Chuyên đề hệ thức lượng trong tam giác vuông

Chuyên đề hệ thức lượng trong tam giác vuông giúp học sinh nắm vững kiến thức về lý thuyết và các dạng bài tập để từ đó vận dụng tốt để làm bài tập liên quan đến hệ thức lượng trong tam giác vuông...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

1 Chủ đề Chủ đề 1:: Hệ thức lượng tam giác vuông HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG A HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG MỤC LỤC A HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG  HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG  Lý thuyết  Bài tập  TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN 10  Lý thuyết 10  Bài tập 11  MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GĨC TRONG TAM GIÁC VNG 16  Lý thuyết 16  Bài tập 16  GIẢI BÀI TOÁN HỆ THỨC LƯỢNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ 18  Lý thuyết 18  Bài tập 18  MỘT SỐ BÀI TẬP SƯU TẦM 21 Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp Chủ đề 1:: Hệ thức lượng tam giác vuông  HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG  Lý thuyết Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Khi ta có hệ thức sau: AB = BH BC hay c = ac ' A AC = CH BC hay b = ab ' 2 c HA = HB.HC hay h = c ' b ' b h AB AC = BC AH hay cb = ah 1 1 1 hay = = + + 2 2 AH AB AC h c b2 B c' H a b' C BC = AB2 + AC (Định lí Pitago)  Bài tập Vận dụng hệ thức 1: Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A, BC = 20cm Biết tỉ số hai hình chiếu hai cạnh góc vng cạnh huyền : 16 Tính diện tích tam giác ABC Hướng dẫn giải Vẽ đường cao AH Ta có HB HB HC HB + HC 20 = ⇒ = = = HC 16 16 + 16 25 Suy = HB 16.20 9.20 HC = 12,8 (cm) = 7, (cm); = 25 25 Xét ∆ABC vng A, đường cao AH ta có: = AB BC = BH 20.7, = 144 ⇒ AB = 12 (cm); = AC BC = CH 20.12,8 = 256 ⇒ AC = 16 (cm) 2 Vậy diện tích ∆ABC S =ABAC =⋅12.16 = 96 (cm2) Cách giải khác: Sau tính HB HC, ta tính AH theo cơng thức: AH = HB.HC (hệ thức 2) 2.12,8 92,16 ⇒ AH = 9,6 (cm) = AH 7,= 2 Diện tích ∆ABC S = BCAH = ⋅ 20.9, = 96 (cm2) Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp Chủ đề 1:: Hệ thức lượng tam giác vuông Bài 2: Cho tam giác vng với cạnh góc vng có độ dài cm cm , kẻ đường cao ứng với cạnh huyền Hãy tính đường cao đoạn thẳng mà chia cạnh huyền Hướng dẫn giải Giả sử tam giác ABC có cạnh góc vng AB = 3cm, AC = 4cm, AH đường cao Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vuông ABC: BC = AB + AC = 32 + 42 = 25 ⇒ BC = cm A Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có: BA2 32 BA2 = BH BC ⇒ BH = ⇒ BH = ⇒ BH = (cm) 5 BC CA2 42 16 CA2 =CH CB ⇒ CH = ⇒ CH = ⇒ CH = (cm) 5 CB AH = HB.HC ⇒ AH = B H C 16 12 (cm) ⇒ AH = 5 AH (Có thể tính đường cao AH công thức = Bài 3: 1 ) + AB AC Cho tam giác ABC cân A Các tia phân giác góc A góc B cắt O Biết OA = cm, OB = 2cm, tính độ dài AB Hướng dẫn giải Qua A vẽ đường thẳng vng góc với AB cắt tia BO D =  +B = Ta có D 90° AOD + B 90°    =B  nên  AOD = D mà B = AO = (cm) Do ∆AOD cân A Suy AD Vẽ AH ⊥ OD HO = HD = HD = x BD = x + Ta đặt HO Xét ∆ABD vuông A, đường cao AH, ta có AD = BD.HD 3) x(2 x + 2) Từ ta phương trình: Suy (2 = x + x –12 = ⇔ (x – 2)(x + 3) = ⇔ x = x = −3 Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp Chủ đề 1:: Hệ thức lượng tam giác vuông Giá trị x = chọn, giá trị x = −3 bị loại Do BD = + + = (cm) Suy AB =62 − (2 3) =24 = (cm) Vận dụng hệ thức 2: Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết diện tích tam giác ABH ACH 54cm2 96cm2 Tính độ dài BC Hướng dẫn giải Ta có = S ABH = AHBH 54 Suy AH BH = 108 SACH = (1) AH.CH 96 Suy AH CH = 192 (2) = Từ (1) (2) ta được: AH BH CH = 108.192 Mặt khác AH = BH CH (hệ thức 2) Suy AH = 124 ⇒ AH = 12 (cm) Ta có S ABC = 54 + 96 = 150 (cm2) mà S ABC = BCAH nên BCAH = 150 Suy ra= BC 150.2 = 25 (cm) 12 Bài 2: = 900 Hai đường chéo vng góc với Cho hình thang ABCD, A= D O Biết OB = 5,4cm; OD = 15cm a) Tính diện tích hình thang; b) Qua O vẽ đường thẳng song song với hai đáy, cắt AD BC M N Tính độ dài MN Hướng dẫn giải * Tìm cách giải Đã biết đường chéo BD nên cần tìm đường chéo AC tính diện tích hình thang Muốn phải tính OA OC * Trình bày lời giải a) • Xét ∆ABD vng A có AO ⊥ BD nên OA2 = OB.OD (hệ thức 2) Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp Chủ đề 1:: Hệ thức lượng tam giác vuông = OA2 5, = 4.15 81 ⇒ OA = (cm) Do • Xét ∆ACD vng D có OD ⊥ AC nên OD = OA.OC (hệ thức 2) OD 152 ⇒ OC = = = 25 (cm) OA Do AC = 25 + = 34 (cm); BD = 5, + 15 = 20, (cm) Diện tích hình thang ABCD= là: S b) Xét ∆ADC có OM // CD nên ACBD 34.20, = = 346,8 (cm2) 2 OM AO (hệ định lí Ta-lét) (1) = CD AC Xét ∆BDC có ON // CD nên ON BN (hệ định lí Ta-lét) = CD BC (2) Xét ∆ABC có ON // AB nên AO BN (định lí Ta-lét) = AC BC (3) Từ (1), (2), (3) suy OM ON = CD CD Do OM = ON OM Xét ∆AOD vuông O, OM ⊥ AD nên = Do 1 (hệ thức 4) + OA OD 1 = + ⇒ OM ≈ 7, (cm) OM 15 Suy MN ≈ 7, 7.2 = 15, (cm) Vận dụng hệ thức 4: Bài 1: Cho hình vng ABCD cạnh Gọi M điểm nằm B C Tia AM cắt đường thẳng CD N Tính giá trị biểu thức = P 1 + AM AN Hướng dẫn giải * Tìm cách giải Biểu thức 1 1 gợi ý cho ta vận dụng hệ thức (4) = để giải Muốn + + 2 h b2 c2 AM AN phải tạo tam giác vng có cạnh góc vng AM, AN * Trình bày lời giải Tốn Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp Chủ đề 1:: Hệ thức lượng tam giác vuông Qua A vẽ đường thẳng vng góc với AM cắt đường thẳng CD E = 90° AD = AB;  = B  ) ∆ADE ∆ABM có D A1 =  A2 (cùng phụ với DAM Do ∆ADE = ∆ABM ( g c.g ) Suy AE = AM Xét ∆AEN vng A có AD ⊥ EN nên Mặt khác ; AD nên = AE AM = Bài 2: : 1 + = 2 AE AN AD 1 + = AM AN Cho tam giác ABC cân A có đường cao AH BK Chứng minh 1 = + 2 BK BC AH Hướng dẫn giải * Tìm cách giải: Để chứng minh đẳng thức người ta thường nghĩ đến hệ thức h lượng tam giác vuông “ Hệ thức = 1 ’’ Một thủ thuật để nhận tam + b2 c2 giác vng có đường cao ứng với cạnh huyền vẽ đường phụ để tạo tam giác vuông B có đường cao BK, cạnh góc vng BC Khi ta nghĩ đường phụ cần vẽ cạnh góc vng cịn lại * Trình bày lời giải Qua B kẻ đường thẳng vng góc với BC cắt tia đối tia AC D Vì ∆ ABC cân A nên đường cao AH đồng thời đường trung tuyến ⇒ BH = HC Xét ∆ BCD có BH = HC (c/m trên) ; AH // BD ( ⊥ BC ) D ⇒ CA = AD (t/c đường trung bình tam giác ) A Nên AH đường trung bình ∆ BCD ⇒ AH = AH = BD ⇒ BD = 2AH (1) Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp K B H C Chủ đề 1:: Hệ thức lượng tam giác vuông  = 900 ; BK ⊥ CD ( K ∈ CD ) Xét ∆ BCD có DBC BK ⇒ = 1 (2) + BC BD BK Từ (1) (2) ⇒ = 1 (đpcm) + BC AH Vận dụng nhiều hệ thức ° ˆ Dˆ= 90= hai đường chéo vng góc với Cho hình thang ABCD, A= Bài 1: O Cho biết AD = 12cm; CD = 16cm Tính độ dài OA, OB, OC, OD Hướng dẫn giải ∆ADC vuông D, theo định lí Py-ta-go ta có: AC = AD + DC = 122 + 162 = 400 Suy AC = 20 (cm) ∆ADC vuông D, DO đường cao nên AD.DC = AC.DO (hệ thức 3) Suy ra= OD ADDC 12.16 = = 9, (cm) AC 20 Ta lại có AD = AC AO (hệ thức 1) nên OA = AD 122 = = 7, (cm) AC 20 Do = OC 20 = – 7, 12,8 (cm) Xét ∆ABD vuông A, AO đường cao nên AO = OB.OD (hệ thức 2) ⇒ OB = AO 7, 22 = = 5, (cm) OD 9, Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp Chủ đề 1:: Hệ thức lượng tam giác vuông Bài 2: (Hãy giải nhiều cách khác nhau) Cho tam giác ABC vuông A, AH đường cao Biết AB=8cm, AC=6cm Tính độ dài AH ) A Hướng dẫn giải *Cách 1: Ta có ∆ABC vng A nên : BC = AB + AC = 82 + 62 = 10(cm) (Định lý Pytago) C ∆ABC vuông A, AH ⊥ BC, nên AH BC = AB AC ⇒ AH = B H AB AC = 4,8(cm) BC *Cách 2: ∆ABC vuông A, AH ⊥ BC, nên: 1 AB AC 2 = + ⇒ AH = ⇒ AH = AH AB AC AB + AC 64.36 = 4.8(cm) 100 *Cách 3: Tam giác ABC vng A, Theo định lý Pytago ta có BC = AB + AC = 82 + 62 = 100 nên suy BC=10cm ∆ABC vuông A nên: BH BC = AB ⇒ BH = AB = 6.4(cm) Mà HC = BC − BH = 3, (cm) BC ∆ABC vuông A, AH ⊥ BC, nên: AH = BH HC = 4.82 ⇒ AH = 4.8(cm) A *Cách 4: Gọi M trung điểm BC Ta có : BM = AM = = BC 5cm C + Tính BH=6.4cm B H M + Nên MH= BH − BM = 6, − 5= 1(cm) Áp dụng định lý Pitago AH = AM − MH = 52 − 1, 42 = 4,8(cm) Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp vào ∆HAM vuông H: Chủ đề 1:: Hệ thức lượng tam giác vuông Hệ thống phương pháp giải toán thường gặp A c b h B c' H a b' C Tính độ dài đoạn thẳng tam giác vuông Phương pháp giải: Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Nếu biết độ dài hai sáu đoạn thẳng AB, AC, BC, HA, HB, HC ta ln tính độ dài bốn đoạn thẳng cịn lại việc vận dụng hệ thức (1) → (5) Chứng minh hệ thức liên quan đến tam giác vuông Phương pháp giải: Sử dụng hệ thức cạnh đường cao cách hợp lý theo hướng: Bước Chọn tam giác vng thích hợp chứa đoạn thẳng có hệ thức Bước Tính đoạn thẳng nhờ hệ thức cạnh đường cao Bước Liên kết giá trị để rút hệ thức cần chứng minh Chú ý: Có thể vẽ thêm hình phụ để tạo thành tam giác vuông tạo thành đường cao tam giác vuông từ vận dụng hệ thức Tốn Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp 10 Chủ đề 1:: Hệ thức lượng tam giác vuông  TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN  Lý thuyết Định ngha ã sin = cạnh đối cạnh huyền ã cos = cạnh kề cạnh huyền ã tan = cạnh đối cạnh kề ã cot = cạnh kề cạnh đối T nh ngha ta cú c bn tỉ số lượng giác dương sina < 1; cosa < Định lí Nếu hai góc phụ sin góc cơsin góc kia, tang góc cơtang góc Một số hệ thức tan α = sin α cos α tan α cot α = cos α sin α (1); cot α = (2); (3); (4) sin α + cos α = So sánh tỉ số lượng giác Cho α , β hai góc nhọn Nếu α < β • sin α < sin β ; tan α < tan β ; • cos α > cos β ; cot α > cot β Bảng lượng giác số góc đặc biệt 00 300 450 600 900 sin 2 cos 2 2 tan 3 || cot || 3 Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp 12 Chủ đề 1:: Hệ thức lượng tam giác vng Bài 2: Cho α góc nhọn Chứng minh rằng: b) cos α < cot α a) sin α < tan α ; Hướng dẫn giải a) Ta có sin α = AC AC AC AC mà BC > AB nên < tan α = BC AB AB BC Do sin α < tan α ; b) Ta có cos α = AB AB AB AB mà BC > AC nên cot α = < BC BC AC AC Do cos α < cot α Nhận xét: Phương pháp giải ví dụ dùng định nghĩa tỉ số lượng giác Bài 3: Chứng minh định lí sin: Trong tam giác nhọn, độ dài cạnh tỉ lệ a sin A b c = sin B sin C với sin góc đối diện: = Hướng dẫn giải * Tìm cách giải: Để có sin A (hoặc sin B, sin C) phải xét tam giác vng với A góc nhọn Do phải vẽ thêm đường cao * Trình bày lời giải: Vẽ đường cao CH Xét ∆ACH vng H ta có: sin A = CH AC (1) Xét ∆BCH vng H ta có: sin B = CH BC (2) Từ (1) (2) suy a b sin A CH CH BC a Do = = : = = sin A sin B sin B AC BC AC b Chứng minh tương tự ta a sin A Vậy = Lưu ý: b c = sin B sin C b c = sin B sin C  ≥ 90° ta có: Nếu ∆ABC có C Tốn Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp a b = sin A sin B 13 Chủ đề 1:: Hệ thức lượng tam giác vng Bài 4: Tìm góc x, biết rằng: a) tan x = 3cot x; b) sin x + cos x = Hướng dẫn giải a) tan x = 3cot x; Suy tan x = x Do tan x = ⇒ tan= (vì cot x = ) tan x tan x = tan 60° Vậy x = 60o b) sin x + cos x = 2 Bình phương hai vế ta được: sin x + sin x.cos x + cos x = (vì sin x + cos x = ⇔ 2sin x.cos x + = 1) ⇔ 2sin x.cos x = ⇔ – 2sin x.cos x = ⇔ sin x − 2sin x.cos x + cos x = ⇔ ( sin x – cos x ) = Do sin x = cos x ⇔ sin x = sin (90o – x) (vì cos x = sin (90o – x) ) Dẫn tới = 90o – x ⇔ 2= 90o ⇔= x x x 45o Nhận xét: Phương pháp chung để giải ví dụ tìm cách đưa phương trình có hai tỉ số lượng giác dạng tỉ số lượng giác cách vận dụng quan hệ tỉ số lượng giác Bài 5: Khơng dùng máy tính bảng số, tính giá trị biểu thức sau cách hợp lí: a) = P sin 1° + sin 2° + sin 3° +…+ sin 88° + sin 89° b) Q = tan150.tan 250.tan 350.tan 450.tan 550.tan 650.tan 750 c) Biết cos α = 20 Tính sin α , tan α cot α 29 Hướng dẫn giải Áp dụng định lí hai góc phụ sin góc cơsin góc kia, tang góc cơtang góc kia, ta có: a) P sin 1° + sin 2° + sin 3° +…+ sin 88° + sin 89° = ( ) ( ) ( ) = sin 1° + sin 89° + sin 2° + sin 88° + + sin 44° + sin 46° + sin 45° = ( sin ° ) ( ) ( ) + cos 21° + sin 2° + cos 2° + + sin 44° + cos 44° + sin 45° Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp 14 Chủ đề 1:: Hệ thức lượng tam giác vuông  2 = + + + + +   =44,5   b) Q = tan150.tan 250.tan 350.tan 450.tan 550.tan 650.tan 750 = ( tan150.tan 750 ) ( tan 250.tan 650 ) ( tan 350.tan 550 ) tan 450 = ( tan150.cot150 ) ( tan 250.cot 650 ) ( tan 350.cot 350 ) tan 450 = 1.1.1.1 = 441  20  c) Ta có sin α + cos α = − cos α = 1−   = ⇒ sin α =  29  841 2 Do sin α = 21 sin α 21 20 21 20 cos α = tan α = : = = 21 29 cos α 29 29 20 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Tính sin B, sin C biết rằng: Bài 6: a) AB = 13 BH = 5; b) BH = CH = Hướng dẫn giải A a) Tam giác ABC vuông A, đường cao AH ta có AB 132 AB = BH BC ⇒ BC = = = 33,8 BH 13 Áp dụng định lý Pytago tam giác vuông ABC ta có: AC = BC − AB = 31, = SinB AC 31, 12 = = BC 33,8 13 SinC = AB 13 = = BC 33,8 13 B C H A b) Tam giác ABC vuông A, đường cao AH ta có= AH BH = CH 3.4 ⇒ AH = Tam giác ABH vng Theo định lý Pytago ta có AB = HB + AH = SinB = 32 + 12 = AH = = AB 21 21 Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp B H C 15 Chủ đề 1:: Hệ thức lượng tam giác vuông Tam giác ABC vuông, BC = BH + HC = + = Theo định lý Pytago ta có AC = = SinC AB = BC BC − AB = 49 − 21 = 28 = 21 Cách 2: Tam giác AHC vuông H; Theo định lý Pytago có AC = AH + HC = = SinC AH = AC 12 = 28 12 + 16 = = 28 21 Nhận xét: Học sinh vận dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông từ tính tỉ số lượng giác góc nhọn tam giác vuông Bài 7: Cho tam giác ABC vuông A Chứng minh tan  ABC AC = AB + BC Hướng dẫn giải Vẽ đường phân giác BD ∆ ABC ( D ∈ AC ) Theo tính chất đường phân giác tam giác ta có : AD AD + DC AD AC ⇒= ⇒= AB AB + BC AB AB + BC A AD  = 900 ⇒ tan  Xét ∆ ABD có BAD ABD = D AB ⇔ tan  ABC AC = AB + BC Vậy tan  ABC AC = AB + BC Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp AD DC AD AB ⇔ = = AB BC DC BC B C 16 Chủ đề 1:: Hệ thức lượng tam giác vng  MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GĨC TRONG TAM GIÁC VNG  Lý thuyết Định lí Trong tam giác vng, cạnh góc vng bằng: • Cạnh huyền nhân với sin góc đối nhân với cơsin góc kề; • Cạnh góc vng nhân với tang góc đối nhân với cơtang góc kề Trong hình vẽ bên thì: = b a= sin B a.cos C ; = c a= sin C a.cos B ; = b c= tan B c.cot C ; = c b= tan C b.cot B ; Giải tam giác vng Là tìm tất cạnh góc tam giác vuông biết hai yếu tố (trong có yếu tố độ dài)  Bài tập Bài 1:  = 35° ; C  = 50° đường cao AH = 5,0cm Giải tam giác ABC biết B Hướng dẫn giải Ta phải tìm A AB, AC BC  = 180° − (B  + C)  = 95° A • Xét ∆ABH vng H ta có: AH = AB.sin B ⇒ AB= AH 5, = ≈ 8, 7(cm) sin B sin 35° BH = AH cot B ≈ 5, 0.cot 35o ≈ 7,1 (cm) • Xét ∆ACH vng H ta có AH = AC.sin C ⇒ AC= AH 5, = ≈ 6,5(cm) sin C sin 50° CH = AH cot C ≈ 5, 0.cot 50o ≈ 4, (cm) Do BC = BH + CH = 7,1 + 4, = 11,3 (cm) Vậy Aˆ = 95° ; AB = 8,7cm; AC = 6,5cm BC = 11,3cm Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp 17 Chủ đề 1:: Hệ thức lượng tam giác vng Lưu ý: Sau tính AB AC, tính BH CH theo AB AC: BH = AB.cos B ; CH = AC.cos C Tuy nhiên, ta nên tính BH CH theo số đo cho đề để kết xác Bài 2:  = 40o Tính độ dài BC Cho tam giác ABC, AB = 14cm, AC = 11cm B Hướng dẫn giải * Tìm cách giải Vẽ đường cao AH để vận dụng hệ thức cạnh góc tam giác vng Tính HB HC từ tính BC * Trình bày lời giải Vẽ đường cao AH Xét ∆ABH vng H có: = AH AB = sin B 14.sin 40o ≈ 9, (cm) = BH AB = cos B 14.cos 40o ≈ 10, (cm) Xét ∆AHC vng H có: HC= AC2 − AH 2= 112 − 92 ≈ 6,3 (cm) • Nếu H nằm B C BC = BH + HC ≈ 10, + 6,3 = 17 (cm) • Nếu C' nằm B H = BC ' BH – HC ' ≈ 10, −= 6,3 4, (cm) Lưu ý: Học sinh giải nghiệm hình chưa đủ Bài tốn có nghiệm hình Bài 3:  = 70° Tính độ dài BC Cho tam giác ABC, AB = 3,2cm; AC = 5,0cm B Hướng dẫn giải Vẽ đường cao AH Xét ∆ABH vng H có: = AH AB = sin B = BH AB = cos B 3, 2.sin 70o ≈ 3, (cm) 3, 2.cos 70o ≈ 1,1 (cm) Xét ∆AHC vng H có: HC = AC2 − AH ≈ 5, 02 − 3, 02 = 4, (cm) Điểm C nằm H B tia HB có HC > HB Chỉ trường hợp điểm H nằm B C Ta có BC = BH + HC ≈ 1,1 + 4, = 5,1 (cm) Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp 18 Chủ đề 1:: Hệ thức lượng tam giác vuông  GIẢI BÀI TOÁN HỆ THỨC LƯỢNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ  Lý thuyết - Thường gọi độ dài cạnh cần tìm ẩn, từ thiết lập phương trình, giải phương trình tính kết  Bài tập Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A, đương cao AH Biết AB = 20cm, HC = 9cm Tính độ dài AH Hướng dẫn giải Đặt BH = x Áp dụng hệ thức lượng tam giác ABC vuông A, có đường cao A AH Ta được: AB = BH BC hay = 202 x ( x + ) 20 Thu gọn ta phương trình : x + x – 400 = Giải phương trình ta x1 = 16 ; x2 = –25 (loại) ? x B H Dùng định lý Pitago tính AH = 12 cm Lưu ý : Giải PT bậc nên dùng máy tính để giải cho nhanh Thuộc số ba số Pitago tốt để mau chóng ghi kết  = 600 , BC = 8cm; AB + AC = 12cm Tính độ Cho tam giác ABC , B Bài 2: dài cạnh AB Hướng dẫn giải Kẻ AH ⊥ BC Đặt AB = x Từ tính BH = x AH = x ; HC = – x Áp dụng định lí Pitago ta cho tam giác AHC vng H Ta có: AC = ( x 3) + (8 − x ) = A x − 16 x + 64 Do AB + AC = 12 nên x + x − 16 x + 64 = 12 Giải PT ta : x = 2,5 AB = 2.2,5 = 5cm Chú ý: Ta tính chu vi tam giác ABC = 20cm Diện tích tam giác ABC = 10 cm Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp 2x B 60 ° x H 8cm C C 19 Chủ đề 1:: Hệ thức lượng tam giác vuông Bài 3: Cho tam giác ABC vng A có BD phân giác Biết AD = 1cm; BD = 10 cm Tính độ dài cạnh BC (nhập kết dạng số thập phân) A Bài giải sơ lược 1cm D 10 cm Áp dụng định lí Pitago tính AB = 3cm Đặt BC = x , dùng Pitago tính AC = x2 − B x2 − – Do AD = nên DC = C x Tam giác ABC có BD phân giác góc ABC nên : AB AD hay = = x BC DC x − −1 Từ ta phương trình x – x – 90 = Giải phương trình tìm x = 3,75cm Trả lời : BC = 3,75cm Bài 4: Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ đường cao, đường chéo vng góc với cạnh bên Tính độ dài đường cao hình thang cân Hướng dẫn giải Kẻ AH ⊥ CD ; BK ⊥ CD Đặt AH = AB = x ⇒ HK = x ∆AHD = ∆BKC (cạnh huyền- góc nhọn) Suy : D = H CK = A 10 − x Vậy HC = HK + CK =x + X B X x + 10 10 − x = 2 D H 10cm K Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ADC vng A có đường cao AH Ta có : AH = DH CH hay x = 10 − x 10 + x ⇔ x = 100 2 Giải phương trình ta x = x = −2 (loại) Vậy : AH = Bài 5: Cho tam giác ABC cân A, đường cao ứng với cạnh đáy có độ dài 15,6cm, đường cao ứng với cạnh bên dài 12cm Tính độ dài cạnh đáy BC Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp C 20 Chủ đề 1:: Hệ thức lượng tam giác vuông Hướng dẫn giải Đặt BC = x , từ tính chất tam giác cân ta suy CH = x A Áp dụng định lí Pitago tính AC = 15, 62 + x Từ hai tam giác vuông KBC HAC đồng dạng ta được: BC KB hay = AC AH 2x 15, + x = 15,6 12 15, K 12 // B 6, 76 x Đưa phương trình 15, 62 + x = H // C 2x Giải phương trình ta nghiệm dương x = 6,5 Vậy= BC = 2.6, 13 (cm) Bài 6: Tính độ dài cạnh AB tam giác ABC vng A có hai đường trung tuyến AM BN cm cm Hướng dẫn giải Đặt AB = x ; AN = y ⇒ AC = y A Áp dụng tính chất đường trung tuyến tam giác vng ứng với cạnh huyền ta = AM = = BC 2.6 12 (cm) Dùng định lí Pitago cho hai tam giác vuông ABC ABN vuông A 144 Ta được: x + y = (1) 81 ⇔ y = 81 – x x + y = ( 2) / B Thu gọn phương trình ta phương trình : 3x = 180 Trả lời: AB = cm Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp / // Thay ( ) vào (1) ta phương trình : x + ( 81 – x ) = 144  Nghiệm dương phương trình : x = N M // C 21 Chủ đề 1:: Hệ thức lượng tam giác vuông  MỘT SỐ BÀI TẬP SƯU TẦM BÀI TẬP VỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG PHẦN BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1: Cho ∆ABC vuông A Biết AB = Đường cao AH = 15cm Tính HB, HC AC Bài 2: Cho ∆ABC vuông A, AB = 12cm, AC = 16cm, phân giác AD, đường cao AH Tính HD, HB, HC Bài 3: Cho ∆ABC vuông A Kẻ đường cao AH, tính chu vi ∆ABC biết AH = 14cm, HB = HC Bài 4: Cho tam giác ABC vuông A, đương cao AH Biết AB = 20cm, HC = 9cm Tính độ dài AH Bài 5: Cho tam giác ABC vng A có BD phân giác góc B Biết AD = 1cm; BD = 10 cm Tính độ dài cạnh BC Bài 6: Cho tam giác ABC , 𝐵𝐵� = 60𝑜𝑜 , BC = 8cm; AB + AC = 12cm Tính độ dài cạnh AB Bài 7: Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ đường cao, đường chéo vng góc với cạnh bên Tính độ dài đường cao hình thang cân Bài 8: a Cho tam giác ABC có 𝐵𝐵� = 60𝑜𝑜 , 𝐶𝐶̂ = 50𝑜𝑜 , 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 35𝑐𝑐𝑐𝑐 Tính diện tích tam giác ABC � = 90𝑜𝑜 , 𝐶𝐶̂ = 40𝑜𝑜 , 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 4𝑐𝑐𝑐𝑐, 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 3𝑐𝑐𝑐𝑐 Tính diện b Cho tứ giác ABCD có 𝐴𝐴̂ = 𝐷𝐷 tích tứ giác c Cho tứ giác ABCD có đường chéo cắt O Cho biết 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 4, 𝐵𝐵𝐵𝐵 = � = 50𝑜𝑜 Tính diện tích tứ giác ABCD 5, 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 Bài 9: Cho ∆ABC vuông A, kẻ đường cao AH, chu vi ∆AHB 30cm, chu vi ∆ACH 4dm Tính BH, CH chu vi ∆ABC Bài 10: Cho biết chu vi tam giác 120cm Độ dài cạnh tỉ lệ với 8, 15, 17 a) Chứng minh tam giác tam giác vng b) Tính khoảng cách từ giao điểm ba đường phân giác đến cạnh Bài 11: Cho tứ giác lồi ABCD có AB = AC = AD = 10 cm, B = 600 A = 900 a) Tính đường chéo BD b) Tính khoảng cách BH DK từ B D đến AC c) Tính HK d) Vẽ BE ⊥ DC kéo dài Tính BE, CE DC Tốn Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp 22 Chủ đề 1:: Hệ thức lượng tam giác vuông Bài 12: Cho ∆ ABC vuông A, AB = a, AC = 3a Trên cạnh AC lấy điểm D, E = DE = EC cho AD a) Chứng minh DE DB = DB DC b) Chứng minh ∆BDE đồng dạng ∆ CDB � + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 � c) Tính tổng 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 Bài 13: Chình thang ABCD có hai cạnh bên AD BC nhau, đường chéo AC vng góc với cạnh bên BC Biết AD = 5a, AC = 12a a) Tính sin 𝐵𝐵+𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 b) Tính diện tích hình thang ABCD 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠−𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 Bài 14: Cho đoạn thẳng AB = 2a Từ trung điểm O AB vẽ tia Ox ⊥ AB Trên Ox lấy a điểm D cho OD = Từ B kẽ BC vng góc với đường thẳng AD a) Tính AD, AC BC theo a b) Kéo dài DO đoạn OE = a Chứng minh bốn điểm A, B, C E nằm đường tròn Bài 15: Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao BD CE cắt H Trên HB � = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 � = 90𝑜𝑜 Chứng minh: AM = AN HC lấy điểm M, N cho 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 Bài 16: Tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết chu vi tam giác ABC AB 20 = AH = 420 Tính AC 21 Bài 17: Cho hình thang ABCD vng góc A D Hai đường chéo vng góc với O Biết 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 2√13; OA = Tính diện tích hình thang ABCD Bài 18: Cho tam giác ABC vuông A, BC = cm Hình vng ADEF cạnh cm có D ∈ AB, E ∈ BC, F ∈ AC Biết AB > AC S ADEF = S ABC Tính AB ; AC Bài 19: Cho tam giác ABC vuông cân A, trung tuyến BD Gọi I hình chiếu C BD, H hình chiếu I AC Chứng minh: AH = 3HI Bài 20: Qua đỉnh A hình vng ABCD cạnh a, vẽ đường thẳng cắt BC E cắt đường thẳng DC F Chứng minh: 1 + = AE AF2 a Bài 21: Cho hình thang ABCD có 𝐵𝐵� = 𝐶𝐶̂ = 90𝑜𝑜 Hai đường chéo vng góc với H Biết AB = cm, HA = 3cm Chứng minh: a) HA : HB : HC : HD = : : : b) 1 1 − = − 2 AB CD HB HC Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp 23 Chủ đề 1:: Hệ thức lượng tam giác vuông Bài 22: Cho ∆ABC nhọn đường cao AD BE Gọi I ∈ AD Q ∈ BE cho ^ ^ = BIC AQC = 900 a) Chứng minh: CA.CE = CD.CB b) Chứng minh: ∆IQC tam giác cân c) BI cắt AQ K Chứng minh: CK ⊥ IQ Bài 23: Cho ∆ABC vuông A Đường cao AH Biết AC = 12cm, BC = 15cm a) Tính HA, HB, HC b) Gọi E, F hình chiếu vng góc H lên AB, AC Chứng minh: AE.AB = AF.AC c) Chứng minh: HE2 + HF2 = HB.HC Bài 24: Cho hình vẽ: B A 74° 2,8 5,5 a/ Tính AC 4,1 Y b/ Gọi Y điểm AX cho DY // BX Hãy tính XY 123° X C D c/ Tính diện tích tam giác BCX Bài 25: Cho hình vẽ biết 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 60 𝑐𝑐𝑐𝑐 Đường vng góc kẻ từ C đến AB cắt AB P Tính: a/ AP; BP b/ CP diện tích tam giác ABC C B 30° P 20° A Bài 26: Cho tam giác ABC có AB = 24cm; AC = 18cm; BC = 30cm a/ Tính đường cao AH, số đo góc B C b/ Phân giác góc A cắt BC D Tính BD, CD c/ Từ D kẻ DE DF vng góc với AB AC Tứ giác AEDF hình gì? Tính chu vi diện tích tứ giác AEDF Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp 24 Chủ đề 1:: Hệ thức lượng tam giác vuông Bài 27: Tam giác ABC vuông A, AB = a, AC = 3a Trên AC lấy điểm D E = DE = EC cho AD a/ Chứng minh DE DB = DB DC b/ Chứng minh ∆BDE đồng dạng với ∆CDB � + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 � c/ Tính tổng 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 Bài 28: Cho tam giác ABC vuông A, 𝐶𝐶̂ = 30𝑜𝑜 ; 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 10 𝑐𝑐𝑐𝑐 a/ Tính AB, AC b/ Từ A kẻ AM, AN vng góc với đường phân giác ngồi góc Chứng minh MN// BC MN = AB c/ Chứng minh hai tam giác MAB ABC đồng dạng Tìm tỉ số đồng dạng Bài 29: Cho tam giác ABC cân, AB = AC = 10cm; BC = 16cm Trên đường cao AH lấy điểm I cho 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 1�3 𝐴𝐴𝐴𝐴 Vẽ tia Cx song song với AH, Cx cắt tia BI D a/ Tính góc tam giác ABC b/ Tính diện tích tứ giác ABCD Bài 30: Cho tam giác ABC vuông A Qua A vẽ đường thẳng d vng góc với trung tuyến AM Các tia phân giác góc AMB; AMC cắt đường thẳng d D E Chứng minh: a) Tứ giác BCED hình thang b) BD CE = BC c) Giả sử AC = 2AB , chứng minh EC = BC Bài 31: Cho hình thang cân có đường chéo vng góc với cạnh bên Tính chu vi diện tích hình thang cân biết đáy nhỏ 14 cm , đáy lớn 50 cm Bài 32: Cho tam giác ABC có AB>AC, kẻ trung tuyến AM đường cao AH Chứng minh: BC2 a) AB + AC = 2AM + b) AB2 − AC2 = 2BC.MH 2 Bài 33: Cho hình thang ABCD (AB//CD có AB = 3cm; CD = 14cm; AC = 15cm; BD = 8cm a) Chứng minh AC vng góc với BD b) Tính diện tích hình thang Tốn Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp 25 Chủ đề 1:: Hệ thức lượng tam giác vuông Bài 34: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi D điểm đối xứng với A qua điểm B Trên tia đối tia HA lấy điểm E cho HE = 2HA Gọi I hình chiếu D HE a) Tính AB, AC, HC, biết AH = 4cm, HB = 3cm b) Tính tg IED tg HCE � � = 𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻 c) Chứng minh 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐷𝐷 d) Chứng minh: DE ⊥ EC Bài 35: Cho tam giác ABC có ba đường cao AM, BN, CL Chứng minh: a) ∆ANL đồng dạng ∆ABC b) 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 Bài 36: Giải tam giác ABC, biết: a) 𝐴𝐴̂ = 90𝑜𝑜 , 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 10, 𝐵𝐵� = 75𝑜𝑜 � = 120𝑜𝑜 , 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 = b) 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 c) Trung tuyến ứng với cạnh huyền 𝑚𝑚𝑎𝑎 = 5, đường cao AH = d) Trung tuyến ứng với cạnh huyền 𝑚𝑚𝑎𝑎 = 5, góc nhọn 47o Bài 37: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, AB = 3cm, BC = 6cm Gọi E, F hình chiếu H cạnh AB AC a) Giải tam giác vng ABC AH b) Tính độ dài AH chứng minh: EF = c) Tính: EA.EB + AF.FC Bài 38: Cho hình thoi ABCD, hai đường chéo cắt O Cho biết khoảng cách từ O đến cạnh hình thoi h; AC = m; BD = n Chứng minh rằng: 𝑚𝑚2 + 𝑛𝑛2 = 4ℎ2 Bài 39: Tam giác ABC vuông A, đường cao AH = 33,6 Biết 24 AB = AC Tìm độ dài cạnh số đo góc tam giác Bài 40: Cho hình thang cân ABCD ( AB // CD), 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 2, 𝐶𝐶𝐶𝐶 = chiều cao Tính số đo góc tạo đường thẳng chứa hai cạnh bên Bài 41: Cho tam giác ABC có 𝐵𝐵� = 40𝑜𝑜 , 𝐶𝐶̂ = 60𝑜𝑜 , đường trung tuyến AM Tính số đo góc AMC Bài 42: Cho tam giác ABC nhọn, AB = c, AC = b, BC = a Chứng minh 𝑎𝑎2 = 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 − 2𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑏𝑏 = 𝑎𝑎2 + 𝑐𝑐 − 2𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑐𝑐 = 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 − 2𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp 26 Chủ đề 1:: Hệ thức lượng tam giác vuông � = 60𝑜𝑜 , 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 2, 𝐶𝐶𝐶𝐶 = Bài 43: Cho hình thang ABCD ( AB // CD) có 𝐶𝐶̂ = 30𝑜𝑜 , 𝐷𝐷 a Tìm AD b Tính diện tích hình thang � = 90𝑜𝑜 Chứng minh rằng: 𝐴𝐴𝐴𝐴2 + 𝐶𝐶𝐶𝐶2 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵2 Bài 44: Cho tứ giác ABCD có 𝐶𝐶̂ + 𝐷𝐷 Bài 45: Cho tam giác ABC cân A, 𝐴𝐴̂ < 90𝑜𝑜 , 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 2√2 𝑐𝑐𝑐𝑐, 𝐵𝐵𝐵𝐵 = √2 𝑐𝑐𝑐𝑐.Kẻ đường cao BH Chứng minh rằng: AH = 7.HC HẾT - (Nguồn 45 tập tự luyện thầy Bùi Anh Tuấn – VT – VP) Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp