Ngày 07/02/2023 TỔ TOÁN TRƯỜNG THCS HOA LIÊN CHUYÊN ĐỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG (Thời gian thực hiện trong 6 tiết) A KIẾN THỨC CƠ BẢN I HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG Cho[.]
Ngày 07/02/2023 TỔ TOÁN - TRƯỜNG THCS HOA LIÊN CHUYÊN ĐỀ : HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG (Thời gian thực tiết) A KIẾN THỨC CƠ BẢN I HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VNG Cho tam giác ABC vng A, đường cao AH cho ta có : AH h, BC a, AB c, AC b, BH c ' , CH b ' : 1) b a.b ' ; c a.c ' 2) h b' c ' 3) b.c a.h 1 4) h b c 5) a b c ( Pitago) A b c h c' B b' C H a Chú ý: Ta cịn có: a = b’ + c’ Trong độ dài: a, b, c, h, b’, c’ Nếu biết độ dài tính độ dài cịn lại II TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN 0 Định nghĩa : Cho ABC (0 90 ) ta định nghĩa tỉ số cạnh AB, BC, CA tam giác ABC vuông A sau : AC ; BC AC tan ; AB sin AB BC AB cot AC C cos Huyền Đối A * Nhận xét : từ định nghĩa ta thấy : Kề B + tỉ số lượng giác góc nhọn ln dương cot ; tan tan cot 1 + < sin, cos < + Tỉ số lượng giác góc phụ - Định lý : Nếu góc phụ sin góc cosin góc kia, tan góc cot sin cos ; góc Tức : 90 ta có : tan cot ; 0 - Chú ý : Nếu 90 : + sin tan đồng biến với góc + cosin cot nghịch biến với góc Các hệ thức sin cos 1 tan ; cot ; 3 tan cot 1; cos sin cos sin cot tan 4 sin cos 1 III HỆ THỨC GIỮA CẠNH VÀ GĨC TRONG TAM GIÁC VNG Các hệ thức * Định lý: Trong tam giác vng, cạnh góc vng C bằng: - Cạnh huyền nhân Sin góc đối Cosin góc kề a b - Cạnh góc vng nhân tang góc đối cotg góc kề (ABC vng A, BC = a; AB = c; AC = b, ta có: A B c 1 b a.sin B a.cos C c a.sin C a.cos B 2 b c.tan B c.cot C c b.tan C b.cot B Áp dụng giải tam giác vuông * Giải tam giác vuông: tìm tất yếu tố tam giác vng (các cạnh, góc) biết trước yếu tố có yếu tố cạnh khơng kể góc vng * Một số trường hợp giải tam giác vuông thường gặp a) Biết cạnh góc vng - Tính cạnh huyền (theo Pi-ta-go) - Tính góc nhọn (tan cot) - Tính góc nhọn cịn lại (2 góc phụ nhau) b) Biết cạnh huyền góc nhọn - Tính góc nhọn cịn lại (2 góc phụ nhau) - Tính cạnh góc vng (hệ thức cạnh góc – hệ thức (1)) c) Biết cạnh góc vng góc nhọn kề - Tính góc nhọn cịn lại - Tính cạnh góc vng cịn lại cạnh huyền B CÁC DẠNG BÀI TẬP ÁP DỤNG I HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VNG Bài : Tìm x, y hình vẽ sau a) + Ta có : BC AB AC ( Pitago) A BC 42 62 52 7, 21 + Áp dụng định lý : AB BC.BH 42 52.x x 2, 22 B b) x y H C AC BC.CH 62 52 y y 4,99 Hay y = BC – x = 7,21 – 2,22 = 4,99 - Xét tam giác ABC vuông A áp dụng định lý ta có : AC BC.CH 122 18 y y 8 x BC y 18 10 A 12 x B y C H 18 c) * Cách : AH2 = BH.CH = 4.9 = 36 => AH = Theo Pitago cho tam giác vng AHB; AHC ta có: A y x x BH AH 42 62 52 B H C y CH AH 62 92 117 * Cách 2: Áp dụng định lý ta có: AB BC.BH ( BH CH ).BH (4 9).4 52 AB 52 x 52 AC BC.CH ( BH CH ).CH (4 9).9 117 AC 117 y 117 d) Áp dụng định lý 2, ta có: AH BH CH x 3.7 21 x 21 Áp dụng định lý ta có : A AC BC.CH ( BH CH ).CH y y (3 7).7 70 y 70 x ( y x CH 21 49 70) B C H e) Theo Pitago, ta có : BC AB AC y 132 17 458 A Áp dụng định lý 3, ta có : 13 AB AC BC AH 17 x 13.17 458.x x B 221 10,33 458 C H y g) Áp dụng định lý 2, ta có : AH BH CH 52 4.x x 52 6, 25 Theo Pitago cho tam giác AHC vng H, ta có : y AH CH 52 6, 252 8 A ( DL1: y BC.x (4 6, 25).6, 25 y 8) y x B C H Bài : Cho ABC vng A, có cạnh góc vng AB = 15cm, AC = 20cm Từ C kẻ đường vng góc với cạnh huyền, đường cắt đường thẳng AB D Tính AD CD µ 900 , CA BD BCD, C Theo định lý 3, ta D CA2 AB AD 202 15 AD AD có : Theo Pitago tgiác ACD vng A, ta x y A 15 80 100 80 CD AD CA 202 có : 20 B 2 C Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 60cm, AD = 32cm Từ D kẻ đường thẳng vng góc với đường chéo AC, đường thẳng cắt AC E AB F Tính độ dài EA, EC, ED, FB, FD LG 2 2 Xét tam giác ADC vuông D, ta có: AC AD CD 32 60 68 Theo định lý 1: F A AD AC AE AE 60 B AD 322 256 AC 68 17 Theo định lý 1, ta có: CD AC.CE CE E 32 CD 602 900 AC 68 17 Theo định lý 2, ta có: 480 17 AD 544 AD DF DE DF DE 15 Xét tam giác DAF, theo định lý 1: 256 256 644 AF DF AD FB AB AF 60 15 15 15 Theo Pitago: D C DE AE.EC Bài 4: Cho hình vng ABCD Gọi E điểm nằm A, B Tia DE tia CB cắt F Kẻ đường thẳng qua D vng góc với DE, cắt đường thẳng BC G Chứng minh rằng: a) Tam giác DEG cân 1 2 b) Tổng DE DF không đổi E chuyển động AB ¶ D ¶ F D a) Ta có: A D ¶ (cùng phụ với D2 ) xét ADE CDG ta có : E B AD DC ( gt ) D1 D3 cmt ADE CDG g c.g A C 900 DE DG DEG cân D C b) DE = DG G 1 DE DG 1 1 2 DG DF ta có : DE DF xét tam giác DGF vng D, ta có : 1 2 CD DG DF (định lý 4) Vì CD khơng đổi E chuyển động AB, 1 1 2 DG DF không đổi suy tổng DE DF E thay đổi AB II TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN Bài : Cho biết sin = 0,6 Tính cos , tan cot 2 2 + Ta có: sin cos 1 cos sin 0, 0,8 sin 0, cos 0,8 tan ; cot cos 0,8 sin 0, + Bài 2: Chứng minh rằng: a ) tan 1 ; b) cot ; c) cos sin 2 cos cos sin Áp dụng: tính sin, cos , cot , biết tan = sin sin sin tan tan tan 1 cos cos cos a) Ta có: sin cos tan 2 cos cos cos cos sin VT cot VP sin sin sin b) c) VT cos sin cos sin cos sin cos sin cos cos cos cos 2 cos VP Ta có: tan 2 nên a 22 1 cos cos ; cos 5 tan 2 cot ; 2 1 5 1 b 1 sin sin sin sin 5 2 Bài 3: Biết tan = 4/3 Tính sin , cos , cot LG + ta có: tan = 4/3 nên cot = 3/4 + mà tan cos cos ; cos 25 3 sin cos 1 sin co s 5 + mặt khác: Bài 4: Dựng góc trường hợp sau: a ) sin ; 2 b) cos ; c ) tan 3; d ) cot 4 LG a)* Cách dựng - dựng góc xOy = 900 Lấy đoạn thẳng làm đơn vị - Oy lấy điểm B cho OB = - vẽ cung trịn tâm B, bán kính 2, cung cắt Ox A - nối A với B BAO cần dựng y B A O * Chứng minh: sin sin BAO OB AB đpcm - ta có: Bài 5: Cho tam giác ABC có AB = 5; BC = 12; AC = 13 a) CMR tam giác ABC vuông b) Tìm tỉ số lượng giác góc A góc C LG 2 2 2 2 a) Ta có: AB BC 12 169 13 AC AB BC AC theo định lý Pytago đảo, suy tam giác ABC vuông B b) Học sinh dùng tỉ số lượng giác tìm III HỆ THỨC GIỮA CẠNH VÀ GĨC TRONG TAM GIÁC VUÔNG Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A, biết tan B BC = 10 Tính AB; AC x tan B B 530 07' - B 10 - theo hệ thức cạnh góc tam giác vuông AB BC cos B 10.cos 53007 ' 6 C A AC BC.sin B 10.sin 53007 ' 8 Bài 2: Cho tam giác ABC cân A; AB = AC = 17; BC = 16 Tính đường cao AH góc A, góc B tam giác ABC A A1 A2 AH BC BC BH CH 8 + tam giác ABC cân, có 12 17 17 + xét tam giác AHC, vuông H B C 16 2 2 - ta có: AH AC CH 17 15 mặt sin A2 khác: CH A2 A1 28004 ' A 2A2 56 008' AC 17 + xét tam giác AHB vuông H, ta có: B 900 A1 900 28004' 61056' 0 Bài 3: Cho tam giác ABC có AB = 11, ABC 38 ; ACB 30 Gọi N chân đường vng góc kẻ từ A đến BC Tính AN; AC - xét tam giác ANB vuông N, theo hệ thức cạnh góc tam giác vng ta có: A AN AB.sin B 11.sin 380 6, 77 11 C 300 380 N - xét tam giác ANC vuông N, theo hệ thức cạnh góc tam giác vng ta có: B AN AC.sin C AC AN 6, 77 13,54 sin C sin 300 Bài 4: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết BH = 9; HC = 16 Tính B, C? - xét tam giác ABC vuông A, theo hệ thức A cạnh đường cao tam giác vuông , ta có: AH BH CH 9.16 144 AH 12 - xét tam giác AHB, vng H, ta có: tan B B H 16 C AH 12 B 530 7' BH 0 ' - mà B C 90 C 36 53 Bài 5: Cho tam giác ABC có B 60 , hình chiếu vng góc AB AC lên BC theo thứ tự 12 18 Tính góc đường cao tam giác ABC - xét tam giác AHB vuông H A B 600 A 300 BH AB AB 2 BH 2.12 24 AH AB BH 242 122 20,8 600 B 12 H 18 C - xét tam giác AHC, theo hệ thức lượng… AH 20,8 C 490 06' HC 18 A 180 B C 700 54' tan C - theo hệ thức cạnh góc, ta có: HC AC.cos C AC HC 18 27,5 cos C cos 490 06 ' C BÀI TẬP VỀ NHÀ: Bài 1: Cho ABC có A 90 , kẻ đường cao AH Biết AB = 6; AC = Tính độ dài: BC, AH, HB HC Bài 2: Cho ABC có A 90 , kẻ đường cao AH Biết AB = 12; BC = 20 Tính độ dài: AC, AH, HB HC Bài 3: Cho ABC có A 90 , kẻ đường cao AH Biết AH = 2; HB = Tính độ dài: AB, AC, BC HC Bài Đường cao ứng với cạnh huyền tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn có độ dài thứ tự cm Tính độ dài cạnh đường cao tam giác Bài Đường cao ứng với cạnh huyền tam giác vng cân có độ dài 2cm Tính độ dài cạnh huyền cạnh góc vng tam giác Bài 6: Cho ABC có A 90 , kẻ đường cao AH Biết AH = 12; AB = 20 Tính độ dài: AC, BC, HB HC Bài Cho ABC có AB = 6, AC = 8, BC = 10 Kẻ đường cao AH Tính độ dài đoạn thẳng AH, HB HC Bài Cho ABC có AB = 12, AC = 16, BC = 24 Kẻ đường cao AH Tính độ dài đoạn thẳng AH, HB HC Bài 9: Cho tam giác ABC cân A; AB = AC = 17; BC = 16 Tính đường cao AH góc A, góc B tam giác ABC 0 Bài 10: Cho tam giác ABC có AB = 11, ABC 38 ; ACB 30 Gọi N chân đường vng góc kẻ từ A đến BC Tính AN; AC Bài 11: Cho tam giác ABC có B 60 , hình chiếu vng góc AB AC lên BC theo thứ tự 12 18 Tính góc đường cao tam giác ABC Bài 12: Cho hình thang ABCD, có A D 90 , đáy nhỏ AB = 4, đáy lớn CD = 8, AD = Tính BC, B, C ? Bài 13 Cho ABC có A 90 , AB = 0,9; AC = 1,2 Tính tỉ số lượng giác góc B từ suy tỉ số lượng giác góc C Bài 14 Viết tỉ số lượng giác góc sau thành tỉ số lượng giác góc nhỏ 450: sin600; cos750; sin53032’; cot810; tan79055’ Bài 15 Cho tam giác vuông A Biết sinB = 0,8 a Tính tỉ số lượng giác cịn lại góc B b Tính tỉ số lượng giác góc C Bài 16 Cho tam giác ABC có A 45 , kẻ đường cao BH Biết AH = 20cm, HC = 21cm, tính chu vi diện tích tam giác ABC 0 Bài 17 Cho tứ giác ABCD có A D 90 , C 40 , AB=4cm, AD=3cm Tính diện tích tứ giác Bài 18 Cho tam giác có góc 45 0, kẻ đường cao chia cạnh kề với góc 45 thành phần có độ dài 20cm 21cm Tính độ dài cạnh cịn lại tam giác Bài 19 Giải tam giác vuông ABC biết: A 90 và: a AB = 5cm; AC = 8cm b BC = 7cm B 36 c AC = 2,8 C 51 Bài 20 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH ( H BC ) biết dài BC = 10 cm Tính độ dài AB, AH HC SinC = độ D NHỮNG LỖI HỌC SINH HAY MẮC: - Học sinh nắm không kiến thức lý thuyết - Nhiều Em chưa xác định cạnh huyền cạnh góc vng, hình chiếu nên khơng biết áp dụng cơng thức để tính - Sai lầm dễ mắc phải phần tập em sử dụng hệ thức bị nhầm lẫn tỉ số lượng giác với - Không biết cách làm trịn số - Bài tốn có nhiều cách giải khác nhau, cách giải xuất sai số nhỏ Hay sử dụng định lý py-ta go hai cạnh góc vng số gần dẫn đến sai số nhiều (Như ví dụ có ta sử dụng tiếp hệ thức AB = BC.sinC, từ tìm BC mà khơng cần sử dụng định lí Py-ta-go Phương pháp cho kết BC xác sai số ) - Tam giác không vuông áp dụng tỉ số lượng giác - Kỹ vẽ hình học sinh chậm chí nhiều Em khơng vẽ hình - Kỹ sữ dụng máy tính cịn hạn chế đổi từ đơn vị Ariang độ đặc biệt đổi cotA= 2,675 độ học sinh khơng biết đổi Cách làm: Ví dụ đổi cotA= 2,675 ta Ấn 2,675 = x-1 = SHIFT tan-1= 00,000