Một số phương pháp giải bài toán cực trị

Phần II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 3

3 Các sáng kiến kinh nghiệm, giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn

g Phương pháp tìm cực trị bằng việc khảo sát hàm số 15

4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,

Phần III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

1 Kết luận 18 2 Kiến nghị 18 Tài liệu tham khảo 19

PHẦN I: MỞ ĐẦU1 Lý do chọn đề tài

Trong quá trình giảng dạy môn Vật Lí khi học sinh gặp bài toán tìm cực trị cực đại hoặc cực tiểu của một đại lượng vật lí các em học sinh thường nghỉ ngayđến dùng đạo hàm, cụ thể là các em dùng công thức vật lí xây dựng biểu thức cầntìm sau đó lấy đạo hàm cho đạo hàm bằng không lập bảng xét dấu từ đó tìm đượccực trị với cách giải này phạm vi sử dụng rộng rải Tuy nhiên đối với lớp dưới cácem học sinh vẫn gặp các bài toán cực trị nhất là trong kì thi học sinh giỏi, mà cácem lại chưa học đạo hàm Mặt khác nhiều bài toán dùng đạo hàm không phải baogiờ cũng có lời giải là đẹp nhất.

-Chính vì lí do trên tôi chon đề tài “Một số phương pháp giải bài toán cực trị”.

2 Mục đích nghiên cứu

Giúp học sinh có cách nhìn toàn diện về bài toán cực trị trong vật lí, từ đócác em học sinh chủ động lựa chọn phương pháp giải hợp lí.

3 Đối tượng nghiên cứu

Các bài toán cực trị trong môn vật lí ở trường THPT từ đó đưa ra phươngpháp giải bài toán tìm giá tri lớn nhất, nhỏ nhất của đại lượng vật lí và

phần nào các em học sinh thấy được việc đưa bài toán lí thuyết áp dụng vào thựctiễn cuộc sống.

4 Phương pháp nghiên cứu

Để thực hiện đề tài, tôi sử dụng phương pháp chủ yếu là tham khảo tài liệu,nhiều đề thi học sinh giỏi của các khối lớp, đề thi đại học, tổng kết rút kinh nghiệmqua các buổi dạy học sinh giỏi, dạy ôn thi đại học Căn cứ vào đề thi để hệ thốngbiên soạn loại bài tập này thành dạng, đồng thời đưa ra kiến thức cần thiết để phụcvụ cho việc áp dụng, đưa ra phương pháp vận dụng cho dạng bài tập này Mặt kháctrong quá trình vận dụng đề tài tôi còn dùng nhiều biện pháp tham khảo tài liệu bồidưỡng học sinh giỏi, trao đổi với thầy cô giáo giảng dạy bộ môn Vật lí, Toán học,trao đổi với các em học sinh để tìm ra vướng mắc từ phía các em Áp dụng kiểm trađối chứng, đánh giá và so sánh kết quả trước và sau khi thực hiện sáng kiến kinhnghiệm đối với học sinh giỏi và học sinh dự thi đại học qua nhiều năm từ đó đúc rútra kinh nghiệm này.

PHẦN II: NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHỆM1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Để giúp các em học tốt hơn, giáo viên cần tạo cho học sinh hứng thú học tập,cần giúp các em làm các bài tập rèn luyện tư duy môn học Cần cho học sinh thấyđược nhu cầu nhận thức là quan trọng, con người muốn phát triển cần phải có trithức cần phải học hỏi Đối với môn vật lý thì giáo viên cần biết định hướng, giúpđỡ từng đối tượng học sinh, quan trọng hơn là phải tạo tình huống giúp các emnâng cao năng lực tư duy.

Bài tập cực trị là một phương tiện có hiệu quả cao trong việc rèn luyện kỹnăng giải bài tập và rèn luyện tư duy cho học sinh, rèn luyện cho các em phươngpháp làm việc khoa học, độc lập góp phần hình thành cho học sinh năng lực tư duykhoa học Có thể sử dụng bài tập cực trị trong nghiên cứu, hình thành kiến thứcmới; trong luyện tập, rèn luyện kỹ năng cho học sinh; trong kiểm tra, đánh giá kiến

thức, kỹ năng ghi nhớ của học sinh Khi giải bài tậpj cực tri, học sinh phải biết vận

dụng kiến thức các phương pháp khác nhau đối với từng bài tập.

2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Nghiên cứu đối tượng học sinh năm học: 2013-2014; 2014-2015; 2015- 2016* Phương pháp quan sát:

Người thực hiện đề tài tự tìm tòi, nghiên cứu, đúc rút kinh nghiệm từ thựctiễn giảng dạy

* Phương pháp trao đổi, thảo luận:

Từ kết quả nghiên cứu, khi thực hiện đề tài tôi tiến hành trao đổi, thảo luậnvới đồng nghiệp, rút kinh nghiệm để hoàn thiện đề tài

Qua nghiên cứu trong một vài năm trở lại đây việc học sinh tiếp thu vậndụng các kỉ năng giải bài tập cực trị còn nhiều hạn chế, kết quả chưa cao Sự nhậnthức và ứng dụng thực tế cũng như vận dụng vào việc giải quyết các bài tập Vật lýcòn nhiều yếu kém Để làm tốt được những vấn đề này người giáo viên phải luônluôn tìm tòi và đưa ra hướng giải quyết khắc phục sao cho học sinh của mình đạtkết quả cao nhất trong các kì thi người thầy phải tìm ra được những cách giải phùhợp và nhanh cho từng dạng toán cụ thể để truyền thụ cho học sinh Thực trạng trênlà những động lực giúp tôi nghiên cứu đề tài này.

3 Các sáng kiến kinh nghiệm, giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

3.1 Cơ sở lí thuyết:

a Sử dụng điều kiện phương trình bậc 2 có nghiệmCho phương trình: ax2 + bx + c = 0

+ Nếu D = 0 thì phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm kép.

+ Nếu D > 0 thì phương trình ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm phân biệt.b Bất đẳng thức cosi

b.1: Bất đẳng thức cosi viết cho hai sốCho hai số dương a, b

a + b ³ 2 ab

+ Dấu bằng xảy ra khi a = b.

+ Khi tích 2 số không đổi tổng nhỏ nhất khi 2 số bằng nhau.+ Khi tổng 2 số không đổi, tích 2 số lớn nhất khi 2 số bằng nhau.b.2: Bất đăng thức cosi viết cho ba số

Cho ba số dương a, b,c a + b + c ³ 33 abc

+ Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.c Bất đẳng thức Bunhia côpxki

Cho các số dương a1, b1, a2, b2

(a1b1 + a2b2)2 £ (a1 + a2)2 (b1 + b2)2 Dấu bằng xảy ra khi 11

a b d Hàm số bậc 2 (Tam thức bậc 2)

Cho hàm số y = f(x) = ax2 + bx + c.+ a > 0 thì ymin tại đỉnh Parabol.+ a < 0 thì ymax tại đỉnh Parabol.+ Toạ độ đỉnh: x = - b ; y

e Tính tương đối trong chuyển động

Chuyển động có tính tương đối Þ Vận tốc có tính tương đối Þ v v v 1312 23.

Các bài toán sau đây có thể tìm cực trị bằng nhiều phương pháp khác nhau Tuynhiên nếu ta sử dụng phương pháp này bài toán được giải quyết một cách đơn giảnhơn bằng cách chuyển từ hệ quy chiếu này sang hệ quy chiếu khác.

f Giá trị cực đại, cực tiểu của hàm lượng giác.

Khi góc  thay đổi

- 1 ≤ cos ≤ 1 - 1 ≤ sin ≤ 1 Từ đây ta có thể tìm được các giá tri cực trị.

h Khảo sát hàm số

- Lập biểu thức thông số cần tìm cực trị.- Tính đạo hàm

- Cho biểu thức đạo hàm bằng không sau đó tìm nghiệm- Lập bảng biến thiên từ bảng biến thiên tìm được cực trị.

3.2 Bài tập vận dụng

a Phương pháp sử dụng phương trình bậc 2 có nghiệm

Bài tập 1: Tìm khoảng cách cực tiểu giữa một vật thật và một ảnh thật của nó qua một thấu kính hội tụ có tiêu cự f

 (2)Thay (2) vào (1) L = d + dd f. f

Bài tập 2: Cho mạch điện như hình vẽ: UAB = 120 2 Cos 100t (v)L =

Dung kháng: ZC =  

Công suất tiêu thụ của mạch: P = U.I.Cos =

22 (Z Z )

480(W)2 Z Z

Khi đó phương trình: PR2 - U2.R + (ZL - ZC)2.P = 0 có nghiệm : R = R1 = R2 = U2

A

A A'

   Trong đó 1, 2là độ lệch pha giữa u và i khi R = R1 và R = R2

+ Với nhận xét trên trong đề thi trắc nghiệm khách quan vật lí lớp 12 các em hoc sinh giải quyết nhiều bài toán mà không tồn nhiều thời gian.

b Phương pháp sử dụng bất đẳng thức cosi

Bài tập 1: Nhúng một phần thước thẳng AB vào bể nước trong suốt có chiết suất n= 4/3 sao cho thước tạo với mặt nước một góc , đầu A chạm đáy bể, I là giaođiểm của mặt nước và thước Khi nhìn xuống đáy bể theo phương thẳng đứngngười ta thấy điểm A được nâng lên đến vị trí A' cách mặt nước 15cm

1 Tính chiều cao của nước trong bể.

2 Gọi  là góc tạo bởi A'I và AI Hãy xác định  để  đạt giá trị lớn nhất.Lời giải

1 Xác định chiều cao của lớp nước trong bể.Sơ đồ ảnh:

(n, no)Áp dụng công thức

 4tan - 4tan = 3tan + 3tan2 tan

 tan = tan = (4 + 3tan2 )

IB

Từ (*) ta thấy tan cực đại khi 4 3tan

tan   cực tiểu Áp dụng bất đẳng thức cosi cho 2 số 3tan và 4

Lời giải* Xác định 

+ E M E1M E2 M

Với E1M = E2M = k 2q 2d x

+ Dùng quy tắc tổng hợp vectơ Þ E M

^ AB hướng ra xa AB.+ EM = 2E1M cos = 22 2 2 2 2 3

Lưu ý: phương pháp này giúp cho các em học sinh chưa học khảo sát hàm số

nhưng vẫn giải được các bài toán cực trị thuộc loại khó trong phần điện, điệntrường…

c Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhia côpxki



Bài tập1: Một cái hòm có khối lượng m đặt trên mặt bàn nằm ngang với hệ số masát  Để xê dịch hòm cần phải tác dụng lên nó một lực F

Xác định giá trị nhỏnhất của lực F

Lời giải

Gọi  là góc tạo bởi lực F

vả phương ngang.Áp dụng định luật II Niu Tơn.

Thay (2) vào (1) F cos  (P F sin ) m a

cos + sin

Để lực kéo F nhỏ nhất thì 

   mina 0

(cos + sin )Áp dụng BĐT Bunhia-CốpXki ta có

   £ 2 2  2  2

Vậy Fmin =  

 2PF

 Tan = 

Bài tập 2: Một người muốn qua một con sông rộng 750m Vận tốc của anh ta đối

với nước là v1 = 1,5(m/s) Nước chảy với vận tốc v2 = 1 (m/s) Vận tốc chạy bộ trênbờ là v3 = 2,5 (m/s) Tìm đường đi ( kết hợp giữa chạy bộ và bơi) để anh này đếnđiểm bên kia sông đối diện xuất phát trong thời gian ngắn nhất.

Mặt khác: AB = (v2 - v1sin)t1 (2)Thời gian người này chay bộ : t2 =

Thời gian người này chuyển động: t = t1 +t2 (4)

Từ (1), (2), (3) và (4) Þ t =    

cosv v vv v

=        

750 2,5 1 1,5sin 3,5 1,5sin200

Do t > 0 Þ Đặt X =  3,5 1,5sin

cos > 0  Xcos + 1,5sin = 3,5

Áp dụng BĐT Bunhia-KoopsKi cho vế trái

Xcos + 1,5sin2 2 222 2.

Þ 2 23,5

x Þ  = 25,40

Thay vào : t1 =

v = 556(s) Þ t2 = tmin - t1 = 76(s) Þ AB = t2.v3 = 190(m) Vậy tmin = 632(s)

Lưu ý : Phương pháp này áp dụng nhiều cho bài toán động học và động lực hoc ở

lớp 10.

d Phương pháp sử dụng công thức có sẳn của hàm số bậc 2(Tam thức bậc 2)

Bài tập1: Một con lắc đơn lý tưởng có chiều dài l, khối lượng m Từ vị trí cân bằng kéo vật m để dây treo lập với phương thẳng đứng góc 450 rồi thả nhẹ

Tìm độ lớn cực tiểu của gia tốc trong quá trình dao động Biết gia tốc trọng trường là g.

Lời giải

Trong quá trình dao động của con lắc đơn Gia tốc tiếp tuyến : at = gsin

Gia tốc hướng tâm: an = v2 v2 2 ( os -cos )g c 0

mặt khác: a a a  t nDo at

= g 220

4 os -8sin cos4sin c   cos

2 )khi đó a = g 3t24 2.t3

Lời giải

Chọn hệ quy chiếu như hình vẽ.

Giả sử tàu 1 chạy trên trục ox, tàu 2 chạy trên trục oy.Phương trình chuyển động của hai tàu.

x = 60 -v.t y = 40 - v.t

Tại thời điểm t khoảng cách giưa hai tàu là d.Áp dụng hàm số sos trọng tam giác ta có: d2 = x2 + y2 - 2x.y.cos600

g

= ( 60 - v.t)2 + (40 - v.t)2 - 2 (60 - vt)(40 - vt).12 = (v.t)2 -100vt + 2800.

Đặt y = d2 Þ y = (vt)2 -100.vt +2800Do vt > 0 Þ ymin = ' 300

d2 = (v.t)2 -100vt + 2800 = (v.t - 50)2 + 300 ³ 300Þ dmin = 300 17,32( km)

Xảy ra khi: vt = 50 Þ t = 50( )hv

Lưu ý : Phương pháp này sử dụng khá rộng rải cho các bài toán vật lí, phương

pháp này phù hợp với các bài toán trắc nghiệm khách quan khi các em chưa học vềkhảo sát hàm số.

e Phương pháp từ hệ quy chiếu này chuyển sang hệ quy chiếu khác.

Bài tập1: Một xe ô tô tới gần một địa điểm A với tốc độ v1 = 80km/h Tại thời điểmkhi còn phải đi L = 10km nữa, thì từ A một xe tải đi ra theo phương vuông góc vớitốc độ v2 = 60km/h Hỏi khoảng cách ngắn nhất giữa xe ô tô và xe tải bằng baonhiêu?

xy

Lời giải

Từ hệ quy chiếu (HQC) gắn với mặt đất,

ta chuyển sang hệ quy chiếu gắn với người chạy bộ

Þ khi đó người đứng yên cò tàu chuyển động chậm dần đều với gia tốc a và vậntốc ban đầu v0 = v.

Þ v³ 2aL

Vậy vmin = 2aL  2.0,5.25 5(m/s).

Lưu ý : Phương pháp này một số bài toán cho kết quả nhanh và gọn tuy nhiên

phạm vi áp dụng không được rộng và đòi hỏi học sinh tư duy tốt.

f Phương pháp tìm cực trị thông qua các giá trị cực đại, cực tiểu của hàmlượng giác.

Bài tập 1: Một người đứng ở mặt đất ném một hòn đá theo phương hợp với phươngngang một góc  Tìm a để tầm xa trên mặt đất là lớn nhất.

Lời giải

+ Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ Gốc ở mặt đất.

+ Chuyển động của vật chia làm 2 thành phần

- Theo phương Ox: Vật có vận tốc ban đầu vox = vocos

và không chịu tác dụng của lực nào nên chuyển động thẳng đều Phương trình chuyển động : x = vocos.t (1)

- Theo phương Oy: Vật có vận tốc ban đầu voy = vosin và

chịu tác dụng của trọng lực p = mg ngược hướng với voy chuyển động nên chuyển động chậm dần đều.

Phương trình chuyển động: y = vosin t - gt2

2 (2) Tầm bay xa là khoảng cách từ vị trí ném đến khi chạm đất Khi chạm đất thì x = L lúc đó t = Max

Lv cos Thay t vào (2) ta được y = L.tg - 22

02v cos 

Do sin2 £ 1 Þ L £

v Þ Lmax = 20

gvXảy ra khi: sin2 = 1 Þ 2 = 900 Þ  = 450

Vậy với v0 không đổi, khi góc ném  = 450 thì tầm bay xa cực đại: Lmax =

Bài tập 2: Một người đứng ở A cách đường quốc lộ h = 100m, nhìn thấy một xe ôtôvừa chạy đến điểm B cách mình d = 500m đang chạy trên đường với vận tốc v1 =50km/h Đúng lúc nhìn thấy xe thì người ấy chạy theo hướng AC

( BAC =  ) với vận tốc v2 Tìm  để v2 cực tiểu, tính giá trị cực tiểu.Lời giải

Gọi t là thời gian là người và xe đi dến C Từ hình vẽ ta có:

v v (1)Mặt khác: sin AH h

v

Thay (2) vào (1) ta được 

hd.sinv v

Do v1; h; d không đổi và sin £ 1 Þ (v2)min khi sin = 1 Þ  = 900

Lúc đó : (v2)min = v1 h 50.100 10(km / h)

Vậy:  = 900 (v2)min = 10(km/h).

Lưu ý : Với phương pháp này ta có thể giải được nhiều bài toán cực trị trong phần

động học, điện học như tìm C để (Uc)max; L để (UL)max từ hình vẽ trong bài toán điệnxoay chiều đưa ra các hệ quả giúp học sinh áp dụng vào bài toán trắc nghiệm kháchquan.

g Phương pháp tìm cực tri bằng việc khảo sát hàm số

Bài tập1: Cho mạch điện như hình vẽUAB = 200 2 Cos 100 t (v)

R = 100; C = 1 4

.10 (F)2

Cuộn dây thuần cảm và có L thay đổi

Tìm L để UAM đạt giá trị cực đại Tính giá trị cực đại đó.Lời giải

Đặt y = 1 +

 

C BL

A

Bảng biến thiên

Vậy khi ZL = 241 tứclà L = 0,767(H) thì UAM

02

Vậy áp suất cực tiểu PMin =2R .T0

Lưu ý: Phương pháp khảo sát hàm số được vận dụng rộng rải trong các bài toán

cực trị đặc biệt trong phần điện xoay chiều Phương pháp này không những tìmđược giá trị cực mà còn tìm được miền đồng biến, nghịch biến từ đó ta vẽ được đồthị biễu diễn sự biến thiên.

4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bảnthân, đồng nghiệp và nhà trường.

Tôi đã áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này cho học sinh trong những nămgần đây và thu được những kết quả khả quan Trước hết những kinh nghiệm này rấtphù hợp với chương trình SGK vật lý THPT Học sinh có hứng thú học tập hơn,tích cực hoạt động trong các giờ học, đồng thời cũng rất linh hoạt trong từng bài tậpcụ thể Không khí học tập sôi nổi, nhẹ nhàng Học sinh có cơ hội để khẳng địnhmình, không còn lúng túng, lo ngại khi gặp dạng bài tập này vì nội dung sáng kiếnkinh nghiệm có thể áp dụng cho tất cả các bài toán vật lí của khối 10, 11,12

Trong quá trình giảng dạy tôi thấy kết quả học sinh khá, giỏi tăng lên rõ rệtcòn học sinh yếu, kém thì giảm so với những năm khi chưa đưa ý tưởng này vào ápdụng

Tỉ lệ và kết quả học sinh khi chưa áp dụng sáng kiến

Năm họcTổng sốhọc sinhđược đemso sánh

Học sinh yếuHọc sinhTrung bình

Học sinhKhá

Học sinhGiỏi

Số học sinh lớp 12thi ĐHđạt điểm lý

từ 7 trở lên

2010 -20119033,3%35 38,9% 5055,6%22,2%252011 - 20129022,2%35 38,9% 4954,4%33,3%292012 - 20139022.2%3434%5156,%733,3%31

Tỉ lệ và kết quả học sinh khi áp dụng sáng kiến

Năm họcTổng sốHS đượcđem sosánh

Học sinhyếu

HọcsinhTrung bình

Học sinh KháHọc sinhGiỏi

Số học sinhlớp 12 thi đại

học đạt điểmlý từ 7 trở lên

2013 - 201490003033,33%5460%66,67%362014 - 201590002730%5561,1%88,9%372015 - 201590002628%5660%88,9%44

Qua kết quả tổng hợp ta thấy sau khi áp dụng sáng kiến vào trong công tácdạy và học của học sinh thì đã nâng chất lượng giáo giục đại trà và giáo dục mũinhon lên một cách đáng kể và đặc biệt là kết quả học sinh đạt điểm khá trong kì thiđại học và cao đẳng đạt kết quả rất dáng khích lệ Rất mong được sự ủng hộ và nếu