Chuyên đề hệ thức lượng trong tam giác vuông

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG Hệ thức cạnh đường cao KIẾN THỨC CƠ BẢN Khi giải toán liên quan đến cạnh đường cao tam giác vng, ngồi việc nắm vững kiến thức định lý Talet, trường hợp đồng dạng tam giác, cần phải nắm vững kiến thức sau: Tam giác ABC vuông A , đường cao AH , ta có: 1) a b2 2) b2 a.b ';c2 3) h b '.c ' 4) a.h b.c 5) h b2 c2 A a.c ' b c B h c' b' H a 6) b' a c2 b2 a2 Chú ý: Diện tích tam giác vng: S ab Ví dụ Cho tam giác ABC vng A , đường cao AH Biết AB : AC : AB AC 21cm a) Tính cạnh tam giác ABC b) Tính độ dài đoạn AH , BH ,CH THCS.TOANMATH.com C A Giải: a) Theo giả thiết: AB : AC 3: 4, H B suy AB AC AC 3.4 12 cm AB AC Do AB 3.3 C cm ; Tam giác ABC vuông A , theo định lý Pythagore ta có: BC AB AC 92 122 225 , suy BC b) Tam giác ABC vuông A , ta có AH BC AB.AC BC AH x x 15 5, x Vậy BH x2 x 9, AB.AC , suy 7,2 cm BH HC Đặt BH AH 7,2 9.12 15 15cm x 15x HC x 51, 84 x x 5, x x 5, 4cm Từ HC BC BH 15 5, x , ta có: 9,6 x 9, (loại) 9, cm Chú ý: Có thể tính BH sau: AB BH BC suy BH AB BC 92 15 Ví dụ 2: Cho tam giác cân ABC có đáy BC b b a a) Tính diện tích tam giác ABC b) Dựng BK AC Tính tỷ số THCS.TOANMATH.com AK AC 5, cm 2a , cạnh bên 5, Giải: a) Gọi H trung điểm BC Theo định lý Pitago ta có: AH AC HC b2 b) Ta có BC AH AK b2 a2 BK AC BK 2a b a b2 K BC AH AC giác vng AKB ta có: AB A a2 SABC 2a b b Suy BK AK a2 BC AH Suy SABC AH b2 AK AC C a Áp dụng định lý Pitago tam 4a 2 b b2 b2 H B b2 b2 a2 2a 2 b2 Suy 2a b2 Ví dụ 3: Cho tam giác ABC với đỉnh A, B,C cạnh đối diện với đỉnh tương ứng là: a, b, c a) Tính diện tích tam giác ABC theo a b) Chứng minh: a b2 c2 3S Giải: A a) Ta giả sử góc A góc lớn tam giác ABC B,C góc nhọn Suy chân đường cao hạ từ A lên BC điểm THCS.TOANMATH.com B H C H thuộc cạnh BC Ta có: BC HC Áp dụng định lý BH Pi ta go cho tam giác vng AHB, AHC ta có: AB2 AH HB2, AC AH HC Trừ hai đẳng thức ta có: c2 b2 HB HB HB c2 HC HC HC HB b2 a a BH 2 HC HB a HB HC HC ta có: a2 c2 2a b2 Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông AHB a AH c b2 2a Đặt 2p AH a b 16p p c b2 a2 c2 2a a c b2 a2 c2 2a c a c c a b b2 a2 c b b a c2 2a b2 c b c 4a 2a c a p b p c b) Từ câu a ) ta có: S Cơ si ta có: p a p p3 p 27 p2 3 THCS.TOANMATH.com p p p p b p Hay S AH 4a Từ tính S BC AH S a p c a b p b 12 c b p c c c Áp dụng bất đẳng thức p b a a p a a p b p p p p p c p3 Suy 27 Mặt khác ta dễ chứng minh a được: a b a2 S c b2 a2 c2 b2 a2 c suy b2 c2 3S 12 Dấu xảy hki tam giác ABC Ví dụ Cho tam giác nhọn ABC đường cao CK ; H trực tâm tam giác Gọi M điểm CK cho AMB 900 S, S1, S2 theo thứ tự diện tích tam giác AMB, ABC ABH Chứng minh S1.S S Giải: A Tam giác AMB vng M có AB nên MK MK AHK M AK BK (1) H CBK có B AKH D CKB 900 ; KAH (cùng phụ với ABC ) Suy Từ (1) (2) suy MK SAMB AB.MK Vậy S S1.S C K KCB AK CK HK , AK.KB BK CK HK nên MK AB CK HK CK.KH (2) CK.HK ; 1 AB.CK AB.HK 2 S1S Ví dụ Cho hình thang ABCD có A D 900, B 600,CD THCS.TOANMATH.com 30cm,CA CB Tính diện tích hình thang Giải: Ta có CAD ABC 600 (cùng phụ với CAB ), tam giác vng ACD ta có AC 2AD Theo định lý Pythagore thì: AC 2AD AD2 Suy 3AD AD DC hay 302 AD 900 300 nên AD 10 cm AB Tứ giác AHCD hình chữ nhật có A Kẻ CH suy AH 30cm;CH CD D H 10 cm AD Tam giác ACB vng C , ta có: CH HA.HB , suy HB CH HA AB AH SABCD 10 300 30 30 HB 30 CH AB CD 10 10 cm , 40 cm 10 40 30 350 cm Vậy diện tích hình thang ABCD 350 3cm2 Tỉ số lượng giác góc nhọn KIẾN THỨC CƠ BẢN Các tỉ số lượng giác góc nhọn sin AB ;cos BC THCS.TOANMATH.com AC ; tan BC (hình) định nghĩa sau: AB ;cot AC AC AB 900 , B + Nếu góc nhọn sin tan 1; 0; cot cos 1; Cạnh huyền Cạnh đối A Với hai góc , ta có: sin Nếu hai góc nhọn C 90 , mà cos ; cos α Cạnh kề sin ; tan có sin sin cot ; cot tan cos cos sin2 cos2 1;tg cot g Với số góc đặc biệt ta có: sin 300 cos 600 cos 300 sin 600 tan 450 cot 450 ; sin 450 ;cot600 1;cot 300 Ví dụ Biết sin 2 cos 450 tan 300 tan 600 Tính cos , tan 13 cot Giải: C Cách Xét Đặt B AC suy ABC vuông A Ta có: sin BC 13 THCS.TOANMATH.com AC BC k , 13 A α B AC 5k, BC AB2 BC AC AC AB 5k 12k tan cot sin cos cos sin 5k ; cot 12 12 : 13 13 12 : 13 13 144k , suy AB 12k 12 ; 13 AB AC suy sin2 13 25 sin2 169 Cách Ta có sin cos2 13k 12k 13k AB BC Vậy cos tan 13k Tam giác ABC vuông A nên: 13 13 12 12 13 13 12k 5k 12 25 , mà sin2 169 144 , suy cos 169 cos2 1, 12 13 ; 12 12 Ở cách giải thứ ta biểu thị độ dài cạnh tam giác ABC theo đại lượng k sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác góc nhọn để tính để 13 Sau ta tính tan cos , tan , cot Ở cách giải thứ hai, ta sử dụng giả thiết sin tính sin2 tính cos từ sin2 cot qua sin cos cos2 Ví dụ Cho tam giác nhọn ABC hai đường cao AD BE cắt H Biết HD : HA : Chứng minh tgB.tgC Giải: Ta có: tgB A AD ; tgC BD Suy tan B tanC THCS.TOANMATH.com E AD CD AD (1) BDCD H B D C HBD CAD (cùng phụ với ACB ); HDB Do BDH DH DC DH AD (2) Từ (1) (2) suy BD.DC 900 ADC BD , AD ADC (g.g), suy AD AD HD (3) Theo giả thiết suy DH AD DH AH HD hay , suy AD 3HD Thay vào (3) ta AD tan B.tanC HD AH HD 3HD DH được: tan B.tanC 12 Tính sin , cos 25 Ví dụ Biết sin cos Giải: 12 Để tính sin , cos ta cần tính sin 25 giải phương trình với ẩn sin cos cos Biết sin cos Ta có: sin sin cos cos cos cos sin2 cos2 7 nên sin 12 25 sin cos cos cos2 12 25 cos cos 35 cos 12 cos cos Suy cos sin THCS.TOANMATH.com 12 : 25 12 25 49 Suy 25 cos Từ ta có: 25 cos2 + Nếu cos 5 cos cos + Nếu cos Vậy sin sin , cos 12 : 25 , cos sin Hệ thức cạnh góc tam giác vuông KIẾN THỨC CƠ BẢN Trong tam giác vng, cạnh góc vng bằng: a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hay nhân với cosin góc kề b) Cạnh góc vng nhân với tan góc đối hay nhân với cot góc kề b a.sin B a cosC ;c a.sinC a.cos B;b c.tgB c.cot gC ; c b.tgC b.cot gC Giải tam giác vng tìm tất cạnh góc chưa biết tam giác vng Ví dụ Cho tam giác ABC có AB 16, AC 14 B 600 a) Tính độ dài cạnh BC b) Tính diện tích tam giác ABC Giải: A a) Kẻ đường cao AH Xét tam giác vuông ABH , ta có: BH AB.cos B AB.cos 600 16 B 600 H Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông AHC ta có: AH AB.sin B AB.sin 600 THCS.TOANMATH.com 16 C HC AC Vậy BC AH CH b) Cách SABC Cách SABC 142 HB 196 192 Suy HC 10 BC AH 10.8 BC BA.sin B 40 (đvdt) 10.16 2 40 (đvdt) Ví dụ 2: Tính diện tích tam giác ABC biết ABC 450, ACB 600 bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC R Giải: Giả thiết có góc có số đo đặc biệt , tam A giác ABC tam giác thường nên ta tạo tam giác vuông cách Dựng đường thẳng qua C , B vng góc với C 600 450 H AC , AB Gọi D giao điểm hai đường thẳng Khi tam giác ABD ACD tam giác D vuông điểm A, B,C , D nằm đường tròn đường kính AD 2R Ta có: AB H AH AD.sin 600 BC Tức là: BC BH BH AB.sin 450 THCS.TOANMATH.com R Kẻ đường cao AH suy CH Tam giác AHB vng góc H nên AD AB 2 AD 2 R Mặt khác tam B giác ACH vuông H nên AC AH CH R CH R Từ tính diện tích S BC R2 3 Ví dụ 3: Cho tam giác ABC với đỉnh A, B,C cạnh đối diện với đỉnh tương ứng là: a, b, c Chứng minh rằng: a) a b2 c2 2bc cos A b) Gọi D chân đường phân giác góc A Chứng minh: 2bc.cos AD b A c Giải: B a) Dựng đường cao BH tam giác c ABC ta có: a Cách 1: Giả sử H thuộc cạnh AC Ta có: AC AH A HC H C b Áp dụng định lý Pi ta go cho tam giác vuông AHB, BHC ta có: AB2 AH HB2, BC BH HC Trừ hai đẳng thức ta có: c2 a2 HA HA2 HC HC c2 a2 b THCS.TOANMATH.com HA HC HA ta có: HC b HA HC HA HC b b2 AH AB cos A b2 AH c2 2b c2 a 2bc a2 a2 Xét tam giác vng AHB ta có: b2 c2 2bc cos A Cách 2: Xét tam giác vng CHB ta có: BC BH BC BH BC BH AC AH BH AH AC c2 2bc cos A 2AC AH CB.cos A suy Ta có: AH HC 2 AH BA2 AC AC 2AC CB.cos A hay 2AC CB.cos A a2 b2 b) Để chứng minh toán ta cần kết sau: + sin2 +S 2sin cos ab sinC *) Thật xét tam giác vuông ABC , A BC , dựng đường cao AH Đặt ACB 900 , gọi M trung điểm AMB A Ta có sin sinC AH AC h b b h cos sin cosC AC BC sin AMH Từ ta suy ra: sin2 b a AH AM B h a H 2α α M 2h a 2sin cos *) Xét tam giác ABC Dựng đường cao BE ta có: A E THCS.TOANMATH.com C SABC BE.AC BE.b (1) Mặt khác tam giác vng AEB BE AB ta có: sin A BE c.sin A thay vào (1) ab sinC Ta có: S Trở lại tốn: A Ta có S ABD AD.AB sin A1 A AD.c.sin 2 b c S ACD AD.AC sin A2 Suy SABC SACD A AD sin c 2 A AD sin c b A AD.b.sin 2 D B SABD bc sin A b Mặt khác SABC bc sin A C 2bc cos bc sin A AD b c sin c A A b Chú ý rằng: Ta chứng minh kết sau: cos 2 cos2 1 sin2 Thật xét tam giác vuông ABC , A BC , dựng đường cao AH Đặt ACB THCS.TOANMATH.com 900 , gọi M trung điểm AMB Ta có : cos cosC sin AB BC sinC cos a AC BC c , a AM cos AMH b a A c MB AB 2AM MB b 2α a B α M a c2 a a 2 a2 2c a2 suy cos 2 cos2 Áp dụng a c2 b2 c a A b2 c2 a 2 cos 2bc thức đường phân giác ta có: b2 c2 a2 b A cos 2 a2 b2 b a a2 Từ sin2 2bc cos A 2 2bc cos2 c a2 4bc A Thay vào công b c a2 A 2bc 2bc cos 4bc AD c b b c Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: bc 2p b a b b c c AD a b bc b c b c a p(p a b c a c a ) với c Áp dụng công thức: a b c 2bc cos A Ta chứng minh hệ thức quan trọng hình học phẳng ( Định lý Stewart) là: ‘’Cho điểm D nằm cạnh BC tam giác ABC ta có: AB CD AC BD BC AB BD.DC ’’ A THCS.TOANMATH.com C + Thật :Ta giả kẻ AH BC khơng tính tổng qt, ta giả sử D nằm đoạn HC Khi ta có: AB2 AD2 BD2 AD2 2AD.BD.cos ADB BD2 2DB.DH (1) Tương tự ta có: AC AD DC 2DH DC (2) Nhân đẳng thức (1) với DC đẳng thức (2) với BD cộng lại theo vế ta có: AB CD AC BD BC AB BD.DC Ví dụ Khơng dùng máy tính bảng số chứng minh sin 750 Giải: A Vẽ tam giác ABC vuông A với BC ,C 2a ( a độ dài tùy ý) B 750 150 , suy B H I Gọi I trung điểm BC , ta có IA IB IC IAC nên AIB IH AI cos 300 CH CI IH a Vì AIB góc ngồi đỉnh I tam giác cân 2C 300 Kẻ AH a ; AH a THCS.TOANMATH.com a BC AI cos 300 a a ; C Tam giác AHC vuông H , theo định lý Pythagore, ta có: AC CH 4a 2 AH sin 750 a2 , suy AC a a 2a AC BC sin B a2 4 a2 a2 4 3 2 Vậy sin 750 2 THCS.TOANMATH.com 2 2 3 ... diện tích tam giác ABC biết ABC 450, ACB 600 bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC R Giải: Giả thiết có góc có số đo đặc biệt , tam A giác ABC tam giác thường nên ta tạo tam giác vuông cách... Giải tam giác vuông tìm tất cạnh góc chưa biết tam giác vng Ví dụ Cho tam giác ABC có AB 16, AC 14 B 600 a) Tính độ dài cạnh BC b) Tính diện tích tam giác ABC Giải: A a) Kẻ đường cao AH Xét tam. .. Nếu cos 5 cos cos + Nếu cos Vậy sin sin , cos 12 : 25 , cos sin Hệ thức cạnh góc tam giác vuông KIẾN THỨC CƠ BẢN Trong tam giác vng, cạnh góc vng bằng: a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hay