Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) CÔNG TH C L ây tài li u tóm l L NG GIÁC – PH NG TRÌNH C ÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: LÊ ANH TU N c ki n th c kèm v i gi ng Công th c l ng giác – PT l B N ng giác c b n thu c khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn v ng ki n th c ph n này, b n c n k t h p xem tài li u v i gi ng Bài t p 1: Gi i ph a )sin x sin ng giác – S ph c có th n m ng trình sau: c)sin 3x b)sin x sin 360 12 d )sin x Gi i x k x k 2 12 12 a )sin x sin k 12 x k 2 x 11 k 2 12 12 x 360 k3600 x 360 k3600 b) sin x sin 36 sin x sin 36 0 0 x 180 36 k360 x 216 k360 x 180 k1800 k 0 x 108 k180 2 3x k 2 x k 18 c)sin 3x sin 3x sin k 3x 5 k 2 x 5 k 2 18 x arcsin k 2 d )sin x k x arcsin k 2 Bài t p 2: Gi i ph ng trình sau: 2 ; b) cos x 450 a ) cos x cos d ) cos x c)cos4 x 4 Gi i 0 a ) cos x cos x b) cos x 450 k2 k x 450 450 k3600 x 450 k3600 cos x 450 cos450 k 0 0 x 45 45 k360 x 90 k360 3 3 3 cos4 x cos 4x k 2 x k , k 4 16 3 d ) cos x x arccos k2 , k 4 Bài t p 3: Gi i ph ng trình sau: c)cos4 x Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) a ) cot 3x cot 3 L ng giác – S ph c c) cot x 6 b) cot x 3 Gi i 3 3 3x k x k , k 7 b) cot x 3 x arctan 3 k x arctan 3 k , k 4 cot x cot x k x k x k , k c) cot x 6 6 6 6 Bài t p 4: Gi i ph ng trình: a) sin x 3cos x (1) b) 2(sin x cos x) cos x cos x 2 a ) cot 3x cot Gi i : Chia c hai v ph ng trình (1) cho 12 32 10 ta đ c: 3 sin x cos x 10 10 10 sin , cos Lúc ph ng trình (1) vi t đ 10 10 cos sin x sin cos x sin sin(2 x ) sin x t x k x k 2 x k 2 x k b) 2(sin x cos x) cos x cos x 2 Ta bi n đ i ph ng trình (2) sin x 2(1 cos x) cos x cd i d ng: k sin x ( 1) cos x a ; b 1 ; c a b ( 1) 2 c (3 2) 11 Suy a b2 c2 Bài t p 5: Gi i ph ng trình a) (1 3)sin x (1 3) cos x (3) Th c hi n phép bi n đ i 1 1 (3) ( )sin x ( ) cos x 2 2 2 t Ph 1 cos x; 2 ng trình (3) s đ 1 sin x 2 c vi t thành sin x.cos sin cos x x k 2 x k 2 x k 2 x 3 k 2 4 V y ph ng trình có hai h nghi m b) cos x sin 5x 3(cos5 x sin x) (4) Hocmai.vn – Ngôi tr b) cos x sin 5x 3(cos5 x sin x) ng chung c a h c trò Vi t (4) sin( x ) sin ,k T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) L ng giác – S ph c cos x sin x cos x sin x 3 cos x sin x cos x sin x 2 2 cos cos x sin sin x cos cos x sin sin x x x k 2 x k x k 2 6 12 cos(7 x ) cos(5 x ) 7 x (5 x ) k 2 12 x 3 k 2 x k 6 V y ph kZ ng trình có hai h nghi m Bài t p 6: Gi i ph ng trình sau: a )3sin 2 x cos x b)7 tan x 4cot x 12 Gi i a )3sin 2 x cos x cos 2 x cos x 3cos 2 x cos x cos x 3cos x cos x 3cos x k x *) Gi i ph ng trình: cos x x *) Gi i ph ng trình: 3cos x cos x Vì nên ph k ,k ng trình 3cos x vô nghi m K t lu n: v y nghi m c a ph ng trình cho x b)7 tan x 4cot x 12 1 k ,k i u ki n: sin x cos x Khi đó: 12 tan x 12 tan x 1 tan x tan x t t tan x , ta gi i ph ng trình b c hai theo t: 7t 4t 12 Bài t p 7: Gi i ph ng trình a) sin x cos x 2sin x cos x (1) b) tan x 3cot x 4(sin x cos x) (2) c) tan x cot x sin x cos x (3) Gi i: a) t sin x cos x t u ki n | t | Lúc sin x cos x t 1 t 1 ng trình (1) s có d ng t 1 t 1 t2 t (*) t V i t không tho mãn u ki n nên Khi ph Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) L ng giác – S ph c t 1 sin x cos x 1 x k 2 k sin( x ) 1 sin( x ) 4 x k 2 b) tan x 3cot x 4(sin x cos x) (2) k i u ki n: sin x.cos x x k (sin x 3cos x) 4(sin x cos x) sin x.cos x (*) (sin x cos x)(sin x cos x) 4(sin x cos x) sin x.cos x Ta có (2) (sin x cos x) (sin x cos x) sin x sin x cos x sin x cos x sin x Ta có (3) tan x x (4) (3) k (5) sin x cos x sin x cos sin x sin cos x sin x 2 3 x l 2 x x l 2 3 sin( x ) sin x l 6 x x l 2 x 4 l 2 3 Các giá tr c a x (5) (6) đ u tho mãn u ki n c a ph ng trình V y theo ph ng trình có hai h nghi m c) tan x cot x sin x cos x (3) k i u ki n sin x x k 3 tan x sin x 3(cot x cos x) 4 (sin x sin x cos x cos x) (sin x sin x.cos x cos x) cos x sin x ( )(sin x sin x.cos x cos x) cos x sin x 0 cos x sin x sin x sin x.cos x cos x Gi i (4) tan x x Gi i (5): (4) 5 k k t t sin x cos x cos( x) t 1 Suy sin x cos x Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t | t | (*) T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Ph ng trình (5) tr thành t L ng giác – S ph c t t 1 t t 1 t K t h p v i u ki n (*) t b lo i V i t ta có cos( x) cos( x) 4 l 2 , l 4 Các nghi m c a ph ng trình (4) (5) đ u tho mãn u ki n c a ph ng trình V y ph ng trình có ba h nghi m Bài t p 8: Gi i ph ng trình: sin x cos6 x x x a) cos sin sin x b) tan x cot x (1) sin x 2 Gi i : x x x x x x a)Ta có: cos4 sin (cos sin )(cos2 sin ) cos x 2 2 2 Ph ng trình (1) có d ng cos x sin x cos x 2sin x.cos x cos x(1 2sin x) x l 2 x 1 cos x k 2 sin x 5 k 2 k x cos x x k 2 V y ph ng trình có h nghi m sin x cos6 x tan x cot x b) sin x i u ki n: sin x sin x cos x ) Ph ng trình (2) 8(1 sin 2 x) 2sin x( cos x sin x 1 sin 2 x 6sin 2 x 4sin x 2 (8 6sin 2 x) sin x 2sin 2 x sin x 3sin x sin x 4sin x (sin x 1)(3sin 2 x 2sin x 2) sin x x k sin x 1 sin x L x k 3sin x 2sin x x k 1 x sin sin Các nghi m đ u tho mãn u ki n sin x V y ph ng trình có h nghi m Bài t p 9: Gi i ph ng trình : a) cos2 x 6sin x.cos x 1 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t b) sin3 ( x ) sin x 2 T ng đài t v n: 1900 58-58-12 k (2) - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) L ng giác – S ph c tan x sin x (3) tan x Gi i: a)Ph ng trình (1) 3(1 cos x) 3sin x cos x sin x c) 3 cos x sin x cos(2 x ) 2 x k 2 x k 2 k x k 2 x k 2 12 V y ph ng trình có hai h nghi m b) sin ( x ) sin x (2) Ta nh n th y sin( x ) có th bi u di n đ c qua sin x cos x Lu th a b c ba bi u th c sin x cos x ta s đ a ph ng trình v d ng thu n nh t bi t cách gi i ng trình (2) 2 sin ( x ) 4sin x sin( x ) 4sin x 4 (sin x cos x) 4sin x Ph +) Xét v i cos x x k 2 k Khi ph ng trình có d ng sin ( k ) 4sin( k ) mâu thu n 2 k 2 làm nghi m +) V i cos x Chia c hai v c a ph ng trình (2) cho cos3 x ta đ (tan x 1)3 4(1 tan x) tan x 3tan x 3tan x tan x 1 t t tan x ph ng trình có đ c đ a v d ng: V y ph ng trình không nh n x 3t 3t t (t 1)(3t 1) t x H nghi m tho mãn u ki n c a ph ng trình V y ph ng trình có nh t h nghi m c: k k x k cos x c) (3) i u ki n k tan x 1 x k cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x Bi n đ i ph ng trình v d ng : cos x sin x Chia c hai v c a ph ng trình (3) cho cos x ta đ c : tan x 1 tan x tan x 1 tan x tan x tan x tan x tan x tan x tan x (*) tan x sin x tan x (do tan x tan x vô nghi m) nên: Ph V y ph ng trình có m t h nghi m Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t ng trình (*) tan x x k Giáo viên Ngu n k : Lê Anh Tu n : Hocmai.vn T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam L I ÍCH C A H C TR C TUY N Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu n ng l c H c m i lúc, m i n i Ti t ki m th i gian l i Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i trung tâm LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN Ch ng trình h c đ c xây d ng b i chuyên gia giáo d c uy tín nh t i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam Thành tích n t ng nh t: có h n 300 th khoa, khoa h n 10.000 tân sinh viên Cam k t t v n h c t p su t trình h c CÁC CH NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N Là khoá h c trang b toàn b ki n th c c b n theo ch ng trình sách giáo khoa (l p 10, 11, 12) T p trung vào m t s ki n th c tr ng tâm c a kì thi THPT qu c gia T ng đài t v n: 1900 58-58-12 Là khóa h c trang b toàn di n ki n th c theo c u trúc c a kì thi THPT qu c gia Phù h p v i h c sinh c n ôn luy n b n Là khóa h c t p trung vào rèn ph ng pháp, luy n k n ng tr c kì thi THPT qu c gia cho h c sinh tr i qua trình ôn luy n t ng th Là nhóm khóa h c t ng ôn nh m t i u m s d a h c l c t i th i m tr c kì thi THPT qu c gia 1, tháng -