SKKN một số bài toán về thức lượng trong tam giác

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu Nâng cao chất lượng giáo dục mũi nhọn giảng dạy nhiệm vụ trọng tâm giúp nâng cao chất lượng giáo dục, bồi dưỡng nhân tài cho nhà trường, địa phương xã hội Việc giáo dục mũi nhọn (bồi dưỡng học sinh giỏi, ơn thi đại học) giúp học sinh hình thành phát triển lực cá nhân phát triển lực sáng tạo vô thiết yếu, phát triển lực sáng tạo giải toán rèn khả phát ứng dụng đa dạng tốn học Trong thực tế giảng dạy, ơn thi đại học bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi lớp 10 phần hệ thức lượng tam giác tơi gặp số tốn mà sách giáo khoa giải khó dài dịng Cũng qua tìm tịi nghiên cứu tài liệu giảng dạy thấy hệ thống dạng tập đưa phương pháp làm cho dạng việc giải tốn nhanh chóng đơn giản nhiều, góp phần giúp học sinh lấy điểm đề thi HSG, đề thi THPT quốc gia Chính sáng kiến tơi nhằm mục đích tổng hợp số dạng toán liên quan hệ thức lượng tam giác cụ thể là: xác định yếu tố tam giác, giải tam giác, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức liên quan đến yếu tố tam giác, tứ giác, nhận dạng tam giác Sáng kiến góp phần trang bị kiến thức cho học sinh để làm lớp tập hệ thức lượng tam giác kỳ thi học sinh giỏi, kì thi THPT Quốc gia năm tới giảm bớt khó khăn lúng túng, tạo tự tin cho học sinh việc giải tốn hình học Tên sáng kiến: Một số toán thức lượng tam giác Tác giả sáng kiến: - Họ tên: Tạ Thị Hồng Yến - Địa tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Thái Học - Số điện thoại: 0962390261 E_mail: hongyen.nth.vp@gmail.com Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Tạ Thị Hồng Yến Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: - Lĩnh vực: Toán học lớp 10 - Vấn đề sáng kiến giải quyết: Bài toán hệ thức lượng tam giác Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử, (ghi ngày sớm hơn): Tháng năm 2014 Mô tả chất sáng kiến: 7.1 Về nội dung sáng kiến: Gồm ba phần PHẦN I CƠ SỞ LÍ LUẬN Trên sở hệ thức lượng tam giác biết, định lí sin, định lý Cơsin, cơng thức tính độ dài đường trung tuyến, cơng thức tính diện tích tam giác Trong sáng kiến trình bày trường hợp cụ thể: việc ứng dụng hệ thức lượng tam giác biết để giải số tốn có liên quan PHẦN II CƠ SỞ THỰC TIỄN Tuy hệ thức lượng tam giác đơn giản áp dụng vào giải tốn lại cần vận dụng linh hoạt, khéo léo để giải vấn đề tốn đưa Vì việc hệ thống thành dạng tập với phương pháp giải cho dạng việc quan trọng giảm bớt khó khăn, lúng túng cho học sinh giải tập dạng PHẦN III NỘI DUNG A Kiến thức phương pháp cần nhớ B Nội dung chính: Các dạng toán phương pháp giải Dạng Xác định yếu tố tam giác Dạng Giải tam giác Dạng Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức liên quan đến yếu tố tam giác, tứ giác Dạng Nhận dạng tam giác C Bài tập ứng dụng D Kết luận E Tài liệu tham khảo A Kiến thức phương pháp cần nhớ Định lí cơsin: Trong tam giác với Ta có : A b c Hệ quả: B C a Hình 2.6 Định lí sin : Trong tam giác với , R bán kính đường trịn ngoại tiếp Ta có : Độ dài trung tuyến: Cho tam giác với trung tuyến kẻ từ A, B, C Ta có : Diện tích tam giác ta kí hiệu Với tam giác độ dài đường cao tương ứng với cạnh BC, CA, AB; R, r bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác; nửa chu vi tam giác; S diện tích tam giác Khi ta có: S= = = = = (cơng thức Hê–rơng) B CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG 1: Xác định yếu tố tam giác Phương pháp  Sử dụng định lí cơsin định lí sin  Sử dụng cơng thức xác định độ dài đường trung tuyến mối liên hệ yếu tố cơng thức tính diện tích tam giác Các ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác có Tính cạnh BC, độ dài đường cao kẻ từ A Lời giải Áp dụng định lí cơsin ta có Suy Vì nên Theo cơng thức tính diện tích ta có Mặt khác (1) (2) Từ (1) (2) suy Vậy độ dài đường cao kẻ từ A Ví dụ 2: Cho tam giác nội tiếp đường trịn bán kính 3, biết Tính độ dài trung tuyến kẻ từ A bán kính đường trịn nội tiếp tam giác Phân tích đề: Muốn tính độ dài đường trung tuyến ta phải tính cạnh tam giác mà giả thiết chưa cho cạnh Với giả thiết ta biết bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác số đo góc nên yếu tố ta nghĩ đến tính góc cịn lại, sau sử dụng định lý Sin để tính cạnh tam giác Lời giải Ta có Theo định lí sin ta có , Theo cơng thức đường trung tuyến ta có Theo cơng thức tính diện tích tam giác ta có Ví dụ 3: Cho tam giác có M trung điểm BC Biết Tính độ dài cạnh góc lớn tam giác Phân tích: Với giả thiết ta xét tam giác ABM biết cạnh góc, ta tính cạnh cịn lại Khi sử dụng cơng thức độ dài đường trung tuyến ta tính độ dài cạnh lại tam giác Lời giải Đặt A Theo định lí cơsin ta có: B Suy C M Hình 2.7 Theo cơng thức tính đường trung tuyến ta có TH1: Nếu Ta có góc A lớn Theo định lí cơsin ta có Suy TH2: Nếu Ta có góc A lớn Theo định lí cơsin ta có Suy Ví dụ 4: Cho tam giác thỏa mãn a) Tính góc tam giác b) Cho Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác Phân tích: Với giả thiết ta nghĩ đến hướng biểu diễn cạnh theo yếu tố, sau sử dụng định lý Cosin để tính góc tam giác ABC Lời giải: a) Đặt Áp dụng định lí cơsin ta có , b) Áp dụng định lí sin, ta có: DẠNG 2: Giải tam giác Phương pháp  Giải tam giác tính cạnh góc tam giác dựa số điều kiện cho trước  Trong toán giải tam giác người ta thường cho tam giác với ba yếu tố sau: biết cạnh hai góc kề cạnh đó; biết góc hai cạnh kề góc đó; biết ba cạnh Để tìm yếu tố cịn lại ta sử dụng định lí cơsin định lí sin; định lí tổng ba góc tam giác tam giác đối diện với góc lớn có cạnh lớn ngược lại đối diện với cạnh lớn có góc lớn Các ví dụ Ví dụ 1: Giải tam giác biết Phân tích: Từ giả thiết ta biết cạnh góc, ta xác định góc thứ ba ln Muốn xác định cạnh cịn lại ta sử dụng định lý sin Lời giải Ta có Theo định lí sin ta có Ví dụ 2: Giải tam giác biết Phân tích: Từ giả thiết biết cạnh góc ta xác định tính cạnh a trước cách sử dụng định lý cơsin, sau sử dụng định lý sin để tính góc cịn lại Lời giải Theo định lí cơsin ta có Suy Theo định lí sin ta có Suy Ví dụ 3: Giải tam giác biết Phân tích: Với tốn biết ba cạnh tam giác, muốn xác định góc tam giác ta sử dụng định lý cơsin Lời giải: Ta có: Suy Tiếp theo ta xét ví dụ liên quan đến tìm yếu tố tam giác với mức độ phức tạp toán trên, cần vận dụng linh hoạt phép biến đổi Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có góc A 600, kính đường trịn nội tiếp , bán Tính độ dài b c Lời giải: Áp dụng định lý hàm sin ta có: Mặt khác: , (1) Theo định lý hàm cosin ta có: , Thay (1) vào (2) ta được: (2) , (3) 10 Lời giải Áp dụng công thức đường trung tuyến với tam giác ta có: (1) (2) Từ (1) (2) suy Mặt khác EF đường trung tuyến tam giác nên Suy b) Góc A vng Ví dụ 12: Trích đề thi HSG toán 10 tỉnh Hải Dương năm học (2018 – 2019) Cho tam giác nhọn , gọi Gọi diện tích tam giác , chứng minh chân đường cao kẻ từ đỉnh và Biết Lời giải: Đặt từ giả thiết suy A E K B H C 20 DẠNG 4: Nhận dạng tam giác Phương pháp giải Sử dụng định lí cơsin; sin; cơng thức đường trung tuyến; cơng thức tính diện tích tam giác để biến đổi giả thiết hệ thức liên hệ cạnh(hoặc góc) từ suy dạng tam giác Các ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác tam giác thoả mãn Chứng minh minh cân Lời giải: Áp dụng định lí cơsin sin ta có: Suy tam giác cân đỉnh C 21 Ví dụ 2: Cho tam giác tam giác thoả mãn Chứng minh vuông Lời giải Ta có: vng A Thay đổi chút giả thiết tốn ta có tốn sau Ví dụ 3: Trích Đề thi HSG 10 tỉnh Vĩnh Phúc 2016 -2017 Cho tam giác ABC có cạnh Chứng minh tam giác ABC vng Lời giải: Gọi R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Áp dụng định lí Sin, Cosin tam giác ABC ta có , , Khi 22 Vậy tam giác ABC vng A Ví dụ 4: Trích Đề thi HSG lớp 10 tỉnh Vĩnh Phúc 2014 - 2015 Cho tam giác ABC không vuông có cạnh Chứng minh tam giác ABC thỏa mãn tam giác ABC Lời giải: Theo định lí hàm số sin cơsin ta có: Tương tự ta có (do kết hợp với ), Tiếp theo xét ví dụ sau cần vận dụng nhiều công thức hệ thức lượng bất đẳng thức để giải tốn Ví dụ 3: Trích đề thi HSG tốn 10 tỉnh Hà Nam năm học 2013-2014 23 Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh tam giác, độ dài đường trung tuyến xuất hát từ A, B, C Gọi R, S bán kính đường trịn ngoại tiếp, diện tích tam giác Chứng minh tam giác ABC nếu: Lời giải: Ta có: Mà Vì Nên , tương tự Do dấu xảy Vậy tam giác ABC Tiếp theo với việc sử dụng định lý Sin bất đẳng thức Cơsi ta giải tốn sau: 24 Ví dụ 4: Cho tam giác có diện tích bán kính đường tròn ngoại tiếp thỏa mãn hệ thức Chứng minh tam giác tam giác Lời giải: Theo định lí sin ta có : Áp dụng bắt đẳng thức cơsi ta có:  Mà , dấu “ =” xảy a = b = c  ABC Ví dụ 5: Nhận dạng tam giác trường hợp sau: a) b) Lời giải a) Áp dụng cơng thức diện tích ta có Vậy tam giác suy 25 b) Ta có: cân C C Bài tập vận dụng Bài 1: Cho tam giác thỏa mãn Chứng minh nhọn a) Tam giác b) Bài 2: Cho tam giác Chứng minh Bài 3: Gọi S diện tích tam giác a) b) Bài 4: Cho tứ giác lồi Chứng minh rằng: , gọi  góc hợp hai đường chép AC BD Chứng minh diện tích S tứ giác cho công thức: 26 Bài 5: Cho tam giác ABC có , AD đường phân giác (D thuộc BC) Chứng minh Bài 6: Cho tam giác , chứng minh rằng: b) a) Bài 7: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R) Chứng minh b) a) Bài 8: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: Bài 9: Cho tam giác Gọi bán kính đường trịn nội tiếp Chứng minh Bài 10: Cho tam giác có Chứng minh Bài 11: Cho M điểm nằm tam giác cho Chứng minh : Bài 12: Cho tam giác có trọng tâm G Chứng minh 27 Bài 13: Cho tam giác Chứng minh Bài 14: Cho hình bình hành có Chứng minh Bài 15: Cho tam giác ABC có cạnh a, b, c diện tích S Chứng minh Bài 16: Cho tam giác Chứng minh tam giác cân Bài 17: Cho tam giác Chứng minh tam giác cân Bài 18: Chứng minh tam giác Bài 19: Cho tam giác Tìm góc A tam giác biết cạnh a, b, c thoả mãn hệ thức: Bài 20: Cho thoả mãn điều kiện: Chứng minh Bài 21: Trong tam giác , chứng minh diện tích tính theo cơng thức tam giác ABC Bài 22: Cho thỏa mãn: Chứng minh tam giác tam giác cân Bài 23: Chứng minh tam giác vuông A B 28 Bài 24: Cho tam giác có có hai trung tuyến kẻ từ B C vng góc với Chứng tam giác cân Bài 25: Chứng minh tam giác Bài 26: Chứng minh tam giác cân tại B D KẾT LUẬN Kết luận Sáng kiến số ứng dụng vectơ giúp học sinh phát triển lực sáng tạo giải toán, củng cố, hệ thống kiến thức để giải số toán hình học phẳng Trên nhứng kết nghiên cứu ban đầu Hy vọng đề tài trở thành tài liệu tham khảo cho giáo viên, học sinh người quan tâm đến vấn đề Do thời gian có hạn chế nên việc nghiên cứu khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến bạn đồng nghiệp Khuyến nghị 29 Đối với giáo viên: Không ngừng tự học, tự bồi dưỡng để nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ Đối với cấp: Trong q trình giảng dạy tơi nhận thấy, kiến thức hệ thức lượng khơng phải khó tiếp thu học sinh mà ứng dụng tập lại hiệu Nhưng nội dung lại chưa có nhiều tập vận dụng sách giáo khoa Điều làm khó khăn cho giáo viên hướng dẫn học sinh làm tập Tơi mong có nhiều tài liệu tham khảo vấn đề E Tài liệu tham khảo Sách tập hình học nâng cao 10 – NXB Giáo dục Sách giáo khoa hình hoc 10 – NXB Giáo dục Một số đề thi học sinh tỉnh 7.2 Về khả áp dụng sáng kiến - Đề tài áp dụng để giải tốn có liên quan đến hệ thức lượng tam giác trường THPT không chuyên địa bàn Tỉnh Vĩnh Phúc - Tiếp tục xây dựng, lựa chọn dạng tập áp dụng hệ thức lượng tam giác vào giải - Dùng đề tài làm tài liệu cho q trình giảng dạy, ơn thi đại học cao đẳng bồi dưỡng học sinh giỏi - Tiếp tục nghiên cứu áp dụng hệ thức lượng tam giác vào giải tốn bất đẳng thức hình học, toán nhận dạng tam giác Những thơng tin cần bảo mật (nếu có): Khơng 30 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: - Học sinh: đối tượng học sinh lớp 10 THPT 10 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả theo ý kiến tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể áp dụng thử (nếu có) theo nội dung sau: 10.1 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả: * Đối với giáo viên: - Bồi dưỡng chuyên môn - Thêm yêu nghề * Đối với học sinh: Thông qua việc giảng dạy lớp chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn thi đại học áp dụng đề tài nhận thấy: Học sinh có khả tiếp thu, vận dụng xác dạng tập có liên quan đến hệ thức lượng tam giác giải tam giác Học sinh nắm kiến thức hệ thức lượng tam giác tự tin giải tập sách giáo khoa, sách tập, đề thi học sinh giỏi Kết điểm kiểm tra nâng lên rõ rệt Hình thành tư lơgic, kỹ giải tốn khó hệ thức lượng tam giác nhận dạng tam giác Đồng thời tạo hứng thú học tập cho học sinh Kết cụ thể: Lớp 10: 31 Số học sinh làm Số điểm ≥ Trước áp dụng Số điểm ≥ 35 10 35 20 SK Sau áp dụng SK Kết bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi sau áp dụng sáng kiến: Đội tuyển HSG lớp 10 đạt giải khuyến khích Đội tuyển HSG lớp 12 đạt giải ba, hai giải khuyến khích 10.2 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tổ chức, cá nhân: * Đối với giáo viên: - Bồi dưỡng chuyên môn - Thêm yêu nghề * Đối với học sinh: Học sinh có khả tiếp thu, vận dụng xác dạng tập có liên quan đến hệ thức lượng tam giác giải tam giác Học sinh nắm kiến thức hệ thức lượng tam giác tự tin giải tập sách giáo khoa, sách tập, đề thi học sinh giỏi Kết điểm kiểm tra nâng lên rõ rệt Hình thành tư lơgic, kỹ giải tốn khó hệ thức lượng tam giác nhận dạng tam giác Đồng thời tạo hứng thú học tập cho học sinh Kết cụ thể: Lớp 10: 32 Số học sinh làm Số điểm ≥ Trước áp dụng Số điểm ≥ 35 10 35 20 SK Sau áp dụng SK Kết bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi sau áp dụng sáng kiến: Đội tuyển HSG lớp 10 đạt giải khuyến khích Đội tuyển HSG lớp 12 đạt giải ba, hai giải khuyến khích * Năng lực chuyên biệt: - Năng lực sáng tạo 11 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có): Số Tên tổ chức/cá TT nhân Lớp 10A5 Tạ Thị Hồng Yến Địa Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Trường THPT Nguyễn Thái Học Trường THPT Nguyễn Thái Học Toán học lớp 10 Toán học lớp 12 ., ngày tháng năm , ngày tháng năm Vĩnh Yên, ngày 20 tháng năm 2020 Thủ trưởng đơn vị/ CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG Tác giả sáng kiến Chính quyền địa phương SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ (Ký, ghi rõ họ tên) 33 (Ký tên, đóng dấu) (Ký tên, đóng dấu) Tạ Thị Hồng Yến 34 ... Cho tam giác Chứng minh tam giác cân Bài 17: Cho tam giác Chứng minh tam giác cân Bài 18: Chứng minh tam giác Bài 19: Cho tam giác Tìm góc A tam giác biết cạnh a, b, c thoả mãn hệ thức: Bài. .. minh Bài 21: Trong tam giác , chứng minh diện tích tính theo cơng thức tam giác ABC Bài 22: Cho thỏa mãn: Chứng minh tam giác tam giác cân Bài 23: Chứng minh tam giác vuông A B 28 Bài 24: Cho tam. .. sin, ta có: DẠNG 2: Giải tam giác Phương pháp  Giải tam giác tính cạnh góc tam giác dựa số điều kiện cho trước  Trong toán giải tam giác người ta thường cho tam giác với ba yếu tố sau: biết