SKKN một số bài toán về thức lượng trong tam giác

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu Nâng cao chất lượng giáo dục mũi nhọn giảng dạy nhiệm vụ trọng tâm giúp nâng cao chất lượng giáo dục, bồi dưỡng nhân tài cho nhà trường, địa phương xã hội Việc giáo dục mũi nhọn (bồi dưỡng học sinh giỏi, ơn thi đại học) giúp học sinh hình thành phát triển lực cá nhân phát triển lực sáng tạo vô thiết yếu, phát triển lực sáng tạo giải toán rèn khả phát ứng dụng đa dạng tốn học Trong thực tế giảng dạy, ơn thi đại học bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi lớp 10 phần hệ thức lượng tam giác tơi gặp số tốn mà sách giáo khoa giải khó dài dòng Cũng qua tìm tòi nghiên cứu tài liệu giảng dạy thấy hệ thống dạng tập đưa phương pháp làm cho dạng việc giải tốn nhanh chóng đơn giản nhiều, góp phần giúp học sinh lấy điểm đề thi HSG, đề thi THPT quốc gia Chính sáng kiến tơi nhằm mục đích tổng hợp số dạng toán liên quan hệ thức lượng tam giác cụ thể là: xác định yếu tố tam giác, giải tam giác, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức liên quan đến yếu tố tam giác, tứ giác, nhận dạng tam giác Sáng kiến góp phần trang bị kiến thức cho học sinh để làm lớp tập hệ thức lượng tam giác kỳ thi học sinh giỏi, kì thi THPT Quốc gia năm tới giảm bớt khó khăn lúng túng, tạo tự tin cho học sinh việc giải tốn hình học Tên sáng kiến: Một số toán thức lượng tam giác Tác giả sáng kiến: - Họ tên: Tạ Thị Hồng Yến - Địa tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Thái Học - Số điện thoại: 0962390261 E_mail: hongyen.nth.vp@gmail.com Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Tạ Thị Hồng Yến Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: - Lĩnh vực: Toán học lớp 10 - Vấn đề sáng kiến giải quyết: Bài toán hệ thức lượng tam giác Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử, (ghi ngày sớm hơn): Tháng năm 2014 Mô tả chất sáng kiến: 7.1 Về nội dung sáng kiến: Gồm ba phần PHẦN I CƠ SỞ LÍ LUẬN Trên sở hệ thức lượng tam giác biết, định lí sin, định lý Cơsin, cơng thức tính độ dài đường trung tuyến, cơng thức tính diện tích tam giác Trong sáng kiến trình bày trường hợp cụ thể: việc ứng dụng hệ thức lượng tam giác biết để giải số tốn có liên quan PHẦN II CƠ SỞ THỰC TIỄN Tuy hệ thức lượng tam giác đơn giản áp dụng vào giải tốn lại cần vận dụng linh hoạt, khéo léo để giải vấn đề tốn đưa Vì việc hệ thống thành dạng tập với phương pháp giải cho dạng việc quan trọng giảm bớt khó khăn, lúng túng cho học sinh giải tập dạng PHẦN III NỘI DUNG A Kiến thức phương pháp cần nhớ B Nội dung chính: Các dạng toán phương pháp giải Dạng Xác định yếu tố tam giác Dạng Giải tam giác Dạng Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức liên quan đến yếu tố tam giác, tứ giác Dạng Nhận dạng tam giác C Bài tập ứng dụng D Kết luận E Tài liệu tham khảo A Kiến thức phương pháp cần nhớ Định lí côsin: Trong tam giác ABC với BC = a, AC = b AB = c Ta có : a = b + c − 2bc.cos A b = c + a − 2ca.cos B c = a + b − 2ab.cos C Hệ quả: b2 + c2 − a cos A = 2bc c + a − b2 cos B = 2ca a + b2 − c2 cos C = 2ab Hình 2.6 Định lí sin : Trong tam giác ABC với BC = a, AC = b , AB = c R bán kính đường tròn ngoại tiếp Ta có : a b c = = = 2R sin A sin B sin C Độ dài trung tuyến: Cho tam giác ABC với m a , m b , m c trung tuyến kẻ từ A, B, C Ta có : 2(b + c ) − a 2(a + c ) − b 2(a + b ) − c 2 m = , mb = , mc = 4 a Diện tích tam giác Với tam giác ABC ta kí hiệu h a , h b , h c độ dài đường cao tương ứng với cạnh BC, CA, AB; R, r bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác; p = a+b+c nửa chu vi tam giác; S diện tích tam giác Khi ta có: S= 1 ah a = bh b = ch c 2 = 1 bcsin A = ca sin B = absin C 2 = abc 4R = pr = p(p − a)(p − b)(p − c) (cơng thức Hê–rơng) B CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG 1: Xác định yếu tố tam giác Phương pháp • Sử dụng định lí cơsin định lí sin • Sử dụng công thức xác định độ dài đường trung tuyến mối liên hệ yếu tố công thức tính diện tích tam giác Các ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = cos A = Tính cạnh BC, độ dài đường cao kẻ từ A Lời giải Áp dụng định lí cơsin ta có BC = AB2 + AC − 2AB.AC.cos A = + − 2.4.6 = 16 Suy BC = Vì sin A + cos A = nên sin A = − cos A = − = 16 Theo cơng thức tính diện tích ta có SABC = AB.AC.sin A = 4.6 = (1) Mặt khác SABC = a.h a = 4.h a (2) Từ (1) (2) suy 4.h a = ⇒ h a = 2 Vậy độ dài đường cao kẻ từ A h a = Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn bán kính 3, biết µ = 300 , B µ = 550 Tính độ dài trung tuyến kẻ từ A bán kính đường tròn nội tiếp A tam giác Phân tích đề: Muốn tính độ dài đường trung tuyến ta phải tính cạnh tam giác mà giả thiết chưa cho cạnh Với giả thiết ta biết bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác số đo góc nên yếu tố ta nghĩ đến tính góc lại, sau sử dụng định lý Sin để tính cạnh tam giác Lời giải µ = 1800 − A µ −B µ = 1800 − 300 − 550 = 950 Ta có C Theo định lí sin ta có a = 2R sin A = 2.3.sin 300 = , b = 2R sin B = 2.3.sin 550 = 6.sin 550 c = 2R sin C = 2.3.sin 950 = 6sin 950 Theo công thức đường trung tuyến ta có m = a ( b2 + c2 ) − a = ( 36sin 550 + 36sin 950 ) − ≈ 27.69 Theo cơng thức tính diện tích tam giác ta có SABC bcsin A 36.sin 550.sin 950.sin 30 = pr = bcsin A ⇒ r = = ≈ 1,06 2p 6sin 550 + + 6sin 950 Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có M trung điểm BC Biết AB = 3, BC = 8, · cos AMB = 13 Tính độ dài cạnh AC góc lớn tam giác ABC 26 Phân tích: Với giả thiết ta xét tam giác ABM biết cạnh góc, ta tính cạnh lại Khi sử dụng công thức độ dài đường trung tuyến ta tính độ dài cạnh lại tam giác Lời giải BC = ⇒ BM = Đặt AM = x · = Theo định lí cơsin ta có: cos AMB Suy AM + BM − AB2 2AM.AB 13 x + 16 − = 26 2.4.x Hình 2.7  x = 13  ⇔ 13x − 20 13x + 91 = ⇔  13 x =  13 Theo cơng thức tính đường trung tuyến ta có AM = TH1: Nếu x = 13 ⇒ 13 = ( 32 + AC ) − 82 ( AB2 + AC ) − BC2 2AB.AC ⇒ AC = Ta có BC > AC > AB ⇒ góc A lớn Theo định lí cơsin ta có cos A = AB2 + AC2 − BC + 49 − 64 = =− 2AB.AC 2.3.7 Suy A ≈ 98012' 2 13 49 ( + AC ) − 397 TH2: Nếu x = ⇒ = ⇒ AC = 13 13 13 Ta có BC > AC > AB ⇒ góc A lớn Theo định lí cơsin ta có AB2 + AC − BC2 cos A = = 2AB.AC 397 − 64 53 13 =− 397 5161 2.3 13 9+ Ví dụ 4: Cho tam giác ABC thỏa mãn Suy A ≈ 137032' a b 2c = = 6− a) Tính góc tam giác b) Cho a = Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Phân tích: Với giả thiết ta nghĩ đến hướng biểu diễn cạnh theo yếu tố, sau sử dụng định lý Cosin để tính góc tam giác ABC Lời giải: a) Đặt a = t > ⇒ a = 3t, b = 2t, c = − t Áp dụng định lí cơsin ta có ( ) ) 2 b + c − a 2t + − t − 3t cos A= = = − ⇒ A = 1200 2bc 2 −1 t ( ( ) 2 a + c − b 3t + − t − 2t cos B= = = ⇒ B = 450 , C = 150 2ac 2 3− t ( b) Áp dụng định lí sin, ta có: R = ) a = = 2sin A 2sin1200 DẠNG 2: Giải tam giác Phương pháp • Giải tam giác tính cạnh góc tam giác dựa số điều kiện cho trước • Trong tốn giải tam giác người ta thường cho tam giác với ba yếu tố sau: biết cạnh hai góc kề cạnh đó; biết góc hai cạnh kề góc đó; biết ba cạnh Để tìm yếu tố lại ta sử dụng định lí cơsin định lí sin; định lí tổng ba góc tam giác 1800 tam giác đối diện với góc lớn có cạnh lớn ngược lại đối diện với cạnh lớn có góc lớn Các ví dụ µ = 600 , B µ = 400 c = 14 Ví dụ 1: Giải tam giác ABC biết A Phân tích: Từ giả thiết ta biết cạnh góc, ta xác định góc thứ ba ln Muốn xác định cạnh lại ta sử dụng định lý sin Lời giải µ = 1800 − A µ −B µ = 1800 − 600 − 400 = 800 Ta có C Theo định lí sin ta có a= csin A 14.sin 600 = ⇒ a ≈ 12,3 sin C sin 800 csin B 14.sin 400 b= = ⇒ b ≈ 9,1 sin C sin 800 µ = 850 Ví dụ 2: Giải tam giác ABC biết b = 30; c = 35 A Phân tích: Từ giả thiết biết cạnh góc ta xác định tính cạnh a trước cách sử dụng định lý cơsin, sau sử dụng định lý sin để tính góc lại Lời giải Theo định lí cơsin ta có a = b + c − 2bc.cos A = 302 + 352 − 2.30.35.cos850 Suy a ≈ 44,07 Theo định lí sin ta có bsin A 30sin 850 µ ≈ 420 41' sin B = = ⇒B a 44,07 µ = 1800 − A µ −B µ ≈ 1800 − 850 − 420 41' = 52019' Suy C Ví dụ 3: Giải tam giác ABC biết a = 4, b = 5,c = Phân tích: Với tốn biết ba cạnh tam giác, muốn xác định góc tam giác ta sử dụng định lý cơsin Lời giải: Ta có: cos A = b + c − a 58 µ ≈ 3403' = ⇒A 2bc 70 a + c − b 40 µ ≈ 440 25' cosB = = ⇒B 2ac 56 ( ) µ = 1800 − A µ +B µ = 101032' Suy C Tiếp theo ta xét ví dụ liên quan đến tìm yếu tố tam giác với mức độ phức tạp toán trên, cần vận dụng linh hoạt phép biến đổi Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có góc A 60 0, BC = a = 10, AC = b, AB = c , bán kính đường tròn nội tiếp r = Tính độ dài b c Lời giải: Áp dụng định lý hàm sin ta có: Mặt khác: S∆ABC = ⇔ bc = a a 10 = 2R ⇒ R = = sin A 2sin A abc 40 10 + b + c = p.r ⇒ 10bc = 4Rpr = 4R 3 10 (10 + b + c) , (1) Theo định lý hàm cosin ta có: a = b + c − 2bc.cos A ⇔ 100 = b + c − bc ⇔ 100 = (b + c) − 3bc , Thay (1) vào (2) ta được: 100 = (b + c) − (2) 10 (10 + b + c) , (3)  t = 20  t = −10 (loai) Đặt t=b+c (t>0), phương trình (3) trở thành: t − 10t − 200 = ⇔  b + c = 20 b = 10  ⇔ Với t = 20 suy ra:  10 c = 10 bc = (10 + 20) = 100 10 Lời giải: Vẽ đường cao BM CN tam giác ABC ( M ∈ AC, N ∈ AB ) Gọi K trung điểm BC, qua K kẻ đường thẳng song song với CN BM cắt AB, AC E F Khi E trung điểm BN F trung điểm CM Bốn điểm A, E, K, F nằm đường tròn đường kính AK = , theo định lý sin · tam giác EKF ta EF = AK.sin EKF = 5sin A ⇔ cos A = − 24 25 (vì cos A ≠ ) Áp dụng định lý cosin tam giác EKF ta : · EF2 = KE + KF2 − 2KE.KF.cos EKF = 32 + + 2.3.4.cos A ⇔ 25sin A = 25 + 24.cos A ⇔ 25 ( − cos A ) = 25 + 24.cos A Ví dụ 11: Cho tứ giác ABCD có E, F trung điểm đường chéo Chứng minh : AB2 + BC2 + CD + DA = AC + BD + 4EF2 Lời giải Áp dụng công thức đường trung tuyến với tam giác ABC ADC ta có: AC (1) AB + BC = 2BE + 2 2 CD + DA = 2DE + AC (2) 19 Từ (1) (2) suy AB2 + BC2 + CD + DA = ( BE + DE ) + AC2 BD Mặt khác EF đường trung tuyến tam giác BDF nên BE + DE = 2EF + 2 2 Suy AB2 + BC2 + CD + DA = AC + BD + 4EF2 b) Góc A vng ⇔ m 2b + m c2 = 5ma2 Ví dụ 12: Trích đề thi HSG tốn 10 tỉnh Hải Dương năm học (2018 – 2019) Cho tam giác nhọn ABC , gọi H, E, K chân đường cao kẻ từ đỉnh A, B,C Gọi diện tích tam giác ABC HEK S∆ABC S∆HEK Biết S∆ABC = 4S∆HEK , chứng minh sin A + sin B + sin C = Lời giải: Đặt S = SABC từ giả thiết suy S S S SEAK + SKBH + SHCE = S ⇒ EAK + KBH + HCE = S S S SEAK AE.AK sin A AE AK = = = cos A.cos A = cos A S AB.ACsin A AB AC SKBH BK.BH.sin B BK BH = = = cos B.cos B = cos B S AB.BCsin B BC AB SHCE CH.CE.sin C CH CE = = = cos C.cos C = cos C S AC.BCsin C AC BC SEAK SKBH SHCE 3 + + = ⇔ cos A + cos B + cos C = S S S 4 ⇔ − sin A + − sin B + − sin C = ⇔ sin A + sin B + sin C = 4 20 DẠNG 4: Nhận dạng tam giác Phương pháp giải Sử dụng định lí cơsin; sin; cơng thức đường trung tuyến; cơng thức tính diện tích tam giác để biến đổi giả thiết hệ thức liên hệ cạnh(hoặc góc) từ suy dạng tam giác Các ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC thoả mãn sin C = 2sin Bcos A Chứng minh minh tam giác ABC cân Lời giải: Áp dụng định lí cơsin sin ta có: c b b2 + c2 − a sin C = 2sin Bcos A ⇔ = 2R 2R 2bc c2 = b + c2 − a ⇔ a = b Suy tam giác ABC cân đỉnh C Ví dụ 2: Cho tam giác ABC thoả mãn sin A = sin B + sin C Chứng minh cos B + cos C tam giác ABC vng Lời giải Ta có: sin A = ⇔ sin B + sin C ⇔ sin A(cos B + cos C) = sin B + sin C cos B + cos C a c2 + a − b2 a + b2 − c2 b+c ( + )= 2R 2ca 2ab 2R ⇔ b(c + a − b ) + c(a + b − c ) = 2b 2c + 2c b ⇔ b3 + c3 + b 2c + bc − a b − a 2c = ⇔ (b + c)(b + c ) − a (b + c) = b + c = a ⇔ ∆ABC vuông A Thay đổi chút giả thiết tốn ta có tốn sau Ví dụ 3: Trích Đề thi HSG 10 tỉnh Vĩnh Phúc 2016 -2017 21 Cho tam giác ABC có cạnh BC = a, CA = b, AB = c Chứng minh sin A = sin B + 2sin C 2cos B + cos C tam giác ABC vng Lời giải: Gọi R bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Áp dụng định lí Sin, Cosin tam giác ABC ta có sin A = a b ,sin B = , 2R 2R c a + c2 − b a + b2 − c2 ,cos C = , cos B = 2R 2ac 2ab sin C = Khi sin A = sin B + 2sin C b + 2c ⇔a= 2 a + c − b2 a + b2 − c2 2cos B + cos C + 2ac 2ab ⇔ 2a b − 2c b − 2b − b 2c + ca − c3 = ⇔ ( 2b + c ) ( a − b − c ) = ⇔ a = b + c Vậy tam giác ABC vng A Ví dụ 4: Trích Đề thi HSG lớp 10 tỉnh Vĩnh Phúc 2014 - 2015 Cho tam giác ABC khơng vng có cạnh BC = a, CA = b, AB = c Chứng minh tam giác ABC thỏa mãn a + b = 2c tan A + tan C = tan B tam giác ABC Lời giải: Theo định lí hàm số sin cơsin ta có: a sin A abc tan A = = 2R2 = 2 cos A b + c − a R ( b + c2 − a ) 2bc abc abc Tương tự ta có tan B == R c + a − b , tan C = R a + b − c ( ) ( ) 22 ⇒ tan A + tan C = 2.tan B ⇔ abc abc abc + = 2 2 2 R( b +c −a ) R( a +b −c ) R ( a + c2 − b ) 1 + = 2 2 2 b +c −a a +b −c a + c − b2 ⇔ ⇔ ( c2 + a − b ) ( a + b − c2 ) + ( b2 + c2 − a ) ( a + c2 − b ) ( = ( b2 + c2 − a ) ( a + b2 − c2 ) ⇔ a − ( b2 − c2 ) + c4 − ( a − b2 ) = b − ( a − c2 ) 2 ) ⇔ a ( a + b − 2c ) + ( c − b ) ( c + 2b ) = ⇔ b = c (do a + b = 2c ), kết hợp với a + b = 2c ⇒ a = b = c Tiếp theo xét ví dụ sau cần vận dụng nhiều công thức hệ thức lượng bất đẳng thức để giải tốn Ví dụ 3: Trích đề thi HSG tốn 10 tỉnh Hà Nam năm học 2013-2014 Cho tam giác ABC có AC = b, AB = c, BC = a độ dài ba cạnh tam giác, m a , m b , m c độ dài đường trung tuyến xuất hát từ A, B, C Gọi R, S bán kính đường tròn ngoại tiếp, diện tích tam giác Chứng minh nếu: 1 + + = tam giác ABC abm c bcm a acm b 2RS Lời giải: Ta có: 1 1 + + = ⇔ + + = abm c bcm a acm b 2RS abm c bcm a acm b abc c b a + + =2 3m c 3m b 3m a Mà Vì a = 3m a a2 2b + 2c − a 3a = 2a 3a 2b + 2c − a 3a + 2b + 2c − a 3a 2b + 2c − a ≤ = b + c2 + a 2 2 23 Nên a 2a ≥ 2 , tương tự 3m a a + b + c b 2b ≥ , 2 3m b a + b + c c 2c ≥ 2 3m c a + b + c c b a + + ≥ dấu xảy 3m c 3m b 3m a Do 3a = 2b + 2c − a  2 2 3b = 2a + 2c − b ⇔ a = b = c 3c = 2b + 2a − c  Vậy tam giác ABC Tiếp theo với việc sử dụng định lý Sin bất đẳng thức Cơsi ta giải tốn sau: Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có diện tích S bán kính đường tròn ngoại tiếp R thỏa mãn hệ thức S = 2 R ( sin A + sin B + sin C ) Chứng minh tam giác ABC tam giác Lời giải: a3 B3 c3 3 Theo định lí sin ta có : sin A = ; sin B = ;sin C = 8R 8R 8R 2  a3 b3 c3  a + b + c3 VT = R  + + ÷ =  8R 8R 8R  12R Áp dụng bắt đẳng thức cơsi ta có: a + b3 + c3 ≥ 3abc ⇒ VT ≥ abc 4R Mà S = abc , dấu “ =” xảy a = b = c ⇔∆ ABC 4R Ví dụ 5: Nhận dạng tam giác ABC trường hợp sau: a) a.sin A + bsin B + csin C = h a + h b + h c 24 b) cos A + cos B = (cot A + cot B) 2 sin A + sin B Lời giải 2 a) Áp dụng công thức diện tích ta có S = bcsin A = ah a suy a.sin A + bsin B + csin C = h a + h b + h c ⇔ a 2S 2S 2S 2S 2S 2S + b + c = + + bc ca ab a b c ⇔ a + b + c = ab + bc + ca ⇔ ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) = ⇔ a = b = c 2 Vậy tam giác ABC b) Ta có: cos A + cos B = (cot A + cot B) 2 sin A + sin B cos A + cos B + sin A + sin B ⇔ = (cot A + + cot B + 1) 2 sin A + sin B ⇔ 1 = ( + ) ⇔ (sin A + sin B) = 4sin A sin B sin A + sin B sin A sin B 2  a   b  ⇔ sin A = sin B ⇔  ÷ = ÷ ⇔ a = b ⇔ ∆ABC cân C  2R   2R  2 C Bài tập vận dụng Bài 1: Cho tam giác ABC thỏa mãn a = b + c Chứng minh a) Tam giác ABC nhọn b) 2sin A = tan B tan C 25 Bài 2: Cho tam giác ABC Chứng minh cot A = b2 = ( cot B + cot C ) 2 (a +c ) Bài 3: Gọi S diện tích tam giác ABC Chứng minh rằng: a) S = 2R sin A sin Bsin C b) S = Rr(sin A + sin B + sin C) Bài 4: Cho tứ giác lồi ABCD , gọi α góc hợp hai đường chép AC BD Chứng minh diện tích S tứ giác cho công thức: S = AC.BD.sin α · Bài 5: Cho tam giác ABC có BAC = 1200 , AD đường phân giác (D thuộc BC) Chứng minh 1 = + AD AB AC Bài 6: Cho tam giác ABC , chứng minh rằng: cos A + cos B ( b + c − a ) ( c + a − b ) = a+b 2abc a) (c b) + b − a ) tan A = ( c + a − b ) tan B Bài 7: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R) Chứng minh a) h a ≤ p(p − a) b) a b + b 2c + c 2a ≤ R (a + b + c) Bài 8: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: r + ( p − a ) + r + ( p − b ) + r + ( p − c ) ≤ ab + bc + ca 2 Bài 9: Cho tam giác ABC Gọi r bán kính đường tròn nội tiếp Chứng minh r = (p − a) tan A B C = (p − c) tan = (p − c) tan 2 26 Bài 10: Cho tam giác ABC có c mb = ≠ Chứng minh b mc 2cot A = cot B + cot C Bài 11: Cho M điểm nằm tam giác ABC cho · · · MAB = MBC = MCA = α Chứng minh : cot α = cot A + cot B + cot C · · · Bài 12: Cho tam giác ABC có trọng tâm G GAB = α, GBC = β, GCA =γ Chứng minh cot α + cot β + cot γ = 3( a + b2 + c2 ) 4S Bài 13: Cho tam giác ABC Chứng minh ( a − b ) cot C A B + ( b − c ) cot + ( c − a ) cot = 2 Bài 14: Cho hình bình hành ABCD có AC = 3AD Chứng minh · cot BAD ≥ Bài 15: Cho tam giác ABC có cạnh a, b, c diện tích S Chứng minh a + b + c ≥ 3.S Bài 16: Cho tam giác ABC Chứng minh tam giác ABC cân h a = c.sin A Bài 17: Cho tam giác ABC Chứng minh tam giác ABC cân 4m a2 = b ( b + 4c.cos A ) Bài 18: Chứng minh tam giác ABC a + b + c = 36r Bài 19: Cho tam giác ABC Tìm góc A tam giác biết cạnh a, b, c thoả mãn hệ thức: b(b − a ) = c(c − a ),(b ≠ c)  a + c3 − b = b2  Bài 20: Cho ∆ABC thoả mãn điều kiện:  a + c − b Chứng minh a = 2b cos C  ∆ABC 27 Bài 21: Trong tam giác ABC , chứng minh diện tích tính theo cơng thức S = ( a + b − c ) ( a − b + c ) tam giác ABC Bài 22: Cho ∆ABC thỏa mãn: + cos B 2a + c = Chứng minh tam giác sin B 4a − c ABC tam giác cân Bài 23: Chứng minh tam giác ABC vuông A B sin C = cos A + cos B Bài 24: Cho tam giác ABC có hai trung tuyến kẻ từ B C vng góc với bc có R.r = + 10 Chứng tam giác ABC cân ( ) Bài 25: Chứng minh tam giác ABC sin A B ab sin = 2 4c Bài 26: Chứng minh tam giác ABC cân tại B p tan B C tan = p − c 2 D KẾT LUẬN Kết luận 28 Sáng kiến số ứng dụng vectơ giúp học sinh phát triển lực sáng tạo giải toán, củng cố, hệ thống kiến thức để giải số toán hình học phẳng Trên nhứng kết nghiên cứu ban đầu Hy vọng đề tài trở thành tài liệu tham khảo cho giáo viên, học sinh người quan tâm đến vấn đề Do thời gian có hạn chế nên việc nghiên cứu khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến bạn đồng nghiệp Khuyến nghị Đối với giáo viên: Không ngừng tự học, tự bồi dưỡng để nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ Đối với cấp: Trong trình giảng dạy tơi nhận thấy, kiến thức hệ thức lượng khơng phải khó tiếp thu học sinh mà ứng dụng tập lại hiệu Nhưng nội dung lại chưa có nhiều tập vận dụng sách giáo khoa Điều làm khó khăn cho giáo viên hướng dẫn học sinh làm tập Tơi mong có nhiều tài liệu tham khảo vấn đề E Tài liệu tham khảo Sách tập hình học nâng cao 10 – NXB Giáo dục Sách giáo khoa hình hoc 10 – NXB Giáo dục Một số đề thi học sinh tỉnh 7.2 Về khả áp dụng sáng kiến 29 - Đề tài áp dụng để giải tốn có liên quan đến hệ thức lượng tam giác trường THPT không chuyên địa bàn Tỉnh Vĩnh Phúc - Tiếp tục xây dựng, lựa chọn dạng tập áp dụng hệ thức lượng tam giác vào giải - Dùng đề tài làm tài liệu cho q trình giảng dạy, ơn thi đại học cao đẳng bồi dưỡng học sinh giỏi - Tiếp tục nghiên cứu áp dụng hệ thức lượng tam giác vào giải tốn bất đẳng thức hình học, tốn nhận dạng tam giác Những thơng tin cần bảo mật (nếu có): Khơng Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: - Học sinh: đối tượng học sinh lớp 10 THPT 10 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả theo ý kiến tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể áp dụng thử (nếu có) theo nội dung sau: 10.1 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả: * Đối với giáo viên: - Bồi dưỡng chuyên môn - Thêm yêu nghề * Đối với học sinh: Thông qua việc giảng dạy lớp chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn thi đại học áp dụng đề tài nhận thấy: 30 Học sinh có khả tiếp thu, vận dụng xác dạng tập có liên quan đến hệ thức lượng tam giác giải tam giác Học sinh nắm kiến thức hệ thức lượng tam giác tự tin giải tập sách giáo khoa, sách tập, đề thi học sinh giỏi Kết điểm kiểm tra nâng lên rõ rệt Hình thành tư lơgic, kỹ giải tốn khó hệ thức lượng tam giác nhận dạng tam giác Đồng thời tạo hứng thú học tập cho học sinh Kết cụ thể: Lớp 10: Số học sinh làm Số điểm ≥ Trước áp dụng Số điểm ≥ 35 10 35 20 SK Sau áp dụng SK Kết bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi sau áp dụng sáng kiến: Đội tuyển HSG lớp 10 đạt giải khuyến khích Đội tuyển HSG lớp 12 đạt giải ba, hai giải khuyến khích 10.2 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tổ chức, cá nhân: * Đối với giáo viên: - Bồi dưỡng chuyên môn - Thêm yêu nghề * Đối với học sinh: 31 Học sinh có khả tiếp thu, vận dụng xác dạng tập có liên quan đến hệ thức lượng tam giác giải tam giác Học sinh nắm kiến thức hệ thức lượng tam giác tự tin giải tập sách giáo khoa, sách tập, đề thi học sinh giỏi Kết điểm kiểm tra nâng lên rõ rệt Hình thành tư lơgic, kỹ giải tốn khó hệ thức lượng tam giác nhận dạng tam giác Đồng thời tạo hứng thú học tập cho học sinh Kết cụ thể: Lớp 10: Số học sinh làm Số điểm ≥ Trước áp dụng Số điểm ≥ 35 10 35 20 SK Sau áp dụng SK Kết bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi sau áp dụng sáng kiến: Đội tuyển HSG lớp 10 đạt giải khuyến khích Đội tuyển HSG lớp 12 đạt giải ba, hai giải khuyến khích * Năng lực chuyên biệt: - Năng lực sáng tạo 11 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có): Số Tên tổ chức/cá TT nhân Địa Phạm vi/Lĩnh vực 32 áp dụng sáng kiến Lớp 10A5 Trường THPT Nguyễn Thái Học Toán học lớp 10 Tạ Thị Hồng Yến Trường THPT Nguyễn Thái Học Toán học lớp 12 ., ngày tháng năm , ngày tháng năm Vĩnh Yên, ngày 20 tháng năm 2020 Thủ trưởng đơn vị/ CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG Tác giả sáng kiến Chính quyền địa phương SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ (Ký, ghi rõ họ tên) (Ký tên, đóng dấu) (Ký tên, đóng dấu) Tạ Thị Hồng Yến 33 ... 2sin A 2sin1200 DẠNG 2: Giải tam giác Phương pháp • Giải tam giác tính cạnh góc tam giác dựa số điều kiện cho trước • Trong toán giải tam giác người ta thường cho tam giác với ba yếu tố sau: biết... + c ≥ 3.S Bài 16: Cho tam giác ABC Chứng minh tam giác ABC cân h a = c.sin A Bài 17: Cho tam giác ABC Chứng minh tam giác ABC cân 4m a2 = b ( b + 4c.cos A ) Bài 18: Chứng minh tam giác ABC a... Với toán ta cần vận dụng linh hoạt hệ thức lượng tam giác, kết hợp với biến đổi đại số khéo léo ta xử lý toán trọn vẹn DẠNG 3: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức liên quan đến yếu tố tam giác,