1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

chuyen de he thuc luong trong tam giac vuong

12 48 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 12
Dung lượng 427,74 KB

Nội dung

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A KIẾN THỨC: I HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG: Một số hệ thức: 1) c2 = ac’, b2 = ab’ A 2) h2 = b,c, 3) ah = bc 4) b c B 1   h2 b2 c2 H c, C a b, 5) a2 = b2 + c2 -Với tam giác cạnh a, ta có: h  a ; S a2 Ví dụ: VD1.Cho tam giác ABC có AB>AC, kẻ trung tuyến AM đường cao AH Chứng minh: BC2 a) AB  AC  2AM  b) AB2  AC  2BC.MH 2 VD2.Cho hình thang ABCD (AB//CD có AB = 3cm; CD = 14cm; AC = 15cm; BD = 8cm a) Chứng minh AC vng góc với BD b) Tính diện tích hình thang VD3.Tính diện tích hình bình hành ABCD biết AD = 12; DC = 15; �ADC=700 tập bản: 1.Cho tam giác ABC vuông cân A, trung tuyến BD Gọi I hình chiếu C BD, H hình chiếu I AC Chứng minh: AH = 3HI 2.Qua đỉnh A hình vng ABCD cạnh a, vẽ đường thẳng cắt BC E cắt đường thẳng DC F Chứng minh: 1   AE AF2 a II TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN: Định nghĩa: Tính chất: - Một số hệ thức lượng giác bản: sin   cos 2  1; tg.cot g  1; tg  sin  ; cos cot g  cos sin - Chú ý: +)  sin   1;  cos AC nên AC AC < Suy sin  < tg  ; BC AB Chứng minh tương tụ ta cos  < cotg  Bài 3: Không dùng MTBT bảng số, xếp cã TSLG sau theo thứ tự tăng dần Cotg40o, sin50o, tan70o, cos55o HD: Theo định lí TSLG hai góc phụ nhau, ta có: cos55o= sin35o; Cotg40o = tg50o Vì sin35o< sin50o< tg50o < tg70o Nên cos55o< sin50o< Cotg40o< tg70o NX: Nhờ có tính chất sin  < tg  mà ta so sánh TSLG Bài 4: Không dùng MTBT bảng số, tính nhanh gí trị biểu thức sau: a) M = sin210o + sin220o + sin245o + sin270o + sin280o b) N = tg35o tg40o.tg45o.tg50o tg55o Bài 5: a) Biết sin  = , tính cos  , tg  , cotg  13 b) Biết tg  = 12 , tính sin  , cos  , cotg  35 Bài 6: Cho biểu thức A  2sin cos với  �45o sin   cos  a) Chứng minh A  sin   cos sin   cos b) Tính giá trị A biết tg  HD: a) A  sin   2sin cos  cos  (sin   cos)(sin   cos) b) A  sin   cos chia tử mẫu cho cos  sin   cos NX Nếu chi tg chia tử mẫu cho sin Bài Tìm x biết tgx + cotgx = HD Tìm tỉ số lượng giác góc sinx = cosx Suy tgx = = tg45o Vậy x = 45o Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A, AB = 20; AC = 21 Tính TSLG góc B góc C Bài 2: a) Biết cos  = , tính sin  , tg  , cotg  b) Biết cotg  = , tính sin  , cos  , tg  15 Bài 3: Không dùng MTBT bảng số, tính nhanh gí trị biểu thức sau: a) M = sin242o + sin243o + sin244o + sin245o + sin246o + sin247o+ sin248o b) N = cos215o- cos225o+ cos235o - cos245o + cos255o - cos265o + cos275o Bài Sắp xếp TSLG sau theo thứ tự tăng dần: Sin49o, cotg15o, tg65o, cos50o, cotg41o Bài Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị góc nhọn  a) (cos  - sin  )2 + (cos  + sin  )2 b) (cos  sin )  (cos  sin ) cos.sin  Bài 6: Cho tam giác nhọn ABC Gọi a, b, c lượt độ dài cạnh BC, CA, AB a) Chứng minh răng: a b c   sin A sin B sin C b) Có thể xảy đẳng thức sinA = sinB – sinC không ? III HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GĨC TRONG TAM GIÁC VNG: Trong tam giác vng cạnh góc vng bằng: a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối nhân với cos góc kề b) Cạnh góc vng nhân với tg góc đối nhân với cotg góc kề b  a sin B  acosC  ctgB  ccot gC c  acosB  asinC  bctgB  btgC Bài tập: �D �  90o , C �  50o Biết AB = 2; CD = 1,2 Tính diện Bài 1: Cho hình thang ABCD có A tích hình thang A B HD Vẽ BH  CD BH = AD = 1,2; DH = AB = 1,2 Xét tam giác HBC vuông H, ta có: 50 D H HC = HB.cotgC �1 C CD =CH + HD �3 Diện tích hình thang ABCD là: S (AB  CD).AD  (đvdt) Nhận xét: Vẽ BH  CD Bài 2: Tam giác ABC có AB = 4; AC = 3,5 Tính diện tích tam giác ABC hai trường hợp: �  40o a) A �  140o b) A HD Tính đường cao CH Tính diện tích tam giác Nhận xét: Một cách tổng quát ta chứng minh rằng: Diện tích tam giác nửa tích hai cạnh nhân với sin góc nhọn tạo đường thẳng chứa hai cạnh 1 S  a.b.sin C  b.c.sin A  c.a.sin B 2 Bài 3: Cho tam giác ABC với đường phân giác góc BAC AD Biết AB = 6, �  68o , tính độ dài AD AC = A Giải Gọi diện tích tam giác ABD, ADC ABC lượt S1, S2, S Ta có: AB.AD.sin A1 S2  AD.AC.sin A 2 S1  S A AB.AC.sin A B C D Vì: S = S1 + S2 Nên 1 AB.AD.sin A1  AD.AC.sin A  AB.AC.sin A 2 � AB.AD.sin A1  AD.AC.sin A  AB.AC.sin A AB.AC.sin A 6.9.sin 68o � AD   �6 AB.sin A1  AC.sin A 6.sin 34o  9sin 34o Bài Tam giác ABC vuông A, đường cao AH, biết HB = 9; HC = 16 Tính góc B góc C � �53o KQ: B Bài 5: Giải tam giác ABC vuông A biết: a) a = 18; b = b) b = 20; C�  38o �  65o , đường cao CH = 3,6 Hãy giải tam giác ABC Bài 6: Tam giác ABC cân A, B Bài tập tự luyện: Bài 1: Tam giác ABC vuông A, AB = 17cm; C�  62o Tính độ dài đường trung tuyến AM �  127 o Tính diện tích Bài 2: Cho hình thang cân ABCD (AB//CD), AB = 2, CD = A hình thang �  64o Tính diện tích hình Bài 3: Hình bình hành ABCD có AD = 4,3; CD = 7,5 D bình hành Bài 4: Độ dài hai đường chéo tứ giác 13 Góc nhọn hai đường chéo 48o Tính diện tích tứ giác Bài 5: Giải tam giác ABC vuông A biết: �  42o a) a = 12; B b) b = 13; c = 20 Bài 6: Giải tam giác ABC biết: �  70o ; B �  50o AB = 6,8; A Bài 7: Giải tam giác ABC biết: �  66o AB= 4,7; BC = 7,2; A B BÀI TẬP: C BÀI TẬP BỔ XUNG: Bài Cho tam giác ABC, đường thẳng d// BC cắt AB M, cắt AC N Gọi I, J trung điểm MN BC a/ Chứng minh rằng: A, I, J thẳng hàng b/ Gọi P, Q, H hình chiếu M, N, A lên BC, O = MP  NQ, R trung điểm AH Chứng minh rằng: J, O, R thẳng hàng Giải a/ áp dụng định lý Talét cho tam giác ABC ta có: A MN AN MN / AN IN AN  �  �   BC AC BC / AC JC AC R M I A, I, J thẳng hàng N O b/ Gọi S trung điểm PQ  I, O, S thẳng hàng B H P S Q J C O trung điểm IS, AH // IS  theo câu a ta có J, O, R thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC vuông A, phân giác AD, phân giác AE Cho biết AB < AC Chứng minh hệ thức sau: a/ 1   AB AC AD b/ 1   AB AC AE Giải Vẽ DH  AB, DK  AC  DH = DK = a/ áp dụng định lý Talét cho ABC ta có: DK CD AD 1   �  �  AB CB AB 2AB 2AD AD A K H E B D C HD CD AD 1 1 2   �  �      AC CB 2 AC 2AC 2AD AB AC 2AD AD Cách khác: Chú ý: SABC = AB.ADsin(AB;AC) 1 AB.AC = SABD + SACD = AB.ADsin450 + AC.ADsin450  2 a/ Ta có: SABC = AB.AC = AB.AC 2AD AB  AC 1 (AB+AC)AD   �  ��   AB  AC AB.AC AD AB AC AD b/ Ta có: SABC = AB.AC = � AE 1 AB.AC = SAEC - SABE = AE.ACsin1350 - AB.AEsin450   2 (AC - AB)  AB.AC AE AC  AB  �  � AC  AB AB.AC AE 1   AB AC AE Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, trung tuyến AM Chứng minh hệ thức sau: MH �BM �  2� � a/ BH �AB � b/ AB2  AC2  2AM  BC2 Giải A a/ Do tam giác ABC vng A nên ta có: BH  AB2 AB2  BC 2BM MH  MB  BH  BM  B H M C AB2 2BM  AB2  2BM 2BM MH 2BM  AB2 2BM 2BM  AB2 �BM �    2� �  2 BH 2BM AB AB �AB � b/ Ta có: AB2 = AH2 + HB2, AC2 = AH2 + HC2  AB2+ AC2 = 2AH2+ HB2+ HC2 = 2AH2+ (BM - HM)2+ (MC + HM)2 = 2AH2 + BM2+ MC2+2HM2- 2BM.HM + 2MC.HM = 2(AH2+ HM2) + (BC/2)2+ (BC/2)2 = 2AM2 + BC2/2 Bài Cho tam giác ABC, O trung điểm BC, góc xOy = 60 có cạnh Ox, Oy cắt AB, AC M N a/ Chứng minh OB2 = BM.CN b/ Chứng minh tia MO, NO ln phân giác góc BMN CMN c/ Chứng minh đường thẳng MN tiếp xúc với đường trịn cố định góc xOy quay quanh O hai cạnh Ox, Oy cắt hai cạnh AB AC tam giác ABC Giải A a/ Ta có: B = C = 600 O1 + O2 = 1200; O1 + M1 = 1200 M N H  M1= O2  N1 = O1  BOM  CNO  B C O BO/CN = BM/CO  BO.CO = BM.CN  BO = BM.CN b/ Từ (a) ta có: OM BM OM ON OM ON  �  �  NO CO BM CO BM OB Mặt khác: MBO = MON = 600  BOM  ONM  M1 = M2  OM tia phân giác BMN c/ Do O giao điểm hai tia phân giác BMN MNC  O cách AB, MN AC Gọi H hình chiếu O lên AB  OH = OB.sinB = với đường trịn cố định có tâm O bán kính a a   MN tiếp xúc 2 a Bài Cho tam giác ABC, cạnh BC, AB, AC lấy ba điểm O, M, N cho O khác B, C MON = 600 Chứng minh rằng: BM.CN  BC2/4 Dấu xảy nào? Giải A Ta có: BOM =1800 - B - BMO = 1200 - BMO N Mà: BOM = 180 - MON - CON = 120 - CON 0 M B O C  BMO =  CON  BOM  CNO  2 �BO  CO � BC BM/CO = BO/CN  BM.CN = BO.CO  � � � � Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Gọi H trực tâm tam giác ABC, K BC2 chân đường cao vẽ từ A ABC Chứng minh rằng: KH.KA � Giải Xét AKB CKH có: AKB = CKH = 900 BAK = HCK (hai góc nhọn cạnh tương ứng vng góc) A  AKB  CKH  KA KC   KB KH 2 �KB  KC � BC  KA.KH  KB.KC �� � � � H B BC  KH.KA � C K Bài Cho tam giác ABC vuông A Chứng minh rằng: tg �ABC AC  AB  BC Giải a/ Xét ABD có A = 900  tg�ABD  AD �ABC AD � tg  AB AB Vẽ đường phân giác BD ta có: A DA BA DA DC DA  DC AC  �    DC BC BA BC AB  BC AB  BC  tg O B �ABC AC  AB  BC D E C Bài Cho hình thoi ABCD Gọi R 1, R2 bán kính đường trịn ngoại tiếp ABD ABC Gọi a độ dài cạnh hình thoi 1 a/ Chứng minh rằng: R2  R2  a2 b/ Tính diện tích hình thoi theo R1 R2 Giải a/ Giả sử trung trực cạnh AB cắt AC O cắt BD O2  O1 O2 tâm đường tròn ngoại tiếp ABD ABC  O1A = R1 O2B = R2 O1AK  ABO  O2BK  ABO  O1A AK R a  � 1 AB AO a 2AO O2A BK R a  � 2 AB BO a 2BO (1) A K B (2) a O O2 D O1 C a4 a4 Từ (1) (2)  4AO  , 4BO  R1 R2 �1 �R1 2  4 AO  BO   a �  �1 1� 1� 1 � 4a2  a4 �  ��   2� R2 � �R1 R2 � R1 R2 a b/ Ta có: SABCD = 2OA.OB AOB  AKO2  OA AB AB2  � OA  AK AO2 2R OB AB AB2 AB4  � OB  OA.OB  AOB  O1KB   KB O1B 2R1 4R1R2 AB4 AB4 � 4�1 Xét AOB ta có: AB = OA + OB � AB    AB �  � 4R2 4R1 �4R1 4R2 � �  AB2 2 (R12  R22 ) 4R12R 22 � AB  4R12R22 R12  R22 Vậy: OA.OB  16R4R 8R3R3 22 � SABCD  22 4R1R2 (R1  R2 ) (R1  R2 ) Bài Chứng minh tam giác ta có: b c a b c  ma  2 Giải A Xét ABC có: AM > AB - BM Xét ACM có: AM > AC - MC Cộng vế ta có: 2AM > AB + AC - BC  ma  B b c a Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MA = MD  AB = CD M C D Xét ACD có: AD < AC + CD = AC + AB  2AM < AC + AB  ma  b c Bài 10 CMR tứ giác lồi ABCD ta có bất đẳng thức: AB + CD < AC + BD Giải Gọi O giao điểm hai đường chéo  ta có: AC + BD = (AO + OC) + (BO + OD) = B A = (OA + OB) + (OC + OD) AC + BD > AB + CD O C D BTVN Bài Cho tam giác ABC, kẻ đường cao AH, gọi C điểm đối xứng H qua AB, B điểm đối xứng H qua AC Gọi giao điểm B 1C1 với AC AB I K Chứng minh đường BI, CK đường cao tam giác ABC Bài Cho tam giác ABC cân A H trung điểm cạnh BC Gọi I hình chiếu vng góc H lên cạnh AC O trung điểm HI Chứng minh hai tam giác BIC AOH đồng dạng với AO vng góc với BI ... tam giác nhọn ABC Gọi a, b, c lượt độ dài cạnh BC, CA, AB a) Chứng minh răng: a b c   sin A sin B sin C b) Có thể xảy đẳng thức sinA = sinB – sinC không ? III HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM. .. Tính diện tích tam giác ABC hai trường hợp: �  40o a) A �  140o b) A HD Tính đường cao CH Tính diện tích tam giác Nhận xét: Một cách tổng quát ta chứng minh rằng: Diện tích tam giác nửa tích... b = b) b = 20; C�  38o �  65o , đường cao CH = 3,6 Hãy giải tam giác ABC Bài 6: Tam giác ABC cân A, B Bài tập tự luyện: Bài 1: Tam giác ABC vuông A, AB = 17cm; C�  62o Tính độ dài đường trung

Ngày đăng: 22/12/2020, 22:47

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w