(Sáng kiến kinh nghiệm) phân dạng các bài toán về phương trình bậc hai trong chương trình toán THCS

a đặt vấn đề i lý chọn đề tài C¬ së lý ln Trong q trình phát triển, xã hội đề yêu cầu cho nghiệp đào tạo người Chính mà dạy tốn khơng ngừng bổ sung đổi để đáp ứng với đời địi hỏi xã hội Vì người giáo viên nói chung phải ln ln tìm tịi, sáng tạo, đổi phương pháp dạy học để đáp ứng với chủ trương đổi Đảng Nhà nước đặt Trong chương trình mơn tốn lớp THCS kiến thức phương trình bậc hai phần học quan trọng chương trình lớp THCS, phần mà đề thi học sinh giỏi tuyển sinh thường Đó tiền đề để học sinh tiếp tục học lên THPT Cơ sở thực tiễn Phương trình bậc hai loại tốn mà học sinh THCS coi loại tốn khó, nhiều học sinh khơng biết giải phương trình nào? có phương pháp giải nào? Hoc sinh không phân dạng nên giải theo cách chung chung dẫn đến lệch hướng khơng giải Các bái tốn phương trình bậc hai đa dạng khó, có nhiều đề thi học sinh giỏi cấp, thi vào lớp 10 THPT Tuy nhiên, tài liệu viết vấn đề nêu cách giải chung chưa phân dạng phương pháp giải cụ thể gây nhiều khó khăn việc học tập học sinh, công tác tự bồi dưỡng giáo viên Vì việc nghiên cứu để “phân dạng tốn phương trình bậc hai chương trình Tốn THCS” thiết thực, giúp giáo viên nắm vững nội dung xác định phương pháp giảng dạy phần đạt hiệu quả, góp phần nâng cao chất lượng dạy học, dặc biệt chất lượng học sinh giỏi giáo viên giỏi trường THCS Khảo sát chất lượng ban đầu Loại Số lượng HS Giỏi Khá 4(6%) Trung bình 20(30%) Yếu 42(64%) II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Nghiên cứu “các dạng tốn liên quan đến phương trình bậc hai chương trình tốn THCS” Giúp giáo viên nâng cao lực tự nghiên cứu, đồng thời vận dụng tổng hợp tri thức học, mở rộng, đào sâu hồn thiện hiểu biết Từ có phương pháp giảng dạy phần có hiệu Nghiên cứu vấn đề để nắm thuận lợi, khó khăn dạy học phần phương trình bậc hai bồi dưỡng học sinh giỏi, từ định hướng nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn Nghiên cứu vấn đề cịn giúp giáo viên có tư liệu tham khảo dạy thành công phương trình bậc hai III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Nghiên cứu tình hình dạy học học vấn đề nhà trường Phân dạng toán liên quan đến phương trình bậc hai chương trình tốn THCS Tìm hiểu mức độ kết đạt triển khai đề tài Phân tích rút học kinh nghiệm IV PHẠM VI NGHIÊN CỨU Đối tượng nghiên cứu: a Các tài liệu có liên quan b Giáo viên, học sinh giỏi trường THCS Phạm vi nghiên cứu: Các tốn liên quan đến phương trình bậc hai chương trình Tốn THCS V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phương pháp nghiên cứu tài liệu Phương pháp điều tra, khảo sát Phương pháp thử nghiệm Phương pháp tổng kết kinh nghiệm VI GIẢ THUYẾT KHOA HỌC Nâng cao chất lượng dạy học sau nghiên cứu áp dụng sáng kiến kinh nghiệm, giúp cho giáo viên dạy có hiệu cao hơn, học sinh ham thích học dạng tốn hn b giải vấn đề i Một số kiến thức liên quan 1) Định nghĩa Phơng trình bậc hai phơng trình có dạng ax + bx + c = ®ã a, b, c số cho trớc a 2) Cách giải: Bớc 1: Xác định hệ số a = ? , b = ? vµ c = ? phơng trình đà cho Bớc 2: Tính biệt thức đen-ta: = b 4ac ∆' = (b' ) − ac b (trong ®ã b' = ) Bíc 3: Dùa vµo dÊu cđa ∆ (hoặc ' ) để xác định nghiệm phơng trình +) NÕu ∆ < ( ∆'< ) th× phơng trình đà cho vô nghiệm +) Nếu = ( '= ) phơng trình đà cho cã nghiÖm kÐp x1 = x2 = − b b' =− 2a a +) NÕu ∆ > ( ∆'> ) phơng trình đà cho có hai nghiệm phân biệt là: x1 = b b'− ∆' − b + ∆ − b'+ ∆' vµ x2 = = = 2a a 2a a Bíc 4: Kết luận Lu ý ã Nếu phơng trình ax + bx + c = cã a + b + c = có hai nghiệm x1 = x = c a ã Nếu phơng trình ax + bx + c = cã a − b + c = th× có hai nghiệm x1 = x = − c a 3) §iỊu kiƯn cã nghiƯm phơng trình ax + bx + c = (1) ( Chú ý: Phơng trình (1) cha phải phơng trình bậc hai ) +) Phơng trình (1) phơng trình bậc hai a a = b ≠ +) Phơng trình (1) phơng trình bậc a = b +) Phơng trình (1) có nghiệm +) Phơng trình (1) cã nghiÖm kÐp a ≠  ∆ = ⇔ (∆' = 0) b b'   =−   x1 = x2 = − 2a a  a ≠ ∆ > (∆' > 0) +) Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt  a ≠ ∆ ≥ (∆' ≥ 0) +) Phơng trình (1) có hai nghiệm a = b +) Phơng trình (1) cã mét nghiÖm ⇔  a = b = c +) Phơng trình (1) vô nghiệm  a ≠ ∆ = (∆' = 0) hc  a ≠ ∆ < (∆' < 0) 4) Hệ thức Vi-et Nếu phơng trình bËc hai ax + bx + c = có hai nghiệm x1 x2 x1 + x2 = − b c vµ x1.x2 = a a 5) Hµm sè y = ax (a ≠ 0) ii Các dạng toán thờng gặp Dạng 1: Bài toán giải phơng trình ax + bx + c = (*) cho biết giá trị tham số m = k 1) Phơng pháp giải Bớc 1: Thay m = k vào phơng trình (*) để đợc phơng trình ẩn x Bớc 2: Giải phơng trình vừa thu đợc để có nghiệm phơng trình Bớc 3: Kết luận 2)Ví dụ: Cho phơng trình: x − 2(m − 1) x + 2m − = (1) (với m tham số) a) Giải phơng trình (1) m = b) Tìm giá trị tham số m để phơng trình (1) nghiệm kép Giải: a) Khi m = phơng trình (1) trở thành: x + x = (*) Phơng trình (*) có: a = , b = vµ c = −5 V× a + b + c = + + (5) = nên phơng phơng trình (*) sÏ cã hai nghiƯm x1 = vµ x = c = −5 a VËy m = phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt lµ x1 = vµ x2 = −5 b) Phơng trình (1) có: a = , b = −2(m − 1) , c = 2m − , b' = − m vµ ∆' = (b' ) − ac = (1 − m) − (2m − 3) = m − 2m + − 2m + = m − 4m + = (m − 2) 2 Để phơng trình (1) có nghiƯm kÐp th× 1 ≠ (∀m) a ≠ ⇔ ⇔ m − = ⇔ m =  (m − 2) = ∆ ' = Vậy với m = phơng trình (1) có nghiệm kép Dạng 2: Bài toán tìm giá trị tham số m để phơng trình ax + bx + c = (*) cã nghiÖm x = x0 1) Phơng pháp giải Bớc 1: Thay x = x0 vào phơng trình (*) để đợc phơng trình ẩn m Bớc 2: Giải phơng trình ẩn m vừa thu đợc để có đợc giá trÞ cđa tham sè m Bíc 3: KÕt ln 2)Ví dụ: Cho phơng trình ẩn x tham số m: x − 2mx + m + m − = (1) a) Tìm giá trị tham số m để phơng trình (1) có nghiệm x = b) Tìm giá trị tham số m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt tìm hai nghiệm phân biệt Giải: a) Thay x = vào phơng trình (1) ta ®ỵc: m − 3m + = (*) Phơng trình (*) phơng trình bậc hai ẩn m cã: a = , b = −3 vµ c = V× a + b + c = + (3) + = nên phơng trình (*) sÏ cã hai nghiƯm lµ m1 = vµ m2 = c = a VËy víi m = m = phơng trình (1) có nghiệm x =2 b) Phơng trình (1) có: a = , b = −2m , c = m + m − , b' = −m vµ ∆' = (b' ) − ac = (−m) − (m + m − 2) = m − m − m + = − m Để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt th× 1 ≠ (∀m) a ≠ ⇔ ⇔ m <  ∆ ' > 2 − m > Khi đó, hai nghiệm phơng trình lµ: x1 = − b'+ ∆' = m+ 2−m a vµ x = − b'− ∆' = m− 2−m a Vậy với m < phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt Dạng 3: Bài toán liên quan đến điều kiện nghiệm phơng trình ax + bx + c = (1) 1) KiÕn thøc cÇn nhí c < a cïng dấu +) Phơng trình (1) có hai nghiệm x1 x trái dấu +) Phơng trình (1) cã hai nghiƯm x1 vµ x2  a ≠  ∆ ≥ (∆' ≥ 0) c  >0 a +) Phơng trình (1) có hai nghiệm x1 x2 dơng a (∆' ≥ 0) c  >0 a − b >0 a +) Phơng trình (1) có hai nghiệm x1 x âm a  ∆ ≥ (∆' ≥ 0) c  >0 a − b (∀m ∈ R) (**) Tõ (*) vµ (**) phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt với giá trị m a b) Để phơng trình (1) có hai nghiệm cïng dÊu th× ∆' ≥ c  >0 a 1 ≠ (∀m)  ⇔ (m − 2) + ≥ (∀m)  2 m − > Khi m > ⇔ 2m > ⇔ m > −b 5  = 2(m − 1) > 2. − 1 = > th× tỉng hai nghiƯm x1 + x2 = a 2 nên hai nghiệm phải dơng Vậy với m > phơng trình (1) có hai nghiệm dấu hai nghiệm dơng Ví dụ Cho phơng trình mx (2m − 1) x + m − = (1) a) Chứng minh rằng: Phơng trình phân biệt với m b) Tìm giá trị m để phơng nghịch đảo c) Tìm giá trị m để phơng mang dấu âm ẩn x, tham số m: Giải: (1) có hai nghiệm trình (1) có hai nghiệm tr×nh (1) cã hai nghiƯm Ta cã: a = m ; b = −(2m − 1) = − 2m ; c = m − vµ ∆ = b − 4ac = (1 − 2m) − 4m.(m − 1) = − 4m + 4m − 4m + 4m = a) Khi m ≠ a nên phơng trình (1) phơng trình bậc hai (*) Mặt khác: = > (**) Từ (*) (**) phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt với giá trị m b) Để phơng trình (1) có hai nghiệm đối a ∆ ≥ − b  =0  a  m ≠ m ≠  m ≠ m ≠  ⇔ 1 ≥ (∀m) ⇔  ⇔ ⇔ ⇔m= 2 m − = 2 m =  m = 2 m −  =0  m VËy với m = phơng trình (1) có hai nghiệm đối c) Để phơng trình (1) có hai nghiệm mang dấu âm thì: m  a ≠ 1 ≥ (∀m) m ≠ ∆ ≥    m ≠ m m < c (không tồn m)  >0 ⇔ > ⇔ m(m − 1) > ⇔ m >  m m(2m − 1) <  a   2m −  − b víi mäi m, nên phơng trình (1) có hai nghiêm phân biệt với giá trị tham số m (đpcm) b) Để phơng trình (1) có hai nghiệm x1 x nghịch đảo thì: ≠ (∀m) a ≠   ∆ ' ≥ ⇔ 1 > (∀m) ⇔ m = ⇔ m = ± c  m − =  =1 a VËy với m = phơng trình (1) có hai nghiệm x1 x nghịch đảo 19 c) Theo c©u (a) ta cã: x1 = x2 = − b'+ ∆' = m + = m + vµ a − b'− ∆' = m = m a Để phơng trình (1) có nghiệm lần nghiệm thì: x1 = x m + = 3(m − 2) 3m − = m + 2m = m =  x = x ⇔ m − = 3( m + 2) ⇔ 3m + = m − ⇔ 2m = −8 ⇔ m = −4      Vậy với m = phơng trình (1) có nghiệm lần nghiệm Bài toán Tìm hệ thức liên hệ x1 x2 mà không phụ thuộc vào tham số m 1) Phơng pháp giải Bớc 1: Tìm giá trị tham số m để phơng trình có hai nghiệm x1 x2 (tức tìm m a ' ) −b   x1 + x = a (1) Bớc : áp dụng hệ thức Vi-et để tÝnh  theo tham  x x = c (2)  a sè m Bíc : Rót m từ phơng trình (1) (2) theo x1 + x2 x1 x vào phơng trình lại để có hệ thức Bớc 4: Kết luận Ví dụ Cho phơng trình ẩn x, tham số m: x − 2( m + 1) x + 2m + 10 = (1) a) Giải biện luận số nghiệm phơng trình (1) b) Trong trờng hợp phơng trình (1) có hai nghiệm x1 x hÃy tìm hệ thức liên hệ x1 x mà không phụ thuộc vào m Gi¶i: b = −( m + 1) 2 ∆' = (b' ) − ac = [ − (m + 1)] − (2m + 10) = m + 2m + − 2m − 10 = m − a) Ta cã: a = ; b = −2(m + 1) ; c = 2m + 10 ; b' = Vµ: +) NÕu ∆' < ⇔ m − < ⇔ m < ⇔ −3 < m < phơng trình (1) vô nghiệm 20 +) Nếu ∆' = ⇔ m − = ⇔ m = 32 ⇔ m = ±3 th× phơng trình (1) có b' = m + a +) NÕu ∆' > ⇔ m − > ⇔ m > 32 ⇔ m < m > phơng b'+ ' trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 = = m + + m − vµ a − b'− ∆' x2 = = m +1− m2 − a KÕt luËn: Víi − < m < phơng trình (1) vô nghiệm Với m = phơng trình (1) có nghiệm kép x1 = x = m + = Với m = phơng trình (1) có nghiệm kÐp x1 = x = m + = −2 Víi m < −3 hc m > phơng trình (1) có hai nghiệm kép x1 = x = nghiƯm ph©n biƯt x1 = m + + m − vµ x = m + − m − b) Trớc hết để phơng trình (1) có hai nghiệm x1 x thì: ' m − ≥ ⇔ m ≥ ⇔ m ≤ −3 hc m ≥  x1 + x = 2(m + 1) (*) (**)  x1 x = 2m + 10 Khi ®ã, ¸p dơng hƯ thøc Vi-Ðt ta cã:  Tõ ph¬ng tr×nh (*) ⇒ 2m = ( x1 + x ) − ⇒ m = ThÕ m = ( x1 + x ) − 2 ( x1 + x ) vào phơng trình (**) ta đợc x1 x = ( x1 + x ) − + 10 ⇔ x1 x − ( x1 + x ) = Vậy hệ thức liên hệ x1 x mà không phụ thuộc vào m cần tìm x1 x − ( x1 + x ) = Ví dụ Cho phơng trình ẩn x, tham sè m: (m − 1) x − 2mx + m + = a) Chøng minh rằng: Phơng trình có hai nghiệm phân biệt m b) Xác định giá trị m để phơng trình có tích hai nghiệm 5, từ hÃy tính tổng hai nghiêm phơng trình c) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 x thoả mÃn x x hÖ thøc: x + x + = Gi¶i: 21 b = −m vµ: ∆' = (b' ) − ac = (−m) − (m − 1)(m + 1) = m − m + = Víi m ≠ th× a = m − Khi phơng trình đà cho lµ mét ph- a) Ta cã: a = m − ; b = −2m ; c = m + ; b' = ơng trình bậc hai (*) Mặt kh¸c: ∆' = > (**) Tõ (*) (**) phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt (đpcm) b) Vì phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 x2 (m 1) nªn theo hƯ thøc Vi- Ðt −b 2m   x1 + x = a = m − ta cã:  x x = c = m + a m Để phơng tr×nh (1) cã tÝch hai nghiƯm b»ng th× x1 x = ⇔ c m +1 =5⇔ =5 a m −1 ⇔ 5(m − 1) = m + ⇔ 5m − = m + ⇔ 4m = ⇔ m = (tho¶ m·n) 3 2.  Khi ®ã, tỉng cđa hai nghiƯm lµ: x1 + x =   = = −1 2 VËy víi m = th× tÝch cđa hai nghiƯm b»ng tổng hai nghiệm 2m   x1 + x = m − (1)  c) Theo c©u (b) ta cã:   x x = m + (2) m Từ phơng trình (2) x1 x (m − 1) = m + ⇒ x1 x m − x1 x = m + ⇒ m( x1 x − 1) = x1 x + x x +1 ⇒m= x1 x − x x +1 m= Thế vào phơng trình (1) x1 x ta đợc x x +1 x x +1  ( x1 + x ). − 1 = 2. x x − x x −      x x + x1 x −   x x + 1  = 2.  ⇔ 2.( x1 + x ) = 2( x1 x + 1) ⇔ x1 + x − x1 x = ⇔ ( x1 + x ). −  x1 x − x1 x −   x1 x −  22 Vậy hệ thức liên hệ hai nghiệm không phơ thc vµo m lµ x1 + x − x1 x = x x 2 2 d) Ta cã: x + x + = ⇔ 2( x1 + x ) + x1 x = ⇔ 2( x1 + x1 x2 + x2 ) + x1 x = ⇔ 2( x1 + x ) + x1 x = m +1 8m (m + 1)(m − 1)  2m  ⇔ 2. =0⇔ + =0  + m −1 (m − 1) (m − 1)  m −1 ⇔ 8m + m − = ⇔ 9m − = ⇔ 9m = ⇔ m = 1 ⇔ m = ± (tho¶ m·n) phơng trình (*) có hai nghiệm x1; x2 tho¶ x1 x2 m·n hƯ thøc: x + x + = VËt víi m = Dạng Bài toán liên quan đến đồ thị hàm số bậc hai y = ax ( a ≠ 0) KiÕn thøc cÇn nhí a) TÝnh chÊt cđa hµm sè: y = ax (a ≠ 0) +) NÕu a > th× hàm số nghịch biến x < đồng biÕn x > +) NÕu a < hàm số đồng biến x < nghịch biến x > b) Đồ thị hàm số y = ax (a 0) ã Nhận xét +) Đồ thị hàm số y = ax (a 0) đờng cong qua gốc toạ độ nhận Oy làm trục đối xứng Đờng cong gọi parabol với đỉnh O +) Nếu a > đồ thị nằm phía trục hoành Ox, O(0; 0) điểm thấp đồ thị +) Nếu a < đồ thị nằm phía dới trục hoành Ox, O(0; 0) điểm cao đồ thị ã Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax (a 0) Bớc 1: Lập bảng giá trị tơng ứng cđa x vµ y 23 x −3 −2 −1 y = ax ? ? ? ? ? ? ? Bớc 2: Vẽ điểm thuộc đồ thị hàm số đà xác định bảng giá trị tơng ứng hệ trục toạ độ Bớc 3: Nối điểm vừa vẽ thành đờng cong để có đồ thị hàm số 4) Sự tơng giao Parabol (P): y = ax ®êng th¼ng (d): y = mx + n XÐt phơng trình hoành độ giao điểm Parabol (P) ®êng th¼ng (d) ax = mx + n hay ax − mx − n = (1) Lu ý ã Parabol (P) không cắt đờng thẳng (d) phơng trình (1) vô nghiệm ( < (' < 0) ) ã Parabol(P) tiếp xúc với đờng thẳng (d) phơng trình (1) có nghiệm kép ( = (' = 0) ) ã Parabol (P) cắt đờng thẳng (d) hai điểm phân biệt phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt ( > (∆' > 0) ) Mét sè vÝ dô VÝ dô Cho Parabol (P): y = x vµ đường thẳng (d): y = x + a) V (P) (d) hệ trục toạ độ Oxy b) Gi A, B giao im ca (P) (d) Tìm im M trªn cung AB (P) cho diện tÝch tam giác MAB ln nht c) Tìm im N trục hoµnh Ox cho NA + NB ngắn VÝ dơ Cho hµm số: y = x + m (D) Tìm giá trị ca m ng thẳng (D): 24 a) Đi qua điểm A (1; 2003) b) Song song với đường thẳng x - y + = ; c) Tiếp xóc với parabol y = - 1/4.x2 VÝ dô Vẽ đồ thị hµm số: y = − x (P) vµ đường thẳng (D): y = x + trªn hệ trục toạ độ Tìm ta giao điểm (P) vµ (D) phÐp tÝnh VÝ dô Cho Parabol (P): y = m( x − 1) − y = − x2 đờng thẳng (d): a) Chứng minh rằng: (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B m thay đổi b) Gọi x A x B lần lợt hoành độ điểm A điểm B Xác định m để x A2 x B + x A x B2 đạt giá trị nhỏ tìm giá trị Đề thi vào lớp 10 Chuyên THPT Đai Học Vinh (vòng 2) năm 2010 Dạng 6: Bài toán liên quan đến điều kiện có nghiệm phơng trình trùng phơng ax + bx + c = (a 0) 1) Cách giải phơng trình trùng phơng Bớc 1: Đặt x = y (*) đặt điều kiện cho y , để đa phơng trình trùng phơng dạng phơng trình bậc hai ẩn y Bớc 2: Giải phơng trình bậc hai vừa thu đợc để có nghiệm y Bớc 3: Thay y vừa tìm đợc vào (*) để có nghiƯm x Bíc 4: KÕt ln 2) §iỊu kiƯn nghiệm phơng trình trùng phơng Xét phơng trình trïng ph¬ng: ax + bx + c = (a 0) (1) Đặt: x = y (ĐK y ) Khi đó, phơng trình (1) trë thµnh ay + by + c = (2) +) Phơng trình (1) vô nghiệm phơng trình (2) vô nghiệm phơng trình (2) có hai nghiệm ®Ịu ©m  ∆ ≥ (∆' ≥ 0)  c ( ' < ) Tức phơng trình (2) có < > a − b  a < 25 +) Ph¬ng trình (1) có nghiệm phơng trình (2) có nghiệm kép 0, phơng trình (2) có nghiệm nghiệm lại âm = (' = 0) Tức phơng trình (2) cã :  − b − b' = =0  a  2a hc  ∆ > (∆' > 0)  c  =0 a − b  a <  ∆ ≥ (∆' ≥ 0)  c hay  = a − b  a ≤ (Lu ý: Chóng ta cđng cã thĨ lÝ luận: Vì x0 nghiệm phơng trình (1) x0 củng nghiệm phơng trình (1) Nên để phơng trình (1) có nghiệm x0 = − x0 ⇒ x0 = Tõ tìm đợc mối quan hệ a; b; c ) +) Phơng trình (1) có nghiệm phơng trình (2) phải có nghiệm kép dơng, phơng trình (2) phải có hai nghiệm trái dấu = (∆' = 0) c  < Tøc phơng trình (2) có : b b' hc a = >0  a  2a ⇔ +) Phơng trình (1) có nghiệm phơng trình (2) có nghiệm nghiệm dơng ∆ ≥ (∆' ≥ 0)  − b Tøc phơng trình (2) có : > a c a = +) Phơng trình (1) có nghiệm phơng trình (2) có hai nghiệm phân biệt dơng 26 (' 0) c Tức phơng trình (2) có :  > a − b  a > 3) Ví dụ Cho phơng trình trùng phơng ẩn x, tham sè m: x − 2mx + (2m − 1) = (1) 1) Giải phơng trình (1) m = 2) Tìm giá trị tham số m để phơng trình (1) có: a) Hai nghiệm b) Ba nghiệm c) Bốn nghiệm Giải: Đặt x = y (§iỊu kiƯn: y ≥ ) Khi phơng trình (1) trở thành: y 2my + (2m − 1) = (2) a) Thay m = vào phơng trình (2) ta đợc: y − y + = ⇔ ( y − 1) = ⇔ y − = ⇔ y = (tho¶ m·n) ⇔ x = ⇔ x = ±1 VËy m = phơng trình (1) có hai nghiệm x1 = −1 vµ x2 = b) Ta có: Phơng trình hai phơng trình bậc hai Èn y cã: a = ; b = −2m ; c = 2m − ; b' = − m vµ ∆' = (b' ) − ac = (−m) − (2m − 1) = m − 2m + = ( m − 1) 1) Để phơng trình (1) có nghiệm phơng trình (2) phải có nghiệm kép dơng, phơng trình (2) phải có hai nghiệm trái dấu Trờng hợp Phơng trình (2) có nghiệm kép dơng: ' = (m − 1) = m − = m =  ⇔  − b' ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ m = m > m > m >  a > Trêng hợp Phơng trình (2) có hai nghiệm trái dấu: c < ⇔ 2m − < ⇔ 2m < ⇔ m < a m< m = phơng trình (1) có hai Vâỵ với nghiệm 27 2) Để phơng trình (1) có nghiệm phơng trình (2) phải có nghiệm nghiệm dơng  ∆ ≥ (∆' ≥ 0) (m − 1) ≥ (∀m) m >   m > − b  ⇔ >0 ⇔ 2 m > ⇔ ⇔ ⇔m= 2 m =  a 2 m − = m =  c  a = Vâỵ với m = phơng trình (1) có ba nghiệm 3) Để phơng trình (1) có nghiệm phơng trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt dơng ' > m (m − 1) > m − ≠     c   m > ⇔  > ⇔ 2 m − > ⇔ 2 m > ⇔ m > ⇔  2 a 2 m > m >  m ≠   − b m > >  a Vâỵ với m > m phơng tr×nh (1) cã nghiƯm 28 C KẾT LUẬN I Bài học kinh nghiệm Bài tốn phương trình bậc hai dạng toán thường gặp chương trình tốn bồi dưỡng học sinh giỏi THCS Nếu dừng lại yêu cầu sách giáo khoa chưa đủ, địi hỏi giáo viên phải tích cực tự học, tự nghiên cứu, tìm tịi sáng tạo thường xuyên bổ sung kiến thức tích luỹ kinh nghiệm vấn đề Để dạy học cho học sinh hiểu vận dụng tốt phương pháp giải tốn liên quan đến phương trình bậc hai thân giáo viên phải phân dạng tốn liên quan đến phương trình bậc hai biết cách giải cụ thể dạng toán Qua việc nghiên cứu bên cạnh việc giúp cho thân nâng cao kiến thức, nâng cao nghiệp vụ, bồi dưỡng học sinh giỏi có hiệu quả, ngồi cịn giúp thân nâng cao phương pháp tự học, tự nghiên cứu để tiếp tục nghiên cứu vấn đề khác tốt suốt trình dạy học Sau q trình nghiên cứu đề tài tơi áp dụng vào giảng dạy cho học sinh khối lớp thấy em có hứng thú học đặc biệt em hiểu làm tốt Kết khảo sát sau thực đề tài sau : Loại Số lượng HS Giỏi 5(8%) Khá 21(32%) Trung bình 40(60%) Yếu II Kết luận chung Để thực tốt công việc giảng dạy, đặc biệt công tác bồi dưỡng học sinh giỏi người thầy phải thường xuyên học, học tập, nghiên cứu, tìm tịi sáng tạo Trong q trình giảng dạy, học sinh học tập, học sinh bồi dưỡng, đọc tài liệu tham khảo rút số kinh nghiệm nêu Hy vọng đề ti Phân dạng toán phơng trình bậc hai chơng trình Toán THCS lm mt kinh nghim để giúp học sinh tiếp thu vấn đề này, phần nâng cao lực tư duy, sáng tạo rèn kỹ giải toán phương trình bậc hai cho học sinh Trong trình nghiên cứu khơng thể tránh khỏi sai sót, hạn chế mong giúp đỡ, góp ý đồng nghiệp D TÀI LIỆU THAM KHẢO SGK vµ sách giáo viên lớp cải cách Bài tập nâng cao số chuyên đề toán Bùi Văn Tuyên Mt s phỏt trin Đại số Các chuyên đề báo tuổi thơ Báo toán học tuổi thơ Bộ Giáo Dục Ôn tập thi vào lớp 10 mơn Tốn 29 Bộ đề ơn tập Tốn Bài tập nâng cao Đại số Vũ Hửu Bình… 30 ... trường Phân dạng tốn liên quan đến phương trình bậc hai chương trình tốn THCS Tìm hiểu mức độ kết đạt triển khai đề tài Phân tích rút học kinh nghiệm IV PHẠM VI NGHIÊN CỨU Đối tượng nghiên cứu: a Các. .. trường THCS Phạm vi nghiên cứu: Các tốn liên quan đến phương trình bậc hai chương trình Tốn THCS V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phương pháp nghiên cứu tài liệu Phương pháp điều tra, khảo sát Phương. .. (1) ( Chú ý: Phơng trình (1) cha phải phơng trình bậc hai ) +) Phơng trình (1) phơng trình bậc hai a a = b ≠ +) Phơng trình (1) phơng trình bậc  a = b ≠ +) Ph¬ng trình (1) có nghiệm