Áp dụng lượng giác xây dựng các đẳng thức , bất đẳng thức đại số có điều kiện
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỒ VIẾT TÂN ÁP DỤNG LƯỢNG GIÁC XÂY DỰNG CÁC ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ CÓ ĐIỀU KIỆN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2009 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỒ VIẾT TÂN ÁP DỤNG LƯỢNG GIÁC XÂY DỰNG CÁC ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ CÓ ĐIỀU KIỆN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60.46.40 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Vũ Lương Hà Nội - 2009 MỞ ĐẦU Toán sơ cấp lĩnh vực mà kết chuyên gia sáng tạo tương đối đầy đủ hồn thiện Chính việc nghiên cứu để thu kết có ý nghĩa điều khó Khi đọc số tài liệu tham khảo gặp số toán đại số mà giải chúng chuyển thành toán lượng giác để giải Việc sử dụng phép biến đổi lượng giác đa dạng giúp có nhiều hướng chứng minh Các đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác phong phú chuyển thành đẳng thức, bất đẳng thức đại số có số lượng lớn tốn hay khó Tác giả luận văn tìm số điều kiện cho phép chuyển toán lượng giác tam giác thành toán đại số Tác giả trình bày số kỹ giải cho tốn đại số xây dựng đóng góp nhỏ luận văn Tác giả đưa công cụ cho phép chuyển đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác tứ giác lồi thành đẳng thức, bất đẳng thức đại số Nội dung luận văn chia làm hai chương Chương 1: Đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác tam giác xây dựng toán đại số Trong chương tác giả sưu tầm số dạng toán hay tam giác sử dụng toán để xây dựng đẳng thức, bất đẳng thức đại số có điều kiện Một đóng góp nhỏ có ý nghĩa chương xây dựng kĩ giải đại số cho toán xây dựng Từ toán đại số cách đặc biệt hóa tác giả đưa số tốn có hướng dẫn giải Chương 2: Đẳng thức, bất đẳng thức tứ giác lồi Tác giả chứng minh số đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác cho tứ giác lồi chuyển đẳng thức, bất đẳng thức thành đẳng thức, bất đẳng thức đại số có điều kiện Bản luận văn nghiên cứu lĩnh vực nhỏ toán học thu số kết có ý nghĩa Tuy nhiên luận văn chắn nhiều thiếu sót, nên mong góp ý thầy cô, bạn đồng nghiệp độc giả quan tâm đến nội dung luận văn để luận văn tác giả hoàn thiện Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Vũ Lương, người thầy hướng dẫn bảo tận tình tác giả trình làm luận văn Cảm ơn giúp đỡ thầy, cô giảng dạy khoa Tốn - Cơ -Tin học góp ý bạn đồng nghiệp II Mục lục Lời giới thiệu I Chương Đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác tam giác xây dựng toán đại số 1.1 Một số đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác tam giác 1.2 Xây dựng đẳng thức, bất đẳng thức đại số có điều kiện 11 1.3 Phương pháp giải đại số 20 Chương Đẳng thức bất đẳng thức tứ giác lồi 2.1 Đẳng thức lượng giác 2.2 Bất đẳng thức lượng giác 2.3 Xây dựng đẳng thức, bất đẳng thức đại số có điều kiện từ đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác tứ giác lồi Tài liệu tham khảo 43 43 49 62 79 Chương Đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác tam giác xây dựng toán đại số 1.1 Một số đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác tam giác Để chứng minh bất đẳng thức ta sử dụng số kết tính lồi, lõm hàm số lượng giác Kết 1.1 Với x, y, z π chứng minh x+y sinx + siny sin 2 sinx + siny + sinz x+y+z sin 3 π Kết 1.2 Với x, y chứng minh x+y cosx + cosy cos 1) 2 tanx + tany x+y 2) > tan 2 x+y 3)cotx + coty > cot π Kết 1.3 Với x, y, z chứng minh cosx + cosy + cosz x+y+z 1) cos 3 x+y+z tanx + tany + tanz > tan 2) 3 cotx + coty + cotz x+y+z 3) > cot 3 Xây dựng đẳng thức, bất đẳng thức đại số có điều kiện ta sử dụng số đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác tam giác Ví dụ 1.1 Với A, B, C góc tam giác ABC chứng minh B C A sinA + sinB + sinC = 4cos cos cos 2 B C A cosA + cosB + cosC = + 4sin sin sin 2 A B C sinA + sinB − sinC = 4sin sin cos 2 Ví dụ 1.2 Với A, B, C góc tam giác ABC chứng minh sin2A + sin2B + sin2C = 4sinAsinBsinC cos2A + cos2B + cos2C = −1 − 4cosAcosBcosC Ví dụ 1.3 Với A, B, C góc tam giác ABC chứng minh tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC(4ABC không vuông.) cotAcotB + cotBcotC + cotCcotA = B C A B C A cot + cot + cot = cot cot cot 2 2 2 Ví dụ 1.4 Với A, B, C góc tam giác ABC chứng minh √ 3 sinA + sinB + sinC cosA + cosB + cosC 2√ (4ABC nhọn) tanA + tanB + tanC > 3 √ cotA + cotB + cotC > (4ABC nhọn) Ví dụ 1.5 Với A, B, C góc tam giác ABC chứng minh tan2 A + tan2 B + tan2 C > 9(4ABC nhọn) Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức a2 + b2 + c2 > (a + b + c)2 Ta có 1 √ (tanA + tanB + tanC)2 > (3 3)2 = 3 π Dấu đẳng thức xảy A = B = C = Ví dụ 1.6 Với A, B, C góc tam giác ABC chứng minh tan2 A + tan2 B + tan2 C > B C A sin sin sin 2 √ A B C cot cot cot > 3 2 Chứng minh Ta có ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ B C A sin sin sin 2 A B C 8sin sin sin − 2 A+B A−B C − cos cos −160 4sin 2 C A−B C +1>0 4sin2 − 4sin cos 2 2 A−B A−B C + sin2 > 0( đúng) 2sin − cos 2 Dấu đẳng thức xảy A = B = C = Ta có π 3 A B C A B C cot cot cot cot + cot + cot A B C 2 2 cot cot cot 2 27 √ A B C > 3 ⇔ cot cot cot 2 π Ví dụ 1.7 Với A, B, C góc tam giác ABC chứng minh Dấu đẳng thức xảy A = B = C = B C A + sin + sin 2 A B C 2sin + sin + sin 2 cosA + cosB + cosC sin Chứng minh Ta có cosA + cosB = 2cos A+B A−B A+B C cos 2cos = 2sin 2 2 Tương tự ta có A B cosC + cosA 2sin cosB + cosC 2sin Cộng vế bất đẳng thức ta thu bất đẳng thức cần chứng minh π Dấu đẳng thức xảy A = B = C = Ta có A B C B+C B+C B −C + sin + sin = 2cos + 2sin cos 2 2 4 B+C B−C B+C − 2sin cos +P −2=0 ⇔ 4sin2 4 P = 2sin Ta có cos2 B−C 4 B−C − 4P + > ⇔ P + B = C Dấu đẳng thức xảy sin B + C = 4 40 = cos2 Ví dụ 1.8 Với A, B, C góc tam giác ABC chứng minh 35 A B C A B C + 2sin sin sin cot2 + cot2 + cot2 (1.1) 2 2 2 Chứng minh Ta có (1.1) ⇔ 35 + (cosA + cosB + cosC − 1) sin2 B C A 45 + − 2sin2 − 2sin2 − 2sin2 ⇔ 2 2 ⇔ P = sin2 A B C + sin2 + sin2 + 2 sin2 A + A + sin2 sin2 sin2 A B + B sin2 sin2 + + sin2 B C B C A P > sin2 sin2 sin2 + r 2 sin2 > A B C sin2 sin2 sin2 2 r B C A sin2 sin2 sin2 2 Ta thu Đặt t = P 1 15 17 51 > t + = 16t + − 15t > − = ⇔P > t t 4 π Dấu đẳng thức xảy A = B = C = Ví dụ 1.9 Với A, B, C góc tam giác ABC chứng minh + + >6 A B C sin sin sin 2 2 A B C 2B 2C 2A + cos + cos > sin + sin + sin cos 2 2 2 −3 + Ta có r C 51 C ... bất đẳng thức lượng giác tam giác xây dựng toán đại số 1.1 Một số đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác tam giác 1.2 Xây dựng đẳng thức, bất đẳng thức đại số có điều kiện ... đưa số tốn có hướng dẫn giải Chương 2: Đẳng thức, bất đẳng thức tứ giác lồi Tác giả chứng minh số đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác cho tứ giác lồi chuyển đẳng thức, bất đẳng thức thành đẳng thức, ... + cotz x+y+z 3) > cot 3 Xây dựng đẳng thức, bất đẳng thức đại số có điều kiện ta sử dụng số đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác tam giác Ví dụ 1.1 Với A, B, C góc tam giác ABC chứng minh B C