(SKKN HAY NHẤT) khai thác một bài toán cơ bản để giải một số bài toán hình học không gian

1 MỞ ĐẦU 1 1 Lý do chọn đề tài Trong thực trạng dạy học hiện nay, khi Kỳ thi tốt nghiệp THPT quốc gia và đặc biệt trong thời gian tới đây là Kỳ thi học sinh giỏi các môn văn hóa lớp 12 cấp tỉnh được t[.]

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Trong thực trạng dạy học nay, Kỳ thi tốt nghiệp THPT quốc gia đặc biệt thời gian tới Kỳ thi học sinh giỏi môn văn hóa lớp 12 cấp tỉnh thi hình thức thi trắc nghiệm, thời gian làm tập ít, số lượng tập lớn, phủ kiến thức rộng gây trở ngại, khó khăn cho hoạt động giảng dạy thầy hoạt động trị Với hình thức thi tự luận trước đây, đứng trước vấn đề khó, vấn đề lạ, học sinh có thời gian suy ngẫm tìm cách giải vấn đề, quy lạ quen hay chí cách giải Tuy nhiên, với thi trắc nghiệm, trước vấn đề khó, lạ, việc tìm cách để giải vấn đề vơ khó khăn Do đó, việc quy lạ quen vơ quan trọng Trong q trình ơn tập, sau giải tập, học sinh cần phải rút kinh nghiệm để giải tập tương tự suy ngẫm xem tập phát triển hành tập dạng Có vậy, học sinh đáp ứng đa dạng, biến hóa đề thi trắc nghiệm Yêu cầu vậy, trình dạy học, khơng phải giáo viên, học sinh thực phân tích rút kinh nghiệm sau tập Việc có nguyên nhân chủ quan nguyên nhân khách quan, dẫn đến việc học sinh giải dạng tập nào, hướng dẫn dạng biết dạng tập đó, từ dẫn hình thành cho học sinh tính ỷ lại, mong chờ may mắn, chưa thấy hay, ý nghĩa tốn học; kích thích hứng thú sau tập Trước thực trạng trên, trình giảng dạy, đặc biệt dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, sau tập thường dành khoảng thời gian định để học sinh suy ngẫm tập, định hướng để em phát triển tập thành dạng tập khó hơn, đa dạng hơn, từ tạo hứng thú, ham tìm tịi nghiên cứu học sinh, làm em hiểu kiến thức rộng hơn, sâu Để nhân rộng, lan tỏa ý tưởng mình, có tài liệu để học sinh đồng nghiệp nghiên cứu, hạn chế thời gian khung giới hạn sáng kiến kinh nghiệm nên chọn đề tài: “Khai thác tốn để giải số tốn hình học khơng gian” Trong q trình thực hiện, khơng tránh khỏi cịn hạn chế, thiếu sót mong đồng nghiệp, học sinh góp ý chia sẻ để đề tài hoàn thiện hơn, mang lại hiệu thiết thực Xin chân thành cảm ơn! LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 1.2 Mục đích nghiên cứu + Cung cấp cho đồng nghiệp học sinh tài liệu hữu ích q trình dạy, học nghiên cứu khoa học Nâng cao kiến thức, trình độ chun mơn thân + Khơi dậy hứng thú, ham học hỏi, tìm tịi nghiên cứu toán học học sinh, giúp em chủ động nắm vững kiến thức, đáp ứng yêu cầu kỳ thi trình học tập sau + Giúp em nhận dạng nhanh số tốn hình học khơng gian (Chứng minh, tính thể tích, … ) có liên quan đến tỷ số đoạn thẳng việc ứng dụng toán đề tài 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài trình từ tập ban đầu, hình thành ý tưởng, kỹ để vận dụng để giải số tốn hình học không gian 1.4 Phương pháp nghiên cứu + Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết + Phương pháp thực nghiệm + Phương pháp phân tích, tổng kết rút kinh nghiệm + Phương pháp khảo sát điều tra thực tế, thu thập thông tin + Phương pháp thống kê, xử lý số liệu NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận đề tài 2.1.1 Cơ sở khoa học của đề tài Hinh hoc la môt môn hoc xây dưng sơ thông cac khai niêm, tiên đê, đinh ly Do đo, đê hiêu va hoc tôt phân môn hinh hoc, hoc cân môt nên tang kiên thưc vưng vang, tri tương tương tôt, kha tư lô gic, vân dung ly thuyêt môt cach sang tao Đôi vơi đa sô hoc sinh, la môn hoc kho, đăc biêt la hoc sinh tim hiêu vê linh vưc hinh hoc không gian cua lơp 11 va lơp 12 Ngoai lơp cac bai toan chưng minh cac yêu tô song song, vuông goc, dưng hinh (tim giao tuyên, thiêt diên ), tinh môt sô cac yêu tô quen thuôc goc, khoang cach, thê tich , sach giao khoa va sach bai tâp hinh hoc 11 va 12 giơi thiêu môt sô cac bai toan yêu câu chưng minh cac đăng thưc hay bât đăng thưc hinh hoc, tim gia tri lơn nhât hay nho nhât cua diên tich môt đa giac, thê tich môt khôi đa diên Đo la bai toan kho, đoi hoi hoc sinh phai vân dung kiên thưc LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com tông hơp, sang tao, tương tư hoa, nhân cai chung cua môt lơp cac bai toan đê tim hương giai môt bai tâp cu thê 2.1.2 Cơ sở̉ thực tiễn Qua qua trinh giang day va bôi dương hoc sinh kha gioi, nhân thây, tim cai chung cua môt lơp cac bai toan, tưc la phat hiên cai gôc cua vân đê cân chưng minh hay tinh toan, hoc sinh co thê tương tư hoa, dung kêt qua va cach suy luân đo đê chưng minh va tim cach giai cua hâu hêt cac bai tâp tương tư môt cach dễ dang Vi thê, công viêc cua thây la giup hoc sinh phat hiên bai toan bản, tư đo, cung hoc sinh khai thac, sư dung kêt qua cua bai toan đo cho bai tâp khac Ban sang kiên kinh nghiêm cua trinh bay môt bai toan bai toan thê, va xem xét ưng dung cua no viêc giai môt sô bai tâp kho hinh hoc không gian lơp 11 va 12 Tên đê tai tơi chon: “Khai thác tốn để giải số tốn hình học khơng gian” 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm Trong trình giảng dạy, trước khối lượng lớn kiến thức cần phải học so với thời gian dành cho học sinh tự học ngày ít, thấy rằng: Học sinh thụ động việc tìm hiểu, tự lĩnh hội kiến thức Giáo viên giới thiệu dạng tốn học sinh biết dạng tốn Trước tốn mới, học sinh chủ động, hăng say tự tìm hiểu; cịn nhiều học sinh ỷ lại, chờ giáo viên hướng dẫn, gợi ý sử dụng máy tính để kiểm tra kết mong may rủi Điều gây khó khăn ức chế nhiều giáo viên trình giáo dục học sinh Trước thực trạng trên, trình giảng dạy, để gây hứng thú cho học sinh, để học sinh thấy hay, ý nghĩa thực tế tốn học tơi thường gắn tập với việc giải tình thực tế, gắn với linh hoạt sử dụng toán học như: Một tốn giải nhiều cách, áp dụng nhiều trường hợp, nhiều lĩnh vực Nội dung đề tài nhiều nội dung mà triển khai trình giảng dạy Khi triển khai đề tài tơi cảm nhận thay đổi đáng kể học sinh Ban đầu triển khai lớp 10, cơng việc vất vả học sinh chưa quen, chưa chủ động qua trình kiên trì thực hiện, cuối lớp 10, đầu lớp 11 lớp 12, công việc thuận lợi nhẹ nhàng, đối tượng học sinh - giỏi, em chủ động phân tích, tìm tịi đề xuất giải pháp giải vấn đề LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 2.3 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm, giải pháp giải vấn đề KHAI THÁC MỘT BÀI TOÁN CƠ BẢN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN I Tìm hiểu toán sau: Cho tam giác hai điểm hai cạnh ( khác ) Gọi trung điểm điểm , di động giao Chứng minh Lời giải +) Qua kẻ ba đường thẳng song song với , đánh dấu điểm hình vẽ +) Dễ̃ chứng minh trung điểm ; đồng thời thẳng hàng +) Ta có: A O E F M B N G K Q H D C +) Lại có: +)Mà +) Vậy LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com +) Từ (2), (3) suy +) Thay (4) vào (1) ta được: Nhận xét : Hai điểm cần điều kiện khác trùng với ta kết ; đpcm trùng với Cach 2: Sư dung phương phap diên tich Ta co : Suy luân tương tư, ta suy Lai co Do vây, Măt khac, Tư đo, ta co II Khai thác toán Trong hình học, ta phải giải tốn tìm đại lượng hình học chứng minh tính chất hình học (cố định, song song ) theo ràng buộc qua đại lượng thay đổi Để giải tốn này, ta phải tìm hệ thức liên hệ đại lượng thay đổi từ đưa điều cần chứng minh, tính tốn Để minh hoạ, ta xé́ t số tập ví dụ sau : LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bài 1: Cho tứ diện hai điểm Chứng minh mặt phẳng di động thỏa mãn : qua đường thẳng cố định S M A B G D N - C Phân tích: Nhận thấy ngay, học sinh, tốn tốn khó vì: Với điểm - * * cố định, để chứng minh mặt phẳng qua đường thẳng cố định ta cần qua điểm cố định khác điểm Khó khăn việc tìm điểm , thơng thường học sinh tìm điểm sau: * Xét cố định điểm vị trí đặc biệt trung điểm Từ giả thiết suy trùng trùng với trung tuyến Tương tự xét cố định trung điểm trung với trung tuyến Với hai trường hợp qua điểm cố định trọng tâm tam giác - Khẳng định rằng, xác định ln qua việc chứng minh khơng đơn giản Nhưng là̀ đơn giản học̣ sinh áp dụng bà̀ i toán trên, cụ thể: Lời giải +) Gọi trung điểm , LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com +) Áp dụng toán bản, chứng minh điểm cố định, trọng tâm tam giác +) Vậy đường thẳng Vậy cố định nằm Nhận xét: Bài tốn hồn tồn tổng quát việc vận dụng toán bản, ta giải cách dễ̃ dàng Bài 2: Cho hình chóp trung điểm , có đáy hình bình hành Gọi a Xác định thiết diện tạo mặt phẳng b Gọi Tính tỷ số c Tổng quát : Giả sử đoạn Tính tỷ số Lời giải , hình chóp ; ; giao điểm S E N M G D C O B A a Xác định thiết diện : +) Xác định giao điểm , giao điểm và : Gọi giao điểm , chứng minh giao điểm +) Gọi giao điểm Vậy thiết diện giao điểm LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com b Tính tỷ số : +) Trong tam giác , trung điểm +) Trong tam giác , ta có : nên +) Vậy c Giả sử đoạn ; Tính tỷ số Vậy Bài 3: Cho hình chóp , với giao điểm : Lập luận hoàn toàn tương tự ta có , lấy điểm Biết định chứng minh qua điểm cố Lời giải S A' B' G D' B A C' K D C +) Gọi trung điểm , giao điểm với Áp dụng Bài tốn 1, ta có : LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com +) Gọi trung điểm điểm cố định , thuộc , đồng thời ta có: +) Đẳng thức (*) chứng tỏ điểm cố định điểm cố định, Bài Cho hình chóp có đáy điểm nằm đoạn thẳng 1) 2) giao điểm ln qua hình bình hành Gọi ( không trùng hai ) cho Chứng minh MN thay đổi, đường thẳng MN qua điểm cố định Gọi V V’ thể tích khối chóp S.ABCD S.MBCDN Chứng minh rằng: Lời giải S A M B N D E 2) G I C Chứng minh thay đổi, đường thẳng qua điểm cố định +) Lấy đối xứng với qua , cắt trung điểm điểm cố định Gọi giao điểm +) Áp dụng tốn ta có: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 2) +) Hệ thức (*) chứng tỏ điểm cố định Vậy đường thẳng qua điểm cố định Gọi thể tích khối chóp Chứng minh rằng: +) Ta có +) Ta có với +) Xé́ t hàm số đoạn +) Ta có +) Từ Bài 5: Cho hình chóp có đáy góc với mặt phẳng đáy thỏa mãn tích khối tứ diện Vậy ta có hình vuông, cạnh , Trên , vuông lấy hai điểm mặt phẳng cắt Tính thể Lời giải S E M G N C D O B A 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com +) Dựng thiết diện : tương tự 2, +) Trong tam giác +) Trong tam giác giao điểm , ta có: , ta có: +) Tính +) +) Bài 6: Cho hình chóp tứ giác cạnh Mộtmặt phẳng điểm thay đổi cắt Chứng minh : Lời giải +) Dựng mặt phẳng , cho thuộc đường cao hình chóp +) Do chóp tứ giác nên +) trung tuyến tam giác và cắt điểm , nên ta có: S M P B D A C 11 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com (trong tam giác (trong tam giác Từ (1) (2) ta có Bài 7: Cho hình chóp tứ giácđều trung điểm , cắt cạnh giác có tám cạnh và Một mặt phẳng điểm thay đổi qua Tìm diện tích nhỏ tứ Lời giải +) Gọi giao điểm đường cao phải qua Dễ̃ thấy trung điểm của hình chóp, suy +) Từ giả thiết ta có : giác vng Vậy tam +) Tương tự tam giác vuông Suy +) Dễ̃ chứng minh được: S Q M I P N A O B C +) Vậy 12 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com +) Đặt +) Thay (2) vào (1) ta được: +) Áp dụng tốn gốc: +) Áp dụng BĐT Cơsi cho hai số không âm ta được: +) Từ (3) (4) có : Đẳng thức xảy trung điểm có diện tích nhỏ Bài : Cho hình chóp có đáy thuộc SA, SB, SC cho : cắt , Vậy tứ giác phẳng , tức là hình bình hành Lấy điểm Mặt Tính tỷ số Lời giải 13 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com S D1 A1 I C1 B1 D A O B C +) Gọi giao điểm +) Theo tốn gốc ta có : , giao điểm +) Suy Vậy Nhận xét : Bằng việc áp dụng toán gốc ta dễ dàng tính tỷ số Từ ta xây dựng số câu hỏi dạng trắc nghiệm mức độ vận dụng vận dụng cao Bài : Cho hình chóp có đáy điểm qua Mặt phẳng hình bình hành, gọi , cắt trung Chứng minh +) Gọi Ta dễ̃ thấy Lời giải giao điểm ; trọng tâm tam giác , qua 14 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com S K N I M C B D O A +) Đặt +) Ta có : +) Trong tam giác Vậy , có đường trung tuyến, áp dụng kết tốn bản, ta có : +) Mà +) Thay (2) vào (1) ta được: +) Xé́ thàm số , dễ̃ tìmđược: +) Vậy 15 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bài tập đề nghị Bài tập 1: Cho hình chóp phẳng có đáy thay đổi, cắt cạnh hình bình hành mặt minh : Bài tập2: Cho tam giác , cạnh giác Một đường thẳng qua , cắt cạnh Chứng trọng tâm tam Chứng minh : Bài tập 3: Cho hình chóp tam giác Lần lượt lấy hai điểm với , có cạnh đáy cạnh cho ln vng góc Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ khối chóp Bài tập4: Cho tứ diện thẳng qua cắt cạnh Bài tập5: Cho hình chóp , có đáy hình vng cạnh qua Biết , vng góc , tính thể tích Bài tập 6: Cho hình chóp có đáy vng góc với mặt phẳng đáy Biết Lấy điểm , song song với , gọi trọng tâm tam giác , đường Chứng minh vng góc với mặt phẳng đáy.Mặt phẳng với , cắt khối chóp thuộc cắt Bài tập 7: Cho hình chóp hình chữ nhật, góc thỏa mãn Một mặt phẳng qua Tính thể tích khối tứ diện hai điểm thỏa mãn Chứng minh điểm cố định Tìm giá trị nhỏ khối chóp di động hai cạnh qua 16 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 3.1 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Khi triển khai ý tưởng nội dung đề tài, thân nhận thấy hiệu rõ rệt qua năm học Học sinh có ý thức việc phân tích đề bài, sau tập có nghiên cứu, đúc rút kinh nghiệm Những tập tính khoảng cách, thể tích khối đa diện … có liên quan đến tỷ lệ đoạn thẳng, học sinh hào hứng phát vấn đề nhanh Điều thân kiểm nghiệm, so sánh nhiều lớp mà thân phụ trách dạy so với lớp khác phân công dạy thay, lớp dạy thay, học sinh lúng túng việc xác định vấn đề, hướng giải vấn đề mục tiêu oàn thành nhiệm vụ KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận: Qua qua trinh triển khai thực đề tài, nhân thây: Khi tim cai chung cua môt lơp cac bai toan, tưc la phat hiên cai gôc cua vân đê cân chưng minh hay tinh toan, hoc sinh co thê tương tư hoa, dung kêt qua va cach suy luân đo đê chưng minh va tim cach giai cua hâu hêt cac bai tâp tương tư môt cach dễ dang Vi thê, công viêc cua thây la giup hoc sinh phat hiên bai toan bản, tư đo, cung hoc sinh khai thac, sư dung kêt qua cua bai toan đo cho bai tâp khac 3.2 Kiến nghị Xác nhận Thủ trưởng đơn vị Thanh Hóa, ngày 15 tháng năm 2021 CAM KẾT KHƠNG COPY Người viết Phạm Hùng Bích 17 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... xuất giải pháp giải vấn đề LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 2.3 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm, giải pháp giải vấn đề KHAI THÁC MỘT BÀI TOÁN CƠ BẢN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI... đo, ta co II Khai thác toán Trong hình học, ta phải giải tốn tìm đại lượng hình học chứng minh tính chất hình học (cố định, song song ) theo ràng buộc qua đại lượng thay đổi Để giải toán này, ta... dung cua no viêc giai môt sô bai tâp kho hinh hoc không gian lơp 11 va 12 Tên đê tai tơi chon: ? ?Khai thác tốn để giải số tốn hình học không gian? ?? 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng Sáng kiến