chuyen de he thuc luong trong tam giac vuong

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A KIẾN THỨC: I HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG: Một số hệ thức: 1) c2 = ac’, b2 = ab’ A 2) h2 = b,c, 3) ah = bc 4) b c B 1 = + h2 b2 c2 H c, C a b, 5) a2 = b2 + c2 -Với tam giác cạnh a, ta có: h = a ; S= a2 Ví dụ: VD1.Cho tam giác ABC có AB>AC, kẻ trung tuyến AM đường cao AH Chứng minh: BC2 a) AB + AC = 2AM + b) AB2 − AC = 2BC.MH 2 VD2.Cho hình thang ABCD (AB//CD có AB = 3cm; CD = 14cm; AC = 15cm; BD = 8cm a) Chứng minh AC vng góc với BD b) Tính diện tích hình thang VD3.Tính diện tích hình bình hành ABCD biết AD = 12; DC = 15; ∠ ADC=700 tập bản: 1.Cho tam giác ABC vuông cân A, trung tuyến BD Gọi I hình chiếu C BD, H hình chiếu I AC Chứng minh: AH = 3HI 2.Qua đỉnh A hình vng ABCD cạnh a, vẽ đường thẳng cắt BC E cắt đường thẳng DC F Chứng minh: 1 + = AE AF2 a II TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN: Định nghĩa: Tính chất: - Một số hệ thức lượng giác bản: sin α + cos 2α = 1; tgα.cot gα = 1; tgα = sin α ; cosα cot gα = cosα sinα - Chú ý: +) < sin α < 1; < cosα AC nên AC AC < Suy sin α < tg α ; BC AB Chứng minh tương tụ ta cos α < cotg α Bài 3: Không dùng MTBT bảng số, xếp cã TSLG sau theo thứ tự tăng dần Cotg40o, sin50o, tan70o, cos55o HD: Theo định lí TSLG hai góc phụ nhau, ta có: cos55o= sin35o; Cotg40o = tg50o Vì sin35o< sin50o< tg50o < tg70o Nên cos55o< sin50o< Cotg40o< tg70o NX: Nhờ có tính chất sin α < tg α mà ta so sánh TSLG Bài 4: Khơng dùng MTBT bảng số, tính nhanh gí trị biểu thức sau: a) M = sin210o + sin220o + sin245o + sin270o + sin280o b) N = tg35o tg40o.tg45o.tg50o tg55o Bài 5: a) Biết sin α = , tính cos α , tg α , cotg α 13 b) Biết tg α = 12 , tính sin α , cos α , cotg α 35 Bài 6: Cho biểu thức A= − 2sin αcosα với α ≠ 45o sin α − cos α a) Chứng minh A = sin α − cosα sin α + cosα b) Tính giá trị A biết tgα = HD: a) A = sin α − 2sin αcosα + cos α (sin α − cosα)(sin α + cosα) b) A = sin α − cosα chia tử mẫu cho cos α sin α + cosα NX Nếu chi tg chia tử mẫu cho sin Bài Tìm x biết tgx + cotgx = HD Tìm tỉ số lượng giác góc sinx = cosx Suy tgx = = tg45o Vậy x = 45o Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A, AB = 20; AC = 21 Tính TSLG góc B góc C Bài 2: a) Biết cos α = , tính sin α , tg α , cotg α b) Biết cotg α = , tính sin α , cos α , tg α 15 Bài 3: Không dùng MTBT bảng số, tính nhanh gí trị biểu thức sau: a) M = sin242o + sin243o + sin244o + sin245o + sin246o + sin247o+ sin248o b) N = cos215o- cos225o+ cos235o - cos245o + cos255o - cos265o + cos275o Bài Sắp xếp TSLG sau theo thứ tự tăng dần: Sin49o, cotg15o, tg65o, cos50o, cotg41o Bài Chứng minh giá trị biểu thức sau khơng phụ thuộc vào giá trị góc nhọn α a) (cos α - sin α )2 + (cos α + sin α )2 b) (cosα − sin α) − (cosα + sin α) cosα.sin α Bài 6: Cho tam giác nhọn ABC Gọi a, b, c lượt độ dài cạnh BC, CA, AB a) Chứng minh răng: a b c = = sin A sin B sin C b) Có thể xảy đẳng thức sinA = sinB – sinC không ? III HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VNG: Trong tam giác vng cạnh góc vng bằng: a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối nhân với cos góc kề b) Cạnh góc vng nhân với tg góc đối nhân với cotg góc kề b = a sin B = acosC = ctgB = ccot gC c = acosB = asinC = bctgB = btgC A B Bài tập: Bài 1: Cho hình thang ABCD có 1,2 D 50° H C µ =D µ = 90o , C µ = 50o Biết AB = 2; CD = 1,2 Tính diện tích hình thang A HD Vẽ BH ⊥ CD BH = AD = 1,2; DH = AB = Xét tam giác HBC vng H, ta có: HC = HB.cotgC ≈ CD =CH + HD ≈ Diện tích hình thang ABCD là: S= (AB + CD).AD = (đvdt) Nhận xét: Vẽ BH ⊥ CD Bài 2: Tam giác ABC có AB = 4; AC = 3,5 Tính diện tích tam giác ABC hai trường hợp: µ = 40o a) A µ = 140o b) A HD Tính đường cao CH Tính diện tích tam giác Nhận xét: Một cách tổng quát ta chứng minh rằng: Diện tích tam giác nửa tích hai cạnh nhân với sin góc nhọn tạo đường thẳng chứa hai cạnh S= 1 a.b.sin C = b.c.sin A = c.a.sin B 2 Bài 3: Cho tam giác ABC với đường phân giác góc BAC AD Biết AB = 6, µ = 68o , tính độ dài AD AC = A Giải Gọi diện tích tam giác ABD, ADC ABC lượt S1, S2, S Ta có: AB.AD.sin A1 S2 = AD.AC.sin A 2 S1 = S= A AB.AC.sin A Vì: S = S1 + S2 Nên B C D 1 AB.AD.sin A1 + AD.AC.sin A = AB.AC.sin A 2 ⇔ AB.AD.sin A1 + AD.AC.sin A = AB.AC.sin A AB.AC.sin A 6.9.sin 68o ⇔ AD = = ≈6 AB.sin A1 + AC.sin A 6.sin 34 o + 9sin 34o Bài Tam giác ABC vuông A, đường cao AH, biết HB = 9; HC = 16 Tính góc B góc C µ ≈ 53o KQ: B Bài 5: Giải tam giác ABC vuông A biết: a) a = 18; b = b) b = 20; Cµ = 38o µ = 65o , đường cao CH = 3,6 Hãy giải tam giác ABC Bài 6: Tam giác ABC cân A, B Bài tập tự luyện: Bài 1: Tam giác ABC vng A, AB = 17cm; Cµ = 62o Tính độ dài đường trung tuyến AM µ = 127 o Tính diện tích Bài 2: Cho hình thang cân ABCD (AB//CD), AB = 2, CD = A hình thang µ = 64o Tính diện tích hình Bài 3: Hình bình hành ABCD có AD = 4,3; CD = 7,5 D bình hành Bài 4: Độ dài hai đường chéo tứ giác 13 Góc nhọn hai đường chéo 48o Tính diện tích tứ giác Bài 5: Giải tam giác ABC vng A biết: µ = 42o a) a = 12; B b) b = 13; c = 20 Bài 6: Giải tam giác ABC biết: µ = 70o ; B µ = 50o AB = 6,8; A Bài 7: Giải tam giác ABC biết: µ = 66o AB= 4,7; BC = 7,2; A B BÀI TẬP: C BÀI TẬP BỔ XUNG: Bài Cho tam giác ABC, đường thẳng d// BC cắt AB M, cắt AC N Gọi I, J trung điểm MN BC a/ Chứng minh rằng: A, I, J thẳng hàng b/ Gọi P, Q, H hình chiếu M, N, A lên BC, O = MP ∩ NQ, R trung điểm AH Chứng minh rằng: J, O, R thẳng hàng Giải a/ áp dụng định lý Talét cho tam giác ABC ta có: A MN AN MN / AN IN AN = ⇔ = ⇔ = ⇒ BC AC BC / AC JC AC R M I A, I, J thẳng hàng N O b/ Gọi S trung điểm PQ ⇒ I, O, S thẳng hàng B H P S Q J C O trung điểm IS, AH // IS ⇒ theo câu a ta có J, O, R thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC vuông A, phân giác AD, phân giác AE Cho biết AB < AC Chứng minh hệ thức sau: a/ 1 + = AB AC AD b/ 1 − = AB AC AE Giải Vẽ DH ⊥ AB, DK ⊥ AC ⇒ DH = DK = AD a/ áp dụng định lý Talét cho ∆ABC ta có: DK CD AD 1 = = ⇔ = ⇔ = AB CB AB 2AB 2AD A K H E B D C HD CD AD 1 1 2 = = ⇔ = ⇔ = + = = ⇒ AC CB 2 AC 2AC 2AD AB AC 2AD AD Cách khác: Chú ý: SABC = AB.ADsin∠(AB;AC) 1 AB.AC = SABD + SACD = AB.ADsin450 + AC.ADsin450 ⇒ 2 a/ Ta có: SABC = AB.AC = AB.AC 2AD AB + AC 1 (AB+AC)AD ⇒ = ⇔ = ⇔⇔ + = AB + AC AB.AC AD AB AC AD b/ Ta có: SABC = AB.AC = ⇔ 1 AB.AC = SAEC - SABE = AE.ACsin1350 - AB.AEsin450 ⇒ ⇒ 2 AE AB.AC AE AC − AB = ⇔ = ⇔ (AC - AB) ⇒ AC − AB AB.AC AE 1 − = AB AC AE Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, trung tuyến AM Chứng minh hệ thức sau: MH  BM  = 2 a/ ÷ −1 BH  AB  b/ AB2 + AC2 = 2AM + BC2 Giải A a/ Do tam giác ABC vuông A nên ta có: BH = AB2 AB2 = BC 2BM MH = MB − BH = BM − B H M C AB2 2BM − AB2 = 2BM 2BM MH 2BM − AB2 2BM 2BM − AB2  BM  ⇒ = = = 2 ÷ − 2 BH 2BM AB AB  AB  b/ Ta có: AB2 = AH2 + HB2, AC2 = AH2 + HC2 ⇒AB2+ AC2 = 2AH2+ HB2+ HC2 = 2AH2+ (BM - HM)2+ (MC + HM)2 = 2AH2 + BM2+ MC2+2HM2- 2BM.HM + 2MC.HM = 2(AH2+ HM2) + (BC/2)2+ (BC/2)2 = 2AM2 + BC2/2 Bài Cho tam giác ABC, O trung điểm BC, góc xOy = 60 có cạnh Ox, Oy cắt AB, AC M N a/ Chứng minh OB2 = BM.CN b/ Chứng minh tia MO, NO ln phân giác góc BMN CMN c/ Chứng minh đường thẳng MN ln tiếp xúc với đường trịn cố định góc xOy quay quanh O hai cạnh Ox, Oy cắt hai cạnh AB AC tam giác ABC Giải A a/ Ta có: ∠B = ∠C = 60 ∠O1 + ∠O2 = 1200; ∠O1 + ∠M1 = 1200 M N H ⇒ ∠M1= ∠O2 ⇒ ∠N1 = ∠O1 ⇒ ∆BOM ∼ ∆CNO ⇒ BO/CN = BM/CO ⇔ BO.CO = BM.CN ⇔ BO = BM.CN B b/ Từ (a) ta có: C O OM BM OM ON OM ON = ⇔ = ⇔ = NO CO BM CO BM OB Mặt khác: ∠MBO = ∠MON = 600 ⇔ ∆BOM ∼ ∆ONM ⇔ ∠M1 = ∠M2 ⇒ OM tia phân giác ∠BMN c/ Do O giao điểm hai tia phân giác ∠BMN ∠MNC ⇒ O cách AB, MN AC Gọi H hình chiếu O lên AB ⇒ OH = OB.sinB = a = a ⇒ MN tiếp xúc 2 với đường trịn cố định có tâm O bán kính a Bài Cho tam giác ABC, cạnh BC, AB, AC lấy ba điểm O, M, N cho O khác B, C ∠MON = 600 Chứng minh rằng: BM.CN ≤ BC2/4 Dấu xảy nào? Giải A Ta có: ∠BOM =180 - ∠B - ∠BMO = 120 - ∠BMO 0 Mà: ∠BOM = 1800 - ∠MON - ∠CON = 1200 - ∠CON N M B O C ⇒ ∠BMO = ∠CON ⇒ ∆BOM ∼ ∆CNO ⇒ BO + CO  BC2 BM/CO = BO/CN ⇔ BM.CN = BO.CO ≤  = ÷   Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Gọi H trực tâm tam giác ABC, K BC2 chân đường cao vẽ từ A ∆ABC Chứng minh rằng: KH.KA ≤ Giải Xét ∆AKB ∆CKH có: ∠AKB = ∠CKH = 900 ∠BAK = ∠HCK (hai góc nhọn cạnh tương ứng vng góc) A KA KC = ⇒ ∆AKB ∼ ∆CKH ⇒ ⇒ KB KH KB + KC  BC2 ÷ =   ⇒ KA.KH = KB.KC ≤  ⇒ KH.KA ≤ H B C K BC Bài Cho tam giác ABC vuông A Chứng minh rằng: tg ∠ABC AC = AB + BC Giải a/ Xét ∆ABD có ∠A = 900 ⇒ tg∠ABD = AD ∠ABC AD ⇔ tg = AB AB Vẽ đường phân giác BD ta có: A DA BA DA DC DA + DC AC = ⇔ = = = DC BC BA BC AB + BC AB + BC O B ∠ABC AC = ⇒ tg AB + BC D E C Bài Cho hình thoi ABCD Gọi R 1, R2 bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABD ∆ABC Gọi a độ dài cạnh hình thoi 1 a/ Chứng minh rằng: R2 + R2 = a2 b/ Tính diện tích hình thoi theo R1 R2 Giải a/ Giả sử trung trực cạnh AB cắt AC O cắt BD O2 ⇒ O1 O2 tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABD ∆ABC ⇒ O1A = R1 O2B = R2 ∆O1AK ∼ ∆ABO ⇒ ∆O2BK ∼ ∆ABO ⇒ O1A AK R a = ⇒ 1= AB AO a 2AO O2A BK R a = ⇒ 2= AB BO a 2BO (1) A K B (2) a O O2 D O1 C a4 a4 Từ (1) (2) ⇒ 4AO = , 4BO2 = R1 R2   1 1 1 + ÷ ⇔ 4a2 = a4  + ÷ ⇔ + = R1 R2 a  R1 R2   R1 R2  ⇒ 4( AO2 + BO2 ) = a4  b/ Ta có: SABCD = 2OA.OB OA AB AB2 = ⇒ OA = ∆AOB ∼ ∆AKO2 ⇒ AK AO2 2R2 ∆AOB ∼ ∆O1KB ⇒ OB AB AB2 AB4 = ⇒ OB = ⇒ OA.OB = KB O1B 2R1 4R1R2 Xét ∆AOB ta có: AB = OA + OB ⇔ AB2 = ⇒ = AB2 2  AB4 AB4  + = AB4  + ÷ 2 4R2 4R1  4R1 4R2  (R12 + R22 ) 4R12R22 ⇔ AB = 4R12R22 R12 + R22 Vậy: OA.OB = 16R4R4 8R3R3 22 ⇒ SABCD = 22 4R1R2 (R1 + R2 ) (R1 + R2 ) Bài Chứng minh tam giác ta có: b+ c− a b+ c < ma < 2 Giải A Xét ∆ABC có: AM > AB - BM B Xét ∆ACM có: AM > AC - MC Cộng vế ta có: 2AM > AB + AC - BC ⇔ ma > b+ c− a Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MA = MD ⇒AB = CD M C D Xét ∆ACD có: AD < AC + CD = AC + AB ⇒ 2AM < AC + AB ⇒ ma < b+ c Bài 10 CMR tứ giác lồi ABCD ta có bất đẳng thức: AB + CD < AC + BD Giải Gọi O giao điểm hai đường chéo ⇒ ta có: AC + BD = (AO + OC) + (BO + OD) = B A = (OA + OB) + (OC + OD)⇒AC + BD > AB + CD O C D BTVN Bài Cho tam giác ABC, kẻ đường cao AH, gọi C điểm đối xứng H qua AB, B điểm đối xứng H qua AC Gọi giao điểm B 1C1 với AC AB I K Chứng minh đường BI, CK đường cao tam giác ABC Bài Cho tam giác ABC cân A H trung điểm cạnh BC Gọi I hình chiếu vng góc H lên cạnh AC O trung điểm HI Chứng minh hai tam giác BIC AOH đồng dạng với AO vng góc với BI  ... tam giác nhọn ABC Gọi a, b, c lượt độ dài cạnh BC, CA, AB a) Chứng minh răng: a b c = = sin A sin B sin C b) Có thể xảy đẳng thức sinA = sinB – sinC khơng ? III HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GĨC TRONG TAM. .. tam giác HBC vuông H, ta có: HC = HB.cotgC ≈ CD =CH + HD ≈ Diện tích hình thang ABCD là: S= (AB + CD).AD = (đvdt) Nhận xét: Vẽ BH ⊥ CD Bài 2: Tam giác ABC có AB = 4; AC = 3,5 Tính diện tích tam. .. b = b) b = 20; Cµ = 38o µ = 65o , đường cao CH = 3,6 Hãy giải tam giác ABC Bài 6: Tam giác ABC cân A, B Bài tập tự luyện: Bài 1: Tam giác ABC vng A, AB = 17cm; Cµ = 62o Tính độ dài đường trung