Phương pháp này lạ với 1 số bạn nhưng nó rất có ích trog một số bài toán BDT , nếu ta để ý và sử dụng khéo néo ta có thể làm bài BDT đó đơn giản rất nhiều .Dưới đây là 1 số dạng có thể [r]
(1)Các Chuyên Đề BDT Thi Đại Học
VD1 với dùng phương pháp vectơ bạn tự làm nhé Cho x,y,z số dương Chứng minh
Ta có
Tương tự tự với y,z ta cộng lại ta
VD 2;Cho a,b>2 và: a+b=8 Tìm giá trị nhỏ của: Vì a>2; b>2 nên có a-2>0 b-2>0
Theo BDT Cosi ta có:
Tương tự ta cộng lại suy MIN 320 VD3,cho x,y>0 và tìm
Ta có
Cho a số dương cho trước x,y dương thỏa mãn x+y=1 tìm Bài tập tự luyện
Bài cho a,b,c dương thỏa mãn Tìm Min
Bài cho a,b,c dương Tìm Min
Bài Cho a,b,c, số dương tìm Min của Bài cho a,b,c dương
Tìm Min
Bài ,cho a,b,c dương
Tìm Min
Bài ;Cho a,b,c>0 Chứng minh bất đẳng thức sau: a)
b)
c) Cho x,y>0 x+y=1 Tìm GTNN biểu thức: chuyên đề sử dụng tam thức bậc
A Nội dung
(2)Nếu: Nếu:
Trương hợp
Nếu:
Trong trường hợp
Tóm lại, việc sử dụng định lý thuận đảo tam thức bậc hai, xử lý điều kiện tồn nghiệm biệt thức ,… tỏ tiện lợi chứng minh BĐT mà nhận dạng
Ở ta nhắc lại tính chất sau để tiện sử dụng:
B Bài tập thí dụ
: Cho x, y hai số thực, CMR : [ct[\ + x^2 + 2xy + 2x + 6y + \ge
Có thể xem VT tam thức bậc hai x :
Vậy Cho x,y: [ct[\
+ x^2 + 2xy + 2x + 6y + \ge
: Cho a, b, c số thực thoả mãn: CMR
Thay Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
Để chứng minh (2) ta xét tam thức bậc hai:
Bài 3: Cho 2n số thực CMR
(3)Ta có, với số thực x có:
Từ đa thức:
Nếu hiển nhiên BĐT cho
Nếu f(x) tam thức bậc hai x Do nên
Vậy BĐT cho CM hoàn toàn C Bài tập tự luyện
Bài 1: CMR a, b, c, d số thực thoả mãn: a+d=b+c m số không âm thoả mãn thoả mãn với x
: CMR BĐT
Bài 3: Giả sử A, B, C ba góc tam giác khơng cân C Biết phương trình Có nghiệm thực CMR góc B nhở 60
Bài ;Cho a,b,c số dương CMR;
Nếu a,b,c có số lớn thi BDT ln Với a,b,c nhỏ ta áp dụng BDT becnuli ta
Suy tương tự với (a+c) (a+b) ta cộng lại điều phải CM Bài 2; cho a,b,c dương xyz=1và a>2 CMR
Ta có suy
Tương tự vơi y,z sau ta cộng lại ta Ta phải
CM
Ta có
Suy \ dpcm
Bài cho a,b,c dương CMR
(4)suy \ à,
\ Suy
Bây gioe ta CM >2
Ta có tương tự với b.c ta cộng lại suy \>2 (2)
Vậy từ suy điều phải CM Bài cho a,b,c thảo mãn
CMR Ta đăt
Ta có \
Tương tự ta có \
\ Theo BDT sosi ta có
điều phải CM Bài tập tự luyện
Bài cho a,b,c dương CMR
Bài cho a,b,c dương a+b+c=1 Tìm Min
Bài cho a,b,c số thực thõa mãn điều kiện Max
Bài cho số dương
CMR
Bài cho a,b,c dương thỏa mãn Tìm Max Bài 6: Cho a,b,c>0 Chứng minh bất đẳng thức sau:
(5)d) e)
Bài Cho a,b,c>0 a+b+c=1 Chứng minh bất đẳng thức sau a)
b)
Bài Chứng minh tam giác nhọn ABC, ta có: c)
d) e)
Bài cho a,b,c, số dương thỏa mẵn CMR
Ta có suy
Ta xét ta có
Vậy ta tương tự với b,c sau cơng lại ta điều phải CM Bài 2;Cho a,b,c số dương chứng minh
BDT
Ta xét hàm số với x>0 suy
Suy f(x) hàm lồi với x>0 ta sử dụng BDT Jensen ta có suy điều phải CM Bài tổng quát lên sau
Bài cho a,b,c cạnh tam giác CMR Ta xét hàm số f(x)=xlnx hàm lồi với x>0 ta có
Ta chứng minh
Ta có cịn ta dùng BDT cosi
(6)Bài cho a,b,c dương
CMR (bài dùng bunhinha bạn thử nghĩ)
Ta xét hàm số xét bảng biến thiên với
Ta có ta có
Suy giá trị lớn
Tương tự ta ,
Cộng kại ta
Bìa 5;Cho a,b,c thảo mãn CMR
Xét
Thoe định lí lagrange ta tồn cho
TM
Suy nghiệm
Ta có suy điều phải CM
Bài tập tương tự 1, cho a,b,c dương CMR
2,cho a,b,c số dương CMR
3,cho x,y số dương thỏa mãn Tìm max
4, cho x,y,z số dương thỏa mãn CMR
5,cho x,y số dương Min
Chuyên đề đồng bậc hoá
Sử dụng giả thiết để biến đổi BĐT dạng đồng bậc để chứng minh Bài 1: Chứng minh với a,b>0 a+b=1, ta có:
Phân tích: - BĐT khơng đồng bậc - Vai trị a,b giống
(7)Bài 2: với a,b,c>0 a+b+c=1 Chứng minh : Phân tích: - BĐT khơng đồng bậc
- Vai trò a,b giống
- Dự đoán dấu xảy a=b=c= - Sử dụng giải thiết để đồng bậc hoá Hướng dẫn:
Bài tập:
1) Cho a,b,c>0, thoả điều kiện: [
CMR
2) Cho a,b>0, thoả điều kiện: a+b=2
Chứng minh :
3) Chứng minh với a,b,c: a+b+c=0, ta có:
Chuyên đề 6: Phương pháp lượng giác chứng minh bất đẳng thức.
A Nội dung:
Phương pháp thường sử dụng toán chứng minh bất đẳng thức mà số bị ràng buộc với điều kiện định chẳng hạn:
Nếu có hệ thức đặt
Nếu có hệ thức xy=1 đặt:
Ghi chú: Ở khơng ngoại trừ toán sử dụng hệ thức lượng tam giác với quan hệ lượng giác B Bài tập thí dụ:
: Cho bốn số thực x, y, u, v thoả mãn: CMR:
Khi :
Do
Nhiều tốn chưa thấy yếu tố để ta chuyển dạng lượng giác, cần qua trình biến đổi đặt ẩn phụ thích hợp chuyển dạng lượng giác thuận lợi cho q trình giải Ví dụ :
(8)(1)
Với ta sử dụng BĐT BunhiaCopski với số , nhiên dùng phương pháp lượng giác để giải
Các yếu tố để chuyển dạng lượng giác chưa xuất Chúng ta cần biến đổi để làm xuất yếu tố : (1) tương đương với
Để chứng minh (2), ta đặt :
Có thể lấy x, y hai góc nhọn Khi :
[/ct] sinx.siny+cosx.cosy<1[/ct]
BĐT cuối đúng, (2) CM Suy (1) CM
Nếu so sánh với cách giải với cách dùng BĐT cổ điển thật cách dài phức tạp Tuy nhiên cho ta hướng để nhìn nhận tốn
: Chứng minh Phân tích: - ĐK: -Cơng thức lượng giác liên quan
Lượng giác hoá Hướng dẫn:
Đặt: ; VT=
Bài Cho x,y,z>0; zy+yz+zx=1 Chứng minh :
Phân tích: - Đẳng thức lượng giác liên quan - Lượng giác hoá
Hướng dẫn:
Đặt: ; ABC l tam
giác nhọn
Bài ;cho a,b,c số dương thỏa nãm CMR
(9)Đặt
[,
Từ giả thiết ta có:
Suy ra,
với A,B,C ba góc tam giác Vậy
C Bài tập tự luyện
Bài 1:Cho x số thực thoả mãn CMR:
Bài 2: Cho x, y hai số thực thoả mãn 5x+12y=13 CMR Bài 3: Cho a, b, c ba số dương CMR
Bài 4: CMR với số tự nhiên khác khơng ta có BĐT
: BÀI 6) Cho 0<a,b,c<1 Chứng minh Bài 7) Chứng minh rằng:
Bài 8) Chứng minh rằng:
Bài 9) Cho a,b,c>0 abc+a+c=b Tìm GTLN
Bài 10;Cho a,b,c, dương 2006ac+ab+bc=2006 Tìm Max
Bài 12 ;cho a,b,c dương Tìm Min
(10)Bài 16 CMR Với a,b thỏa mãn
Bài 17 cho x,y,x thõa mãn Tìm Max,Min
Chuyên đề 7: Phương pháp đổi biến
Phương pháp lạ với số bạn có ích trog số tốn BDT , ta để ý sử dụng khéo néo ta làm BDT đơn giản nhiều Dưới số dạng dung phương pháp biết pp rộng chưa biết cách đặt (đổi biến ) khác khơng bạn thấy thiếu sót pp pos lên cho xem với
Dạng với ta đặt
VD cho a,b,c số dương CMR
Ta quy đồng lên ta
Đăt ta
đến dễ dành CM VD2; cho a,b,c dương có tích CMR
khi ta Ta dùng svac ta
Ta phải CM
điều với BDT nunhinha Các tự luyện
Bài cho a,b,c số dương abc=1 CMR
Bài 2, cho a,b,c số dương abc=1.CMR Dạng
với số cho a,b,c số dương ab+bc+ac+2abc=1 Ta đặt
VD1.cho a,b,c số dương CMR
Ta đặt suy
Và xy+xz+zy+2xyz=1
bài tóan chở thành cho x ,y,z thảo mãn xy+xz+zy+2xyz=1 CMR từ xy+xz+zy+2xyz=1 suy dùng cosi trực tiếp suy
(11)suy
Suy
bài tập tự luyện
cho x,y,z dương xy+xz+zy+2xyz=1 CMR 1,
2, 3,
Dạng cho a,b,c số thực dương Ta đặt
1
chuyên đề 8: Phương pháp tuyết tuyến
tiếp tuyến hẳn bạn thấy lạ có mà CM bất đẳng thức , Đừng nói bạn , pp hay dể sử dụng cố nhiều tốn khó dung đơn giản nhiều sau số dumhf phương pháp Những tốn dung phương pháp khác bạn nghĩ pos lên cho người tham khảo
VD1
Cho a,b,c d số dương thỏa mãn CMR
Ta xét hàm ta có x phải thuộc khoảng (0,1) Dễ dành nhận thấy dấu sảy
Ta viết pt tiếp tuyến f(x) tai Ta
Bây ta CM
Tương tự với a,b,c ta cộng lại suy điều phải CM VD2; cho a,b,c thỏa mãn a+b+c=1 CMR
Dễ dành nhận thấy dấu sảy
Ta xét với
Ta viết phương trình tiếp thuyến f(x) tai Ta
Ta xét
Tương tự với a,b,c ta công lại suy điều phải CM Bài tập tự luyện
(12)CMR
2,cho a,b,c số dương CMR
3, cho a,b,c dương a+b+c=1 CMR
4,cho a,b,c dương CMR 5,cho a,b,c dương CMR
6 cho a,b,c dương CMR
Chuyên đề 14:xét phần tử cực biên
Theo nghĩ khơng , nhận thấy BDT năm gần năm có dạng khác , giởi thiệu cho số bạn chưa biết phương pháp khơng khó nắm thật gặp lần thi phai gán toán bạn xem cho ý kiến với nhé!!
Bài 1;Cho a,b,c thỏa mãn CMR
Ta giả sử
tương tự ta có
Ta cần CMR
Ta đặt giả sử ta có suy
Suy dpcm
Bài cho a,b,c dương CMR
Ta có suy
Mặt khác ta áp dụng BDT BCS ta có
Suy dpcm
Bài cho a,b,c dương thỏa mãn abc=1 CMR
(13)Ta có abc=1 Ta cần CM Ta có
dpcm Bài tập tự luyện
1,Cho a,b,c dương thảo mãn CMR a,
B,
1,Cho a,b,c dương thảo mãn Tìm
Bài cho
CMR
Bài 3,cho a,b,c thỏa mãn CMR
Chuyên đề 12: Phương pháp quy nạp chứng minh bất đẳng thức A Nội dung.
Cơ sở phương pháp quy nạp để chứng minh bất đẳng thức với số tự nhiên thuộc tập D tập số tự nhiên N, mà phần tử nhỏ tập đó; ta thực ba bước quy nạp sau:
Chứng minh BĐT với
Giả sử bất đẳng thức với số tự nhiên , từ ta chứng minh bất đẳng thức cũng với n= k+1
Kết luận: Bất đẳng thức với số tự nhiên B Bài tập ví dụ.
Bài 1: Cho n số thực không âm: thoả mãn: CMR
Bg:
Với =1, suy (1) với n=1.
Giả sử (1) với Cần chứng minh (1) với
Cho k+1 số thực không âm thoả mãn ; Xét hai trường hợp:
Nếu: suy (1) đúng.
Nếu có số khác Ví dụ phải có số nhỏ 1, giả sử Xét k số sau:
Ta có tích k số 1, nên theo giả thiết quy nạp ta có:
(vì )
Vậy (1) với .
(14)Nếu số có số khơng bất đẳng thức hiển nhiên Do ta cần xét dương Xét n số thực dương sau đây:
Ta có: dương có tích Do theo Bài ta có
Vậy BĐT cho CM hoàn toàn. C Bài tập tự luyện
Bài 1:CMR với số tự nhiên n ta có bất đẳng thức: Bài 2: CMR với số tự nhiên n khác khơng, ta có BĐT: Bài 3: Cho a>-1 n số tự nhiên khác không CMR: Bài 4: CMR a số thực dương ta có BĐT:
(n dấu căn) Bài 5: CMR với số tự nhiên n>2 ta có:
Chuyên đề 13: Phương pháp ước lượng non, ước lượng già chứng minh bất đẳng thức. A Nội dung:
Cơ sở phương pháp thêm bớt hay nhiều số thực (mà ta biết dấu, biết tính chất chúng) vào biểu thức (ở biểu thức chứa nhóm hay vế BĐT cần chứng minh) Thông thường, sử dụng hai loại ước lượng non-già phổ biến sau:
1/ Ước lượng vài hạng tử tổng hay tích
Chẳng hạn:
D: tập xác định hàm y = f(x) 2/ Ước lượng phân số dương Chẳng hạn :
[ct]\
\begin{array}{l}
< \frac{A}{B} < \frac{A}{{B - 1}} < < A \\
\frac{1}{{1.2.3.4}} < \frac{1}{{3.4}};\frac{1}{{1.2.3.4.5}} < \frac{1}{{4.5}} ;\frac{1}{{1.2.3 n}} < \frac{1}{{n(n - 1)}} \\ [/ct]
(15)B Bài tập ví dụ:
Bài 1: Cho a, b, c, d số dương nhỏ CMR
Vì
C Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho a, b, c số dương có tổng CMR