Chuyên đề bất đẳng thức, bất phương trình lớp 10 (lý thuyết + bài tập)

Chương BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH §1 I Tóm tắt lí thuyết Các khái niệm BẤT ĐẲNG THỨC Khái niệm (Bất đẳng thức) Cho hai số thực a, b Các mệnh đề “a > b”, “a < b”,“a ≥ b”, “a ≤ b” gọi bất đẳng thức Khái niệm (Bất đẳng thức chiều, trái chiều) Cho bốn số thực a, b, c, d Các bất đẳng thức “a > b”, “c > d” gọi bất đẳng thức chiều Các bất đẳng thức “a > b”, “c < d” gọi bất đẳng thức trái chiều Khái niệm (Bất đẳng thức hệ quả) Nếu mệnh đề “a > b ⇒ c > d”đúng ta nói bất đẳng thức “c > d” bất đẳng thức hệ bất đẳng thức “a > b” viết a > b ⇒ c > d Khái niệm (Bất đẳng thức tương đương) Nếu bất đẳng thức “a > b” hệ bất đẳng thức “c > d” ngược lại ta nói hai bất đẳng thức tương đương với viết a > b ⇔ c > d Tính chất Tính chất Điều kiện Nội dung a < b ⇔ a+c < b+c c>0 c bc a < b c < d ⇒ a + c < b + d a > 0, c > a < b c < d ⇒ ac < bd n ∈ N∗ n ∈ N∗ a > a>0 a < b ⇔ a2n+1 < b2n+1 a < b ⇔ a2n < b√2n √ a < b ⇔ a < √b √ a 0, b > có nhiều hướng đánh giá khai thác:   √ b b ab • a + b ≥ ab;a + b = a + + ≥ ; 2 a a 1 • a + 2b = a + b + b; a + = + + = a + + ; 2 2 250 CHƯƠNG BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH √ √ • + a + b ≥ 3 ab; + a = + + a ≥ 3 a; … √ √ 1 1 ≥ 3 ; ab = a · b · b; ab2 = a · b · b; • a2 + = a2 + + a 2a 2a d) Cô-si ngược dấu, với a, b, c dương thì: 1 1 1 ≤ √ ; ≤ √ ; ≤ √ , a + b ab a + a a + b + c abc Ví dụ Cho a, b hai số dương Chứng minh: Å ã 1 a) (a + b) + ≥ 4; a b √ √ 1 b) a2 + b2 + + ≥ 2( a + b) a b Lời giải 1 a) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai cặp số dương a, b , ta được: a b √ a + b ≥ ab > 0; 1 + ≥ √ > a b ab Å ã √ 1 Nhân theo vế hai bất đẳng thức trên, ta (a + b) + ≥ ab · √ = a b ab 1 b) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai cặp số dương a2 , b2 , ta được: a b … √ 1 a2 + ≥ a2 · = a; a a … √ 1 b2 + ≥ b2 · = b b b √ √ 1 Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên, ta a2 + b2 + + ≥ 2( a + b) a b Ví dụ Chứng minh a, b dấu a b a b + ≥ a, b trái dấu + ≤ −2 b a b a a b Lời giải Nếu a, b hai số dấu hai số dương nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số b a dương, ta được: … a b a b + ≥2 · = b a b a Å ã a b a b Nếu a, b hai số trái dấu tương tự − + − ≥ + ≤ −2 b a b a √ Ví dụ Chứng minh a2 + b2 = |a + b| ≤ √ Lời giải Ta có, với a, b a2 + b2 ≤ a2 b2 = |ab| ≥ 2ab hay 2ab ≤ a2 + b2 nên (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab ≤ a2 + b2 + a2 + b2 = 2(a2 + b2 ) = √ Vậy, a2 + b2 = |a + b| ≤ BẤT ĐẲNG THỨC 251 Ví dụ Chứng minh với ba số a, b, c ≥ a + b + c ≥ thức xảy nào? √ √ √ ab + bc + ca Dấu đẳng Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm, ta được: √ a + b ≥ ab; √ b + c ≥ bc; √ c + a ≥ ca Cộng vế bất đẳng thức trên, ta được: √ √ √ √ √ √ 2(a + b + c) ≥ 2( ab + bc + ca) ⇒ a + b + c ≥ ab + bc + ca Dấu bất đẳng thức xảy a = b = c ≥ Ví dụ Cho a, b dương Chứng minh bất đẳng thức: (a + b)(1 + ab) ≥ 4ab Dấu đẳng thức xảy nào? Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương: √ a + b ≥ ab > 0; √ + ab ≥ ab > √ Khi đó, (a + b)(1 + ab) ≤ 4( ab)2 = 4ab Dấu đẳng thức xảy ⇔ a = b = ab ⇔ a = b = BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Cho a, b, c dương Chứng minh bất đẳng thức (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc Dấu đẳng thức xảy nào? Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương: √ a + b ≥ ab √ b + c ≥ bc √ c + a ≥ ca Vậy nên √ √ √ (a + b)(b + c)(c + a) ≥ · · · ab · bc · ca = 8abc Dấu xảy a = b = c > Bài Cho a, b, c dương Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c) ≥ 16abc Dấu đẳng thức xảy nào? Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương: √ a+1 ≥ a √ b+1 ≥ b √ a + c ≥ ac √ b + c ≥ bc 252 Vậy nên CHƯƠNG BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH √ √ √ √ (a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c) ≥ · · · · a · b · ac bc = 16abc Dấu xảy a = b = c = Bài Chứng minh với a thì: a2 + √ ≥ a2 + Dấu đẳng thức xảy nào? Lời giải Ta có: (a2 + 2) + a2 + √ = √ = a2 + a2 + a2 + + √ a +2 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương: √ ≥ = a2 + + √ a2 + a2 + √ ≥ Dấu đẳng thức xảy Do đó, a2 + √ ⇔ a2 + = ⇔ a2 = ⇔ a = ± a2 + = √ a2 + Bài Chứng minh với a, b, c khác có bất đẳng thức: a2 b2 c2 b c a + + ≥ + + b2 c2 a2 a b c Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương:     a2 b2 a2 b2 a2 a a + ≥ · = = ≥ b2 c2 b2 c2 c2 c c Tương tự, ta có: b2 c2 c2 a2 b c + ≥ + ≥2 2 c a a a b b Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức, ta được: Ç å Å ã a2 b2 c2 b c a a2 b2 c2 b c a + + ≥ + + ⇔ + + ≥ + + b2 c2 a2 a b c b2 c2 a2 a b c Bài Cho a, b, c dương Chứng minh bất đẳng thức: b+c c+a a+b + + ≥ a b c Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho hai số dương, ta có Å ã Å ã b+c c+a a+b b a c a c b + + = + + + + + ≥ + + = a b c a b a c b c Dấu xảy a = b = c BẤT ĐẲNG THỨC 253 Bài Cho số a, b, c, d dương Chứng minh bất đẳng thức: Å ã a+b+c+d ≥ abcd Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương, ta có √ √ a + b ≥ ab, c + d ≥ cd √ √ ⇒ a + b + c + d ≥ 2( ab + cd) Å ã √ √ √ √ a+b+c+d ⇒ ≥ ( ab + cd)2 = ab + cd + abcd ≥ abcd Å ã a+b+c+d √ ⇒ ≥ abcd ã Å a+b+c+d ≥ abcd ⇒ Bài Cho số a, b, c, d dương Chứng minh: Å 1 1 (a + b + c + d) + + + a b c d ã ≥ 16 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số dương, ta có: (a + b + c + d)2 ≥ 16abcd > 0; Å ã 16 1 1 + + + ≥ > a b c d abcd Suy ã 1 1 16 + + + = 162 (a + b + c + d) ≥ 16abcd · a b c d abcd Å ã 1 1 ⇒ (a + b + c + d) + + + ≥ 16 a b c d Å Bài Cho hai số a ≥ b ≥ Chứng minh bất đẳng thức: √ √ a b − + b a − ≤ ab Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho số khơng âm, ta có: Å ã Å ã » » √ √ b−1+1 a−1+1 a b − + b a − = a (b − 1) · + b (a − 1) · ≤ a +b = ab 2 Dấu xảy a − = b − = ⇔ a = b = Bài Tìm giá trị nhỏ của: B = b2 + , với b > b Lời giải Với b > 0, ta có: … 1 1 3 B=b + + ≥ b2 · · =√ 2b 2b 2b 2b 1 Dấu xảy b2 = ⇔b= √ Vậy giá trị nhỏ B √ 3 2b 254 CHƯƠNG BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Bài 10 Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác p nửa chu vi tam giác Chứng minh a) (p − a)(p − b) ≤ c2 ; b) (p − a)(p − b)(p − c) ≤ abc Lời giải a) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số x, y: xy ≤ (p − a) + (p − b) (p − a)(p − b) ≤ Å x+y ã2 , ta có: 2p − a − b = Å ã2 = c2 b) Áp dụng kết câu a), ta có: c2 ; a2 < (p − b)(p − c) ≤ ; b2 < (p − c)(p − a) ≤ < (p − a)(p − b) ≤ Nhân vế theo vế bất đẳng thức trên, ta được: (p − a)2 (p − b)2 (p − c)2 ≤ a2 b2 c2 abc ⇒ (p − a)(p − b)(p − c) ≤ 64 a3 b3 c3 Bài 11 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh + + ≥ a + b + c Dấu đẳng thức bc ca ab xảy nào? Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta có a4 + b4 ≥ a2 b2 Đẳng thức xảy a = b > Do đó, a4 + b4 + c4 ≥ a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 đẳng thức xảy a = b = c Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương, ta có a2 b2 + b2 c2 ≥ ab2 c Do đó, a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ≥ abc(a + b + c) Vì a4 + b4 + c4 ≥ abc(a + b + c) Chia hai vế đẳng thức cho abc ta điều cần chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c > 328 CHƯƠNG BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Bài Giải bất phương trình 5x2 + 3x − ≤ x2 − 7x + Lời giải Ta có bảng xét dấu −∞ x − +∞ 5x2 + 3x − + − + | + x2 − 7x + + | + − + VT + − − + ï ã Vậy tập nghiệm bất phương trình S = − ; ∪ (1; 6) x4 − 17x2 + 60 > x (x2 − 8x + 5) Bài 10 Giải bất phương trình Lời giải Ta có bảng xét dấu √ − √ − 12 −∞ x √ − 11 √ √ 12 + 11 √ x4 − 17x2 + 60 + − + | + | + − + | + x − | − | − + | + | + | + | + x2 − 8x + + | + | + | + − | − | − + VT − + − − + − + +∞ + Ä √ ä √ ä Ä√ √ ä Ä √ √ ä Ä Vậy tập nghiệm bất phương trình S = − 12; − ∪ 0; − 11 ∪ 5; 12 ∪ + 11; +∞ Bài 11 Giải bất phương trình Lời giải Ta có x2 + 5x + > x2 + 5x + > x2 − 17x + 72 x2 − 17x + 72 ⇐⇒ −22x + 66 (x2 + 5x + 6) (x2 − 17x + 72) > Ta có bảng xét dấu x −∞ −3 −2 +∞ −22x + 66 + | + | + − | − | − x2 + 5x + + − + | + | + | + x2 − 17x + 72 + | + | + | + − + VT + + − − Vậy tập nghiệm bất phương trình S = (−∞; −3) ∪ (−2; 3) ∪ (8; 9) 5x2 − 7x − > 3x2 − 2x − 5x2 − 7x − 2x2 − 5x + Lời giải Ta có > ⇐⇒ > 3x − 2x − 3x − 2x − Ta có bảng xét dấu Bài 12 Giải bất phương trình + − DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 329 −∞ x −1 +∞ 2x2 − 5x + + | + − | − + 3x2 − 2x − + − | − + | + VT + − + − + Å ã Vậy tập nghiệm bất phương trình S = (−∞; −1) ∪ ; ∪ (2; +∞) x − x − x2 + 4x + 15 + ≥ 1−x x+1 x2 − x − x − x2 + 4x + 15 −x2 − 7x − 10 Lời giải Ta có + ≥ ⇐⇒ ≥ 1−x x+1 x2 − x2 − Ta có bảng xét dấu Bài 13 Giải bất phương trình −∞ x −2 −5 −1 +∞ −x2 − 7x − 10 − + − | − | − x2 − + | + | + − + VT − + − − + Vậy tập nghiệm bất phương trình S = [−5; −2) ∪ (−1; 1) 2x + x2 + 3x x2 + 3x (2x + 3) − 16 (2x + 3) 2x + Lời giải Ta có x + 3x (2x + 3) − 16 · ⇐⇒ ≥0 x + 3x x2 + 3x Ä ä (2x + 3) x2 + 3x − 16 (2x + 3) x2 + 3x − x2 + 3x + ⇐⇒ ≥ ⇐⇒ ≥ x2 + 3x x2 + 3x Ta có bảng xét dấu Bài 14 Giải bất phương trình x2 + 3x (2x + 3) − 16 · x −∞ −4 −3 − +∞ 2x + − | − | − + | + | + x2 + 3x − + − | − | − | − + x2 + 3x + + | + | + | + | + | + x2 + 3x + | + − | − + | + VT − + − + − + ï ã Vậy tập nghiệm bất phương trình S = [−4; −3) ∪ − ; ∪ [1; +∞) 330 CHƯƠNG BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Dạng Bài tốn có chứa tham số Để giải dạng tốn ta phải xác định dấu hệ số x2 dấu biệt thức ∆ từ áp dụng định lý dấu tam thức bậc hai Ví dụ 11 Tìm giá trị tham số m để biểu thức sau không dương với x ∈ R a) f (x) = −2x2 + 2(m − 2)x + m − b) f (x) = (m − 1)x2 − 2(m − 1)x − Lời giải a) Ta phải tìm m cho f (x) = −2x2 + 2(m − 2)x + m − ≤ với x ∈ R Do a = −2 < nên f (x) ≤ ∀x ∈ R ∆ = (m − 2)2 − (−2).(m − 2) ≤ Ta có ∆ = (m − 2)2 + 2(m − 2) = m(m − 2) ⇒ ∆ ≤ ⇔ ≤ m ≤ b) Ta phải tìm m cho f (x) = (m − 1)x2 − 2(m − 1)x − ≤ với x ∈ R +) Trường hợp 1: m − = ⇔ m = 1, f (x) = −4®< ∀x ∈ R m−1 < +) Trường hợp 2: m − = 0, f (x) ≤ ∀x ∈ R ⇔ ∆ = (m − 1) + 4(m − 1) ≤ ® ® m−1 < m−1 < Từ suy ⇔ ⇔ −3 ≤ m < −1 ∆ = (m − 1)(m + 3) ≤ m+3 ≥ Kết hượp hai trường hợp ta suy giá trị m cần tìm −3 ≤ m ≤ Ví dụ 12 Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình sau nghiệm với x ∈ [1; 3] x2 − (m + 2) x + m2 + 4m ≤ (1) Lời giải Xét phương trình x2 − (m + 2) x + m2 + 4m = (2), ta có ∆ = (m + 2)2 − m2 − 4m = Từ suy (2) ln có hai nghiệm phân biệt x1 = m < x2 = m + Từ suy (1) có tập nghiệm [m; m + 4] Vậy (1) nghiệm với x ∈ [1; 3] m ≤ < ≤ m + ⇔ −1 ≤ m ≤ Ví dụ 13 Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = R x2 − (2m + 3) x + 6m có tập xác định x2 + 2x + Lời giải Ta có x2 + 2x + = (x + 1)2 + > ∀x ∈ R Từ suy hàm số cho có tập xác định R x2 − (2m + 3) x + 6m ≥ ∀x ∈ R Do ∆ = (2m + 3)2 − 4.6m = (2m − 3)2 ≥ ∀m nên hàm số cho có tập xác định R ∆=0⇔m= BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 15 Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình x2 − (m − 2)x − 8m + ≥ có nghiệm Lời giải Do a = > nên bất phương trình ln có nghiệm với m Bài 16 Tìm giá trị m để biểu thức f (x) = x2 − (m + 2)x + 2m có giá trị khơng âm với x ∈ R Lời giải Do a = > nên f (x) ≥ với x ∈ R ∆ = (m − 2)2 ≤ ⇔ m = DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 331 [Vũ Văn Trường] Bài 17 Tìm giá trị m để hàm số f (x) = mx2 + 2(m + 1)x + m − có tập Å xác Dã= ∅ √ Lời giải Với m = f (x) = 2x − 1, hàm số có tập xác định D = ; +∞ = ∅ Với m = 0, hàm số có tập xác định D = ∅ ⇔ ∆ = (m + 1)2 − m2 + m ≥ ⇒ m ≥ − Trong trường hợp  m = ta có m ≥ − Từ suy giá trị m cần tìm m ≥ − Bài 18 Tìm tất giá trị thực tham số m để với x ∈ R ta ln có: −1 ≤ x2 + 5x + m 0, ∀x ® ∈2R 3x + 2x + m + ≥ x + 5x + m Suy −1 ≤ Ta có 3x2 + 2x + m + ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ m ≥ − 13x2 − 26x + 14 − m > 0, ∀x ∈ R ⇔ m < Do − ≤ m < ® x + 5x + ≤ Bài 19 Chứng minh hệ bất phương trình ln có nghiệm x − (m + 3)x + 2(m + 1) ≤ Lời giải Ta có x2 + 5x + ≤ ⇔ ≤ x ≤ 4, suy tập nghiệm bất phương trình x2 + 5x + ≤ S = [1; 4] Phương trình x2 − (m + 3)x + 2(m + 1) = có hai nghiệm x = 2, x = m + Từ suy bất phương trình x2 − (m + 3)x + 2(m + 1) ≤ có tập nghiệm S = {2}, S = [2; m + 1], S = [m + 1; 2] tương ứng m + = 2; m + > 2; m + < Trong trường hợp ta có S ∩ S = ∅, hệ phương trình cho ln có nghiệm BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 20 Xét dấu biểu thức f (x) = (|2x − 3| − 1) |x2 − 2x + 4| − 2x2 + 9x − 16 Lời giải Do |2x − 3| + > 0, ∀x ∈ R nên dấu |2x − 3| − dấu (|2x − 3| − 1) (|2x − 3| + 1) = (2x − 3)2 − = 4x2 − 12x + = 4(x2 − 3x + 2) Vì x2 − 2x + = (x − 1)2 + > 0, ∀x ∈ R nên |x2 − 2x + 4| = x2 − 2x + Suy |x2 − 2x + 4| − 2x2 + 9x − 16 = x2 − 2x + − 2x2 + 9x − 16 = −x2 + 7x − 12 Dấu f (x) dấu biểu thức g(x) = (x2 − 3x + 2)(−x2 + 7x − 12) Bảng xét dấu g(x): x −∞ x2 − 3x + + −x2 + 7x − 12 − g(x) − − − + + +∞ + + − + − − + − 332 CHƯƠNG BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Vậy: f (x) > 0, ∀x ∈ (1; 2) ∪ (3; 4); f (x) < 0, ∀x ∈ (−∞; 1) ∪ (2; 3) ∪ (4; +∞) Bài 21 Giải bất phương trình sau: a) 1 1 + ≥ + ; x+1 x−2 x−1 x b) (x + 2)2 (x − 1)(x + 5) + ≥ Lời giải a) 1 1 1 1 + ≥ + ⇔ − ≥ − x+1 x−2 x−1 x x+1 x−1 x x−2 −2 −2 ⇔ ≥ x − x − 2x −2 ⇔ + ≥0 x − x − 2x −2(x2 − 2x) + 2(x2 − 1) 4x − ⇔ ≥ ⇔ ≥ (x2 − 1)(x2 − 2x) (x2 − 1)(x2 − 2x) Bảng xét dấu vế trái: x −∞ −1 4x − − x2 − + x2 − 2x + + VT − + − − − − − − − − + − − + 0 +∞ + + + + + + ï ã Vậy tập nghiệm bất phương trình cho T = (−1; 0) ∪ ; ∪ (2; +∞) b) (x + 2)2 (x − 1)(x + 5) + ≥ ⇔ (x + 2)2 (x2 + 4x − 5) + ≥ ⇔ (x + 2)2 (x + 2)2 − + 8ñ≥ t ≤1 Đặt t = (x + 2)2 ≥ 0, bất phương trình cho có dạng t(t − 9) + ≥ ⇔ t − 9t + ≥ ⇔ t ≥8 Thay t = (x + 2)2 đta có: đ đ −1 ≤ x+2 ≤ − ≤ x ≤ −1 (x + 2)2 ≤ √ √ √ √ ⇔ ⇔ −2 ≤ x+2 ≤ 2 −2− 2 ≤ x ≤ −2 + 2 (x + 2)2 ≥ ỵ √ √ ó Vậy tập nghiệm bất phương trình cho T = −2 − 2; −2 + 2  x − 2mx − m2 + m − > Bài 22 Xác định tham số m để hệ 2x − x − có nghiệm  > x+1 x DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI  x − 2mx − m2 + m − > Lời giải Xét hệ 2x − x −  > (2) x+1 x 333 (1) (2x − 1)x − (x + 1)(x − 3) >0 x(x + 1) x2 + x + ⇔ > ⇔ x(x + 1) > x2 + x + > 0, ∀x ∈ R x(x + 1) ñ x < −1 ⇔ x > (2) ⇔ Suy tập nghiệm (2) T2 = (−∞; −1) ∪ (0; +∞) Giải (1): Ta có ∆ = 2m2 − m + > 0, ∀m ∈ R Suy tam thức bậc hai f (x) = x2 − 2mx − m2 + m − ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 (1) ln có tập nghiệm T1 = (−∞; x1 ) ∪ (x2 ; +∞) Suy tập nghiệm hệ T = T1 ∩ T2 = ∅ Vậy hệ cho ln có nghiệm với giá trị tham số m (x1 < x2 ) Bài 23 Tìm giá trị tham số m để f (x) = (m − 2)x2 + 2(2m − 3)x + 5m − ≥ 0, ∀x ∈ R Lời giải • Với m = f (x) = 2x + ⇒ f (x) ≥ ⇔ x ≥ −2 Suy m = khơng phải giá trị cần tìm • Với m = f (x) tam thức bậc hai Do đó, ta có ® m−2 > f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆ = (2m − 3)2 − (m − 2)(5m − 6) ≤ ® m>2 ⇔ − m2 + 4m − ≤  >2  m ñ ⇔ m ≥ ⇔ m ≥   m≤1 Kết luận: m ≥ Bài 24 Chứng minh bất đẳng thức x2 + 2y2 − 2xy + 2x − 4y + > Lời giải Đặt f (x) = x2 + 2y2 − 2xy + 12x − 4y + = x2 − 2(y − 1)x + (2y2 − 4y + 3) Suy f (x) tam thức bậc hai x Ta có ∆x = (y − 1)2 − (2y2 − 4y + 3) = −y2 + 2y − < 0, ∀y ∈ R Vậy f (x) > 0, ∀x, y ∈ R (đpcm) a3 + b2 + c2 > ab + bc + ca Lời giải Do a3 > 36 nên a > abc = ⇒ bc = a a2 Bất đẳng thức cho tương đương với (b + c)2 − a(b + c) − + > a 3 a Xét tam thức bậc hai f (x) = x2 − ax − + a Ç å 2 a 12 4a 3a3 − 4a3 + 36 36 − a3 ∆ = a2 − − + = a2 + − = = > a a 3a 3a a2 Suy f (x) > 0, ∀x ∈ R ⇒ (b + c)2 − a(b + c) − + > (đpcm) a Bài 25 Cho a3 > 36 abc = Chứng minh rằng: 334 CHƯƠNG BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH §6 I ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG IV Đề số 1a Bài (2 điểm) Giải bất phương trình sau: a) 8x − > b) 15x − − 3x ≤ −2 + 2x Lời giải 15x − ⇔ 16x − 10 > 15x − ⇔ x > 2 Vậy tập nghiệm bất phương trình là: T = (2; +∞) a) 8x − > b) − 3x − 3x x+3 ≤ −2 ⇔ +2 ≤ ⇔ ≤ ⇔ −3 ≤ x < − + 2x + 2x + 2x ï ã Vậy tập nghiệm bất phương trình : T = −3; − Bài (2 điểm) Giải bất phương trình x2 − x + |3x − 2| > Lời giải Bất phương trình tương   đương: x ≥ ® 3x − ≥   √ √ √ ñ    x + 2x − > x < −1 − x > −1 + x > −1 +  ® √ ⇔  ⇔  3x − <  x < 2−   x<  √ √ x2 − 4x + >  x < − xÄ> + ä Ä ä √ √ Vậy tập nghiệm bất phương trình là: T = −∞; − ∪ −1 + 3; +∞ Bài (4 điểm) Cho biểu thức f (x) = (m + 1)x2 − 2(2m + 1)x + (m tham số) a) Tìm giá trị m để phương trình f (x) = có hai nghiệm dương phân biệt b) Tìm giá trị m để bất phương trình f (x) > có nghiệm ∀x ∈ R Lời giải a) Xét phương trình: (m + 1)x2 − 2(2m + 1)x + = (*) Phương trình (*) cóhai nghiệm dương phân  biệt  −3 4m + 3m >   m + =  m < m >       ∆ >   ⇔ ⇔ m > −1 ⇔ m > ⇔ m+1 >    P>0           2(2m + 1) > m < −1 m > −1 S>0 m+1 b) Xét bất phương trình: (m + 1)x2 − 2(2m + 1)x + > (**) −1 TH1: Nếu m = −1 (**)⇔ 2x + > ⇔ x > khơng có nghiệm ∀x ∈ R TH2: Nếu m = −1 (**) có nghiệm  ∀x ∈ R ® ® m > −1 m+1 > a>0 −3 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ < m < −3  ∆   m − =  m < m >       ∆ >  −1  −5 ⇔ m    P>0          2(2m + 1) >  m < −1 m > S>0 m−1 b) Xét bất phương trình: (m − 1)x2 − 2(2m + 1)x − < (**) −1 TH1: Nếu m = (**)⇔ −6x − < ⇔ x > khơng có nghiệm ∀x ∈ R 335 336 CHƯƠNG BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH TH2: Nếu m = (**) có nghiệm  ∀x ∈ R ® ® m < m−1 < a1 Lời giải ⇔ 1,0 điểm 3x + 6m ≤ 10 x ≤ − 2m Do hệ có nghiệm ⇔ < − 2m 0,5 điểm ⇔ m < 0,5 điểm Bài Cho x > Chứng minh rằng: 9x + Bài Giải bất phương trình |2x + 4| ≤ x + Lời giải Trường hợp 1: Với x ≥ −2 |2x + 4| ≤ x + ⇔ 2x + ≤ x + ⇔ x ≤ 0,5 điểm Trường hợp bất phương trình có nghiệm −2 ≤ x ≤ 0,5 điểm Trường hợp 2: Với x < −2 |2x + 4| ≤ x + ⇔ −2x − ≤ x + ⇔ x ≥ −4 Trường hợp bất phương trình có nghiệm −4 ≤ x < −2 0,5 điểm Vậy bất phương trình có nghiệm −4 ≤ x ≤ 0,5 điểm Bài ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG IV 337 a) Tìm m để biểu thức f (x) = x2 − (m + 2)x + 8m + dương với x ∈ R b) Chứng minh 3x2 − 8xy + 9y2 − 4x − 2y + ≥ với x, y Lời giải a) Do a = > nên f (x) > 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆ < ⇔ (m + 2)2 − 4(8m + 1) < 1,0 điểm ⇔ m2 − 28m < 0,5 điểm ⇔ < m < 28 0,5 điểm b) Đặt f (x) = 3x2 − 8xy + 9y2 − 4x − 2y + Ta có f (x) = 3x2 − (8y + 4)x + 9y2 − 2y + có ∆ = (4y + 2)2 − 3(9y2 − 2y + 5) = −11y2 + 22y − 11 = −11(y − 1)2 ≤ 0, ∀y 1,0 điểm Do a = > ⇒ f (x) ≥ với x, y 1,0 điểm IV Đề số 2b ≥ 32 x−1 4 Lời giải Ta có 16x + ≥ 32 ⇔ 16(x − 1) + ≥ 16 0,5 điểm x−1 x−1 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương 16(x − 1) ta x−1 … 4 16(x − 1) + ≥ 16(x − 1) = 16 1,0 điểm x−1 x−1 Dấu “ = ” xảy ⇔ 16(x − 1) = ⇔ x = 0,5 điểm x−1 ® 4(x + 1) + ≤ 3(x + 4) Bài Tìm tất giá trị tham số m để hệ bất phương trình có nghiệm x+m ≥ ® ® 4(x + 1) + ≤ 3(x + 4) x≤3 Lời giải ⇔ 1,0 điểm x+m ≥ x ≥ 1−m Do hệ có nghiệm ⇔ − m ≤ 0,5 điểm ⇔ m ≥ −2 0,5 điểm Bài Cho x > Chứng minh rằng: 16x + Bài Giải bất phương trình |x − 3| > 3x + 15 Lời giải Trường hợp 1: Với x ≥ |x − 3| > 3x + 15 ⇔ x − > 3x + 15 ⇔ x < −9 0,5 điểm Trường hợp bất phương trình vơ nghiệm 0,5 điểm Trường hợp 2: Với x < |x − 3| > 3x + 15 ⇔ −x + > 3x + 15 ⇔ x < −3 Trường hợp bất phương trình có nghiệm x < −3 0,5 điểm Vậy bất phương trình có nghiệm x < −3 0,5 điểm Bài a) Tìm m để biểu thức f (x) = −2x2 + 2(m − 2)x + m − âm với x ∈ R b) Chứng minh 2x2 − 8xy + 13y2 − 4x − 2y + ≥ với x, y Lời giải 338 CHƯƠNG BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH a) Do a = < nên f (x) < 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆ < ⇔ (m − 2)2 + 2(m − 2) < 1,0 điểm ⇔ m2 − 2m < 0,5 điểm ⇔ < m < 0,5 điểm b) Đặt f (x) = 2x2 − 8xy + 13y2 − 4x − 2y + Ta có f (x) = 2x2 − (8y + 4)x + 13y2 − 2y + có ∆ = (4y + 2)2 − 2(13y2 − 2y + 7) = −10y2 + 20y − 10 = −10(y − 1)2 ≤ 0, ∀y 1,0 điểm Do a = > ⇒ f (x) ≥ với x, y 1,0 điểm V Đề số 3a Câu (4 điểm) Giải bất phương trình sau: √ a) x + 10 + > 2x x2 + 2x − b) ≤2 − 2x Lời giải a) Điều kiện x ≥ −10 √ Bất phương trình tương đương x + 10 > 2x −  ® x < 2x − < ⇔ −10 ≤ x < • Xét ⇔  x + 10 ≥ x ≥ −10   ®  x ≥ x ≥ 2x − ≥ 2 ⇔ • Xét ⇔ ⇔ ≤x≤   2 x + 10 ≥ (2x − 1) −1 ≤ x ≤ 4x − 5x − ≤ ï ò Vậy tập nghiệm bất phương trình x ∈ −10; b) Điều kiện x = Bất phương trình tương đương x2 + 6x − ≤ Bảng xét dấu: − 2x √ −3 − 14 x2 + 6x − + − | − 2x + | + VT + − x −∞ √ −3 + 14 − + − | − + − +∞ ã ỵ ä √ √ Vậy tập nghiệm bất phương trình −3 − 14; ∪ −3 + 14; +∞ ï Câu (2 điểm) Tìm giá trị tham số m để bất phương trình x2 + 5x + m ≤ với ∀x ∈ R 2x2 − 3x + Lời giải Điều kiện 2x2 − 3x + = (đúng với ∀x) −13x2 + 26x + m − 14 Bất phương trình tương đương ≤ ⇔ −13x2 + 26x + m − 14 ≤ (*) 2x2 − 3x + (vì 2x2 − 3x + > 0, ∀x) ® ® a Câu (2 điểm) Tìm giá trị tham số m để hệ bất phương trình x − x + có nghiệm  x−m−3 ≥ Lời giải Điều kiện x = −1, x = 3x − > ⇔ < Bảng xét dấu: Xét x−2 x+1 (x − 2)(x + 1) x −∞ −1 +∞ 3x − − | − | − + (x − 2)(x + 1) + − + | + VT − − + + Suy tập nghiệm S1 = (−∞; −1) ∪ (2; 3) Xét x − m − ≥ ⇔ x ≥ m + ⇒ tập nghiệm S2 = [m + 3; +∞) Để hệ phương trình có nghiệm S1 ∩ S2 = ∅ ⇔ m + < ⇔ m < VI Đề số 3b Câu (2 điểm) Cho a, b, c > thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức: √ √ √ P = 5a + 3b + 5b + 3c + 5c + 3a 16 16 … 5a + 3b + 5a + 3b + √ 8 ⇒ 5a + 3b ≤ √ Lời giải Xét (5a + 3b) ≤ 3 433 16 16 5b + 3c + 5c + 3a + √ √ 5c + 3a ≤ Do √ √ Tương tự 5b + 3c ≤ 3 4 P≤ √ 8(a + b + c) + 16 √ = Dấu xảy a = b = c = √ Kết luận Pmax = a = b = c = VII Đề số 4a Câu Giải bất phương trình a) 3x 1−x − < 2x + b) 2x − 1 +2 < x+1 x+1 Lời giải a) 3x 1−x − < 2x + ⇐⇒ 3x − < 8x + 2(1 − x) ⇐⇒ −6 < 3x ⇐⇒ −2 < x Vậy tập nghiệm bất phương trình S = (−2; +∞) (1 điểm) 340 b) CHƯƠNG BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 2x − 1 4x + 1 4x +2 < ⇐⇒ < ⇐⇒ < ⇐⇒ −1 < x < x+1 x+1 x+1 x+1 x+1 Vậy tập nghiệm bất phương trình S = (−1; 0) (1 điểm) Câu Giải bất phương trình a) (1 điểm) 2x2 − 3x + < b) (2 điểm) |2x − 4| ≥ x + Lời giải < x < Å ã Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ; (1 điểm) a) 2x2 − 3x + < ⇐⇒ b) Trường hợp 1: x ≤ −1 Dễ thấy nghiệm bất phương trình x ≤ −1 (0,5 điểm) Trường hợp 2: x > −1 ñ ñ x≥5 x≥5 2 =⇒ (1 |2x − 4| ≥ x + ⇐⇒ (2x − 4) ≥ (x + 1) ⇐⇒ x − 6x + ≥ ⇐⇒ x≤1 −1 < x ≤ điểm) Vậy tập nghiệm bất phương trình S = (−∞; 1] ∪ [5; +∞) (0,5 điểm) Câu a) (1 điểm) Giải bất phương trình √ x2 − x + < x + b) (1 điểm) Tìm tất giá trị tham số m cho bất phương trình x2 − 2mx + > có tập nghiệm R Lời giải a) Dễ thấy x + > ⇐⇒ x > −2 √ x2 − x + < x + ⇐⇒ x2 − x + < x2 + 4x + ⇐⇒ −3 < 5x ⇐⇒ − < x ï ã Vậy tập nghiệm bất phương trình S = − ; +∞ (1 điểm) b) x2 − 2mx + > có tập nghiệm R ∆ < (0,5 điểm) ∆ < ⇐⇒ m2 − < ⇐⇒ −2 < m < (0,5 điểm) Câu (1 điểm) Tìm tất giá trị tham số m cho phương trình 2x2 − 2mx + m = có hai nghiệm dương phân biệt  ∆ >0     b Lời giải Phương trình 2x2 − 4mx + m = có hai nghiệm dương phân biệt − a > ⇐⇒    c > a  m − 2m >    m>0 ⇐⇒ m > (1 điểm)   m > ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG IV 341 Câu Tìm giá trị nhỏ hàm số y = x3 + với x > x Lời giải 1 = x3 + + + (0,5 điểm) x x x x … 1 1 - Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho bốn số thực dương x3 + + + ≥ 4 x3 = (1 điểm) x x x x - Vậy ymin = 4, x = ⇐⇒ x = (0,5 điểm) x - Ta có y = x3 + VIII Đề số 4b Câu Giải bất phương trình a) x x − < − 3 b) − x < x−2 x−2 Lời giải a) x x x−3 x−6 − < − ⇐⇒ < ⇐⇒ 12 < x 3 Vậy tập nghiệm bất phương trình S = (12; +∞) (1 điểm) x x−4 x−5 < ⇐⇒ < ⇐⇒ ⇐⇒ < x < x−2 x−2 x−2 x−2 x−2 Vậy tập nghiệm bất phương trình S = (2; 5) (1 điểm) b) − Câu Giải bất phương trình a) (1 điểm) −x2 + 6x − > b) (1 điểm) |x + 2| < 2x + Lời giải a) −x2 + 6x − > ⇐⇒ < x < Vậy tập nghiệm bất phương trình S = (2; 4) (1 điểm) b) Điều kiện: x > − ñ x>1 |x + 2| < 2x + ⇐⇒ (x + 2)2 < (2x + 1)2 ⇐⇒ < x2 − ⇐⇒ =⇒ x > x < −1 Vậy tập nghiệm bất phương trình S = (1; +∞) (1 điểm) Câu a) (2 điểm) Giải bất phương trình √ x2 + x − > x − b) (1 điểm) Tìm tất giá trị tham số m cho bất phương trình −x2 + (m + 2)x − < có tập nghiệm R Lời giải 342 CHƯƠNG BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH a) Điều kiện x > x < −2 Trường hợp√1: x < −2 x − < 0, x2 + x − > x < −2 nghiệm bất phương trình (0,5 điểm) Trường hợp 2: x > √ x2 + x − > x − ⇐⇒ x2 + x − > x2 − 4x + ⇐⇒ x > (0,5 điểm) Å ã Vậy tập nghiệm bất phương trình S = (−∞; −2) ∪ ; +∞ b) −x2 + (m + 2)x − < có tập nghiệm R ∆ < (0,5 điểm) ∆ < ⇐⇒ m2 + 4m < ⇐⇒ −4 < m < (0,5 điểm) Câu (1 điểm) Tìm tất giá trị tham số m cho phương trình x2 + 2(m + 1)x + m = có hai nghiệm âm phân biệt  ∆ >0     b Lời giải Phương trình x2 + 2(m + 1)x + m = có hai nghiệm âm phân biệt − a < ⇐⇒    c > a   m − m + >  − 2(m + 1) < ⇐⇒ m > (1 điểm)   m>0 Câu Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= a2 b2 c2 + + b+2 c+2 a+2 Lời giải - Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số thực dương, ta có a2 + b+2 ≥2   a2 b + = a; tương b+2 b+2 b2 c+2 c2 a+2 tự + ≥ b; + ≥ c (1 điểm) c+2 a+2 3(a + b + c) − a+b+c+6 ≥ a + b + c ⇐⇒ P ≥ =3 - Cộng vế tương ứng BĐT ta có P + 4 (0,5 điểm) - Vậy Pmin = 3, a = b = c = (0,5 điểm) ... ta có b3 + c3 ≥ bc(b + c), a3 + c3 ≥ ac(a + c) Từ suy a3 + b3 + + b3 + c3 + + c3 + a3 + 1 1 + + ab(a + b) + bc(b + c) + ac(a + c) + 1 1 + + = ab(a + b) + abc bc(b + c) + abc ac(a + c) + abc =... c2 + x2 + y2 + z2 ≥ (a + x)2 + (b + y)2 + (c + z)2 √ 2 ⇔ a2 + b2 + c2 + x2 + y2 + z2 ≥ (a + x)2 + (b + y)2 + (c + z)2 ⇔ (a2 + b2 + c2 )(x2 + y2 + z2 ) ≥ ax + by + cz Điều ln ta có (a2 + b2 + c2... 2b = ≥ = a + b + c a+c b+c+a (a + c) · b … c c c 2c = ≥ = a+b+c a+b b+c+a (b + a) · c … Cộng lại bất đẳng thức vế theo vế, ta có   … … a b c 2(a + b + c) + + ≥ = b+c c+a a+b a+b+c Bài 13 Cho