SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM _ GIẢI CÁC BÀI TẬP SỬ DỤNG HỆ THỨC VIET

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆMGI I CÁC BÀI T P S D NG H TH C VIETẢI CÁC BÀI TẬP SỬ DỤNG HỆ THỨC VIET ẬP SỬ DỤNG HỆ THỨC VIET Ử DỤNG HỆ THỨC VIET ỤNG HỆ THỨC VIET Ệ THỨC VIET ỨC VIET I Lý do chọn

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

GI I CÁC BÀI T P S D NG H TH C VIETẢI CÁC BÀI TẬP SỬ DỤNG HỆ THỨC VIET ẬP SỬ DỤNG HỆ THỨC VIET Ử DỤNG HỆ THỨC VIET ỤNG HỆ THỨC VIET Ệ THỨC VIET ỨC VIET

I ) Lý do chọn đề tài

Từ bài toán đơn giản không giải phơng trình tính tổng và tích 2 nghiệm của phơng trình bậc 2 , học sinh có phơng tiện là hệ thức Vi – ét để tính toán

Hệ thức còn giúp học sinh xét dấu 2 nghiệm của phơng trình mà khong biết

cụ thể mỗi nghiệm là bao nhiêu

Giải và biện luận phơng trình bậc 2 có chứa tham số là loại toán khó Tiếp tục bài toán này thờng kèm theo yêu cầu tính giá trị biểu thức , quan hệ giữa 2 nghiệm , các phép tính trên 2 nghiệm của phơng trình Việc tính mỗi nghiệm của phơng trình theo công thức nghiệm là vô cùng khó khăn vì phơng trình đang chứa tham số Trong trờng hợp đó hệ thức Vi – ét là 1 phơng tiện hiệu quả giúp học sinh giải loại toán này

Cuối học kỳ 2 lớp 9 , thời gian gấp rút cho ôn thi học kỳ 2 và các kỳ thi cuối cấp Các bài toán cần áp dụng hệ thức Vi – ét đa dạng có mặt trong nhiều kỳ thi quan trọng nh thi học kỳ 2, thi tuyển sinh vào lớp 10 , thi vào các trờng chuyên lớp chọn Trong bài viết này , tôi hy vọng đóng góp thêm 1 số kinh nghiệm hớng dẫn học sinh làm quen và tiến tới giải tốt các bài cần áp dụng hệ thức Vi - ét

II ) Nội dung đề tài

A) Kiến thức cơ bản

1) Nếu phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( a  0 ) có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2 thì tổng và tích hai nghiệm đó là:

S = 1 2 b

x x

a

  và P = x x1 2 c

a



2 ) Tính nhẩm nghiệm

a ) Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình ax2 + bx + c = 0 ( a  0 ) có các

nghiệm số là x1 1,x2 c

a

b ) Nếu a - b + c = 0 thì phơng trình ax2 + bx + c = 0 ( a  0 ) có các

nghiệm số là x1 1,x2 c

a

3 ) Tìm 2 số biết tổng và tích của chúng

Nếu 2 số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì u và v là 2 nghiệm của phơng trình bậc hai : x2  Sx P   0

B ) Bài tập áp dụng và bài tập phát triển , nâng cao

1, Loại toán xét dấu nghiệm của phơng trình mà không giải phơng trình

Bài tập 1:

Không giải phơng trình cho biết dấu các nghiệm ?

a) x2  13x40 0

b) 5x2 7x 1 0

c) 3x2 5x 1 0

Giải

a) Theo hệ thức Vi – ét có S = x1 x2 b 13

a

P = x x1 2 c 40

a

 

Vì P > 0 nên 2 nghiệm x1 và x2 cùng dấu

S > 0 nên 2 nghiệm cùng dấu dơng

b) Theo hệ thức Vi – ét có P = 1 2 1

5

c

x x

a

   nên 2 nghiệm cùng dấu

0 5

b

x x

a

    nên 2 nghiệm cùng dấu âm

c) P = 1 2 1

3

c

x x

a



   nên 2 nghiệm trái dấu

S = 1 2 5

0 3

b

x x

a

   

Bài tập 2

Cho phơng trình x2  10x m 2  0 (1)

Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi giá trị của

m  0 Nghiệm mang dấu nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn ?

Giải

Ta có a = 1 > 0 , c = - m2< 0 với mọi m  0

Vì a , c trái dấu nên phơng trình (1) luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt Theo

hệ thức Vi - ét : P = x x1, 2  m2 < 0 Do đó x1và x2 trái dấu

S = x1x2 10 nên nghiệm dơng có giá trị tuyệt đối lớn hơn

Bài tập 3

(Đề TS chuyên Hạ Long 1999 – 2000)

Cho phơng trình x2  ( m  1) x m  2  m  2 0  (1) (với m là tham số) a) Giải phơng trình trên với m = 2

b) Chứng minh rằng phơng trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu  m

c) Gọi 2 nghiệm của phơng trình đã cho là x1, x2

Tìm m để biểu thức

A

   

   

   

đạt giá trị lớn nhất

Giải

a) Thay m = 2 vào phơng trình ta đợc

x  x 

Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt

1 2

1 17 2

1 17 2

x x









b)Xét

acm m  m  m  m  m    m  

Có

Vậy phơng trình (1) có 2 nghiệm trái dấu m

c, Gọi 2 nghiệm của phơng trình đã cho là x1, x2

Từ kết quả phần b có x1, x2  0 , biểu thức A đợc xác định với mọi x1, x2 tính

Đặt 1 3

2

x  Với a > 0

3 2 1

1 ( )x

x a

 



Có A = -a + 1

a

 mang giá trị âm

A đạt giá trị lớn nhất <=> - A có giá trị nhỏ nhất

Có – A = a +

2

1 a 1

a a





áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm a và 1

a ( vì a > 0 và

1 0

a  )

Ta có:

1

1 2

a

a a

a

Vậy – A  2 <=> A  - 2 nên A có GTLN là - 2

2 2

2

1

1

2

1

a a

a

a a



( thoả mãn điều kiện a > 0 )

x   x   

 Theo kết quả x1  x2 có S x1 x2 x2 x2 0 b

a

     

1 0 1

m m m

* Kết luận : Với m = 1 thì biểu thức A đạt giá trị lớn nhất là - 2

2) Loại toán tính giá trị biểu thức chứa tổng, tích 2 nghiệm

Bài tập 4: Cho phơng trình : x2  (m 1)x m 2 m 2 0

a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi m

b) Gọi 2 nghiệm là x1 và x2 tìm giá trị của m để x12x22 đạt giá trị nhỏ nhất

Giải:

a ) Ta có a = 1 > 0

2

2

1 7

4 4

m



a, c trái dấu nên phơng trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi tham

số m

Theo hệ thức Vi ét P = x x1 2 c m2 m 2 0

a

     do đó 2 nghiệm trái dấu

b) Ta có

(m 1) 2( m m 2)

= m2  2m 1 2m2 2m 4 3m2 4m5

2 2 11 11

3( )

3 3 3

m

   

Vậy Min  2 2

1 2

11 3

x x  khi m =2

3

Bài tập 5:

Cho phơng trình 2x2  (m2)x 7m2 0

Tìm giá trị dơng của m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối bằng nghịch đảo của nghiệm kia

Giải :

Ta có a = 2 > 0

1 2 ( 1 2) 2 1 2

x x  x x  x x

Phong trình có 2 nghiệm trái dấu    7 m2    0 7 m 7

Với điều kiện này giả sử x1< 0 ,x2 > 0 theo đề ra ta có

2

2

1 ( ) 1 7 2 5 5

2

m

x

 

             

Vì m > 0 nên ta chọn m = 5 ( thoả mãn điều kiện  7 m 7)

Kết luận : Vậy với m = 5 thì phơng trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối bằng ngịch đảo của nghiệm kia

Bài tập 6 : ( Đề tuyển sinh lớp 10 năm 2006 – 2007 ) (2 đ) Xét phơng trình : x4 2(m22) 5 m2 3 0 (1) với m là tham số

1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phơng trình (1) luôn có 4 nghiệm phân biệt

2) Gọi các nghiệm của phơng trình (1) là x x x x Hãy tính theo m giá1, , ,2 3 4

trị của biểu thức M = 2 2 2 2

x  x  x  x

Giải :

1) Đặt x2 = y ( ĐK : y 0 ) Pt (1) trở thành

2 2( 2 2) 5 2 3 0

( 2) (5 3)

1

1 1 3 ( ) 2

2 4 4

m

m    m    nên  , 0 Phơng trình (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi – ét có

2

2

2( 2)

2( 2) 1

a

2

1. 2 c 5 3

a

Xét P  5 m2  3 có m2   0 5 m2   0 5 m2   3 3

nên P > 0 với mọi m  Z

1 , 2

y y

Xét S y1 y2 b 2(m2 2)

a



    

Vì m2   0 m2    2 2 2( m2  2) 4 

nên S > 0  y y1, 2 cùng dấu dơng (thoả mãn ĐK y  0)

Vậy phơng trình (2) có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu dơng nên phơng trình (1) có 4 nghiệm phân biệt đối nhau từng đôi một

2) Theo kết quả phần a có x x x x 1, , ,2 3 4 0

và x1  y x1, 2  y1

x3  y x2, 4  y2

( ) ( ) ( ) ( )

M

2 2

y y

y y









Thay kết quả S và P vào M ta đợc

2.2( 2) 4( 2)

M

Kết luận:

2 2

4( 2)

m M

m







Bài tập 7: (Đề tuyển sinh chuyên Hạ Long 1997 - 1998 ) ( 2,5 đ) Cho phơng trình x2  2( m  1) x m   0 ( mlà tham số)

a) Chứng minh : Phơng trình đã cho luôn luôn có nghiệm với mọi m

b) Trong trờng hợp m > 0 và x x1, 2 là các nghiệm của phơng trình nói trên

hãy tìm GTLN của biểu thức

1 2

A

x x



Giải:

a)   ,  (m1)2  m

2 2

2

2

1

2

2

m

Vì 1 2

2

     Phơng trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị m

b)

1 2

A

x x



Theo kết quả phần a phơng trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt

áp dụng hệ thức Vi – ét ta có

S = x1 x2 b 2m 2

a



P = x x1 2 c m

a

  Vì P = m > 0 nên x x  biểu thức A đợc xác định với mọi giá trị 2, 2 0 x x1, 2

1, 2

x x tính theo m

2 2

1 2

x x x x x x x x

A

x x



=

2

1 2

(x x ) 2 x x 3(x x ) 6

x x

Thay S và P vào biểu thức A ta đợc :

2

2

A

m

m





1

m

m

Theo bất dẳng thức Cô Si vì 1 1

( m ) : 2 m

0

m  )

1

2 1 1

2 1

m m m m m m

Vậy biểu thức A có GTNN là 8

Trong bất đẳng thức Cô Si dấu bằng xảy ra  m = 1

m

2 1 1

m m

 

 

Với m = 1 thoả mãn điều kiện m > 0

m = -1 không thoả mãn điều kiện m > 0

Vậy với m = 1 thì A có GTNN bằng 8

Bài tập 8 : ( đề TS chuyên Hạ Long 2005 - 2006 ) (2 đ) Xét phuơng trình mx2+ (2m -1) x + m -2 = 0 (1) với m là tham số

a ) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn x12x22 x x1 2 4 b) Chứng minh rằng nếu m là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp thì phơng trình

có nghiệm số hữu tỉ

Giải

a ) Điều kiện để m có 2 nghiệm 0

0

m 





 

 Xét  (2m 1)2  4 (m m 2)

4 1

1

0 4 1 0

4

m

   

 



      

Vậy điều kiện để phơng trình có 2 nghiệm là m  0 và m 1

4





Với điều kiện trên theo hệ thức Vi ét có

1 2

1 2

S x x

 

   

P x x



Gọi A x 12 x22  x x1 2

2

2

( ) 2 ( ) 3

x x x x x x

x x x x

  

áp dụng hệ thức Vi ét có A = 4 ( ĐK

0 1 4

m m







 





)

1 2 2 2

( m) 3m 4

2 2

2 2

4

m m

Có a + b + c = 3 – 2 – 1 = 0 => m1 = 1 ( thoả mãn điều kiện m  0 và m

1

4



 )

m2 = 1

3



( kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn m  0 vµ m

1

4



 )

VËy víi m = 1 th× ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm x x1, 2 tho¶ m·n

2 2

1 2 1 2 4

x x  x x 

c) Gäi n N* ta cã m = n( n + 1 ) lµ tÝch cña 2 sè tù nhiªn liªn tiÕp ( TM§K m  0 )

d) Theo kÕt qu¶ phÇn a ta cã

0

2n 1 2n 1

     ( do n > 0 )

2 1

x

2 2

2

1 2 1 2 ( 1) 2 1 1 2 2 2 1

2 ( 1) 2 ( 1) 1

x

          

V× n N* nªn 1- n Z vµ n N* => 1 1 n

x n



 lµ ph©n sè Q

tö n +2 N* vµ n +1 N* => 2 2

1

n x n





 lµ ph©n sè Q

KÕt luËn:Víi m lµ tÝch cña 2 sè tù nhiªn liªn tiÕp th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm

sè h÷u tØ

3 ) Lo¹i to¸n t×m hai sè biÕt tæng vµ tÝch cña chóng

Bµi tËp 9 : T×m hai sè x y biÕt

a) x + y = 11 vµ xy = 28

b) x – y = 5 vµ xy = 66

Gi¶i :

a ) Với x + y = 11 và xy = 28 theo kết quả hệ thức Vi ét x ,y là nghiệm của phơng trình x2 - 11x + 28 = 0

b ac

   = 121 – 112 = 9 > 0

3

  Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt là

7;

x    x   = 4

Vậy x = 7 thì y = 4

x = 4 thì y = 7

6 ( ) 66

    



có x , y là nghiệm của phơng trình x2 - 5x - 66 = 0

b ac

   = 25 + 264 = 289 > 0 ,  = 17

Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt là 1 5 17 2 5 17

Vậy x = 11 thì y = - 6 còn x = - 6 thì y = 11

Bài tập 10 : Tìm hai số x y biết x2 + y2 = 25 và xy = 12

Giải :

Ta có x2 + y2 = 25 <=> (x + y )2 - 2xy = 25 <=> (x + y )2- 2.12 = 25

(x + y )2 = 49 <=> x +y =  7

* Trờng hợp x + y = 7 và xy =12

Ta có x và y là nghiệm của phơng trình x2 - 7x +12 = 0

b ac

   = 49 – 4.12 = 1

7 1 7 1

x    x   

* Trờng hợp x + y = - 7 và xy =12

Ta có x và y là nghiệm của phơng trình x2 +7x +12 = 0

Giải phơng trình ta đợc x3 = -3 ; x4= - 4

các cặp số x, y cần tìm là (4 ; 3) ; (3 ; 4) ;(- 4 ; - 3) ; ( -3 ; -4)

4 ) Loại toán tìm biểu thức liên hệ giữa tổng tích 2 nghiệm không phụ thuộc tham số :

Bài tập 11 : Cho phơng trình x2- ax + a - 1 = 0 có 2 nghiệm x x1, 2

a) Không giải phơng trình hãy tính giá trị biểu thức

1 2 2 1

3x 3x 3

M

x x x x

 





b) Tìm a để tổng các bình phơng 2 nghiệm số đạt GTNN ?

Giải

a)

2

x x

M

Theo hệ thức Vi ét có S  x1 x2 a P x x;  1 2  a 1

Vậy 3 2 2( 1) 1 3 ( 1)( 1) 2( 1)

M

  (ĐK : a0,a )1 b) Ta có S x1 x2 a (1)

P x x 1 2  a 1 (2)

Trừ 2 vế của (1) cho (2) ta có x1x2  x x1 2 1 , đây là biểu thức liên hệ giữa x

1và x2 không phụ thuộc vào a

C) Các bài tập t ơng tự

Bài tập 1 : Không giải phơng trình cho biết dấu các nghiệm ?

a) x2- 6x +8 = 0

b) 11 x2+13x -24 =0

c) 2 x2- 6x + 7 = 0

Bài tập 2 : Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của k , phơng trình

a) 7 x2+ kx -23 = 0 có 2 nghiệm trái dấu

b) 12 x2+70x + k2+1 = 0 không thể có 2 nghiệm trái dấu

c) x2- ( k +1)x + k = 0 có một nghiệm bằng 1

Bài tập 3 : Giải các phơng trình sau bằng cách nhẩm nhanh

a) mx2 - 2(m +1)x + m + 2 = 0

b) (m -1) x2 + 3m + 2m + 1 = 0

c) (1 – 2m) x2 + (2m +1)x -2 = 0

Bài tập 4 : Cho phơng trình x2- 2m + m - 4 = 0

a) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm đối nhau Tính 2 nghiệm đó

b) Định m để phơng trình có 2 nghiệm thực dơng

Bài tập 5 : ( đề TS chuyên Hạ Long năm học 2002 -2003 ) (2,5

đ)

Cho phơng trình x2 - mx +1 = 0 ( m là tham số )

a) Giải phơng trình trên khi m = 5

b) Với m = 5 , giả sử phơng trình đã cho khi đó có 2 nghiệm là x x1, 2

Không giải phơng trình , hãy tính giá trị của biểu thức

3x 5x x 3x A

x x x x





Hớng dẫn giải:

a) Với m = 5 phơng trình trở thành x2-5x +1 = 0

 = 21 , phơng trình có 2 nghiệm phân biệt 1 (5 21)

2

x   , 2 5 21

2

x  

b)Với m = 5 , ta có phơng trình bậc hai : x2  5x  1 0

Theo hệ thức Vi ét : S x1x2  5 và P x x 1 2 1

3x 5x x 3x

A

x x x x





2

2





Thay S và P vào A ta đợc :

14

3

A 

Bài tập 6 :( đề thi học sinh giỏi lớp 9 thị xã Hà Đông , Hà Tây 2003 -2004)

(4đ)

Cho phơng trình bậc 2 ẩn x : x2 2(m 1)x2m2 3m 1 0 (1) a) Chứng minh rằng phơng trình có nghiệm khi và chỉ khi 0  m  1

b) Gọi x x1, 2 là nghiệm của phơng trình , chứng minh rằng

1 2 1 2

8 8

x x x x 

Hớng dẫn giải:

a) Phơng trình (1) có nghiệm <=>  , (m 1)2  (2m2  3m1) 0

 m2  m 0 m m(  1) 0  m0 hoặc m   1 0

 0  m  1

c) Khi m 1 , theo hệ thức Vi ét có 1 2 2

1 2

2( 1)

m

          do đó

2

m   

Q    m    m

Bài tập 7 : ( đề thi TS lớp 10 Hải Dơng 2003 – 2004 ) (1đ) Cho phơng trình : 2x2  5x 1 0

Tính x1 x2 x2 x1 (Với x1 , x2là 2 nghiệm của phơng trình)

Hớng dẫn giải:

Theo định lý Vi ét ta có 1 2 5 1 2 1 1 2 1

;

x x  x x   x x 

Ta có Ax1 x2 x2 x1  x x1 2( x1  x2)

S  x  x  S x x  x x    S  

Do đó A = x1 x2 x2 x1

1 5 2 2 1

5 2 2

2



Bài tập 8 : (đề thi học sinh giỏi lớp 9 - TP Hồ Chí Minh 2003- 2004) (4đ) a) Xác định m để phơng trình 2 x2  2 mx m  2  2 0  có 2 nghiệm phân biệt

b) Gọi 2 nghiệm là x1 , x2 , Tìm GTNN của biểu thức

A2x x1 2 x1x2  4

Hớng dẫn giải:

a)  , m2  2(m2  2)m2 4

Phơng trình có 2 nghiệm

2

2

0 0 4

m

m

m

  

b)Theo định lý Vi ét có

2

2

;

2

m

x x  m x x  

Do đó ta có A2x x1 2 x1x2  4 (m2)(m 3)

Vì m   2; 2 nên (m + 2)(m - 3)  0

A m  m  m m  m  

Vậy GTNN của A là 25

4 khi và chỉ khi m = 2

Bài tập 9 : (đề thi TS lớp 10 chuyên toán THPT năng khiếu Trần Phú)

(2,5đ)

1) Chứng tỏ rằng phơng trình x2  4x  có 2 nghiệm phân biệt x1 0 1 , x2 Lập phơng trình bậc hai có 2 nghiệm là x12 và x22

2) Tìm mđể phơng trình x2  2mx2m 3 0 có hai nghiệm cùng dấu Khi đó hai nghiệm cùng dấu âm hay cùng dấu dơng ?

Hớng dẫn giải:

1)   , 4 1 0 nên phơng trình có 2 nghiệm phân biệt

2 2 2 2

1 2 1 2

S x x x x x x

P x x x x

vậy phơng trình cần tìm là x2- 14x +1 = 0

2) Phơng trình có 2 nghiệm cùng dấu

2

1 2

2

m

m

 Khi đó x1x2 2m 0 Suy ra phơng trình có 2 nghiệm dơng

Bài tập 10 : ( Đề tuyển sinh chuyên Hạ Long 2005 – 2006)

Xét phơng trình mx2 (2m 1)x m  2 0 vói m là tham số

a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm là x1, x2thoả mãn 2 2

1 2 1 2 4

x x  x x 

b) Chứng minh rằng nếu m là tích của hai số tự nhiên liên tiếp thì phơng trình có nghiệm hữu tỉ

III) Ph ơng pháp tiến hành

Trong giờ học chính khoá tôi lồng ghép các bài tập cùng lời giải mẫu, cơ sở giải theo từng phơng pháp để học sinh hình thành kỹ năng giải từng loại toán này Cho học sinh thực hành bài tập tơng tự ngay tại lớp

Đặc biệt , trong các giờ luyện tập , ôn tập chơng giáo viên tiếp tục cho học sinh giải các bài tập nâng cao , làm thử các đề thi tuyển sinh chuyên chọn Qua đó học sinh thấy đợc tầm quan trọng của loại toán này , tự rèn luyện tạo kỹ năng cho mình Bằng rèn luyện thực hành giải bài tập , học sinh cách giải các bài tập phức tạp hơn Các em đợc nâng cao kiến thức , hình thành kỹ năng phản xạ khi gặp các bài toán tơng tự

IV) Phạm vi , đối t ợng nghiên cứu

Học sinh khối lớp 9 trờng THPT Hòn Gai

V) Tổng kết và rút kinh nghiệm

Qua áp dụng vấn đề nêu trên vào giảng dạy ở khối lớp 8 , kết quả thu đợc là học sinh đã hình thành , định hớng đợc cách giải loại toán này Bằng phơng pháp gợi

mở nêu vấn đề , các câu hỏi dẫn dắt , các em tự phát hiện ra hớng giải cho từng bài tập Giáo viên tạo hứng thú , phát triển trí thông minh sáng tạo cho học sinh

Các tài liệutham khảo khi giảng dạy loại toán cần áp