Sáng kiến kinh nghiệm khám phá các bài toán mới bằng tình huống gợi vấn đề

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT HOÀNG MAI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KHÁM PHÁ CÁC BÀI TOÁN MỚI BẰNG TÌNH HUỐNG GỢI VẤN ĐỀ Môn : Toán Tác giả: Chu Viết Tấn SĐT: 0989202955 Năm học: 2011- 2012 MỤC LỤC Trang Phần I Đặt vấn đề ………………………………………………… Phần II Nội dung……………………………………………………… I Những đường sáng tạo toán mới:………… ……………… Khái niệm tình gợi vấn đề……………………… II Các cách tạo tình gợi vấn đề:……………………… Nội dung cụ thể………………………………………………… Bài toán có nhiều tình huống……………………………… Xây dựng toán từ toán ban đầu………………… Một vài phương án khám phá toán chương I hình học 11 thông qua việc đặt tình gợi vấn đề cho học sinh …………… 17 Phần III Kết luận …… … ………………………………… …… … 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO ……………………………………… … 24 PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ Trong trình giảng dạy cho đối tượng học sinh giỏi tìm cách khai thác tư sáng tạo học sinh thông qua toán từ mức dễ đến khó Việc kích thích sáng tạo học sinh không dừng việc giải toán khó mà còn, đặt cho học sinh tình gợi vấn đề, toán suy từ toán giải quyết, Tuy việc giải toán chí chưa thể Từ tập sách giáo khoa, giáo viên biết kích thích học sinh sáng tạo tập khác học sinh giải toán thành công người dạy người học Trong vấn đề bồi dưỡng học sinh giỏi nhằm phát hiện, đào tạo học sinh có khiếu toán học lực sáng tạo học toán yếu tố quan trọng giáo viên phải tạo niềm đam mê phát huy tính sáng tạo học sinh Để đáp ứng yêu cầu tiết dạy bồi dưỡng học sinh giỏi người giáo viên phải tạo ví dụ nhằm dẫn đến tình mới, toán mới, phải tạo kích thích học sinh biết khám phá từ ban đầu để sáng tạo kết hay mang tầm cao rộng Đó lí chọn đề tài: “ Khám phá toán tình gợi vấn đề” Đề tài mà thực có tính khác với báo nghiên cứu đồng nghiệp họ thường chọn theo hướng khai thác từ toán ban đầu áp dụng thêm kết khác để tạo toán mới, đề tài khai thác tình gợi vấn đề để tạo toán Đề tài thân tự nghiên cứu áp dụng thực nghiệm trường THPT Hoàng Mai năm gần có hiệu việc bồi dưỡng học sinh giỏi PHẦN II: NỘI DUNG Thực trạng trường trung học phổ thông không chuyên vấn đề dạy toán cho học sinh mức độ dạy cho học sinh thi tốt nghiệp thi đại học Do tâm lí học sinh giáo viên tập trung dạy học phần toán phục vụ cho thi tốt nghiệp đại học, nên việc khai thác thêm nét đẹp toán học từ định hình thêm khả sáng tạo lực giải toán hạn chế Học sinh biết làm dạng toán quen biết, giáo viên dạy toán có phương pháp giải rõ ràng mà dạy cho học sinh tự khám phá, tự tìm tòi toán từ toán gốc, phương pháp khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự chưa ý mức Mặt khác vấn đề bồi dưỡng học sinh giỏi trường THPT không chuyên thường nhồi nhét kiến thức học sinh khoảng thời gian định (cuối lớp 11 đầu lớp 12 để phục vụ cho kỳ thi chon học sinh giỏi) mà đề cập đến vấn đề phát huy lực sáng tạo học sinh từ ban đầu Trong chương trình đổi sách giáo khoa phương thức giảng dạy nay, học sinh việc chủ động hoạt động học tập lĩnh hội tri thức, việc kích thích tính học tập chủ động học sinh cần thiết tiết dạy lý thuyết đặc biệt tiết luyện tập, ôn tập đòi hỏi người giáo viên luôn sáng tạo dạy tiết dạy để tránh việc " thông báo kiến thức", ''chữa tâp'' qua học sinh thấy hứng thú chủ động tìm tòi từ có I Những đường sáng tạo toán mới: Khái niệm tình gợi vấn đề kiện : Tình gợi vấn đề dạy học tình thõa mãn điều - Tồn vấn đề, tức khó khăn học sinh - Gợi nhu cầu nhận thức, tức học sinh ý thức khó khăn, nhận thấy có nhu cầu tìm hiểu, giải vấn đề đặt - Khơi dậy niềm tin thân, tức khó khăn vừa sức học sinh, khơi dậy cho họ cảm nghĩ chưa có lời giải đáp vốn kiến thức có tích cực suy nghĩ có nhiều hy vọng giải vấn đề đặt Các cách tạo tình gợi vấn đề: Để thực dạy học phát giải vấn đề, điểm xuất phát tạo tình có vấn đề, tốt tình gây cảm xúc làm cho học sinh ngạc nhiên Dưới số cách thường dùng để tạo tình gợi vấn đề nhằm xây dựng toán II Nội dung cụ thể : Bài toán có nhiều tình : Đây toán từ thực tế , có nhiều tình nhằm tạo cho em hứng thú tốt việc tìm kiến thức tư Giáo viên sử dụng việc khai thác tiếp cận kiến thức tiết luyện tập Bài toán gốc 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O M điểm di động cung BC chứng minh MB+MC-MA =0 (1) Cách 1: Bài toán đưa vào phần luyện tập phép biến hình lớp 11 Hệ thống câu hỏi tình huống: A  Câu hỏi 1: Để chứng minh đẳng thức MB+MCMA=0 ta chứng minh MA-MB=MC Hãy tìm a MA-MB? Trên hình vẽ xác định hiệu MAM' MB? O  Trả lời: Lấy M’ MA để MM’=MB  Câu hỏi: Để chứng minh (1) ta cần chứng minh B C điều gì? M  Trả lời: Ta cần chứng minh AM’=MC  Câu hỏi: Để chứng minh đẳng thức ta vận dụng trực tiếp phép biến hình học? ( Tịnh tiến, đối xứng tâm, đối xứng trục, quay, vị tự)?  Câu hỏi: Liệu có phép tịnh tiến biến CM thành AM’? sao?  Trả lời: Không xảy phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng Tương tự cho phép vị tự, đối xứng tâm  Câu hỏi: Dựa vào tính chất phép biến hình phép biến hình sử dụng cho toán này?  Trả lời: Chúng ta sử dụng phép quay?  Câu hỏi: Tại ta dùng phép đối xứng trục?  Trả lời: Vì lúc MM’ AC ( Hoặc MA M’C) có chung đường trung trực, điều vô lý  Câu hỏi: Vậy xác định phép quay đó? Để xác định phép quay ta cần xác định yếu tố nào?  Trả lời: Tâm quay B góc quay 60  Câu hỏi: Liệu Q(B, 60 ) có biến MC thành M’A? chứng minh điều đó? Học sinh xây dựng lại lời giải: - Dùng phép quay tâm B góc quay 60 : - Khi C biến thành A, B biến thành B, M biến thành M’ nằm AM, (Vì tam giác BMM’ ) Vậy MC=AM’, BM=M’M ta suy điều phải chứng minh Với hướng giải giải cách trọn vẹn toán nhiên học sinh lớp 11 việc tính toán cụ thể đại lượng hình học phẳng có tương đối đầy đủ phương tiện ta gợi ý cho học sinh cách giải thứ hai A Cách 2: Sử dụng định lý sin  HD1: Vì (O,R) cố định, tam giác ABC ta tính độ dài MA, MB, MC?  TL1: Các độ dài thay đổi nên khó tính độ dài   a, 00  a  600  HD2: Nếu đặt MAB tính độ dài không? a O B C M  TL2: Ta tính được: MB  2R.sin a , MC  R.sin(60  a) , MA  R.sin(600  a )  HD3: Vậy ta cần chứng minh điều nữa?  TL3: sin(60  a )  sin a  cos a  2 cos a  sin a  sin a  sin(600  a )  MB  MC  MA  2 Qua việc hướng dẫn cho học sinh hệ thống câu hỏi tình thấy tư suy luận logic để tìm lời giải cho toán hình thành Các em học sinh tự đặt câu hỏi tương tự, tự giải câu hỏi việc giải toán hay khai thác thêm toán có kết tốt  sin a  Xây dựng toán từ toán ban đầu Phần xin giới thiệu số tình gợi vấn đề để tạo số toán từ toán ban đầu, với cách làm việc học luyện tập ôn tập giúp học sinh thấy hứng thú tránh cho giáo viên việc dạy tiết tiết chữa tập , học sinh thấy đa dạng toán học 2.1 Lập toán tương tự toán ban đầu Cơ sở: Tương tự : - Có đường lối giải giống , phương pháp giống - Có nét giống nội dung - Cùng đề cập đến vấn đề Từ việc đối chiếu so sánh đối tượng đưa giả thuyết tương tự loại trừ Chúng ta toán Bài toán ban đầu: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O M điểm di động cung nhỏ BC chứng minh MB+MC-MA =0 * Tình gợi vấn đề 1: Liệu lập toán tương tự với đa giác có số lẻ cạnh hay không? Bài toán tương tự: Cho (2n+1) - giác M A2n+1 A1 A2 A2n 2a O A3 A4 A1 A2 A2 n 1 nội tiếp đường tròn (O,R) A4 A1 A2 n 1 M di dộng cung nhỏ  Liệu có xảy đẳng thức MA1  MA3   MA2 n 1  MA2  MA4   MA2 n ? Hoàn toàn tương tự cách làm ta có A1 A2 n 1 Ta có A1OM  a M chạy cung nhỏ  Đặt  MA1  2R.sin a , MA2  R.sin( … MA2 n 1  R.sin( 2n  a) 2n   2n   a ) , MA3  R.sin( 2  a) 2n  2 n   MA1  MA3   MA2 n 1  R sin a  sin(  a )   sin(  a) 2n  2n     (2n  1)   MA2  MA4   MA2 n  R sin(  a )   sin(  a) 2n  2n    Bài toán hình học thực chất toán biến đổi biểu thức lượng giác Ta có:  2   2n      (2n  1)  sin a  sin   a    sin   a   sin   a    sin   a  (1)  2n    2n    2n    2n   Chứng minh (1) Do sin  2n   2sin   2n    2   2n  sin a  sin   a    sin   a    2n  2n    2n    2n    a  a  a  a    3   cos     cos     cos     cos      2(2n  1)   2(2n  1)   2(2n  1)   2(2n  1)  VT 2sin   0, nhân vế với sin  a (2n  1)   a (2n  1)  a   a  cos     cos     cos     cos     2  2(2n  1)   2(2n  1)   2(2n  1)  n  (n  1)   sin  a   sin 2n   2n        (2n  1)  sin   a    sin   a    2n  2n    2n    2n       2  a a a a  cos    cos     cos     cos      2  2n    2n    2n   VP.2sin   2sin  n  n   a (n  1)  a a a  cos     cos     cos    cos     2n    2n   2  2n   n  n   sin  a   sin 2n   2n   Suy điều phải chứng minh Vậy ta có toán: Bài toán 1.1 Cho (2n+1)- giác A1 A2 A2 n 1 nội tiếp đường tròn (O,R) A1 A2 n 1 ta có M di dộng cung nhỏ  MA1  MA3   MA2 n 1  MA2  MA4   MA2 n Nhận xét: Trong trình gợi tình để tạo toán 1.1 giáo viên cần khơi gợi tính tương tự cách giải toán ban đầu phải cho học sinh kiểm chứng đồ dài MAi có tương tự kết toán ban đầu hay không? Vấn đề chứng minh đẳng thức lượng giác phải trải qua kinh nghiệm giải toán lượng giác tính tổng hữu hạn dãy số 2.2 Đặc biệt hóa toán trường hợp đơn giản: *Tình gợi vấn đề 2: Như với đa giác có số đỉnh lẻ ta giải câu hỏi đặt cho với n chẵn ta có kết nào? Trong chờ đợi kết đẹp giải tình với trường hợp đơn giản + Ta xét toán với n=2: Cho AB đường kính (O) M di động nủa đường tròn Liệu kết tương tự có xảy hay đẳng thức MA=MB có tồn tại? Rõ ràng ta thấy M di chuyển đẳng thức MA=MB không   2a MA  2R.sin a MB  2R.cos a Với định hướng đặt góc ta có MOB  cos(  a) MB (2) hay MA  tan a.MB  cos a Bài toán 1.2 Cho AB đường kính (O) M di động nửa đường tròn  cos(  a)  MB MOB  2a MA  cos a *Tình gợi vấn đề 3: Ta xét trường hợp với n=4 ta tìm đẳng thức tương tự: Khi M chạy cung nhỏ AD AOM  2a Đặt   MA  2R.sin a, MB  2R sin(  a) A D  MC  2R.cos a, MD  2R cos(  a) Ta tìm hệ thức tương tự (2) nghĩa MA+MC=k(MB+MD) Thật M 2a O B a C MA2 n  R.sin( Khi ta có (2n  1)  a) 2n  ( n  1)   MA1  MA3   MA2 n 1  R sin a  sin(  a )   sin(  a)  n n    (2n  1)   MA2  MA4   MA2 n  R sin(  a )   sin(  a)  2n 2n       ( n  1)   sin a  sin   a    sin   a   cos a  n n      2    2   sin a  sin   a   sin  sin   a   sin  n n n   n  ( n  1)  ( n  1)   sin   a   sin n n         (2 n  1)   sin   a    sin   a   cos(  a)  2n 2n      2n  2 n     (2 n  2)   s in  sin a  sin  sin   a    sin  sin   2a  n n n 2n  2n    Vậy ta có toán tổng quát Bài toán 1.4 : Cho đa giác 2n-cạnh A1 A2 A2 n nội tiếp đường tròn (O,R)  ta có M di dộng cung nhỏ  A1 A2n đặt 2a  MOA   cos   a   2n  MA  MA   MA MA1  MA3   MA2 n 1   n  (*) cos a Nhận xét: Vậy kết (*) kiểm chứng Điều cho thấy trường hợp tổng quát khó giải đưa trường hợp đặc biệt để giải từ áp dụng tương tự giải toán tổng quát 11 2.3 Khái quát hóa toán: * Tình gợi vấn đề 5: Từ toán ta lập toán khái quát nó: Bài toán 1.5: Cho tam giác ABC M điểm di động góc A Chứng minh MB  MC  MA Chứng minh: Áp dụng phép đồng dạng cách Kẻ AD BD cho   CAM ,  BAD ABD   AMC MAC  BDA ta có MC MA CA   BD BA DA A B D (1) MB MA  (2) CD CA Từ (1) (2) ta có MC.BA  MA.BD, MB.CA  MA.CD từ MBA  CDA Vậy C M  MB  MC  a  MA  BD  CD  Mà BD  CD  BC  a nên MB  MC  MA Dấu xảy D nằm  đoạn BC  ABD   ABD   AMC  600 nghĩa M nằm cung nhỏ BC *Tình gợi vấn đề 6: Từ toán khái quát hóa này đặt giả thuyết: liệu xảy điều với toán tương tự cho đa giác hay không hay nói cách khác toán 1.1, 1.4 có toán khái quát hóa hay không? Vấn đề đặt thân học sinh tìm hướng giải 2.4 Lập toán đảo: *Tình gợi vấn đề 7: Từ toán kết toán khái quát ta lập toán đảo nó: Bài toán 1.6: Cho tam giác ABC M điểm di động góc A thõa mãn  đường tròn ngoại MB  MC  MA Chứng minh M nằm cung nhỏ BC tiếp tam giác ABC Từ toán đảo đặt giả thuyết: liệu xảy điều với toán tương tự cho đa giác hay không hay nói cách khác toán 1.1, 1.4 có toán đảo hay không? 12 2.5 Thay đổi số yếu tố toán ban đầu : Khi thay đổi số yếu tố toán cho chăn toán thay đổi Nhưng mục đích để làm ? Các bạn trả lời câu hỏi , học sinh thấy dễ làm toán ban đầu , khó tổng hợp hơn, rộng *Tình gợi vấn đề 8: Chúng ta nhìn toán với cách phát biểu khác: Bài toán 1’: Trong mặt phẳng cho tia phân biệt Mx, My, Mz biết   600 ,  xMy yMz  600 Một đường tròn qua M cắt tia tương ứng A, B, C Chứng minh MA+MB=MC M Bài toán 1.1’: Trong mặt phẳng cho 2n+1 tia Mx1 , Mx2 , , Mx2 n 1 biết   x Mx2  x1 Mx2   x2 n 1 Mx1   2n  A x y tương ứng A1 , A2 , , A2 n 1 MA1  MA3   MA2 n 1  MA2  MA4   MA2 n z O Một đường tròn qua M cắt tia Chứng minh C A1 x1 B M A2n+1 A2n A2 x2 Bài toán 1.4’: Trong mặt phẳng cho 2n tia x2n+1 x2n O A3 x3     Mx1 , Mx2 , , Mx2 n biết x Mx2  x1 Mx2   x2 n Mx2 n  x2 n Mx1  Một đường tròn qua M cắt tia tương ứng 2n  A1 , A2 , , A2n 2a  MOA   cos   a   2n  MA  MA   MA  Chứng minh MA1  MA3   MA2 n 1  2n  cos a Các cách chứng minh toán 1’, 1.1’, 1.4’ hoàn toàn tương tự khẳng định đa giác A1 A2 A2 n 1 , A1 A2 A2 n 13 *Tình gợi vấn đề 9: Với cách xây dựng liệu xây dựng toán không gian hay không? Bài toán 1.7: Trong không gian cho hình chóp đa giác S A1 A2 A2 n mặt cầu đí qua đỉnh S cắt tia SA1 , SA2 , , SA2 n B1 , B2 , , B2 n Chứng minh  SB2i   SB2 j 1 n n i 1 j 1 Giải: Sử dụng công cụ vectơ ta giải toán sau: Gọi SS’ đường kính mặt cầu Khi SB1  S ' B1 , SB2  S ' B2 , , SB2 n  S ' B2 n   SS '.SA1  SA1.SB1   SS '.SA2  SA2 SB2   SS '.SA2 n  SA2 n SB2 n  n  SA SB  SS ' SB2i  2i 2i n i 1 i 1  n  SA SB  SS ' SB2 j 1  j 1 j 1 n j 1 j 1 Nhưng A1 A3 A2 n 1 , A2 A4 A2 n đa giác nên  n   SA  SA  n  j 1  2i SO ta có điều phải chứng minh n j 1 i 1 Nhận xét: Trên số hướng khai thác thêm toán từ toán gốc ban đầu Quá trình tìm tòi lời giải toán tạo cho ta phương án xây dựng toán tổng quát có phương án giải tương tự nhau… Nếu người giáo viên biết khơi dậy niềm đam mê tìm tòi sáng tạo học sinh kết dạy học ngày nâng cao hơn, kích thích tính tự học, tự nghiên cứu học sinh 14 Chúng ta tiếp tục khai thác thêm toán gốc khác phương án Bài toán gốc 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O M điểm di động đường tròn chứng minh S  MA2  MB  MC không đổi HD: Đây toán sách tập hình học 10 hướng dẫn học sinh giải công cụ vectơ cách đơn giản, yêu cầu học sinh làm theo phương án đặt góc toán ta có kết S  MA2  MB  MC  R Từ toán khai thác toán khác theo hướng - Hướng 1: Tổng quát theo số đỉnh đa giác - Hướng 2: Tổng quát theo số mũ Bài toán 2.1: Cho đa giác n-cạnh A1 A2 An nội tiếp đường tròn  O; R  điểm M di động đường tròn Chứng minh S2  M    MAi không n đổi ( Bài toán sách tập Hình học nâng cao 11) i 1 Bài toán dễ dàng giải phương pháp vectơ áp dụng cách đặt góc giải Sau hướng dẫn học sinh khám phá kết tương tự toán tổng quát theo số mũ Bài toán 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  O; R  điểm M di động đường tròn Tìm giá trị tự nhiên k cho tổng Sk  M   MAk  MB k  MC k không phụ thuộc vị trí M Phân tích:   Rõ ràng k=1 không thoả (?) k=2 thoả Có thể cm tổng MA2  MB  MC không phụ thuộc M cách dùng công thức tâm tỉ cự Với k  việc tính tổng Sk  M  trở nên phức tạp, với k lẻ ta không dùng công cụ vectơ để tính tổng Còn với k chẵn k=4 ta cần tính tổng: S  M   MA4  MB  MC , S tính theo S cách dùng đẳng thức nhiên tính toán dài cách mở rộng cho số mũ k lớn 15   2 Do tính đối xứng nên ta giả sử M   AC , Đặt MOA dùng định lý hàm sin ta tính được:     MA  R sin  , MB  R sin     , MC  R     3  3  M A D Không tính tổng quát ta cho R=1 Khi      Sk  M   2k sin k   sin k      sin k      3  3   toán trở thành: Tìm giá trị k cho tổng 2a O B a C     S 'k  sin k   sin k      sin k     không phụ thuộc  3  3  Để cho tiện ký hiệu S 'k Sk Ta nhận thấy     Sk  sin k   sin k      sin k     3  3   2     sin k   sin k      sin k     3     2  xét góc t1   , t2       , t3    3  Dễ kiểm chứng sin 3ti  sin 3  i  1, 2,  đó: sin 3  sin 3ti  3sin ti  sin ti Suy số xi  sin ti nghiệm phương trình x3  x  sin 3  k k k Từ ta tính tổng: Tk  x1  x2  x3 Nhờ vào công thức truy hồi 4Tk  3Tk 2   sin 3  Tk 3 3  tổng đầu tiên: T0 , T1 , T2  T0  3, T1  0, T2   2  Tuy nhiên ý chưa phải tổng mà ta cần tính vì:   x2   sin     3    k Do với k chẵn Sk  Tk , k lẻ S k  Tk  2sin    Ta xét số trường hợp : K=4: S4  T4  T2  sin 3 T1    3 16 Bài toán 3.1: Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O,R) điểm M di động đường tròn Tìm giá trị tự nhiên k cho tổng Sk  M   MAk  MB k  MC k  MD k không phụ thuộc vị trí M Với hướng giải tương tự ta   MA  2R.sin a, MB  2R sin   a  4    MC  2R.cos a, MD  2R cos   a  4  Không tính tổng quát ta cho R=1 Khi      S k  M   k sin k a  sin k   a   cos k a  cos k   a   4  4   toán trở thành: Tìm giá trị k cho tổng     S 'k  sin k a  sin k   a   cos k a  cos k   a  không phụ thuộc a 4  4  Đến phương án giải tương tự Đến việc tổng quát cho toán n-giác có hy vọng giải quyết, tác giả xây dựng cách giải chưa có kết tốt 17 Một vài phương án khám phá toán chương I hình học 11 thông qua việc đặt tình gợi vấn đề cho học sinh Thực tế giảng dạy trường Trung học phổ thông thực phần dạy học phép biến hình 11 luyện tập cho em số toán tiếng nhà toán học từ đặt toán mở rộng theo hướng mặt phẳng không gian để học sinh nghiên cứu giải quyết: a Dạy tiết luyện tập phép vị tự: Bài toán 4: Bài toán đường thẳng đường tròn Ơle Cho tam giác ABC G, H, O trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC a) Chứng minh G, H, O nằm đường thẳng ( Đường thẳng Ơle) b) Chứng minh trung điểm cạnh M,N,P, chân đường cao A’, B’ , C’, trung điểm đoạn thẳng nối trực tâm với đỉnh E, P, F điểm năm đường tròn (Đường tròn Ơle) A Đây toán giới thiệu sách H tập 11 Bài toán có nhiều cách giải C' E phép biến hình Trong tiết luyện tập Phép N P H tịnh tiến, phép đối xứng tâm, trục, phép vị tự O H B' G I yêu cầu học sinh sử dụng phép Q F biến hình để giải toán C B A' M *Tình gợi vấn đề: Chúng H thường đặt câu hỏi sau giải xong toán: Liệu mở rộng hay tổng quát toán hay không? Bài toán giải mặt phẳng liệu không gian, tam giác có đường thẳng Ơle, đường tròn Ơle liệu tứ diện có kết kết mang tên Ơle hay mang tên khác? Và đề xuất toán không gian tứ diện trực tâm ABCD cho em tự nghiên cứu Bài toán 4.1 Cho tứ diện trực tâm ABCD với H trực tâm, G, O trọng tâm , tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện a) Chứng minh H, G, O thẳng hàng G trung điểm HO b) Chắng minh rằng: Các trực tâm, trọng tâm mặt, điểm chia đoạn thẳng HA, HB, HC, HD theo tỉ số 1:2 nằm mặt cầu 18 b) Dạy luyên tập phép đối xứng tâm Bài toán 5: Bài toán Haruki hay toán “con bướm” Cho đường tròn (S) dây cung MN I trung điểm MN Qua I vẽ dây cung AB CD AD cắt MN E, BC cắt MN F Chứng minh I trung điểm EF Bài toán em giới thiệu cấp hai tiếng có nhiều lời giải Chúng yêu cầu học sinh khối 11 giải toán tiếng phép biến hình mà cụ thể sử dụng phép đối xứng tâm có nhiều em tham gia giải toán Lời giải tóm tắt: Qua phép đối xứng tâm I ta chứng minh ảnh E F D' C A M E F I A' O N B D Đ I : AID  A ' ID ' Đ I : (O)  (O ') ta có MN trục đẳng phương đường tròn (O) (O’) Lại có IA.IB  IC.ID  IC.ID '  IA '.IB nên C,D,B,A nằm đường tròn (O’’) CB trục đẳng phương (O) (O’’), D’A’ trục đẳng phương (O’) (O’’) trục đẳng phương MN, CB, A’D’ đồng quy F hay I trung điểm EF Bài toán mở rông không gian: Bài toán 5.1: Trong không gian cho mặt cầu tâm O dây cung MN có định Qua I trung điêm MN vẽ dây cung AA’, BB’, CC’ Mặt phẳng (ABC) (A’B’C’) cắt đường thẳng MN E F Chứng minh I trung điểm EF ( Đây toán T12/346 báo Toán học tuổi trẻ năm 2006 toán chứng minh phương pháp vectơ) Ở giới thiệu cách giải phép biến hình Xét bổ đề: Cho mặt cầu (S) I điểm nằm (S), mặt phẳng (P) cắt (S) theo đường tròn (C) M điểm di chuyển (C) đường thẳng IM cắt mặt cầu (S) điểm thứ M’ chứng minh M chạy đường tròn cố định ( Đây tính chất phép nghịch đảo không gian) Chứng minh bổ đề: Từ I kẻ đường thẳng d vuông góc với (P) I’ d lấy J cho II '.IJ  IM IM '  IO  R Vì I cố định, (P) cố định nên I’ cố định J       cố định Từ hệ thức ta có II ' M  IM ' J  900 hay M’ nhìn IJ góc 19 vuông tức M’ năm mặt cầu (S’)cố định nhận IJ làm đường kính Do M nằm giao điểm mặt cầu (S) (S’) hay M’ nằm đường tròn cố định Chứng minh định lý Haruki không gian Nối BE ké dài cắt mặt cầu P P thuộc đường tròn (ABC) Ta có ĐI: ( ABC )  ( A1 B1C1 ); P  P1 P1 nằm đường tròn ngoại tiếp A1B1C1 Và ta có IA '.IA1  IB '.IB1  IC '.IC1 điểm       A’,B’,C’, A1, B1, C1 thuộc mặt cầu (S1) đường tròn ( A1B1C1) thuộc (S1) Nối IP1 cắt mặt cầu (S1) điểm P’ P’ thuộc đường tròn ngoại tiếp (A’B’C’) (Theo bổ đề ) Và B, P, I, B’,P’, M, N nằm mặt phẳng (Q), mặt phẳng (Q) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường tròn (K) F giao B’P’ MN ứng dụng định lí Haruki đường tròn (K) với I trung điểm dây cung MN: dây cung BB’, PP’ cắt MN E F I trung điểm EF Bài toán không gian giải c) Dạy luyện tập phép quay Bài toán 6: Bài toán Napoleon “ Nếu cạnh hình tam giác bất kì, phía ta dựng tam giác tâm tam giác đỉnh tam giác ” Hướng dẫn giải: Sử dụng phép quay 120 : ECF  EAF ' Q120 : DBF  DAF ' , QE D 0 A F D C B E Rõ ràng ta chứng minh tam giác DEF tam giác từ suy điều phải chứng minh Từ toán Napoléon ta suy kết đường tròn ngoại tiếp tam giác đồng quy điểm điểm gọi điểm Toricelli Hướng đẫn học sinh giải toán Toricelli: 20 Bài toán 7: Cho tam giác nhọn ABC chứng minh điểm Toricelli điểm có tổng khoảng cách tới đỉnh tam giác ABC nhỏ Chúng hướng dẫn học sinh giải toán phép quay: D A Gọi M điểm Q : AMC  AND 600 A ACD tam giác M MA+MB+MC=BM+MN+ND tổng nhỏ C B, M, N, D thẳng hàng theo thứ tự đó, tương tự B với phép quay đỉnh B, C ta làm xuất toán Napoléon tổng MA+MB+MC nhỏ M điểm Toricelli N Bài toán mở rộng toán Toricelli Bài toán 7.1: Tìm điểm M tứ diện ABCD cho tổng MA+MB+MC+MD nhỏ Hướng dẫn: Gọi A1 ,A2 hình chiếu A lên mp(BCD) AM  MA2  AA  AA1 tương tự cho đỉnh lại Mặt khác tổng khoảng cách từ điểm tứ diện tới mặt độ dài đường cao tứ diện MA  MB  MC  MD  3.AA1 dấu xảy M tâm tứ diện Bài toán 7.2: Trong không gian cho tứ diện Chứng minh tổng khoảng cách từ điểm đến đỉnh tứ diện nhỏ điểm trùng với tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện cho Bài toán 7.3: Cho tứ diện cân ABCD với AB=CD=a; BC=AD=b; AC=BD=c M điểm tùy ý không gian Tìm giá trị nhỏ biểu thức T=MA+MB+MC+MD HD: ABCD gần nên trọng tâm tứ diện tâm O mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Do OA  OB  OC  OD  OA=OB=OC=OD=R                 MA OA  MA.OA  MO  OA OA  MO.OA  R R R R R         Tương tự MB  MB OB  MO.OB  R MC  MO.OC  R , MD  MO.OD  R R R R R       Vậy MC  MB  MC  MD  MO OC  OC  OC  OC  R  R R Ta có: MA    T nhỏ M trùng với O T  R   a  b  c  21 Bài toán 7.4: Bài toán tổng quát cho tứ diện trực tâm.( Chứng minh tương tự) Cho tứ diện trực tâm ABCD M điểm nằm tứ diện chứng minh: MA.S BCD  MB.SCDA  MC S DAB  MD.S ABC  9.V d) Dạy luyện tập phép đối xứng trục Bài toán (Định lý Fagnano ) Trong tất tam giác nội tiếp tam giác nhọn ABC tam giác có đỉnh chân đường cao ABC (gọi tam giác trực tâm) có chu vi nhỏ trục: Hướng dẫn: Sử dụng phép đối xứng Đ AB : M  M Đ CD : M  M A M2 P N M1 B M C Khi MN  NP  PM  M 1P  PN  PM  M 1M dấu xảy M1, P, N, M2 thẳng hàng mặt khác tam giác AM1M2 tam giác cân có góc đỉnh A góc tù không đổi (= góc BAC) M1M2 nhỏ AM2 nhỏ hay AM nhỏ M chân đường cao hạ từ A Tương tự để chu vi MNP nhỏ N, P chân đường cao hạ từ B, C Bài toán mở rộng không gian: Bài toán 8.1: Cho tứ diện ABCD Hãy tìm mặt phẳng (BCD), (CDA), (DAB), (ABC) điểm X, Y, Z, T cho tổng độ dài cạnh tứ diên XYZT nhỏ (Đây toán T10/255 báo Toán học&Tuổi trẻ) 22 PHẦN III KẾT LUẬN Kết đề tài:  Đây đề tài có tính mới, chưa thấy kết nghiên cứu tác giả khác tương tự  Đề tài phát huy tiềm phát triển tính tích cực, tư sáng tạo cho học sinh bồi dưỡng học sinh giỏi  Đề tài đồng nghiệp xem xét đánh giá cao tính mới, tính sáng tạo, góp ý kiến nhiều vận dụng thực tế dạy học bồi dưỡng học sinh giỏi  Đề tài xây dựng số dạng tập gốc phần đầu hình học 11 để học sinh sáng tạo, khai thác toán khác thông qua việc tạo tình gợi vấn đề dạy học  Đề tài trình bày số phương pháp nhằm kích thích hứng thú tự chủ hoạt động học tập học sinh việc tạo toán tình khai thác kết hay hướng giải toán để tạo toán làm cho việc học toán không đơn điệu mà cần sáng tạo cho đa dạng Đằng sau toán vấn đề mà giáo viên học sinh cần phải khám phá, có thấy hay phong phú Phương pháp áp dụng giảng dạy đặc biệt công tác bồi dưỡng học sinh giỏi có hiệu quả, em tự phát hiện, tự giải nhiều toán hơn, khó từ toán ban đầu Vì thời gian khuôn khổ không cho phép nên chưa nghiên cứu thêm toán phần khác Hẳn sáng kiến nhiều sai sót chưa sâu sắc Tôi mong bạn đồng nghiệp bạn đọc đóng góp ý kiến để sáng kiến hoàn thiện Kiểm chứng kết thực hiện: + Qua số liệu thống kê làm học sinh giỏi cho thấy học sinh biết cách khai thác sáng tạo toán không nội dung hình học mà nội dung đại số lượng giác + Tôi nhận nhiều chuyên đề em học sinh tự đúc rút sau phổ biến sáng kiến cho vài lớp, có vài kết mang tính sáng tạo cao + Với lớp giỏi: Số liệu kết học tập lớp kiểm chứng 11A1 Trường THPT Hoàng Mai (đây lớp tập trung học sinh giỏi) từ 23 năm học 2011-2012 : lớp 11A2 lớp đối chứng Số liệu thống kê qua kiểm tra học có áp dụng chương trình toán sau : + Kết kiểm tra đợt thực nghiệm cho lớp thực nghiệm lớp đối chứng Lớp thực nghiệm: 11A1: 20 em ngẫu nhiên Lớp đối chứng: 11A2: 20 em ngẫu nhiên Bảng thực nghiệm Học sinh Nhóm thực nghiệm KT đầu KT trước tác KT sau tác năm động động 7.5 5.5 6.5 6.5 7.5 6 6.5 6.5 6.5 10 9.5 12 7 6.5 11 13 14 15 9 8 9.5 7.5 9.5 Môt(mode) 7.00 Giá trị trung bình(average) 7.0 7.0 7.20 Độ lệch chuẩn(stdev) P(ttess) 8.5 8.5 7 6.5 7.5 7 Trung vị(median) 7 8.5 7.5 6.5 20 8.5 6.5 19 6.5 7 7.5 6.5 6.5 8.5 7.5 18 6.5 17 7.5 7.5 7.5 KT đầu KT trước tác KT sau tác năm động động 9.5 16 Nhóm đối chứng 7 7 6.5 7.5 8 7.5 8 7.5 7.5 7.0 7.0 8.0 7.0 8.0 7.0 7.35 8.10 7.13 7.33 7.55 1.06 0.83 1.02 0.79 0.92 0.0432 7.0 0.72 7.3 0.67 7.5 0.56 Điểm trung bình nhóm thực nghiệm: 8,10 điểm, lớp đối chứng: 7,55 điểm cho thấy: Điểm trung bình, tỷ lệ kiểm tra đạt loại khá, giỏi lớp thực nghiệm cao so với lớp đối chứng 24 - Trong bảng thực nghiệm cho thấy kết kiểm tra nhóm đối chứng có độ lệch chuẩn không cao sau có tác động chứng tỏ đồng kiểm tra có hiệu - Phép kiểm chứng t-test độc lập giúp xác định xem chênh lệch giá trị trung bình hai nhóm khác có khả xảy ngẫu nhiên hay không Trong phép kiểm chứng t-test độc lập, tính giá trị p, đó: p xác xuất xảy ngẫu nhiên Với mức ý nghĩa p = 0,0432< 0,05 giá trị p 0,0432 phép kiểm chứng t-test có ý nghĩa kết khả xảy ngẫu nhiên Vậy ta đưa giả thuyết kết điểm trung bình tỷ lệ đạt loại giỏi dạy phương pháp đưa tốt so với kết dạy phương pháp cũ Điều khẳng định thêm tiến tích cực tác động mang lại TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] 200 vô địch toán: Đào Tam NXB Giáo dục 1997 [2] GPÔLIA, Giải toán nào, NXB Giáo dục 1997 [3] GPÔLIA, Sáng tạo toán học, NXB Giáo dục 1997 [4] Sách giáo khoa sách tập hình học 11 [5] Báo toán học tuổi trẻ [6] Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên chu kỳ 25 [...]... học tập của học sinh bằng việc tạo bài toán tình huống cũng như khai thác kết quả hay hướng giải của một bài toán để tạo ra các bài toán mới làm cho việc học toán không đơn điệu mà luôn cần sự sáng tạo cho nó đa dạng Đằng sau mỗi bài toán là những vấn đề mới mà mỗi giáo viên và học sinh cần phải khám phá, có như vậy thì chúng ta mới thấy cái hay cái phong phú của mỗi bài Phương pháp này áp dụng trong... 2.4 Lập bài toán đảo: *Tình huống gợi vấn đề 7: Từ bài toán 1 và kết quả của bài toán khái quát ta có thể lập bài toán đảo của nó: Bài toán 1.6: Cho tam giác đều ABC M là điểm di động trong góc A thõa mãn  của đường tròn ngoại MB  MC  MA Chứng minh M nằm trên cung nhỏ BC tiếp tam giác ABC Từ bài toán đảo này chúng ta có thể đặt ra các giả thuyết: liệu có thể xảy ra điều này với các bài toán tương...  MC  MA Dấu bằng xảy ra khi D nằm trên  đoạn BC khi đó  ABD   ABD   AMC  600 nghĩa là M nằm trên cung nhỏ BC *Tình huống gợi vấn đề 6: Từ bài toán khái quát hóa này này chúng ta có thể đặt ra các giả thuyết: liệu có thể xảy ra điều này với các bài toán tương tự cho đa giác đều hay không hay nói cách khác các bài toán 1.1, 1.4 có thể có bài toán khái quát hóa hay không? Vấn đề đặt ra này bản... giác đều hay không hay nói cách khác các bài toán 1.1, 1.4 có thể có bài toán đảo hay không? 12 2.5 Thay đổi một số yếu tố của bài toán ban đầu : Khi thay đổi một số yếu tố của bài toán đã cho thì chắc chăn sẽ bài toán sẽ thay đổi Nhưng mục đích để làm gì ? Các bạn có thể trả lời ngay câu hỏi này , học sinh sẽ thấy dễ đi có thể làm được bài toán ban đầu , hoặc khó đi tổng hợp hơn, rộng hơn *Tình huống. .. một bài toán được giới thiệu trong sách H bài tập 11 Bài toán này có nhiều cách giải bằng C' E phép biến hình Trong các tiết luyện tập về Phép N P H tịnh tiến, phép đối xứng tâm, trục, phép vị tự O H B' G I chúng tôi yêu cầu học sinh sử dụng các phép Q F biến hình này để giải quyết bài toán C B A' M *Tình huống gợi vấn đề: Chúng tôi H thường đặt ra câu hỏi sau khi giải quyết xong một 3 2 1 bài toán: ... hơn để giải rồi từ đó áp dụng tương tự chúng ta có thể giải quyết được bài toán tổng quát 11 2.3 Khái quát hóa bài toán: * Tình huống gợi vấn đề 5: Từ bài toán 1 ta có thể lập bài toán khái quát của nó: Bài toán 1.5: Cho tam giác đều ABC M là điểm di động trong góc A Chứng minh MB  MC  MA Chứng minh: Áp dụng phép đồng dạng bằng cách Kẻ AD và BD sao cho   CAM ,  BAD ABD   AMC khi đó MAC  BDA... xem xét đánh giá cao về tính mới, tính sáng tạo, được góp ý kiến nhiều và được vận dụng thực tế trong dạy học bồi dưỡng học sinh giỏi  Đề tài đã xây dựng được một số dạng bài tập gốc trong phần đầu hình học 11 để học sinh có thể sáng tạo, khai thác ra các bài toán khác thông qua việc tạo các tình huống gợi vấn đề trong dạy học  Đề tài đã trình bày được một số phương pháp nhằm kích thích sự hứng thú... đặt tình huống gợi vấn đề cho học sinh Thực tế giảng dạy ở trường Trung học phổ thông chúng tôi đã thực hiện trong phần dạy học phép biến hình 11 chúng tôi luyện tập cho các em một số bài toán nổi tiếng của các nhà toán học và từ đó đặt ra những bài toán mở rộng theo các hướng trong mặt phẳng và trong không gian để học sinh nghiên cứu và giải quyết: a Dạy tiết luyện tập phép vị tự: Bài toán 4: Bài toán. .. quả, các em có thể tự phát hiện, tự giải quyết được nhiều bài toán hơn, khó hơn từ bài toán ban đầu Vì thời gian và khuôn khổ không cho phép nên tôi chưa nghiên cứu được thêm các bài toán ở các phần khác Hẳn sáng kiến còn nhiều sai sót và chưa sâu sắc Tôi mong các bạn đồng nghiệp và bạn đọc đóng góp ý kiến để bản sáng kiến của tôi hoàn thiện hơn 2 Kiểm chứng kết quả thực hiện: + Qua số liệu thống kê bài. .. (ABC) các điểm X, Y, Z, T sao cho tổng độ dài các cạnh của tứ diên XYZT nhỏ nhất (Đây là bài toán T10/255 báo Toán học&Tuổi trẻ) 22 PHẦN III KẾT LUẬN 1 Kết quả của đề tài:  Đây là một đề tài có tính mới, chưa thấy các kết quả nghiên cứu của các tác giả khác tương tự  Đề tài phát huy được tiềm năng phát triển tính tích cực, tư duy sáng tạo cho học sinh khi bồi dưỡng học sinh giỏi  Đề tài đã được các ... giải đáp vốn kiến thức có tích cực suy nghĩ có nhiều hy vọng giải vấn đề đặt Các cách tạo tình gợi vấn đề: Để thực dạy học phát giải vấn đề, điểm xuất phát tạo tình có vấn đề, tốt tình gây cảm... nhằm dẫn đến tình mới, toán mới, phải tạo kích thích học sinh biết khám phá từ ban đầu để sáng tạo kết hay mang tầm cao rộng Đó lí chọn đề tài: “ Khám phá toán tình gợi vấn đề Đề tài mà thực... Phần I Đặt vấn đề ………………………………………………… Phần II Nội dung……………………………………………………… I Những đường sáng tạo toán mới: ………… ……………… Khái niệm tình gợi vấn đề …………………… II Các cách tạo tình gợi vấn đề: ………………………