

2

1

1

1 y

x z

P

x y z y z z x y

  

   Áp dụng bất đẳng thức

Cauchy- Schwarz

 

 

 

2

2 2

1 1

2

xy yz zx

x y z

P

xy yz zx xy yz zx x y z

 

 

   

 

 

    Do

1

xyz , nên ta có:

2

xy yz zx

P  

Lại theo bất đẳng thức Cơ si ta có: xyyzzx33xyz2 3 (do xyz1 Suy

2

P Vậy

P  x yz

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

2 2 1 1 1

1 2 2

1 1 1

x y z y z x

P x y z

x y z x y z x z y x z y

       

                   

             

Do x  y z 1, nên ta có:

1 1 1

2 2

P x y z

y z z z x x x y y

     

         

    

   

           

2 2

3

xy yz zx xy yz zx

z y z x z x y x y z y z x z x y x y

 



         

 

       

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:

     

2

xy yz zx xy yz zx

y z z x x y

z x y z x y x z x y x y

 

 

        

 

      

   

         

xy yz zx

y z z x x y z x z x z x y x y

 

        

  

 

Rõ ràng, ta lại có:  

2 xy yz zx

x y z

z x y

 

    

 

 

 

Dựa vào bất đẳng

thức hiển nhiên a b c  2 3ab bc ca  suy ra:

 

       

3 x y z xy yz zx x y z

z y z x z x y x y

 

        

  

 

Từ

1 x  y z ta có:

     

2 xy yz zx

z y z x z x y x y

 

  

 

  

 

suy P0

Vậy max

3

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Câu 16)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:

xyxz       x 2 y 2  x 2 z 2 x x y z2

   

   

x yx z x yz2

     Suy ra:

  

x x

x yz x x y x z

 

  

Tương tự, ta có:

  

y y

y zx y y z y x

 

  

,

  

z z

z xy z z x z y

 

  

Suy

2 2

x y z

P

x yz y zx z xy

  

  

1 1

2

P

y z z x x y

x x y y z z

   

  

Đặt

; ;

y z z x x y

a b c

x x y y z z

   , a b c, , 0

1

abc 1

2 2

P Q

a b c

   

  

        

   

2 2 2

2 2

b c c a a b

a b c

       



  

   

   

12

8

a b c ab bc ca

a b c ab bc ca abc

     



      

  

    

9

9

a b c ab bc ca

a b c ab bc ca ab bc ca

     



        Theo bất đẳng thức Cô si

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Câu 17) Ta có: x5x2 6 3x3x5x23x 3 x2x213x1

      

1 3

x  x x  x x x x

          

         2 

1 1 1 3

x  x x x  x x x x

            

Do x 0 x32x23x0, nên từ (2) suy x5x2 6 3x3

 

 

5

5

1

6 3

3

6

x x xy xy x

xy x

x x xy

        

 

  

Tương tự, ta có:

 

5

1

3

3 yz y

y y xyz



 

  

,

 

5

1

3

3 zx z

z z xyz



 

  

Suy 1 1

3 1

P

xy x yz y zx z

 

    

     

 

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta

có:

 

1 1 1

1 1

1 1 1

xy x yz y zx z xy x yz y zx z

 

 

       

   

           

   

1 1 1

3

1 1

1 1 xy x yz y zx z

xy x yz y zx z

 

       

     

       

1 1

1 1

P

xy x yz y zx z

    

      Vậy

maxP 1 x yz1

Câu 18) Ta có:    

2 2 2 2 2

9

2

x y z x y z x y z

xyyzzx         

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

 2 2

9

2 x y z P x y z    

 

2

2P x y x y z

       

Áp dụng bất đẳng thức Cô si, ta có: 2

3 3

x x x x

y y y y

z z z z

   

 

  

 

  

 

Suy : x2y2z22 x y z3xyz9.Vậy minP0x yz1

Câu 19)

Vì x2 1 ;x y2 1 ;y z2 1 2z, nên ta có:

     

2 2

x y z

P

x y y z z x

  

      Ta có:

1 1

1 1

1 1 1

x y z y z x

x y y z z x x y y z z x

        

          

                 

1 1

3

1 1

y z x

x y y z z x

    

    

     

 

3 1 1

2 1

y z x

P

x y y z z x

    

      

     

 

 

  

 

  

 

  

2 2

1 1

3

2 1 1 1

y z x

y x y z y z x z x

    

     

        

 

 

Áp dụng

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

 

  

 

  

 

  

2 2

1 1

1 1 1

y z x

y x y z y z x z x

  

  

        

 

        

2

1 1

1 1 1

y z x

y x y z y z x z x

     

           Để ý do:

2 2

3

x y z  , nên ta

có:y1xy1z1y z 1  x1z x 1

  2

3 x y z xy yz zx x y z

         

 2   2

1

9 6 2

2 x y z x y z xy yz zx x y z

             

 

  

 

  

 

  

2 2

1 1

2

1 1 1

y z x

y x y z y z x z x

  

  

         Vậy

1

max

2

P x yz

Câu 20) Nhận xét: a 1 a3  a222 Thật vậy,

 2

3 4 2

4 4a a 4a a 4a 4a a a

            Cũng có

thể chứng minh bất đẳng thức Cauchy:

      

2

2

2

3 1

1 1

2

a

a a a

a a a a       

       

 

Áp dụng vào tốn ta có:

         

2 2

3 3 3

4 4

4 1 4 1

x y z

P

x y y z z x

  

     

        

2 2

2 2 2

4 4

2 2 2

x y z

x y y z z x

  

      Đặt

2 2

; ;

4 4

x y z

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Khi x y z, , 0 xyz 8 a b c, , 0 abc1

Suy ra:

        

16 16 16

2 4 4 4

a b c

P

a b b c c a

  

      Hay

        

4

1 2 1 2

a b c

P

a b ab c c a

 

    

     

 

     

   

 

   

1 2 2

4

1 2 2

a c b a c b a b c ab bc ca

P P

a b c a b c ab bc ca abc

         

   

         

Ta có: a b c  33 abc 3a b c  2ab bc ca9 8  abc

1 8abc 2a b c 4ab bc ca a b c 2ab bc ca

               

Suy

3

P Vậy

P x yz

Câu 21) Ta có nhận xét sau: với x y z, , số thực dương, ta có:

 

3

3 2

3

x x

x y z

x  yz    (1) Thật vậy, (1)

   

3

3

3 2

x x

x y z x y z

 

  

   2  3

3 2 2

2

x x x y z y z  x x x z

        

 

   2  3

2 2 2

2x y z y z x y z

       Theo bất đẳng thức Cô si, ta có:

   2  3

2 2 2 2 2

2x 2x y z  y z 2 2x y z (3) Rõ ràng:

 2  2

2 y z  yz (4)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Tương tự (1), ta có:

 

3

3 2

3

y y

x y z y z x



 

 

(6),

 

3

3 2

3

z z

x y z

z  xy    (7)

Cộng vế (1),(6),(7) có P1 (8) Vậy minP 1 x yz0

Chú ý: Ta chứng minh:

 

3

3 2

3

x x

x y z

x  yz    nhanh

cách áp dụng bất đẳng thức Cau chy

  

2

3

2

2

1 1

2 1

a

a a a a

a a



       

 

thay a y z x

 

suy

   

3

3

3

2

x x

x y z x y z



    Lại có    

2 2 2

2

xy  x y suy

ra

 

3

3 2

3

x x

x y z x y z



 

 

Câu 22) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:

 2  2  2

2 2 2

1 1

1 1

x y z

x y z y z x z x y x y z

y z z x x y

 

              

       

 

Từ (1) x  y z 1, ta có:

 2  2  2

1

1 1

P

x y z y z x z x y



        Đặt

 2  2  2

1 1

Qx y z y z x z x y

x y z xy x y yz z y zx z x

        

     

1 xy x y yz z y zx z x

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

     

2 2

1 x y z y z x z x y

       Có thể thấy rằng:

     

2 2

4

x yz y zx z xy 

Từ có:

4

Q 

5

P Vậy

P Giá trị nhỏ đạt

1

;

2

xy z

Câu 23) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:

3 3 3

1 1

2 6

x y y z z x

 

   

       

 

3 3 3

1 1

3

2 6

x y y z z x

 

 

 

     

 

Hay 3 3 3 13 3 13

2 6

P

x y y z z x

 

    

     

 

Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có:

   

3 3 3

2 1 3 3

x  y   x y   y     xy y

 

3

2

x y xy y

     

Tương tự, có: y32z3 6 3yz z 1,z32x3 6 3zx x 1

Suy : 1

1 1

P

xy y yz z zx x

  

      Do xyz1, nên dễ

thấy 1 1

1 1 1

xy y

xyy  yz z  zx x  xyy  xyy xyy 

suy P1

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Câu 24) Theo bất đẳng thức Cơ si, ta có: y z yz

x

   (do xyz1)

Từ suy ra:    

2

2 2

2

2

x y z x x

x y z x x x

x y y z z y y z z



    

 

(1)

Lập luận tương tự, có:

 

2

2

2

y z x y y

z z x x z z x x

    ,   2 2

z x y z z

x x y y x x y y

 

  Cộng vế

2

2 2

y y

x x z z

P

y y z z z z x x x x y y

            Đặt ; ;

X x x Y  y y Z z z X Y Z, , 0 XYZ 1

Khi (4) có dạng

2 2

X Y Z

P

Y Z Z X X Y

 

    

  

 

2 2

2

2 2

X Y Z

P

XY ZX YZ XY XZ YZ

 

     

  

 

Áp dụng bất đẳng thức

Cauchy- Schwarz ta có:  

 

2

3

X Y Z P

XY YZ ZX

 



 

 2  

3

X YZ  XY YZZX P3 vàP 3 X Y Z 1 Vậy minP 3 xyz1

Câu 25)

Áp dụng bất đẳng thức Cô si, ta có:

      

2

3 1

1 1

2

y y y

y   y y y     

2 2 y y     2 x x y y    

tương tự, ta có: 2 2 y y z z   

, 2

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

2 2

2

2 2

x y z

P

y z x

 

     

  

 

Dấu (5) xảy đồng thời có dấu  x yz2 Ta chứng minh

2 2

2 2

2

2 2

x y z

y  z   x  

2 2

2 2

4

2 2

x y z

x y z

y z x

     

        

      

 

(do

6 x  y z )

2 2

2 2

2

xy yz zx

y z x

   

  Áp dụng bất đẳng thức Cơ si, ta

có: 2y24 y2y2 4 3 43 y4 3y3 4y 2 3 4

2

y y y

   Tương

tự có: 2 3

z   z z, 2 34

2

x   x z

VT

2 2

3

3

3 3

4 4

2 2

xy yz zx

y y z x x

   Áp dụng bất đẳng thức Cơ si, ta có:

3 2

3

x xy xy

x xy xy   ,

3 2

3

y yz yz

y yz yz   

2

3

z zx zx

z zx zx   VT

   

1

2

9 x y z xy yz zx

       

Mặt khác, ta có: 3xyyzzx  xyz2xyyzzx12 Từ suy P2 Vậy minP2 x yz2

Câu 26) Giải:

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

     

2

3 14 2

2

x y x y

x  y  xy  x y x y     x y

Như suy

2

2 2 3

3 14

x x

x y

x y xy

 

 

Tương tự ta có:

2

2 2 3

3 14

y y

y z

y z yz

 

 

2

2 2 3

3 16

z z

z x

z x zx

 



 

2 2

2 3

x y z

P

x y y z z x

  

   Theo bất

đẳng thức Cauchy- Schwarz ta

có:  

2 2

1

2 3

x y z

x y z

x y y z  z x    Theo bất đẳng thức Cô si bản, ta có: x y z 1

x y z

 

     

 

Do 1 1

x y z

    , nên có:

9

x  y z

5

P Vậy

5

P x yz

Câu 27) Do tính bình đẳng x y z, , nên giả sử x yz Kết hợp với x  y z suy 0 z Ta có Px2y2z2xyz

 2  

2

x y z xyz xy yz zx

        9 xy z 22z y x

   

9 xy z 2z z

     (1)

Hiển nhiên ta có:

2

3

2

x y z

xy     

    Do 0    z z 0, từ

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

   

2

3

9 2

2

z

P  z     z z

  Ta có

VP(2)  23  3 

2 2

z z z

z z z z z

    

           

 

   

2

3 1

9 18 16

2 4

z

z z z z z z



 

 

             

  2 

1

1 16

4 z z

 

   

  Do 0x1 nên suy P4 Vậy

minP4xyz1 Câu 28) Áp dụng đồng thức

xyyzzx  xyzxyyzzxxyz (*)

Ta có: Pxyzxyyzzxxyz2xyz Theo bất đẳng thức Cơ si ta có: xy z 33 xyz 3 (do xyz1).Lại có:

2 2

3

xyyzzx x y z  (do x y z2 2 1) suy ra:

   

3

P xyz   xyz

 

P x y z

       

2)Trước hết ta chứng minh xyyzzx  x1y1z1

Thật vậy, dựa vào (*) suy ra:

x y zxy yz zx xyz xy yz zx x y z

            

x y zxy yz zx xy yz zx x y z

             (do xyz1)

x y zxy yz zx xy yz zx x y z

            Do

1

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

      

3

x y z xy yz zx

xyz xyyzzx    xyyzzx  xyz   

  

3

xyz xyyzzx

 suy

xyzxyyzzxxyyzzx x y z 3.Theo bất đẳng thức Cơ si ta có:    

   

3

3

1 1

x y y z z x Q

x y z

  

 

   Vậy

minQ 3 x yz1 Câu 29) Giải:

Ta có:

 3 3   2 3    3

4 a b a b 3 a b a ab b a b 3 a b ab  a b

Suy 4a3b3   a b c 4a3b3  a b c Do

 3

34

a b a b

a b c

c a b

 



 

 

, đẳng thức xảy ab Tương

tự có

 3  3

3 4 4

b c b c c a c a

a b c a b c

a c a b c a

   

  

   

   

Suy

 3  3  3

3 3

2

4 4

a b b c c a

c a b a b c b c a

  

  

     

Đẳng thức xảy abc Câu 30) Ta có: 0a b c, , 1 suy

 2  2 2  2

2

a b a a b a b  aba a b Tương tự bất đẳng thức

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

   2  2  2

6

P ab bc ca  a a b b b c c c a

   2 2

4 ab bc ca a b c

      hay P2 Dấu xảy

khi

3

ab c

BẤT ĐẲNG THỨC ABEL VÀ ỨNG DỤNG

CÔNG THỨC ABEL VÀ ỨNG DỤNG 1. Công thức tổng Abel:

Giả sử a a1, 2, ,an b b1, 2, ,bn hai dãy số thực Khi ta có: 1 2 n n ( 2) ( 3) n n

a b a b  a b  b b S  b b S  b S

k k

S a a  a

Chứng minh: Thật thay ak SkSk1 với k2, 3, n ta có vế trái bằng:

1 2( 1) 3( 2) n( n n 1)

b S b S S b S S  b S S  VP Trường hợp n3 ta

có:ax by czxy a yz a b(  )z a b c    đẳng thức

quan trọng có nhiều ứng dụng giải toán Bất đẳng thức Abel:

Cho hai dãy số thực: a a1, 2, ,an b1b2 b3 bn Đặt

k k

S a a  a với k1, 2,3, n

   

min , , , n , max , , , n

m S S S M  S S S Khi ta có: 1 2 n n

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Ta có: a b1 1a b2 2 a bn n (b1b S2) 1(b2b S3) 2 b Sn n mà

1

k k

b b  nên

1 2 2

(b b m) (b b m)  b mn A(b b M) (b b M)  b Mn hay

1

mb  AMb MỘT SỐ VÍ DỤ:

Ví dụ 1: Cho x yz0 thỏa mãn: x3,xy5,xy z Chứng minh: x2y2z2 14

Lời giải:

Ta có: x2y2z214x3x3  y2y1  z1z1 Áp dụng cơng thức Abel ta có:

2 2

14 ( 2)( 3) ( 1) ( 1)( 1)

x y z   x  y x  y  z  z x y  z

x y ( x 3) y z ( x y 5) z 1x y z 6

               Dấu

bằng xảy x3;y2;z1

Ví dụ 2) Cho số thực dương x y z, , cho x3,xy6,xyz6 Chứng minh: xy z

Lời giải: Ta có:

   

6 1 2

3 3

x y z x x y

xy  z                  

         

1 1 1

3 3

x y z x x y x y z

       

             

       

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ bất đẳng thức Cơ si ta có: 2;

3

x y xy

   33 3

3 3.2.1 x y z xyz

    Suy đpcm Dấu xảy x3,y2,z1

Ví dụ 5: Cho x y z, , 0 cho x2y3z

1, 3,

x xy xy z Chứng minh:6xyyzzx11xyz Lời giải:

Ta cần chứng minh: 1 11

x y z  Ta có:

11 1 1 1 1

1

6 3

x y z

x y z x y z x y z

    

            

 

     

1 1 1

1

2 x x y x y z

x y y z z

   

          

   

   

Dấu xảy x3,y2,z1 Ví dụ 3: Cho số thực khơng âm x y z, , cho

1, 5, 14

x xy xy z Chứng minh: x y z6 Lời giải:

Tacó:

   

1 1 1

1 2 3

x y z

x x y x y z

   

            

   

1 1 1

.1 14

1 2 3

   

      

   

   

Ta suy

 2 1 3 1 32 36

1

x y z

x y z          

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Ví dụ 4: Cho số thực dương ab1,a3,ab6,ab6c Chứng minh: a b c  4

Lời giải:

Ta cần chứng minh: a b    1 c Ta có:

       

3 3 6

3

1

c c

c b a b b a b

a b a b a ab ab a

   

               

   

 

3 2(b 1) a b a b

        Dấu xảy

3, 2,

a b c

Ví dụ 5: Cho số thực dương a b c, , cho

0 ,

9

9

a b c c b

a

c b

c



    

 

  

  

 

 

Chứng minh: a b c Lời giải:

Ta có: 9  2

4

b b

a b a c

c c c

   

           

   

 

9

9

4

3 2 2

3 2

b b

a

c c c c c

 

  

 

 

         

 

 

 

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Ví dụ 6) Cho số thực a b c, , cho

1

2

2

3

a b c

c b

c a b



     

     

  

 

Chứng minh:

1 1

6

abc  

Lời giải:

Ta cần chứng minh: 1 1 1

3

ab   c Tacó:

1 1 1 1 1

1

3 2

1 1 1 1 1

1

3 2

a b b

c a c b a c b c

a c b a c b c

a b b

       

               

       

   

      

          

   

   

   

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz Ta có:

1 1 1

3,

3 c 2 c

c c

a b a b b b

      

  

, ta có

1 1 1 1

2 1

3 c a b a b a b

   

           

   

Ví dụ 7) Giả sử a b c, , số thực dương thỏa mãn:

3

a b c

c b a b c

  

 

      

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Tìm GTNN ( 1)

( 1)( 1)( 1) ab a b c ab Q

a b c

   



  

(Trích đề thi vào lớp 10 Trường chuyên KHTN- ĐHQG Hà Nội) Lời giải:

Ta có:

     

( 1)( 1)( 1) 1

abc ab ac a abc bc ba b abc ca cb c a b c Q

a b c a b c

          

   

     

Ta chứng minh:

1

0 1 1 1 12 3(1 ) 3( 1) 2(1 )

a b c c b a

a b c c b a

  

         

        

Hay

1 1

(3 ) (3 2)

4( 1) 3( 1) 3( 1) 2( 1)

c c b

c b b a

   

         

   

   

3 1

2(1 )

c b a

a

      

 Rút gọn ta thu được:

  2 1  

(3 1)

(3 )

12( 1)( 1) 6( 1)( 1) 2( 1)

a b b c

c b c a b c

b c b a a

 

 

       

    

Điều hiển nhiên

BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI Một số kết quan trọng:

Cho số thực dương a b c x y z, , , , ,

a) a2b2c2ab bc ca

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ d) ax by cz  2a2b2c2x2y2 z2

e) 8a b c  ab bc ca9a b b c c    a

f) b c2 2a c2 2a b2 abc a b c(   ) g)

 2  2

1 1

a bc

a b a c

 



 

h)  

2

2 x y

x y

a b a b



 



i)  

2

2 2 x y z

x y z

a b c a b c

 

  

 

Chứng minh:

a) a2b2c2 ab bc ca  2a2b2c22ab bc ca  a b 2b c 2 c a 0 Bất đẳng thức Dấu đẳng thức xảy abc

b) Khai triển hai vế thu gọn ta quy câu a

c) Khai triển hai vế thu gọn ta đưa bất đẳng thức dạng:

ay bx 2 0 Dấu đẳng thức xảy a b

x  y

d) Khai triển hai vế thu gọn ta đưa bất đẳng thức dạng:

ay bx 2bz cy 2cx az 2 0 Dấu đẳng thức xảy

a b c

x  y  z Các bất đẳng thức c, d gọi bất đẳng thức

Bunhiacopxki cho số, số

e) Khai triển hai vế thu gọn ta đưa bất đẳng thức dạng:

a b b c c    a8abc bất đẳng thức theo AM- GM

(xem chứng minh phần Bất đẳng thức Cô si)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ g) Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki cho số ta có:

     

2

2 2 2

b b b c

a b a bc a bc a bc

c c c

      

           

     

 

suy

 2   

1 c

a bc b c

a b   

Tương tự

 2   

1 b

a bc b c

ac   

Cộng hai

bất đẳng thức chiều ta suy đpcm

h) Quy đồng rút gọn đưa bất đẳng thức cần chứng minh dạng:

ay bx 2 0

i) Áp dụng bất đẳng thức h) ta có:

 2  2

2 2 x y x y z

x y z z

a b c a b c a b c

  

    

  

Bất đẳng thức gọi bất đẳng thức Cauchy-Chwarz 1. Những kỹ vận dụng bản:

Ví dụ 1: Cho số thực dương a b c, , cho a b c  3 Chứng minh rằng:

1

2 2

a b c

a bcb acc ab Giải:

2 2

2 2

2 2 2 2

a a a b c a b c

a bc a  abca bcb acc ab a  abcb  abcc  abc

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz ta có:

 2

2 2

2 2 2

2 2

a b c

a b c

a abc b abc c abc a b c abc

 

  

      Ta cần chứng

minh:  

2

2 2

6 a b c a b c abc

 



  

  

3

ab bc ca abc a b c ab bc ca abc

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

thức Cơ si ta có: 3 2

3 ,

a b c   abc ab bc ca   a b c nhân vế bất đẳng thức dương chiều ta có đpcm Dấu xảy

1 ab c

Ví dụ 2: Cho số thực dương a b c, , Chứng minh rằng:

3 3 2

2 2

a b c a b c

a b b c c a

 

  

  

Giải: Ta có:

 

 

2

2 2

3 4 4

2

2 2

2 2 2

a b c

a a a b c

VT

a b a ab a ab b bc c ca a b c

 

     

      

Ta cần chứng

minh: 

 

2

2 2 2 2 2

2 2

2

3

a b c a b c

a b c ab bc ca

a b c

   

      

 

Điều

là hiển nhiên

Ví dụ 3: Cho số thực dương a b c, , Chứng minh:

     2

2 2

a  b  c   a b c 

Giải:

Ta có:      

2

2 2

2

2

b c b c

a b c  a     a     

   

   

Suy ra:

     

2

2 2

3

2 b c a b c   a     

 

 

Ta cần chứng minh:

       

2

2 2

3 2 2

2 b c

a      a  b  c 

 

 

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

 

  

2

2

3 2

2 b c

b c

  

   

 

 

 

Sau khai triển thu gọn ta được:

2 2

3

2

b c

b c bc



    Để ý rằng:

2

2

b c

bc



 nên bất đẳng thức trở thành: b c2 22bc 1 0bc12 0

Ví dụ 4: Cho số thực dương a b c, , Chứng minh:

        

3 3

2 2 2 2 2 2

1

2 2 2

a b c

a b c a b a c  b c b a  c a c b   

Giải:

Ta mong muốn xuất lượng: a b c 

Ta có:

 2 2  2 2 2 2  2 2 2

2a b 2a c  a b a a a c  a abac a a b c 

Từ suy ra:

    

3

2

2 2

2

a a

a b a c  a b c  Tương tự ta có bất đẳng

thức cộng lại suy điều phải chứng minh

Ví dụ 5: Cho số thực dương a b c, , cho ab bc ca abc   4 Chứng minh: a2b2c2    a b c 2ab bc ca   (Trích đề tuyển sinh vào lớp 10- Trường Chuyên KHTN- ĐHQG Hà Nội 2015)

Lời giải:

Ta viết lại giả thiết toán thành:

       

12 ab bc ca  4 a b c   8 a b c  2 ab bc ca  abc

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

1 1

1

2 2

a b c

   

   Ta có:

    

2 2

2 2

1

2 1

a b c a b c

a a a b c a b c

   

 

      

, Tương tự ta

có:

   

2 2

2

1

;

2

b c a a a b

b a b c c a b c

   

 

      Suy

 

 

2 2

2

1 1

1

2 2

a b c a b c

a b c a b c

    

   

    

 2 2  2

2

a b c a b c a b c

         hay

 

2 2

2

a b c    a b c ab bc ca  Dấu xảy

ab c

Ví dụ 6) Cho số thực dương a b c, , cho ab bc ca  1 Chứng minh rằng:   4

9

abc a b c   a b b c c a (Trích đề tuyển sinh vào lớp 10- Trường Chuyên KHTN- ĐHQG Hà Nội 2014)

Lời giải:

Sử dụng bất đẳng thức x2y2z2 xyyzzx Ta có:

 

4 4 2 2 2 2 2

a b b c c a a b b c b c c a c a a b  abc ab bc ca

Tiếp tục sử dụng bất đẳng thức: Cauchy- Shwarz giá thiết

ab bc ca   ta có:

 

 

2

2 2

2

2 2

1 1 1

a b c b c a

ab bc ca abc a b c

a b c a b c

 

        

 

Từ suy

 

4 4

a b b c c a abc a b c   Bây ta chứng minh:

      

2 5

9

abc a b c   abc a b c    t  t   t t 

 

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ với t abc a b c    Mặt khác ta có:

  1 2 1

3

abc a b c  ab ac bc ba ca cb   ab bc ca     t

Suy đpcm Dấu đẳng thức xảy

3

abc

Ví dụ 7: Cho số thực dương a b c, , Chứng minh:

2 2

1 1 a b c

a ab bc b bc ca c ca ab ab bc ca

 

 

    

         

Lời giải:

Ta muốn làm xuất hiện: ab bc ca 

Ta có:

    

2

2

2 2

1 c ab bc c ab bc

a ab bc a ab bc c ab bc ac ab bc

   

 

        Tương

tự với số hạng cịn lại ta có:

 

 

 

2

2

2

1 c ab bc a b c

a ab bc ac ab bc ac ab bc

 

 

   

     

Ví dụ 8: Cho số thực dương a b c, , Chứng minh:

2 2

2 2

ab bc ca a b c

a bc ca b ca ab c ab bc ab bc ca

 

  

       

Giải:

Ta muốn làm xuất hiện: ab bc ca 

    

2

2

2 2

( ) ( )

ab ab b bc ca ab b bc ca

a bc ca a bc ca b bc ca ab bc ca

   

 

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Từ suy ra:

     

2 2

2 2

( ) ( ) ( )

ab b bc ca bc c ca ab ca a ab bc VT

ab bc ca ab bc ca ab bc ca

     

  

     

Ta cần chứng minh:

  

2 2 2

( ) ( ) ( )

ab b bc ca bc c caab ca a ab bc  a b c ab bc ca 

3 3

( )

a b b c c a abc a b c

     

2 2

a b c

a b c

c a b

      Nhưng bất đẳng thức hiển nhiên theo bất đẳng thức Cauchy- Shwarz Ví dụ 9: Cho số thực dương a b c, , cho a b c  1 Chứng minh rằng: 3 a2 3 b2 3 c2

a b cb c ac a b

Giải:

Ta muốn làm xuất a b c 

   2

3

3

1

1

1

1

1

a c a c

a a a a ca

a b c a b c

a b c c

a

   

   

     

   

  

     

     

 

Từ suy

ra: 3 2 3 2 3 2 1

9 9

a b c a ca b ab c bc

a b c b c a c a b

     

    

     

Ta cần chứng minh: 1 1

9 9

a ca b ab c bc

ab bc ca

     

      

Nhưng điều hiển nhiên do:  

3

a b c ab bc ca     

Ví dụ 10: Cho số thực dương a b c, , cho abc1 Chứng minh rằng:

2 2

1 1

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Ta đặt ax b3,  y c3, z xyz3, 1 Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: 31 6 13 6 31 6

1x y 1y z 1z x 

Ta có:

     

4

2 2

2

3 2 2 2 2 2 2

3

2

1

1

1

1

z x z x

y y z x yz z x

x y x y z x y z

x y z x

y

 

   

 

 

 

  

       

     

 

Ta cần chứng minh:

 2 2  2 22 2 2 2

( )

z x yz z x x y z x y y z z x xyz x y z

           

Điều hiển nhiên theo bất đẳng thức a2b2c2 ab bc ca 

Ví dụ 11: Cho số thực dương a b c, , Chứng minh rằng:

3 3 3

1 1

a b abcb c abcc a abc abc

Do bất đẳng thức nên ta chuẩn hóa: abc1 Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: 3 13 3 13 3 13

1 1

a b  b c  c a  

Ta có:

     

2

2

2

3

3

1 1

1

1

1

1

c c

bc ca c c

a b a b

a b a b c a b c a b c a b c

a b

   

   

     

   

   

             

 

 

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Ví dụ 12) Với ba số dương x y z, , thỏa mãn xy z 1, tìm giá trị lớn

nhất biểu thức:Q x y z

x x yz y y zx z z xy

  

      (Trích đề

tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán TP Hà Nội – 2014) Lời giải:

Ta có: xyz  x x  y zyz  xyxz Chú ý rằng: Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki thì:

xyxz x y z x2  xyxz x y z x Từ suy ra:

 

x x x

x x yz x x y z x y z

 

     

Tương tự

ta có: y y ; z z

y yzx  x y z z zxy x y z Cộng bất đẳng thức chiều ta suy Q1 Dấu đẳng thức xảy

1 xyz

Ví dụ 13) Cho số thực không âm a b c, , cho a0,b c 0

2 2

1

a b c  Chứng minh:

3 3

2 2

a b c

b bc c a



 

 

Lời giải: Ta có:

 

 

   

2

2 2

4 4

2 2

2 2 2

1

a b c

a b c

a b a c a b bc c a b c

a b bc c a b bc c a b a c

 

   

     

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

   

2

2 a b c a b c    

   

2 2

2

1

2

a b bc c a b c a b c

a b bc c



         

    

 

 

 

 2 2  2

2

3 3

a a b c a a

 

   Bây ta chứng minh :

   

2

2

2 2

2 2

2

3 a a a a

a  a         Theo bất đẳng

thức Cauchy cho số ta có: 2

2

a    a Dấu xảy

chỉ 2,

ab c Ta chứng minh:

 2  2

3 2 2

2 a  a   a  a   a a 

 

Bất đẳng thức

Ví dụ 14) Cho số thực x y, cho x y2 22y 1 Tìm GTNN, GTLN

3

xy P

y



 (Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Trường

chuyên – KHTN- ĐHQG Hà Nội 2015) Lời giải:

Từ giả thiết ta suy y0

2

2 2

2

1

2 1 1

x y y x x

y y y

 

           

 

Đặt a 1

y

  Ta 2

1

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

 2

2

2

1

3

x x

P P x Pa P x Pa

a y

       

 

Theo bất đẳng thức

Bunhiacopxki ta có: xPa2 1P2x2a2 1 a2 Suy

2 2 3

4

3

P  P  P    P Với 3;

2 3

x y P ,

3

;

2 3

x y  P  Vậy GTLN P

3 , GTNN P

3



2. Kỹ thuật tách ghép

Để giải toán dạng người giải cần linh hoạt việc tách nhóm số hạng cho đảm bảo dấu tạo bất đẳng thức phụ quen thuộc

Ta cần ý bất đẳng thức quen thuộc sau: 1 1

4

a b a b

 

   

  

1 1 1

9

a b c a b c

 

    

   

Ví dụ 1: Cho số thực dương a b c, , Chứng minh:

2 2

bc ca ab a b c

a b c b c a c a b

 

  

     

Giải:

Ta có: 1 1

2a b c (a b) (a c) a b a c

 

    

        

Từ suy ra: 1 

2 4

bc bc bc

a b c

a b c a b a c

 

      

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Ví dụ 2: Cho số thực dương a b c, , Chứng minh:

2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )

3

( ) ( ) ( )

b c c a a b

b c a b c c a b c a a b c a b

  

  

        

Giải: Ta có:

2 2

2

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

b c b c b c b c

b c a b c b b a c c a b b a c c a b a c a

 

    

         

Từ suy

2 2

( )

3 ( )

b c b c

b c a b c b a c a

  

    

      

Ví dụ 3: Cho số thực dương a b c, , cho a b c  3 Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2

1 1

4a b c 4b c a 4c a b  Giải:

Ta có:

 2 2

2 2 2 2 2 2 2

9

4 ( ) ( ) ( ) ( )

a b c a b c

a b c a a b a c a a b a c

 

   

       

Suy

2 2

2 2 2 2

9

4 ( ) ( )

a b c

a b c a a b a c

 

     

     

Ví dụ 4: Cho số thực a b c, , cho a2b2c2 1.Chứng minh rằng:

2 2

3

1 1

bc ca ab a  b  c  

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Ta có:      

2 2

2 2 2

1

1 1 1

b c c a a b

bc ca ab

a b c a b c

    

      

       

Mặt khác ta có:

   

       

2 2 2

2 2 2 2 2 2

b c b c b c

a a b c a b a c a b a c

 

  

        Từ suy

 

   

2 2 2

2 1 2 2

b c b c

a a b a c

 



 

    

    

Suy điều phải chứng minh

Ví dụ 5:

Cho số thực dương a b c, , Chứng minh rằng:

2 2

1 1 b c c a a b

a bc b ac c ab a b c

  

    

  

Giải: Ta có:

 

  

 

       

2 2 2

2 2 2 2 2

b c b c

b c b c

a bc a bc b c c a b b a c c a b b a c

 



   

       

Từ suy :

       

2 2

2 2 2 2 2

1

b c b c b a

a bc c a b b a c c a b c a b c

   



   

        

        

Chú ý: Nếu ta thay a b c, ,  1 1, ,

a b c

 

  

  thu bất đẳng thức là:

2 2

2 2

( ) ( ) ( )

a b c b c a c a b

a b c

a bc b ca c ab

  

    

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Nếu phân tích:

2

2

( ) ( )

a b c bc b c

b c

a bc a bc

 

  

  thu bất đẳng thức mới:

2 2

( ) ( ) ( )

bc b c ca c a ab a b

a b c a bc b ca c ab

  

    

   Đây bất đẳng thức đẹp

và khó

Ví dụ 6: Cho số thực dương a b c, , Chứng minh rằng:

2 2

2 2

2 2

a b c

a  bcb  acc  ab 

Giải: Ta có:

 2

2 2

2 2 2

2 2 2

a b c

a b c

a bc b ac c ab a bc b ac c ab

 

   

       

Thay a b c, ,  1 1, ,

a b c

 

  

  ta thu kết quả:

2 2

2 2

bc ca ab

bc a ca b ab c 

Mặt khác ta có:

2

2

2

2

bc a

bc a   a bc nên bất đẳng thức viết lại

thành:

2 2

2 2

2 2

a b c

a bc b ac c ab  Thay  

1 1

, , , ,

a b c

a b c

 

  

  ta lại thu

được:

2 2 2 2

bc ca ab

a  bcb  acc  ab 

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

2 2

1 (2 )(2 ) (2 )(2 ) (2 )(2 )

a b c

a b a c  b c b a  c a c b 

Giải: Ta có

 2

2 2

2 2

2

1

(2 )(2 ) ( ) ( ) ( )

a a

a a a a

a b a c a a b c a bc a a b c a bc a a b c a bc

  

     

              

Từ suy ra:

2 2

2

1

(2 )(2 ) ( )

a a a a a

a b a c a a b c a bc a b c a bc

   

       

           

Áp dụng kết VD ta suy điều phải chứng minh

Ví dụ 8: Cho số thực dương a b c, , cho ab bc ca  3 Chứng minh rằng:

2 2

1 1

1 1

a  b  c  

Giải:

Ta có:

2

2

1

1

a

a   a  nên bất đẳng thức tương đương với

2 2

2 2

3

1 1

a b c

a  b  c  

2 2

2 2

1

3 3 3

a b c

a b c

   

   Ta có:

 2

2 2

2 2

4

3 3 ( ) ( )

a a

a a a a

a a ab bc ca a a b c a bc a a b c a bc



   

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

2

( )

a a

a b c a bc

 

   Tương tự với số hạng cịn lại ta có:

2

2

1

3 2

a a a

a a b c a bc

 

    

     

Ở ta sử dụng kết quả:

2

2

2

a

a bc

 



Ví dụ 9: Cho số thực dương a b c, , Chứng minh:

2 2

2 2 2

1

5 ( ) ( ) ( )

a b c

a  b c  b  c a  c  a b 

Giải: Ta có:

 

 

 

2

2

2 2 2 2 2

2

9

5 ( ) 2(2 ) 2(2 )

a a

a a

a b c a b c a bc a b c a bc



 

         

   

2 2

2

2 2 2

4

2(2 )

a a a a

a bc a bc

a b c a b c

   

 

   

Từ suy ra:

2 2

2 2 2

1

5 ( )

a a a

a b c a b c a bc

 

    

      

Ví dụ 10: Cho số thực dương a b c, , thỏa mãn: a b c  1 Chứng

minh:

3 3

ab bc ca

ab b c  bc c a  ca a b 

Giải: Ta có:

   

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Từ ta có:  

   

2

2

1 1

2

2 ab bc ca c ab b ab bc ca c ab b

 

  

  

    

Như vậy:

2

1

3 16 2 16 2

ab ab ab ab ab ab a

ab b c ab bc ca c ab b ab bc ca c ab

   

        

           

Từ suy ra: 2

3 16 2

ab ab ab a

ab b c ab bc ca c ab

 

      

      

3. Kỹ thuật thêm bớt

Ví dụ 1: Cho số thực dương a b c, , cho a2b2 c2 3 Chứng minh rằng:

1 1

3 2a2b2c

Phân tích: Nếu ta áp dụng trực tiếp bất đẳng thức:

 2

2 2 x y z

x y z

a b c a b c

 

  

  phần sau bị ngược dấu Để khắc phục ta

thêm bớt sau:

Xét 1

2

m ma m

a a

 

 

  ta chọn msao cho 2 m ma 0

1 2 m ma đơn giản số hạng Điều làm ta nghỉ đến m

Từ ta có cách chứng minh sau:

1 1 1

3

2 2 2 2 2

a b c

a  b  c   a b c 

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

2 2

2 2

2 2

a b c

a a b b c c

   

   Áp dụng bất đẳng thức:

 2

2 2 x y z

x y z

A B C A B C

 

  

  ta có:

 

 

2

2 2

2( )

a b c VT

a b c a b c

  

    

Ta cần chứng minh:  

 

 

2

2 2 3

2( )

2( )

a b c a b c

a b c a b c a b c

   

  

  

    

a b c2 6(a b c)

        a b c  32 0

Ví dụ 2: Cho số thực dương a b c, , cho ab bc ca  3 Chứng minh rằng:

2 2

1 1

1

2 2

a  b  c  

Phân tích: Xét:

2

2

1

2

m ma m

a a

 

 

  ta nghỉ đến chọn

1

m Khi ta có:

2 2

2 2 2

1 1 1 1

1

2 2 2 2 2

a b c

a   b   c      a  b  c  

Áp dụng bất đẳng thức:  

2 2 x y z

x y z

A B C A B C

 

  

  ta có:

 2

2 2

2 2 2

2 2

a b c

a b c

a b c a b c

 

  

      Ta cần chứng minh:

   

 

2

2 2 2

6

a b c a b c

a b c a b c ab bc ca

   

  

        Nhưng

đẳng thức Suy điều phải chứng minh

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

 

   

 

 

2

2

2

2

1

1 2 2

2

2

b c b c

a b c a b c

a

 

 

 

     

   

 

 

Từ cộng bất đẳng thức

cùng chiều ta suy điều phải chứng minh:

Chú ý: Với giả thiết a b c, , độ dài ba cạnh tam giác ta cần ý biến đổi để sử dụng điều kiện: a b c  0,b c a  0,c  a b

Ví dụ 3: Cho a b c, , độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng:

3 3

a b c

a b c   b c a   c a b  

Phân tích:

Ta viết lại: (3 )

3

a a m a b c

m

a b c a b c

  

 

    Ta chọn

1

m đó:

1

3 4(3 )

a a b c

a b c a b c

 

 

    Từ ta có bất đẳng thức cần chứng minh

được viết lại thành:

1 1

3 4 4

a b c

a b c    b c a    c a b    

1

3 3

a b c b c a c a b a b c b c a c a b

     

  

     

Ta có

 

  

 

2

2 2

3 2( )

a b c b c a a c b a b c

VT

a b c a b c a b c ab bc ca

         

  

         

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Ví dụ 4: Cho số thực dương a b c, , cho abc1.Chứng minh rằng:

2 2

1 1

3

1 1

a  a b  b c  c  Phân tích:

Ta lấy

2

2

1

1

m ma ma

m

a a a a

  

 

    để

2

1m ma ma phân tích thành: (xay)2 1m ma 2ma0 có nghiệm kép Hay

 

2

4 (1 )

3

m m m m m m

          Ta viết lại bất đẳng

thức thành: 2 2 2

1 3

a  a  b  b  c  c    hay

2 2

2 2

(2 1) (2 1) (2 1)

3

1 1

a b c

a a b b c c

  

  

      Áp dụng bất đẳng thức:

 2

2 2 x y z

x y z

A B C A B C

 

  

  ta thu được:

 

 

2

2 2

2( )

( )

a b c VT

a b c a b c

  



      Ta cần chứng minh:

 2  2 2 2

2(a b c) 3 3 a b c (a b c  ) 3  hay

a b c  26(ab bc ca  )9a b c  

Ta có: (ab bc ca  )2 a b2 2b c2 2c a2 22abc a b c(   )

2 2 2 ( ) 3 ( ) 3( )

a bc b ca c ab abc a b c abc a b c a b c

            Ta quy

bài toán chứng minh: a b c  26 3(a b c  )9a b c   Đặt

3( )

t a b c   t Ta có bất đằng thức trở thành:

 

4

2

6 27 54 27 54 ( 3) ( 6)

9

t

t t t t t t t t t t t

            

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Cho số thực dương a b c, , cho a2 b2c2 3 Chứng minh rằng:

2 2

1

2 3

a b c

a  b b  c c  a 

Một số cách thêm bớt không mẫu mực:

Ví dụ 5: Cho số thực dương a b c, , cho a b c  1 Chứng minh:

2 2

1

3 3 18( )

a b c

a  b  c  ab bc ca 

Giải: Ta có:

2

1

3 3 3

a a a

a

a a a

 

    

     Vì ta quy toán chứng

minh: 1

3 3 6( )

a b c

a  b  c  ab bc ca  

Ta có:  

       

2

2 2

1

3 3 3

a b c a

a a a b b c c a b c

 

  

        

Suy

 2 2  2

1

1

6( )

3

VT

ab bc ca

a b c a b c

   

 

     

Ví dụ 6: Cho số thực dương a b c, , cho a b c  1.Chứng minh:

1 1

2

1 1

b c a a b c

a b c a b c

  

 

    

 

  

 

Giải:

Do

1

a a

a b c



 

  nên ta viết lại bất đẳng thức thành:

3

b c a a b c

abc b c c a a b  Lại có: ( )

a a ab

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ chứng minh:

( )

ab c b c

 

 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Shwarz ta có:

 

 

2 2

( ) ( )

ab bc ca

ab a b

c b c abc b c abc a b c

 

   

   

Ta cần chứng minh:  

 

2

2

ab bc ca abc a b c

 



  toán quen thuộc

Ví dụ 7: Cho số thực dương a b c, , cho ab bc ca  1.Chứng

minh: 3

2

ab bc ca

a b c

b c c a a b

     

  

Giải:

Nhân vế với a b c  ý:  

2

ab a b

a b c ab

b c    b c Ta viết bất

đẳng thức cần chứng minh thành:

   

2 2

2 3

1

2

a b b c c a

a b c a b c

b c c a a b

        

  

Ta có:  

 

2

2 2

2

( ) ( ) ( )

ab bc ca a b b c c a

b c c a a b b b c c c a a a b a b c

 

   

          

Cuối ta chứng minh:  

   

2

2

1 3

1

2

a b c a b c

a b c

      

  

Nhưng 3   2

2 a b c a b c

 

     

  nên ta quy về:

 

   

2

2

1

1

4

a b c a b c

a b c

 

       

 

   Dành cho học sinh

4) PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

1) a b c, ,  1 1, ,

a b c

 

  

 

2) a b c, ,  ka kb kc, ,

b c a

 

  

 

3) a b c, ,  kb kc ka, ,

a b c

 

  

 

4)  

2 2

, , ka ,kb ,kc a b c

bc ac ab

 

  

 

5) a b c, ,  kbc kca kab2 , 2 , 2

a b c

 

  

 

Ví dụ 1: Cho số thực dương x y z, , cho xyz1 Chứng minh rằng:

2 2

1 1

1

1 1

x  x  y y z  z 

Phân tích: Nếu áp dụng trực tiếp bất đẳng thức:

 2

2 2 X Y Z

X Y Z

A B C A B C

 

  

  bất đẳng thức bị ngược dấu

Để không bị ngược dấu ta thay x y z, ,  bc ca ab2, 2 , 2

a b c

 

  

 

bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

4 4

4 2 2 2

a b c

a a bc b c b b aca c c c aba b  (*)

Bây áp dụng bất đẳng thức:  

2 2 X Y Z

X Y Z

A B C A B C

 

  

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

 2 22

4 2 2 2

a b c VT

a a bc b c b b ac a c c c ab a b

 



        Ta cần chứng

minh:

 2 22

4 2 2 2

a b c

a a bc b c b b ac a c c c ab a b

 



       

2 2 2

( )

b c a c a b abc a b c

      Nhưng kết quen thuộc Ví dụ 2: Cho số thực dương x y z, , cho xyz1 Chứng minh rằng:

1 1

(x1)(x2)(y1)(y2)(z1)(z2)

Phân tích:

Đặt x bc2;y ac2 ;z ab2

a b c

   bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

4

2

1

(2 )( )

a

a bc a bc

 

  Áp dụng bất đẳng thức:

 2

2 2 X Y Z

X Y Z

A B C A B C

 

  

  ta có:

 2 2 22

2

(2 )( )

a b c

VT

a bc a bc

  



   Ta cần chứng minh:

 2 22 2

2 a b c  (2a bc a)( bc)

2 2 2

( )

a b b c c a abc a b c

      Đây kết quen thuộc Ví dụ 3: Cho số thực dương x y z, , Chứng minh rằng:

2 2

3

x y z

xy  yz  zx 

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Đặt x a;y b;z c

b c a

   Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

2 2

2 2

3

a b c

a bc  b ac  c ab  Áp dụng bất đẳng thức

Bunhiacopxki ta có:

2

2 2

2 2

( )( )

( )( )

a b c a a a b a c

a bc b ac c ab a b a c a bc

      

        

          

 

Mặt khác ta có: 8a b c  ab bc ca9a b b c c    a Mặt

khác ta có: 2 

( )( ) ( )( )( ) 4( )

ab bc ca a

a b a c a b b c c a a b c

 

  

       Ta quy

toán chứng minh: a a b a c( 2 )( ) 2a b c a bc

 

   

 Mặt khác ta có:

2

2

( )( ) ( )

a a b a c a b c

a

a bc a bc

  

 

  Ta quy toán chứng minh:

2

( )

a b c

a b c

a bc



   



KỸ THUẬT ĐỐI XỨNG HĨA

Ví dụ 1: Cho số thực dương a b c, , Chứng minh:

2 2

3

a b c

a b  b c  c a 

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Ta có:  

 

 

 

2

2

2

( ) ( )

a a c a a c

a

a b a b a c a b a c

 

 

 

   

 

    

 

     

2( )

( ) ( ) ( )

a b c

a b c

a b a c b c b a c a c b

 

     

     

 

  

   

8 a b c ab bc ca

a b b c c a

   



  

Bây ta cần chứng minh:

  

          

8

9

a b c ab bc ca

a b c ab bc ca a b b c c a

a b b c c a

   

         

  

Nhưng kết quen thuộc:

Ví dụ 2: Cho số thực dương a b c, , Chứng minh:

2 2

a b c

a b  c  b c  a  c a  b 

Giải: Ta có:

 

  

 

  

2

2

2 2 2 2 2

a a b c a a b c

a

a b c a b c a b c a b c a b c

 

   

 

   

 

         

 

 

  

  

  

2

4

1

2 2 ( )

a ab a

a a b c

a b c a b c a b c a b c b a c

   

 

    

   

           

 

Ta cần chứng minh:   

  

2

4 9

2 ( )

a ab a

a b c a b c b a c

   



      Sau khai

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Ví dụ 3: Cho số thực dương a b c, , cho a b c  1

Chứng minh:

2

ab bc ca

ab bc  bc ca  caab 

Giải:

Ta có:  

  

2

a b a b

ab a b

a c a c a b

ab bc



 

  

 suy

 

       

 

  

2

2

2 2

( ) a a b abc a

a b a b a b

a b

a c a b a c a b a b b c c a

         

        

          

 

Ta cần chứng minh:

 

    

2

2

2 1

4

( )

a a b abc a

a a b abc a a b b c c a

 

    

 

      

  

a b ca b b c c ( a)

      Khai triển thu gọn ta quy về:

 2  2  2  2 2 2

2

ab a b bc b c ca c a  a b b c c a Nhưng bất đẳng thức hiển nhiên theo BĐT cô si:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Cho số thực dương a b c, , Chứng minh rằng:

1) 2 a 2 2 b 2 2 c 2 a b c

b bc c c ca a c ca a ab bc ca

 

  

       

2) 2 a 2 2 b 2 2 c 2 2a b c2 2 a ab b b bc c c ca a a b c

 

  

       

3) a23b2 3c234a b c  12 4)

3 3

2 2

( )

1 1

a b b c c a abc a b c

ab bc ca abc

 

  

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 5)

2 2

2 2

2 2

a b c

a b b c c a  với a b c  3

6) 1 

3 3

ab bc ca

a b c a b cb c ac a b   

7)

2 2

2 2 2 2 2

2 2

ab bc ca a b c

a b c b c a c a b

 

  

     

8) 12 12 12

2ab 12bc 12ca 1 với a b c  3

9) 3

2 2

a b b c c a a c b a c b

  

  

   Với a b c, , độ dài cạnh tam giác

10) 10) 2 2 2

2

a b c ab bc ca

b c c a a b a b c

 

   

     Với a b c, , độ dài

cạnh tam giác

11) 2 2 2 2 2 2

2

ab bc ca

a b  b c  c a  biết a b c, , 0 cho khơng có số đồng thời a2b2c2 2(ab bc ca  )

12)

4 4

a b c

a bc  b ca  c ab  biết a b c, , 0 cho

khơng có số đồng thời a b c  2

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP

1) 2 a 2 2 b 2 2 c 2 a b c b bc c c ca a c ca a ab bc ca

 

  

       

Ta có:

2

2 2

a a

b bc c  ab abcac Suy

 2

2

2 2 2

3 a b c a

ab abc ac ab ac bc ba abc

 

 

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Ta cần chứng minh:  

2

2 2

3

a b c a b c

ab ac bc ba abc ab bc ca

   



     

   2 2

3

ab bc ca a b c ab ac bc ba abc

          (Nhưng

hằng đẳng thức)

2) Ta có: 2

ab bc caa b c

Suy 2 a 2 2 b 2 2 c 2 2a b c2 2 b bc c c ca a c ca a a b c

 

  

       

3)      

2

2 2

1 3

3

b c b c

a b c a a

   

    

           

   

   

Từ suy      

2

2 2

4

3 b c

a b c a

   

       

 

 

Ta chứng minh:

           

2

2

2 2 2

4 3 3 3 3

3 b c

a a b c b c b c

   

 

             

 

 

 

Bất đẳng thức tương đương với:

 2    2 2 2

4 3  b c 1 3 b 3 c 3 4 4 b c 2bc2b2c9b 9c 3b c 27

 

 2 2

5 b c 3b c 8(b c) 8bc 13

        Ta viết lại bất đẳng thức thành: 5b2c22bc8(b c ) 3  bc120

Ta có b2c2 2bc,2b2c2b c 24b2c22b c 2 Nên

 2  2 2

5 b c 2bc8(b c ) 3  bc1 2(b c ) 8(b c ) 2  bc2bc3(bc1)

 2

2 b c 3(bc 1)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 4)

3 3

2 2

( )

1 1

a b b c c a abc a b c

ab bc ca abc

 

  

   

Ta có:

3 2

2 2

1

a b a b c

ab abc a b c

  Suy

 2 2

3 2

2 2 2 2 2

1

a bc b ac c ab a b a b c

ab abc a b c abc a b c bca b c a cab c a b

 

   

      

 2

2 2

2 2 2 a b c a b c

abc a b c bca b c a cab c a b

  

    

Ta chứng minh:

 2

2 2

2 2 2

( )

1

a b c a b c abc a b c

abc a b c bca b c a cab c a b abc

   



     

  2 2 2

1abc abc a b c(   )abc a b c bca b c a cab c a b Đây

là đẳng thức.Dấu xảy abc

5)

2

2 2

2

a a

a b  a  a b

Suy  

2

2 2

2

2 2 2

2 2

a b c

a a

a b a a b a a b

 

   

     Ta chứng minh:

 2 22

3 2

2 a b c

a a b

 



  

Hay  

2

2 2

4 4 3

3 2

2 a b c

a b c a b c

a a b

 

      

  

Ta cần chứng minh: a4b4c4 a3b3c3 với a b c  3 Ta chứng minh:

 4 4  3 3   4 4  2  2 2

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Để ý rằng:

 4 4  2 2 2 2 2 2 2  2 2 4 4  2 2

2 a b  a b  a b a b 2ab a b a b ab a b

Cộng ba bất đẳng thức chiều ta suy điều phải chứng minh: 6) Ta có:

1 1 1 1

3 ( ) ( ) 9

ab ab ab

a b c a c b c b a b b c b a b c a b b c

   

          

               

Tương tự ta có bất đẳng thức cộng lại thu được:

1 1

3 3 2

ab bc ca ab ab bc bc ca ca

a b c

a b c b c a c a b a c b c b a c a c b b a

 

            

             

 

1

3 3

ab bc ca

a b c a b c b c a c a b

     

     

7) Ta có

2 2

2 2 2 2 2

2 2

ab bc ca a b c

a b c b c a c a b

 

  

     

 2

2 2

2 2 2 2 2 2

2 4

a b

ab b b a b

a b c a b b c a b b c

    

     

          

 

Suy

2 2 2

2 2 2 2 2 2

4 4

b a b c b c a a c a b c

VT

a b b c b c c a a b c a

       

         

     

     

8) 12 12 12

2ab 12bc 12ca 1

Ta có:

2

2 2

1

2

c

ab   ab c c suy

 2

2 2 2 2 2 2 2 2 a b c

VT

a b c a b c a bc ab c

  

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

a b c

ab bc ca a b c a bc ab c a b c a b c a bc ab c

 

      

    

( )

ab bc ca abc a b c abc

        Theo bất đẳng thức Cơ si ta có:

3a b c  3 abc  3 abc1 điều phải chứng minh

9) Ta xét: (3 )

2

a b a m b mc

m

a c a c

   

 

 

Chọn m1 để xuất hiện:

2

a b a b c

a c a c

  

 

 

Khi ta có: Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng:

2 2

a b c b c a c a b

a c b a c b

     

  

  

Suy    

 

2

2

( )(2 )

a b c b c a c a b a b c VT

a b c a c a b c

         

  

      Đpcm

10)Ta viết lại bất đẳng thức thành:

2 2

1

1 1

2

a b c ab bc ca

b c c a a b a b c

 

      

    

 

 

2

2 2

2

a b c b c a a c b a b c

b c c a a b a b c

 

     

   

    

Ta có  

  

 

 

2

2 2

4

2

a b c a b c

VT

b c a b c a b c

   

 

     

11)Ta có:

2

2 2 2

2

ab ab a b ab

a b a b a b



 

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Ta quy tốn chứng minh: 22ab2 22bc2 22ca2

a b b c c a  Hay

 2  2  2

2 2 2

a b b c c a

a b b c c a

  

  

   Thật ta có:

 

 

 

 

2

2 2 2

4

4

2 2

a b c a b c

VT

a b c a b c ab bc ca

   

  

       Dấu xảy

ra ab c, 0 hốn vị 12)Ta có:  

4 4

a b c

VT a b c

a bc b ca c ab

 

      

  

 

2

4 4

a b c

a bc b ca c ab

 

    

  

  Ta chứng minh:

1

4 4

a b c

a bc b ca c ab

1 1

4 4 4 4

a b c

a bc b ca c ab

      

  

1

4 4 3

bc ca ab

a bc b ca c ab

   

   Ta có:

 

 

 

 

 

2

2 2 2 2 2 2

1

3

ab bc ca ab bc ca

VT

a b b c c a abc a b b c c a abc a b c

   

  