Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 12 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
12
Dung lượng
427,74 KB
Nội dung
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A KIẾN THỨC: I HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG: Một số hệ thức: 1) c2 = ac’, b2 = ab’ A 2) h2 = b,c, 3) ah = bc 4) b c B 1 h2 b2 c2 H c, C a b, 5) a2 = b2 + c2 -Với tam giác cạnh a, ta có: h a ; S a2 Ví dụ: VD1.Cho tam giác ABC có AB>AC, kẻ trung tuyến AM đường cao AH Chứng minh: BC2 a) AB AC 2AM b) AB2 AC 2BC.MH 2 VD2.Cho hình thang ABCD (AB//CD có AB = 3cm; CD = 14cm; AC = 15cm; BD = 8cm a) Chứng minh AC vng góc với BD b) Tính diện tích hình thang VD3.Tính diện tích hình bình hành ABCD biết AD = 12; DC = 15; �ADC=700 tập bản: 1.Cho tam giác ABC vuông cân A, trung tuyến BD Gọi I hình chiếu C BD, H hình chiếu I AC Chứng minh: AH = 3HI 2.Qua đỉnh A hình vng ABCD cạnh a, vẽ đường thẳng cắt BC E cắt đường thẳng DC F Chứng minh: 1 AE AF2 a II TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN: Định nghĩa: Tính chất: - Một số hệ thức lượng giác bản: sin cos 2 1; tg.cot g 1; tg sin ; cos cot g cos sin - Chú ý: +) sin 1; cos AC nên AC AC < Suy sin < tg ; BC AB Chứng minh tương tụ ta cos < cotg Bài 3: Không dùng MTBT bảng số, xếp cã TSLG sau theo thứ tự tăng dần Cotg40o, sin50o, tan70o, cos55o HD: Theo định lí TSLG hai góc phụ nhau, ta có: cos55o= sin35o; Cotg40o = tg50o Vì sin35o< sin50o< tg50o < tg70o Nên cos55o< sin50o< Cotg40o< tg70o NX: Nhờ có tính chất sin < tg mà ta so sánh TSLG Bài 4: Không dùng MTBT bảng số, tính nhanh gí trị biểu thức sau: a) M = sin210o + sin220o + sin245o + sin270o + sin280o b) N = tg35o tg40o.tg45o.tg50o tg55o Bài 5: a) Biết sin = , tính cos , tg , cotg 13 b) Biết tg = 12 , tính sin , cos , cotg 35 Bài 6: Cho biểu thức A 2sin cos với �45o sin cos a) Chứng minh A sin cos sin cos b) Tính giá trị A biết tg HD: a) A sin 2sin cos cos (sin cos)(sin cos) b) A sin cos chia tử mẫu cho cos sin cos NX Nếu chi tg chia tử mẫu cho sin Bài Tìm x biết tgx + cotgx = HD Tìm tỉ số lượng giác góc sinx = cosx Suy tgx = = tg45o Vậy x = 45o Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A, AB = 20; AC = 21 Tính TSLG góc B góc C Bài 2: a) Biết cos = , tính sin , tg , cotg b) Biết cotg = , tính sin , cos , tg 15 Bài 3: Không dùng MTBT bảng số, tính nhanh gí trị biểu thức sau: a) M = sin242o + sin243o + sin244o + sin245o + sin246o + sin247o+ sin248o b) N = cos215o- cos225o+ cos235o - cos245o + cos255o - cos265o + cos275o Bài Sắp xếp TSLG sau theo thứ tự tăng dần: Sin49o, cotg15o, tg65o, cos50o, cotg41o Bài Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị góc nhọn a) (cos - sin )2 + (cos + sin )2 b) (cos sin ) (cos sin ) cos.sin Bài 6: Cho tam giác nhọn ABC Gọi a, b, c lượt độ dài cạnh BC, CA, AB a) Chứng minh răng: a b c sin A sin B sin C b) Có thể xảy đẳng thức sinA = sinB – sinC không ? III HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GĨC TRONG TAM GIÁC VNG: Trong tam giác vng cạnh góc vng bằng: a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối nhân với cos góc kề b) Cạnh góc vng nhân với tg góc đối nhân với cotg góc kề b a sin B acosC ctgB ccot gC c acosB asinC bctgB btgC Bài tập: �D � 90o , C � 50o Biết AB = 2; CD = 1,2 Tính diện Bài 1: Cho hình thang ABCD có A tích hình thang A B HD Vẽ BH CD BH = AD = 1,2; DH = AB = 1,2 Xét tam giác HBC vuông H, ta có: 50 D H HC = HB.cotgC �1 C CD =CH + HD �3 Diện tích hình thang ABCD là: S (AB CD).AD (đvdt) Nhận xét: Vẽ BH CD Bài 2: Tam giác ABC có AB = 4; AC = 3,5 Tính diện tích tam giác ABC hai trường hợp: � 40o a) A � 140o b) A HD Tính đường cao CH Tính diện tích tam giác Nhận xét: Một cách tổng quát ta chứng minh rằng: Diện tích tam giác nửa tích hai cạnh nhân với sin góc nhọn tạo đường thẳng chứa hai cạnh 1 S a.b.sin C b.c.sin A c.a.sin B 2 Bài 3: Cho tam giác ABC với đường phân giác góc BAC AD Biết AB = 6, � 68o , tính độ dài AD AC = A Giải Gọi diện tích tam giác ABD, ADC ABC lượt S1, S2, S Ta có: AB.AD.sin A1 S2 AD.AC.sin A 2 S1 S A AB.AC.sin A B C D Vì: S = S1 + S2 Nên 1 AB.AD.sin A1 AD.AC.sin A AB.AC.sin A 2 � AB.AD.sin A1 AD.AC.sin A AB.AC.sin A AB.AC.sin A 6.9.sin 68o � AD �6 AB.sin A1 AC.sin A 6.sin 34o 9sin 34o Bài Tam giác ABC vuông A, đường cao AH, biết HB = 9; HC = 16 Tính góc B góc C � �53o KQ: B Bài 5: Giải tam giác ABC vuông A biết: a) a = 18; b = b) b = 20; C� 38o � 65o , đường cao CH = 3,6 Hãy giải tam giác ABC Bài 6: Tam giác ABC cân A, B Bài tập tự luyện: Bài 1: Tam giác ABC vuông A, AB = 17cm; C� 62o Tính độ dài đường trung tuyến AM � 127 o Tính diện tích Bài 2: Cho hình thang cân ABCD (AB//CD), AB = 2, CD = A hình thang � 64o Tính diện tích hình Bài 3: Hình bình hành ABCD có AD = 4,3; CD = 7,5 D bình hành Bài 4: Độ dài hai đường chéo tứ giác 13 Góc nhọn hai đường chéo 48o Tính diện tích tứ giác Bài 5: Giải tam giác ABC vuông A biết: � 42o a) a = 12; B b) b = 13; c = 20 Bài 6: Giải tam giác ABC biết: � 70o ; B � 50o AB = 6,8; A Bài 7: Giải tam giác ABC biết: � 66o AB= 4,7; BC = 7,2; A B BÀI TẬP: C BÀI TẬP BỔ XUNG: Bài Cho tam giác ABC, đường thẳng d// BC cắt AB M, cắt AC N Gọi I, J trung điểm MN BC a/ Chứng minh rằng: A, I, J thẳng hàng b/ Gọi P, Q, H hình chiếu M, N, A lên BC, O = MP NQ, R trung điểm AH Chứng minh rằng: J, O, R thẳng hàng Giải a/ áp dụng định lý Talét cho tam giác ABC ta có: A MN AN MN / AN IN AN � � BC AC BC / AC JC AC R M I A, I, J thẳng hàng N O b/ Gọi S trung điểm PQ I, O, S thẳng hàng B H P S Q J C O trung điểm IS, AH // IS theo câu a ta có J, O, R thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC vuông A, phân giác AD, phân giác AE Cho biết AB < AC Chứng minh hệ thức sau: a/ 1 AB AC AD b/ 1 AB AC AE Giải Vẽ DH AB, DK AC DH = DK = a/ áp dụng định lý Talét cho ABC ta có: DK CD AD 1 � � AB CB AB 2AB 2AD AD A K H E B D C HD CD AD 1 1 2 � � AC CB 2 AC 2AC 2AD AB AC 2AD AD Cách khác: Chú ý: SABC = AB.ADsin(AB;AC) 1 AB.AC = SABD + SACD = AB.ADsin450 + AC.ADsin450 2 a/ Ta có: SABC = AB.AC = AB.AC 2AD AB AC 1 (AB+AC)AD � �� AB AC AB.AC AD AB AC AD b/ Ta có: SABC = AB.AC = � AE 1 AB.AC = SAEC - SABE = AE.ACsin1350 - AB.AEsin450 2 (AC - AB) AB.AC AE AC AB � � AC AB AB.AC AE 1 AB AC AE Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, trung tuyến AM Chứng minh hệ thức sau: MH �BM � 2� � a/ BH �AB � b/ AB2 AC2 2AM BC2 Giải A a/ Do tam giác ABC vng A nên ta có: BH AB2 AB2 BC 2BM MH MB BH BM B H M C AB2 2BM AB2 2BM 2BM MH 2BM AB2 2BM 2BM AB2 �BM � 2� � 2 BH 2BM AB AB �AB � b/ Ta có: AB2 = AH2 + HB2, AC2 = AH2 + HC2 AB2+ AC2 = 2AH2+ HB2+ HC2 = 2AH2+ (BM - HM)2+ (MC + HM)2 = 2AH2 + BM2+ MC2+2HM2- 2BM.HM + 2MC.HM = 2(AH2+ HM2) + (BC/2)2+ (BC/2)2 = 2AM2 + BC2/2 Bài Cho tam giác ABC, O trung điểm BC, góc xOy = 60 có cạnh Ox, Oy cắt AB, AC M N a/ Chứng minh OB2 = BM.CN b/ Chứng minh tia MO, NO ln phân giác góc BMN CMN c/ Chứng minh đường thẳng MN tiếp xúc với đường trịn cố định góc xOy quay quanh O hai cạnh Ox, Oy cắt hai cạnh AB AC tam giác ABC Giải A a/ Ta có: B = C = 600 O1 + O2 = 1200; O1 + M1 = 1200 M N H M1= O2 N1 = O1 BOM CNO B C O BO/CN = BM/CO BO.CO = BM.CN BO = BM.CN b/ Từ (a) ta có: OM BM OM ON OM ON � � NO CO BM CO BM OB Mặt khác: MBO = MON = 600 BOM ONM M1 = M2 OM tia phân giác BMN c/ Do O giao điểm hai tia phân giác BMN MNC O cách AB, MN AC Gọi H hình chiếu O lên AB OH = OB.sinB = với đường trịn cố định có tâm O bán kính a a MN tiếp xúc 2 a Bài Cho tam giác ABC, cạnh BC, AB, AC lấy ba điểm O, M, N cho O khác B, C MON = 600 Chứng minh rằng: BM.CN BC2/4 Dấu xảy nào? Giải A Ta có: BOM =1800 - B - BMO = 1200 - BMO N Mà: BOM = 180 - MON - CON = 120 - CON 0 M B O C BMO = CON BOM CNO 2 �BO CO � BC BM/CO = BO/CN BM.CN = BO.CO � � � � Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Gọi H trực tâm tam giác ABC, K BC2 chân đường cao vẽ từ A ABC Chứng minh rằng: KH.KA � Giải Xét AKB CKH có: AKB = CKH = 900 BAK = HCK (hai góc nhọn cạnh tương ứng vng góc) A AKB CKH KA KC KB KH 2 �KB KC � BC KA.KH KB.KC �� � � � H B BC KH.KA � C K Bài Cho tam giác ABC vuông A Chứng minh rằng: tg �ABC AC AB BC Giải a/ Xét ABD có A = 900 tg�ABD AD �ABC AD � tg AB AB Vẽ đường phân giác BD ta có: A DA BA DA DC DA DC AC � DC BC BA BC AB BC AB BC tg O B �ABC AC AB BC D E C Bài Cho hình thoi ABCD Gọi R 1, R2 bán kính đường trịn ngoại tiếp ABD ABC Gọi a độ dài cạnh hình thoi 1 a/ Chứng minh rằng: R2 R2 a2 b/ Tính diện tích hình thoi theo R1 R2 Giải a/ Giả sử trung trực cạnh AB cắt AC O cắt BD O2 O1 O2 tâm đường tròn ngoại tiếp ABD ABC O1A = R1 O2B = R2 O1AK ABO O2BK ABO O1A AK R a � 1 AB AO a 2AO O2A BK R a � 2 AB BO a 2BO (1) A K B (2) a O O2 D O1 C a4 a4 Từ (1) (2) 4AO , 4BO R1 R2 �1 �R1 2 4 AO BO a � �1 1� 1� 1 � 4a2 a4 � �� 2� R2 � �R1 R2 � R1 R2 a b/ Ta có: SABCD = 2OA.OB AOB AKO2 OA AB AB2 � OA AK AO2 2R OB AB AB2 AB4 � OB OA.OB AOB O1KB KB O1B 2R1 4R1R2 AB4 AB4 � 4�1 Xét AOB ta có: AB = OA + OB � AB AB � � 4R2 4R1 �4R1 4R2 � � AB2 2 (R12 R22 ) 4R12R 22 � AB 4R12R22 R12 R22 Vậy: OA.OB 16R4R 8R3R3 22 � SABCD 22 4R1R2 (R1 R2 ) (R1 R2 ) Bài Chứng minh tam giác ta có: b c a b c ma 2 Giải A Xét ABC có: AM > AB - BM Xét ACM có: AM > AC - MC Cộng vế ta có: 2AM > AB + AC - BC ma B b c a Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MA = MD AB = CD M C D Xét ACD có: AD < AC + CD = AC + AB 2AM < AC + AB ma b c Bài 10 CMR tứ giác lồi ABCD ta có bất đẳng thức: AB + CD < AC + BD Giải Gọi O giao điểm hai đường chéo ta có: AC + BD = (AO + OC) + (BO + OD) = B A = (OA + OB) + (OC + OD) AC + BD > AB + CD O C D BTVN Bài Cho tam giác ABC, kẻ đường cao AH, gọi C điểm đối xứng H qua AB, B điểm đối xứng H qua AC Gọi giao điểm B 1C1 với AC AB I K Chứng minh đường BI, CK đường cao tam giác ABC Bài Cho tam giác ABC cân A H trung điểm cạnh BC Gọi I hình chiếu vng góc H lên cạnh AC O trung điểm HI Chứng minh hai tam giác BIC AOH đồng dạng với AO vng góc với BI ... tam giác nhọn ABC Gọi a, b, c lượt độ dài cạnh BC, CA, AB a) Chứng minh răng: a b c sin A sin B sin C b) Có thể xảy đẳng thức sinA = sinB – sinC không ? III HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM. .. Tính diện tích tam giác ABC hai trường hợp: � 40o a) A � 140o b) A HD Tính đường cao CH Tính diện tích tam giác Nhận xét: Một cách tổng quát ta chứng minh rằng: Diện tích tam giác nửa tích... b = b) b = 20; C� 38o � 65o , đường cao CH = 3,6 Hãy giải tam giác ABC Bài 6: Tam giác ABC cân A, B Bài tập tự luyện: Bài 1: Tam giác ABC vuông A, AB = 17cm; C� 62o Tính độ dài đường trung