Các phương pháp giải bài toán tìm số phức có mô đun lớn nhất, nhỏ nhất.

Các phương pháp giải bài toán tìm số phức có mô đun lớn nhất, nhỏ nhất.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT DƯƠNG ĐÌNH NGHỆ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TỐN TÌM SỐ PHỨC CĨ MƠĐUN LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT Người thực hiện: Nguyễn Lạnh Đông Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HỐ NĂM 2013 BỐ CỤC ĐỀ TÀI A Đặt vấn đề I Lời nói đầu II Thực trạng vấn đề nghiên cứu B Giải vấn đề I Kiến thức số phức II.Một số kiến thức áp dụng Bất đẳng thức: Bun-nhi-a-cốp-xki với số thực Định lý dấu tam thức bậc hai Sự đồng biến nghịch biến hàm số, bảng biến thiên 4.Giao điểm đường thẳng đường thẳng, đường thẳng đường trịn Tính chất hàm số lượng giác III Tập hợp điểm biểu diễn số phức thường gặp 1.Phương trình đường thẳng: ax+by+c=0 2.Phương trình đường trịn: ( x − a ) + ( y − b ) = R 3.Phương trình đường Elíp: x2 y2 + = a2 b2 IV Các phương pháp tìm số phức có mơđun lớn nhất, nhỏ Dạng 1: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn (5 cách giải) Dạng 2: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đưởng thẳng(4cách giải) Dạng 3: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường Elíp (3 cách giải) A.ĐẶT VẤN ĐỀ I LỜI NÓI ĐẦU Số phức đưa vào giảng dạy bậc phổ thông nhiều nước giới, lại nội dung với học sinh trung học phổ thơng Việt Nam, thực gây khơng khó khăn nguồn tài liệu tham khảo hạn chế Bên cạnh tốn số phức năm gần thiếu đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông Đại học, Cao đẳng Đặc biệt việc giải tốn “Tìm tập hợp điểm mặt phẳng biểu diễn số phức” khơng phải tốn q khó học sinh Các em cần nắm kiến thức số phức: phần thực, phần ảo, môđun số phức, phép toán số phức kết hợp với kiến thức phương trình đường thẳng, đường trịn, đường Elíp, em giải tốt tốn trên.Vấn đề thơng qua tốn học sinh biết khai thác kiến thức toán trên, kết hợp vận dụng kiến thức bất đẳng thức, đạo hàm, lượng giác, toán cực trị hình học, để từ giải tốn “Tìm số phức có mơđun lớn nhất, nhỏ thoả mãn điều kiện cho trước” Trên sở em phát huy sức sáng tạo tư logíc Riêng thân, mối tiết dạy, dạy trăn trở tìm phương pháp dạy học thích hợp để tác động tới đối tượng học sinh, tìm cách để xố bỏ việc tiếp thu kiến thức cách thụ động Đồng thời nâng cao trình độ tư sức sáng tạo học sinh Chính mà tơi chọn đề tài “Một số phương pháp giải tốn tím số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất” để viết sáng kiến kinh nghiệm II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Thực trạng: Số phức vấn đề hoàn toàn khó học sinh bậc trung học phổ thơng Vì đưa vào chương trình Sách giáo khoa nên có tài liệu số phức để học sinh giáo viên tham khảo Bên cạnh đó, lượng tập dạng tập số phức Sách giáo khoa nhiều hạn chế Chính mà việc giảng dạy học tập giáo viên học sinh gặp khơng khó khăn Bài tốn tìm tập hợp điểm mặt phẳng biểu diễn số phức z tốn tìm số phức z có mơđun lớn nhất, nhỏ có quan hệ mật thiết vơi Trong q trình giảng dạy phần nội dung tơi nhận thấy số học sinh chưa giải tốn tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức tập hợp điểm cần tìm thơng thường đường thẳng, đường trịn, đường Elíp, đường Hybebol, đường Parabol, Nhiều học sinh lại gặp nhiều khó khăn giải tốn tìm số phức có mơđun lớn nhất, nhỏ nhât Để làm tốt tốn trước hết học sinh phải tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức sau áp dụng kiến thức bất đẳng thức, đạo hàm, lượng giác, hình giải tích mặt phẳng: đường thẳng, đường trịn, Elíp, để tù tìm môđun số phức lớn nhất, nhỏ Kết quả, hiệu thực trạng: Kết tốn tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thông thường là: đường thẳng, đường trịn, đường Elíp, đường Hypebol, đường Parabol, nên giảng dạy cho học sinh toán tìm số phức có mơđun lớn nhất, nhỏ giáo viên biết khai thác kết hợp với kiến thức bất đẳng thưc, đạo hàm, lượng giác, hình học giải tich mặt phẳng, tạo nhiều cách giải khác cho toán Cụ thể đề tài hướng dẫn học sinh tư giải toán theo nhiều cách giải khác nhau: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn có cách giải; tập hợp điểm biểu diễn z đường thẳng có cách giải; tập hợp điểm bểu diễn số phức z Elíp có cách giải B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Kiến thức số phức: Một số phức biểu thức có dạng x + yi , x, y số thực số i thoả mãn i = −1 Ký hiệu số phức z viết z = x + yi i gọi đơn vị ảo x gọi phần thực y gọi phần ảo số phức z = x +yi Tập hợp số phức ký hiệu C Hai số phức Cho z = x + yi z’ = x’ + y’i x = x '  z = z’ ⇔  y = y'  Biểu diễn hình học số phức Mỗi số phức biểu diễn điểm M(x;y) mặt phẳng toạ độ Oxy Ngược lại, điểm M(x;y) biểu diễn số phức z = x +ybi Phép cộng phép trừ số phức Cho hai số phức z = a + bi z’ = a’ + b’i Ta định nghĩa:  z + z ' = (a + a ') + (b + b ')i   z − z ' = (a − a ') + (b − b ')i Phép nhân số phức Cho hai số phức z = a + bi z’ = a’ + b’i Ta định nghĩa: zz ' = aa '− bb '+ (ab '− a ' b)i Số phức liên hợp Cho số phức z = a + bi Số phức z = a – bi gọi số phức liên hợp với số phức Vậy z = a + bi = a - bi *) Tính chất số phức liên hợp: (1): z = z (2): z + z ' = z + z ' (3): z.z ' = z.z ' (4): z z = a + b2 (z = a + bi ) Môđun số phức Cho số phức z = a + bi Ta ký hiệu z mơđun số phư z, số thực không âm xác định sau: uuu u uv - Nếu M(a;b) biểu diễn số phc z = a + bi, z = OM = a + b - Nếu z = a + bi, z = z.z = a + b Phép chia số phức khác Cho số phức z = a + bi ≠ (tức a2+b2 > ) Ta định nghĩa số nghịch đảo z-1 số phức z ≠ số 1 z-1= a + b2 z = z z Thương z' phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ xác định sau: z z' z '.z = z.z −1 = z z Với phép tính cộng, trừ, nhân chia số phức nói có đầy đủ tính chất giao hoán, phân phối, kết hợp phép cộng, trừ, nhân, chia số thực thông thường II.Một số kiến thức áp dụng Bất đẳng thức: Bun-nhi-a-cốp-xki với số thực Với số thực a, b, c, d ta có: ( ab + cd ) ≤ ( a + c )( b + d ) Dấu đẳng thức xảy ad=bc Định lý dấu tam thức bậc hai Sự đồng biến nghịch biến hàm số, bảng biến thiên 4.Giao điểm đường thẳng đường thẳng, đường thẳng đường trịn Tính chất hàm số lượng giác III Tập hợp điểm biểu diễn số phức thường gặp Phương trình đường thẳng: ax+by+c=0 Phương trình đường trịn: ( x − a ) + ( y − b ) = R x2 y2 Phương trình đường Elíp: + = a b IV Các phương pháp tìm số phức có mơđun lớn nhất, nhỏ Tìm số phức z có mơđun lớn (hoạc nhỏ nhất) thoả mãn điều kiện cho trước Phương pháp chung: Bước Tìm tập hợp (G) điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện Bước 2.Tìm số phức z tương ứng với điểm biểu diễn M ∈(G ) cho khoảng cách OM có giá trị lớn (hoạc nhỏ nhất) Dạng 1: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn ( cách giải) Ví dụ 1: Trong số phức z thoả mãn điều kiên sau Tìm số phức z có môđun lớn nhất, nhỏ z − − 4i = z +2−i = z +1− i z − + 2i = z + − 5i = z − + 3i Lời giải Cách 1: Giả sử điểm M(x;y) biểu diễn số phức z=x+yi Khi đó: z − − 4i = ⇔ ( x − 2) + ( y − 4)i = ⇔ ( x − 2) + ( y − 4) = ⇔ ( x − 2) + ( y − 4) = (1) Suy tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn số phức z đường tròn tâm I(2;4), bán kính R = z = OM = x + y = ( x − 2) + ( y − 4) + x + y − 20 = x + y − 15 = [ ( x − 2) + 2( y − 4) ] + 25 (2) Áp dụng Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có: ( x − 2) + 2( y − 4) ≤ (12 + 22 ) ( x − 2) + ( y − 4)  = ⇒ −5 ≤ ( x − 2) + 4( y − 4) ≤ (3)   ≤ z ≤3 Từ (2), (3) ta suy ra: Vậy: x = z = ⇔  ⇒ z = + 2i y = x = z max = ⇔  ⇒ z = + 6i y = Cách giải 2: (định lý dấu tam thức bậc 2) Đặt t = x + y Do ( x − 2) + ( y − 4) = ⇔ x + y + 15 = 4( x + y ) Ta có x + y ≤ 5( x + y ) = 5.t , Suy t + 15 ≤ 5t ⇔ ≤ t ≤ x = z = ⇔  ⇒ z = + 2i y = Vậy x = z max = ⇔  ⇒ z = + 6i y = Cách giải 3: ( Phương pháp lượng giác hóa) Đặt x − = sin t , y − = cos t Tacó : x + y = ( + sin t ) + ( + cos t ) = 25 + ( sin t + cos t ) 2 Do − ≤ sin t + cos t ≤ ⇒ ≤ x + y ≤ 45 ⇔ ≤ z ≤ x = z = ⇔  ⇒ z = + 2i y = Vậy x = z max = ⇔  ⇒ z = + 6i y = Cách giải (Phương pháp hình học) Giả sử M(x;y) điểm biểu diễn số phức z z ⇔ OM , z max ⇔ OM max Ta có phương trình đường thẳng OI là: x − y = Đường thẳng OI cắt (C) tai hai điểm phân biệt A, B có toạ độ nghiệm hệ phương trình: ( x − 2) + ( y − ) =  x = 3, x = ⇔ ⇒ A(1;2), B (3;6)   y = 6, y = 2 x − y = Với điểm M thuộc đường tròn (C) OA ≤ OM ≤ OB Hay ≤ z ≤ Vậy: x = z = ⇔  ⇒ z = + 2i y = x = z max = ⇔  ⇒ z = + 6i y = Cách giải (phương pháp hình học) Đường thẳng OI cắt đường tròn (C) điểm A, B hình vẽ Ta có z ⇔ OM ⇔ M trùng với điểm A (C) gần O Ta có OI = + 16 = Kẻ AH ⊥ Ox theo định lý ta lét ta có: y B AH OA − = = = OI 2 ⇒ AH = ⇒ OH = ⇒ z = + 2i z max ⇔ OM max ⇔ I A M trùng với điểm B (C) xa O Kẻ BK ⊥ Ox , theo định lý ta lét ta có: O H x K A OI = = = BK OB + ⇒ BK = ⇒ OK = ⇒ z = + 6i Các lại học sinh làm tương tự theo cách giải Đáp số: z = 4+ 4+ − i, 2 z = ( − + 10 )i, z = + 10   i, − 1 +  13 13    z= 4− 4− − i 2 ( ) z = − + 10 i z = 5− 10   i, − 1 −  13 13    Dạng 2: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đưởng thẳng ( cách giải) Ví dụ2: Tìm z cho z đạt giá trị nhỏ nhất.Biết số phức z thỏa mãn điều kiện sau: u = ( z + − i )( z + + 3i ) số thực u = ( z − 1) ( z + 2i ) số thực z + − 3i =1 z−4+i 10 z + i = z − − 3i Lời giải Cách giải 1: Giả sử z = x + yi ( x, y ∈ R) u = ( x + + ( y − 1) i ) ( x + + ( − y ) i ) = x + y + x − y + + 2( x − y + ) i Ta có u ∈ R ⇔ x − y + = tập hợp điểm biểu diễn số phức z dường thẳng (d): x − y + = Giả sử M(x;y) điểm biểu diễn z z ⇔ OM ⇔ OM ⊥ (d ) Ta M(-2;2) ⇔ z = −2 + 2i Cách giải Ta có z = x + y = x + ( + x ) = 2( x + 2) + ≥ 2 Vậy z = 2 ⇔ x = −2 ⇒ y = ⇔ z = −2 + 2i Cách giải z = x + y = x + ( + x ) = x + x + 16 ' Xét hàm số f ( x) = x + x + 16 , f ( x) = 2x + x + x + 16 f ' ( x) = ⇔ x = −2 ⇒ z ⇔ f ( x) ⇔ x = −2 ⇒ y = ⇔ z = −2 + 2i Cách giải 4: Giả sử M(x;y) điểm biểu diễn z = x+yi ( M ∈ (d ) ⇒ x − y + = ⇔ x − y = −4 ⇒ 16 = ( x − y ) ≤ x + y 2 ) ⇒ x + y ≥ ⇒ z = x + y ≥ 2 ⇒ z = 2 ⇔ x = − y = −2 ⇔ z = −2 + 2i Các lại học sinh làm tương tự theo cách 5 Đáp số: z = + i z = − i 10 10 11 z = + i Dạng 3: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường Elíp (3 cách giải) Ví dụ 3: Tìm số phức z cho môđun z đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.Biết số phức z thoả mãn điều kiện: z + + z − = z − 4i + z + 4i = 10 z + + z − = Lời giải Trong mặt phẳng Oxy Giả sử điểm M, F1 , F2 biểu số phức z, -1, Suy ra: u ur uu uur uu F1M biểu diễn số phức z-(-1)=z+1 ; F2 M biểu diễn số phức z-1.Với F1 , F2 nằm trục thực Ox -Khi điều kiện: z + + z − = ⇔ MF1 + MF2 = F1F2 = Vậy tập hợp điểm M Elip có trục lớn trục bé x2 y Phương trình Elip mặt phẳng tọa độ Oxy là: + = Tìm z cho z , z max Cách giải 1: Ta có z = OM = x + y = + x2 x2 y x2 + =1 ⇒ ≤ ≤1⇒ ≤ z ≤ Do 4 Vậy : z = ⇔ z = ± 3i z max = ⇔ z = ±2 12 Cách giải 2: Giả sử M(x;y) điểm biểu diễn z ⇒  x2 y2   x2 x2 y2 + =1 y2  2 Khi đó: OM = x + y = 4 +  ≤ 4 +  = ⇒ OM ≤   4        x2 y2   x2 y2   ≥ 3 +  = ⇒ OM ≥ OM = x + y = 3 +  3        Từ ta ≤ z ≤ Vậy: z = ⇔ z = ± 3i z max = ⇔ z = ±2 Cách giải 3: Đặt x = sin t , y = cos t , t ∈ [ 0;2π ) Ta có: OM = x + y = sin t + cos t = + sin t Do ≤ sin t ≤ 1, ∀t ⇒ ≤ OM ≤ ⇒ ≤ z ≤ Vậy: z = ⇔ z = ± 3i z max = ⇔ z = ±2 Các lại học sinh làm tương tụ theo cách Đáp số: z = ⇔ z = ±3, z max = ⇔ z = ±4i z = ⇔ z = ± 5i, z max = ⇔ z = ±3i 13 V Kiểm chứng- so sánh Năm học 2011 -2012 , ôn luyện thi Đại học chuyên đề tập tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức, số phức có mơđun lớn nhất, nhỏ nhất, tơi có chia lớp thành nhóm , nhóm thực nghiệm , nhóm đối chứng cho đề tài với dạng tập ,tôi thu kết sau : Dạng 1(%) G K TB