chuyen de he thuc luong trong tam giac vuong

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A KIẾN THỨC: I HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG: Một số hệ thức: 1) c2 = ac’, b2 = ab’ A 2) h2 = b,c, 3) ah = bc 4) b c B 1   h2 b2 c2 H c, C a b, 5) a2 = b2 + c2 -Với tam giác cạnh a, ta có: h  a ; S a2 Ví dụ: VD1.Cho tam giác ABC có AB>AC, kẻ trung tuyến AM đường cao AH Chứng minh: BC2 a) AB  AC  2AM  b) AB2  AC  2BC.MH 2 VD2.Cho hình thang ABCD (AB//CD có AB = 3cm; CD = 14cm; AC = 15cm; BD = 8cm a) Chứng minh AC vng góc với BD b) Tính diện tích hình thang VD3.Tính diện tích hình bình hành ABCD biết AD = 12; DC = 15; �ADC=700 tập bản: 1.Cho tam giác ABC vuông cân A, trung tuyến BD Gọi I hình chiếu C BD, H hình chiếu I AC Chứng minh: AH = 3HI 2.Qua đỉnh A hình vng ABCD cạnh a, vẽ đường thẳng cắt BC E cắt đường thẳng DC F Chứng minh: 1   AE AF2 a II TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN: Định nghĩa: Tính chất: - Một số hệ thức lượng giác bản: sin   cos 2  1; tg.cot g  1; tg  sin  ; cos cot g  cos sin - Chú ý: +)  sin   1;  cos AC nên AC AC < Suy sin  < tg  ; BC AB Chứng minh tương tụ ta cos  < cotg  Bài 3: Không dùng MTBT bảng số, xếp cã TSLG sau theo thứ tự tăng dần Cotg40o, sin50o, tan70o, cos55o HD: Theo định lí TSLG hai góc phụ nhau, ta có: cos55o= sin35o; Cotg40o = tg50o Vì sin35o< sin50o< tg50o < tg70o Nên cos55o< sin50o< Cotg40o< tg70o NX: Nhờ có tính chất sin  < tg  mà ta so sánh TSLG Bài 4: Không dùng MTBT bảng số, tính nhanh gí trị biểu thức sau: a) M = sin210o + sin220o + sin245o + sin270o + sin280o b) N = tg35o tg40o.tg45o.tg50o tg55o Bài 5: a) Biết sin  = , tính cos  , tg  , cotg  13 b) Biết tg  = 12 , tính sin  , cos  , cotg  35 Bài 6: Cho biểu thức A  2sin cos với  �45o sin   cos  a) Chứng minh A  sin   cos sin   cos b) Tính giá trị A biết tg  HD: a) A  sin   2sin cos  cos  (sin   cos)(sin   cos) b) A  sin   cos chia tử mẫu cho cos  sin   cos NX Nếu chi tg chia tử mẫu cho sin Bài Tìm x biết tgx + cotgx = HD Tìm tỉ số lượng giác góc sinx = cosx Suy tgx = = tg45o Vậy x = 45o Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A, AB = 20; AC = 21 Tính TSLG góc B góc C Bài 2: a) Biết cos  = , tính sin  , tg  , cotg  b) Biết cotg  = , tính sin  , cos  , tg  15 Bài 3: Không dùng MTBT bảng số, tính nhanh gí trị biểu thức sau: a) M = sin242o + sin243o + sin244o + sin245o + sin246o + sin247o+ sin248o b) N = cos215o- cos225o+ cos235o - cos245o + cos255o - cos265o + cos275o Bài Sắp xếp TSLG sau theo thứ tự tăng dần: Sin49o, cotg15o, tg65o, cos50o, cotg41o Bài Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị góc nhọn  a) (cos  - sin  )2 + (cos  + sin  )2 b) (cos  sin )  (cos  sin ) cos.sin  Bài 6: Cho tam giác nhọn ABC Gọi a, b, c lượt độ dài cạnh BC, CA, AB a) Chứng minh răng: a b c   sin A sin B sin C b) Có thể xảy đẳng thức sinA = sinB – sinC không ? III HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GĨC TRONG TAM GIÁC VNG: Trong tam giác vng cạnh góc vng bằng: a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối nhân với cos góc kề b) Cạnh góc vng nhân với tg góc đối nhân với cotg góc kề b  a sin B  acosC  ctgB  ccot gC c  acosB  asinC  bctgB  btgC Bài tập: �D �  90o , C �  50o Biết AB = 2; CD = 1,2 Tính diện Bài 1: Cho hình thang ABCD có A tích hình thang A B HD Vẽ BH  CD BH = AD = 1,2; DH = AB = 1,2 Xét tam giác HBC vuông H, ta có: 50 D H HC = HB.cotgC �1 C CD =CH + HD �3 Diện tích hình thang ABCD là: S (AB  CD).AD  (đvdt) Nhận xét: Vẽ BH  CD Bài 2: Tam giác ABC có AB = 4; AC = 3,5 Tính diện tích tam giác ABC hai trường hợp: �  40o a) A �  140o b) A HD Tính đường cao CH Tính diện tích tam giác Nhận xét: Một cách tổng quát ta chứng minh rằng: Diện tích tam giác nửa tích hai cạnh nhân với sin góc nhọn tạo đường thẳng chứa hai cạnh 1 S  a.b.sin C  b.c.sin A  c.a.sin B 2 Bài 3: Cho tam giác ABC với đường phân giác góc BAC AD Biết AB = 6, �  68o , tính độ dài AD AC = A Giải Gọi diện tích tam giác ABD, ADC ABC lượt S1, S2, S Ta có: AB.AD.sin A1 S2  AD.AC.sin A 2 S1  S A AB.AC.sin A B C D Vì: S = S1 + S2 Nên 1 AB.AD.sin A1  AD.AC.sin A  AB.AC.sin A 2 � AB.AD.sin A1  AD.AC.sin A  AB.AC.sin A AB.AC.sin A 6.9.sin 68o � AD   �6 AB.sin A1  AC.sin A 6.sin 34o  9sin 34o Bài Tam giác ABC vuông A, đường cao AH, biết HB = 9; HC = 16 Tính góc B góc C � �53o KQ: B Bài 5: Giải tam giác ABC vuông A biết: a) a = 18; b = b) b = 20; C�  38o �  65o , đường cao CH = 3,6 Hãy giải tam giác ABC Bài 6: Tam giác ABC cân A, B Bài tập tự luyện: Bài 1: Tam giác ABC vuông A, AB = 17cm; C�  62o Tính độ dài đường trung tuyến AM �  127 o Tính diện tích Bài 2: Cho hình thang cân ABCD (AB//CD), AB = 2, CD = A hình thang �  64o Tính diện tích hình Bài 3: Hình bình hành ABCD có AD = 4,3; CD = 7,5 D bình hành Bài 4: Độ dài hai đường chéo tứ giác 13 Góc nhọn hai đường chéo 48o Tính diện tích tứ giác Bài 5: Giải tam giác ABC vuông A biết: �  42o a) a = 12; B b) b = 13; c = 20 Bài 6: Giải tam giác ABC biết: �  70o ; B �  50o AB = 6,8; A Bài 7: Giải tam giác ABC biết: �  66o AB= 4,7; BC = 7,2; A B BÀI TẬP: C BÀI TẬP BỔ XUNG: Bài Cho tam giác ABC, đường thẳng d// BC cắt AB M, cắt AC N Gọi I, J trung điểm MN BC a/ Chứng minh rằng: A, I, J thẳng hàng b/ Gọi P, Q, H hình chiếu M, N, A lên BC, O = MP  NQ, R trung điểm AH Chứng minh rằng: J, O, R thẳng hàng Giải a/ áp dụng định lý Talét cho tam giác ABC ta có: A MN AN MN / AN IN AN  �  �   BC AC BC / AC JC AC R M I A, I, J thẳng hàng N O b/ Gọi S trung điểm PQ  I, O, S thẳng hàng B H P S Q J C O trung điểm IS, AH // IS  theo câu a ta có J, O, R thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC vuông A, phân giác AD, phân giác AE Cho biết AB < AC Chứng minh hệ thức sau: a/ 1   AB AC AD b/ 1   AB AC AE Giải Vẽ DH  AB, DK  AC  DH = DK = a/ áp dụng định lý Talét cho ABC ta có: DK CD AD 1   �  �  AB CB AB 2AB 2AD AD A K H E B D C HD CD AD 1 1 2   �  �      AC CB 2 AC 2AC 2AD AB AC 2AD AD Cách khác: Chú ý: SABC = AB.ADsin(AB;AC) 1 AB.AC = SABD + SACD = AB.ADsin450 + AC.ADsin450  2 a/ Ta có: SABC = AB.AC = AB.AC 2AD AB  AC 1 (AB+AC)AD   �  ��   AB  AC AB.AC AD AB AC AD b/ Ta có: SABC = AB.AC = � AE 1 AB.AC = SAEC - SABE = AE.ACsin1350 - AB.AEsin450   2 (AC - AB)  AB.AC AE AC  AB  �  � AC  AB AB.AC AE 1   AB AC AE Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, trung tuyến AM Chứng minh hệ thức sau: MH �BM �  2� � a/ BH �AB � b/ AB2  AC2  2AM  BC2 Giải A a/ Do tam giác ABC vng A nên ta có: BH  AB2 AB2  BC 2BM MH  MB  BH  BM  B H M C AB2 2BM  AB2  2BM 2BM MH 2BM  AB2 2BM 2BM  AB2 �BM �    2� �  2 BH 2BM AB AB �AB � b/ Ta có: AB2 = AH2 + HB2, AC2 = AH2 + HC2  AB2+ AC2 = 2AH2+ HB2+ HC2 = 2AH2+ (BM - HM)2+ (MC + HM)2 = 2AH2 + BM2+ MC2+2HM2- 2BM.HM + 2MC.HM = 2(AH2+ HM2) + (BC/2)2+ (BC/2)2 = 2AM2 + BC2/2 Bài Cho tam giác ABC, O trung điểm BC, góc xOy = 60 có cạnh Ox, Oy cắt AB, AC M N a/ Chứng minh OB2 = BM.CN b/ Chứng minh tia MO, NO ln phân giác góc BMN CMN c/ Chứng minh đường thẳng MN tiếp xúc với đường trịn cố định góc xOy quay quanh O hai cạnh Ox, Oy cắt hai cạnh AB AC tam giác ABC Giải A a/ Ta có: B = C = 600 O1 + O2 = 1200; O1 + M1 = 1200 M N H  M1= O2  N1 = O1  BOM  CNO  B C O BO/CN = BM/CO  BO.CO = BM.CN  BO = BM.CN b/ Từ (a) ta có: OM BM OM ON OM ON  �  �  NO CO BM CO BM OB Mặt khác: MBO = MON = 600  BOM  ONM  M1 = M2  OM tia phân giác BMN c/ Do O giao điểm hai tia phân giác BMN MNC  O cách AB, MN AC Gọi H hình chiếu O lên AB  OH = OB.sinB = với đường trịn cố định có tâm O bán kính a a   MN tiếp xúc 2 a Bài Cho tam giác ABC, cạnh BC, AB, AC lấy ba điểm O, M, N cho O khác B, C MON = 600 Chứng minh rằng: BM.CN  BC2/4 Dấu xảy nào? Giải A Ta có: BOM =1800 - B - BMO = 1200 - BMO N Mà: BOM = 180 - MON - CON = 120 - CON 0 M B O C  BMO =  CON  BOM  CNO  2 �BO  CO � BC BM/CO = BO/CN  BM.CN = BO.CO  � � � � Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Gọi H trực tâm tam giác ABC, K BC2 chân đường cao vẽ từ A ABC Chứng minh rằng: KH.KA � Giải Xét AKB CKH có: AKB = CKH = 900 BAK = HCK (hai góc nhọn cạnh tương ứng vng góc) A  AKB  CKH  KA KC   KB KH 2 �KB  KC � BC  KA.KH  KB.KC �� � � � H B BC  KH.KA � C K Bài Cho tam giác ABC vuông A Chứng minh rằng: tg �ABC AC  AB  BC Giải a/ Xét ABD có A = 900  tg�ABD  AD �ABC AD � tg  AB AB Vẽ đường phân giác BD ta có: A DA BA DA DC DA  DC AC  �    DC BC BA BC AB  BC AB  BC  tg O B �ABC AC  AB  BC D E C Bài Cho hình thoi ABCD Gọi R 1, R2 bán kính đường trịn ngoại tiếp ABD ABC Gọi a độ dài cạnh hình thoi 1 a/ Chứng minh rằng: R2  R2  a2 b/ Tính diện tích hình thoi theo R1 R2 Giải a/ Giả sử trung trực cạnh AB cắt AC O cắt BD O2  O1 O2 tâm đường tròn ngoại tiếp ABD ABC  O1A = R1 O2B = R2 O1AK  ABO  O2BK  ABO  O1A AK R a  � 1 AB AO a 2AO O2A BK R a  � 2 AB BO a 2BO (1) A K B (2) a O O2 D O1 C a4 a4 Từ (1) (2)  4AO  , 4BO  R1 R2 �1 �R1 2  4 AO  BO   a �  �1 1� 1� 1 � 4a2  a4 �  ��   2� R2 � �R1 R2 � R1 R2 a b/ Ta có: SABCD = 2OA.OB AOB  AKO2  OA AB AB2  � OA  AK AO2 2R OB AB AB2 AB4  � OB  OA.OB  AOB  O1KB   KB O1B 2R1 4R1R2 AB4 AB4 � 4�1 Xét AOB ta có: AB = OA + OB � AB    AB �  � 4R2 4R1 �4R1 4R2 � �  AB2 2 (R12  R22 ) 4R12R 22 � AB  4R12R22 R12  R22 Vậy: OA.OB  16R4R 8R3R3 22 � SABCD  22 4R1R2 (R1  R2 ) (R1  R2 ) Bài Chứng minh tam giác ta có: b c a b c  ma  2 Giải A Xét ABC có: AM > AB - BM Xét ACM có: AM > AC - MC Cộng vế ta có: 2AM > AB + AC - BC  ma  B b c a Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MA = MD  AB = CD M C D Xét ACD có: AD < AC + CD = AC + AB  2AM < AC + AB  ma  b c Bài 10 CMR tứ giác lồi ABCD ta có bất đẳng thức: AB + CD < AC + BD Giải Gọi O giao điểm hai đường chéo  ta có: AC + BD = (AO + OC) + (BO + OD) = B A = (OA + OB) + (OC + OD) AC + BD > AB + CD O C D BTVN Bài Cho tam giác ABC, kẻ đường cao AH, gọi C điểm đối xứng H qua AB, B điểm đối xứng H qua AC Gọi giao điểm B 1C1 với AC AB I K Chứng minh đường BI, CK đường cao tam giác ABC Bài Cho tam giác ABC cân A H trung điểm cạnh BC Gọi I hình chiếu vng góc H lên cạnh AC O trung điểm HI Chứng minh hai tam giác BIC AOH đồng dạng với AO vng góc với BI  ... tam giác nhọn ABC Gọi a, b, c lượt độ dài cạnh BC, CA, AB a) Chứng minh răng: a b c   sin A sin B sin C b) Có thể xảy đẳng thức sinA = sinB – sinC không ? III HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM. .. Tính diện tích tam giác ABC hai trường hợp: �  40o a) A �  140o b) A HD Tính đường cao CH Tính diện tích tam giác Nhận xét: Một cách tổng quát ta chứng minh rằng: Diện tích tam giác nửa tích... b = b) b = 20; C�  38o �  65o , đường cao CH = 3,6 Hãy giải tam giác ABC Bài 6: Tam giác ABC cân A, B Bài tập tự luyện: Bài 1: Tam giác ABC vuông A, AB = 17cm; C�  62o Tính độ dài đường trung