Một số bài toán về cực trị trong Hình học

Bài toán về cực trị trong Hình học đâylà một trong những dạng toán khó trong chương trình toán phổ thông, hy vọng rằng sáng kiến này sẽ giúp các em giải quyết bớt những khó khắn khi gặp dạng toán này. Mời quý thầy cô và các em tham khảo sáng kiến “Mời quý thầy cô tham khảo sáng kiến”.

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ

TRONG HÌNH HỌC

 

I NỘI DUNG ĐỀ TÀI

1 Tên đề tài: “Một số bài toán về cực trị trong hình học”

2 Lý do chọn đề tài:

Một trong những công tác quan trọng trong nhà trường phổ thông là đào tạo và bồi dưỡng nhân tài Để hoàn thành nhiệm vụ đó với cương vị là giáo viên giảng dạy bộ môn toán, tôi nhận thấy cần phải cải tiến phương pháp nhằm nâng cao chất lượng dạy học Là giáo viên được phân công dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9 nên tôi đã chọn viết chuyên đề: “Một số bài toán về cực trị trong hình học” Đây là một trong những dạng toán khó trong chương trình toán phổ thông, hi vọng rằng tư liệu này sẽ giúp các em giải quyết bớt những khó khăn khi gặp dạng toán này

3 Phạm vi, thời gian thực hiện

Phạm vi: học sinh khá giỏi lớp 8 - 9

Thời gian: 10 tiết (trong đó có 2 tiết kiểm tra)

II QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

1 Khảo sát thực tế:

Trước khi thực hiện đề tài này các em học sinh đã được trang bị những kiến thức cơ bản tương đối đầy đủ của chương trình bộ môn toán trong nhà trường phổ thông trung học cơ sở Quá trình nhận thức của các em ở mức

độ bình thường có thể hoàn thành các bài toán trong sách giáo khoa và có khả năng giải được một số bài toán có tính nâng cao Mặc dù vậy khi đứng trước những bài toán khó thì việc tìm ra đường lối giải nhiều khi vẫn gặp khó khăn và bế tắc

2 Biện pháp thực hiện:

Qua kinh nghiệm giảng dạy và được sự giúp đỡ động viên của đồng nghiệp, thông qua một số tư liệu tham khảo tôi muốn điểm lại một số lý thuyết và giải quyết một số bài tập nhằm giúp các em tìm thấy sự bổ ích và đạt kết quả khi học chuyên đề này

A B

C D

Cách 1:

Trong các hình có tính chất của đề bài, chỉ ra một hình rồi chứng minh hình rằng mọi hình khác đều có giá trị (của đại lượng phải tìm cực trị) lớn hơn (hoặc nhỏ hơn) giá trị của đại lượng đó ở hình đã chỉ ra

Cách 2:

Thay điều kiện một đại lượng đạt cực trị (lớn nhất hoặc nhỏ nhất) bằng các điều kiện tương đương, cuối cùng dẫn đến một điều kiện mà ta xác định được vị trí của các điểm để đạt cực trị

Trong hai cách trên thì lời giải theo cách 2 có vẻ tự nhiên hơn vì nó mang tính chất tìm kiếm

CI

CBECIE

⇒

⊥

Ta lại có:

2 2 ABCD CEF CDF CBE AEF CEF AEF CEF

aMax S AE.AF 0

Trên đoạn MA lấy K sao cho MK = MF

Trên ME lấy I sao cho MK = MQ

4

1S

SMEF < MAQ = ABC = 2

=> 2SMEF = SAPMQ - SAEF =>

∆BDC có DE = EC; AE // BC nên AE đi qua trung điểm của BD Ta lại có:

BD⊥BC(vì tam giác BDC có đường trung tuyến BE bằng nửa CD) nên:

AE⊥BD => AE là đường trung trực của BD nên AB = AD Do đó

cao ứng với BC không đổi nên A chuyển động trên đường thẳng d // BC Gọi D là điểm đối xứng với B qua d, ta có AB = AD

Khi đó A ở vị trí giao điểm E của

DC và d; ∆EBC cân tại E Vậy

trong các tam giác ABC có cùng cạnh BC và cùng diện tích, tam giác cân với đáy BC có chu vi nhỏ nhất

Bài toán 4:

Cho đường tròn (O;R) cố định AC là một đường kính cố định Đường kính

BD thay đổi không trùng với AC Xác định vị trí của BD để cho tứ giác ABCD có diện tích lớn nhất Tìm diện tích lớn nhất theo R

Chứng minh rằng lúc ABCD có diện tích lớn nhất thì chu vi của tứ giác ABCD cũng lớn nhất

Giải:

Xét tứ giác ABCD có

0

90Cˆ

Bˆ

Aˆ= = =

=> tứ giác ABCD là hình chữ nhật

2 2

2

2

2 2

2

AB

.

R S

AC BC

Vậy Max chu vi (ABCD) = 4R 2 Khi AB = BC tức là ABCD là hình vuông

Bài toán 5:

Cho góc xOy khác góc bẹt và một điểm M thuộc miền trong của góc Dựng đường thẳng đi qua M và cắt hai cạnh của góc thành một tam giác có diện tích nhỏ nhất ?

Thật vậy có duy nhất một đường thẳng qua M cắt Ox; Oy ở A; B sao cho

M là trung điểm của AB nên MA’ và MB’ không bằng nhau

Giả sử MA’ > MB’, trên tia MA’ ta lấy điểm E sao cho ME = MB’

=> SMBB' = SMAE < SMAA' => SOAB < SOA'B'

Các tam giác AKM; MHB; AOB đồng dạng nên:

2 1

Trên đây là vài ví dụ về giải bài toán cực trị trong hình học, qua các bài toán trên bắt đầu hình thành cho các em học sinh, nhất là các em học sinh khá giỏi khái niệm về toán cực trị hình học với phương pháp giải của nó Đối với học sinh THCS có thể phân loại các dạng toán cực trị kình học thường gặp như sau:

Dạng 1: Vận dụng quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc, quan hệ

giữa đường xiên và hình chiếu

Đối với dạng này học sinh cần nhớ các kiến thức:

Diện tích tam giác MAB lớn nhất

Chu vi tam giác MAB lớn nhất

Giải:

AMB 90 (AMB= là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ∆MAB vuông tại M

có MH⊥AB⇒MH AB MA MB⋅ = ⋅ ∆MAB vuông tại M theo định lý Pitago

ta có: MA2 + MB2 = AB2 = 4R2

Gọi P là chu vi của ∆MAB ta có :

PMAB = MA + MB + AB trong đó AB không đổi

(MA + MB)2 = MA2 + MB2 + 2MA.MB

Do đó PMAB lớn nhất <=> MA + MB lớn nhất

<=> SMAB lớn nhất <=> M là điểm chính giữa của cung AB

* Qua bài toán trên có thể giúp ta giải được bài toán : Trong các tam giác vuông có chung cạnh huyền, tam giác vuông cân có diện tích lớn nhất và

Vậy AD + BE ≥ 2R (không đổi)

Dấu “ = ” xảy ra <=> E ≡ H <=> DE//AB

OM AB

⇔ ⊥ ⇔ M là điểm chính giữa của cung AB

DA và DM là tiếp tuyến của (O) => OD là phân giác của AOM, tương tự

OE là phân giác của MOB; MOA và MOB kề bù

Do đó EOD = 90o

∆ODE vuông tại O; OM⊥DEnên

OD·OE = OM·DE

OD·OE = R·DE

OD·OE nhỏ nhất <=> DE nhỏ nhất <=> M là điểm chính giữa cung AB

Có rất nhiều bài toán cực trị hình học mà việc vận dụng các bất đẳng thức trong tam giác và quy tắc các điểm rất quan trọng

Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy việc học và hiểu kiến thức về bất đẳng thức trong tam giác, quy tắc các điểm đối với học sinh không gặp khó khăn nhiều, nhưng ở đây việc vận dụng kiến thức đó vào việc giải các bài toán, nhất là các bài toán về cực trị hình học thì rất khó khăn với học sinh

Để giúp các em làm tốt hơn vấn đề này, tôi đã giúp các em nhớ lại, củng cố lại các kiến thức lý thuyết ở phần này

Dạng 2: Vận dụng các bất đẳng thức trong tam giác và quy tắc về khoảng

cách các điểm

Để có thể giải được dạng bài tập này các em học sinh cần phải nhớ được

các kiến thức cơ bản sau :

Tam giác ABC có :

b) BC ≥|AB - AC| dấu “ = ” xảy ra <=> A; B; C thẳng hàng

Quy tắc n điểm: cho n điểm A1; A2; ; An

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M∈[A 'B']

Bài toán 9:

Cho đường tròn (O;R) đường kính AB cố định, C là một điểm cố định nằm giữa A và O M di động trên đường tròn (O;R) Tìm vị trí của điểm M trên (O;R) tương ứng lúc độ dài CM lớn nhất; nhỏ nhất

Vậy khi M ≡ B thì đoạn thẳng CM có độ dài lớn nhất

Mặt khác CM ≥ CA (không đổi), dấu “ = ” xảy ra khi M ≡ A

Vậy khi M ≡ A thì đoạn thẳng CM có độ dài nhỏ nhất

Bài toán 10:

Cho hai đường tròn ngoài nhau (O;R) và (O’R’) A nằm trên đường tròn (O); B nằm trên đường tròn (O’ Xác định vị trí các điểm A; B để đoạn thẳng AB có độ dài lớn nhất, nhỏ nhất

Mà OA = OC = OD = R; O’B = O’E = O’F = R

Do đó OO’ - OD - OE’ ≤ AB ≤ OC + OO’ + O’F

Dạng 3 : Trong quá trình giải các bài toán về cực trị hình học ta có thể vận dụng bất đẳng thức

Bài toán 12:

Cho hình vuông ABCD cố định E là điểm di chuyển trên đoạn CD (E khác D), đường thẳng vuông góc với AE tại A cắt đường thẳng CD tại K Tìm vị trí của điểm E để độ dài EK ngắn nhất

Theo hệ thức lượng trong

tam giác vuông ta có:

Bài toán 13:

Cho đường tròn (O;R); AC là đường kính; BD là dây cung của (O;R) và

BD vuông góc với AC Hãy xác định vị trí của dây BD để diện tích tứ giác ABCD lớn nhất

Mà BD là dây cung của (O;R), do đó BD ≤ 2R

ABCD

S ≤2R Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi BD là đường kính của (O)

Kết luận: Khi BD là đường kính của (O) thì

diện tích của tứ giác ABCD là lớn nhất

* Ta đã biết:

- Trong đường tròn (O), nếu AB và CD là hai

dây cung ; H và K lần lượt là hình chiếu vuông

Vẽ dây BC của đường tròn qua A, ta có:

∆OBC cân (OB = OC)

A ∈ BC nên OH ≤ OA (không đổi)

Dấu “ = ” xảy ra <=> H A≡ ⇔AB OA⊥ tại A

Ta có: OBAlớn nhất ⇔BOCnhỏ nhất ⇔BCnhỏ nhất <=> dây BC nhỏ nhất <=> OH lớn nhất <=> H ≡ A <=> AB OA⊥ tại A

* Trên đây là một số bài toán cực trị thường gặp Sau khi đã cho học sinh

làm quen hình thành được kiến thức về giải toán cực trị trong hình học, tôi tiếp tục cho học sinh rèn luyện những bài toán có yêu cầu cao hơn, nhất là các bài toán có kiến thức trọng tâm của lớp 8, lớp 9

là trực tâm của ∆ABC

b) Nếu ∆ABC có một góc vuông (A 90= 0) dễ thấy M ≡ A khi đó MA = 0;

Vì ∆ABP cân tại A ⇒APB ABP=

Do đó MA.BC + MB.AC + MC.AB ≥ MA.CP + MP.AC + MC.AP ≥ 4SAPC

Mà 4SAPC = 2 AP.AC = 2AB.AC không đổi

Vậy min(MA.BC + MB.AC + MC.AB) = 2AB.AC khi và chỉ khi M ≡ A

Bài toán 16:

Cho đường tròn (O;R) và một điểm A cố định ở trên đó AB và AC là hai dây quay quanh A sao cho tích AB.AC không đổi, đường cao AH của tam giác ABC Khi AH > R, hãy tìm vị trí dây BC sao cho SABC lớn nhất

Dấu “ = ” xảy ra khi E ≡ I ≡ H

Vậy nếu H trùng I thì OE ngắn nhất Khi đó dây BC qua I vuông góc với

AD tại I

Bài toán 17:

Cho đường tròn (O;R), dây BC cố định, A là điểm chuyển động trên cung lớn BC AD là phân giác của góc ABC Xác định vị trí điểm A để hiệu AB.AC - DB.DC đạt giá trị lớn nhất và SABC lớn nhất

Vậy ta có: AB·AC – DB·DC ≤ A’H2 (không đổi)

Dấu “ = ” xảy ra <=> D ≡ H ; A ≡ A’=> A là điểm chính giữa cung lớn

BC

Bài toán 18:

Cho đường tròn (O;R) Dựng đường tròn (O’;R’) sao cho tâm O nằm trên đường tròn (O’;R’) Dây cung AB của (O;R) di động và tiếp xúc với (O’;R’) Gọi C là tiếp điểm Xác định vị trí của dây cung AB để tổng S =

AC2 + BC2 đạt giá trị lớn nhất Tính giá trị lớn nhất đó theo R và R’

Vậy AB là tiếp tuyến chung ngoài của (O’;R’) và O;R '

lần lượt là trung điểm của OC, CM,

MH, OH Xác định vị trí của điểm

A để SDEFG đạt giá trị lớn nhất

Giải:

G, D lần lượt là trung điểm của OH,

OC => GD là đường trung bình của

Cho đường tròn (O;R), I là điểm cố định ở bên trong đường tròn Gọi AC

và BD là hai dãy bất kỳ cùng qua I Xác định vị trí của dây AC và DB để

AB AD BC CD

AB BC DA CD

⋅ + ⋅

⋅ + ⋅

Diện tích tam giác OAB đạt giá trị nhỏ nhất

Chu vi tam giác OAB đạt giá trị nhỏ nhất

Mặt Khác SOAB = SOIA + SOIB + SIAB

=> OA.OB = r(OA + OB + AB)

∆ OAB có O 90= 0 nên AB2 = OA2 + OB2

AB2 = OA2 + OB2 = (OA - OB)2 + 2OA·OB ≥ 2OA·OB = 2r (2r + AB +

AB 2≥ 2 1 r+ (không đổi) hay min AB 2= ( 2 1 r+ )

Dấu bằng xảy ra <=> OA = OB <=> AB OI⊥ tại M

Dấu “ = ” xảy ra <=> OA = OB <=> AB OI⊥ tại M

Vậy diện tích ∆OAB đạt giá trị nhỏ nhất là (3 2 2 r+ ) 2 khi A Ox;B Oy∈ ∈ ;

AB OI⊥ tại M (I)∈

Bài toán 23:

Cho đoạn thẳng AB cố định, C là điểm chuyển động trên đoạn AB Vẽ về một phía của AB các nửa đường tròn có đường kính AB, AC, CB Xác định vị trí của điểm C để diện tích phần giới hạn bởi ba nửa đường tròn trên đạt giá trị lớn nhất

( )

2

2 1

2

2 2

2

2 3

Xác định vị trí điểm M để ∆AHB có diện tích lớn nhất

Chứng minh rằng khi M di động, đường thẳng HN luôn luôn đi qua một điểm cố định Suy ra vị trí của M để HN dài nhất

đường tròn đường kính PN và AM

=> AHM= 90o mà AHN = APN = 45o

0 0

b) Ta có AHB ADB 90= = 0⇒H và D cùng thuộc đường tròn đường kính

AB cố định Gọi I là giao điểm của đường thẳng HN và đường tròn đường kính AB => I là điểm chính giữa của nửa đường tròn đường kính AB, vậy I

cố định Khi M trùng với D thì HN dài nhất

Bài toán 25:

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Gọi MNPQ là hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác ABC (M, N BC;P AC;Q AB∈ ∈ ∈ ) Chứng minh rằng diện tích hình chữ nhật MNPQ có giá trị lớn nhất khi PQ đi qua trung điểm của đường cao AH

MNPQ ABC

Ta dễ dàng chứng minh được các tứ giác

BCNE và ABFM nội tiếp

ABM AFM= (cùng chắn cung AM)

Ta có: tứ giác BEHF nội tiếp

=> EFH EBH= (cùng chắn cung EH)

D CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1: Cho hình vuông ABCD có AB = a cố định M là một điểm di động trên đường chéo AC Kẻ ME⊥AB; MF⊥BC Xác định vị trí của M trên

AC sao cho diện tích tam giác DEF nhỏ nhất

Bài 2: Cho hình thang vuông ABCD (đáy AD//BC), A= 90o M la một điểm di động trên cạnh AB Xác định vị trí của M để tam giác MCD có chu

vi đạt giá trị bé nhất

Bài 3 : Cho (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn với OA R 2=

Một đường thẳng d quay quanh A cắt (O) tại M và N Tìm vị trí của đường thẳng d tương ứng lúc tổng (AM + AN) lớn nhất

Bài 4: Cho 2 điểm A, B cố định và điểm M di động sao cho tam giác MAB

có 3 góc nhọn Gọi H là trực tâm tam giác MAB và K là chân đường cao

vẽ từ M của tam giác MAB Tìm giá trị lớn nhất của tích KH.KM

Bài 5: Cho (O;R) và (O’;R’) cắt nhau tại A và B Một cát tuyến di động qua A cắt (O;R) tại C và cắt (O’;R’) tại D sao cho A nằm giữa C và D Xác định vị trí của cát tuyến CD để:

Chu vi ∆BCD nhận giá trị lớn nhất

SBCD lớn nhất

Bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆BCD lớn nhất

Bài 6: Cho góc xAy, đường tròn (O;R) tiếp xúc với hai cạnh của góc tại B

và C Tiếp tuyến tại một điểm M bất kỳ trên cung nhỏ BC cắt AB tại D và cắt AC tại E Xác định vị trí của M sao cho:

Độ dài đoạn DE ngắn nhất

SADE lớn nhất

Đường cao AA’ của ∆ADE dài nhất

Bán kính đường tròn nội tiếp ∆ADE dài nhất

Bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ADE ngắn nhất

IV KẾT QUẢ THỰC HIỆN CÓ SO SÁNH ĐỐI CHỨNG :

Đã tiến hành kiểm tra 2 đối tượng học sinh trước khi thực hiện đề tài này là học sinh khá và giỏi

Trước khi thực hiện đề tài : Giỏi: 10%

bổ sung cho bản đề tài được tốt hơn

Xin chân thành cảm ơn!

Thanh Oai, ngày 20 tháng 05 năm 2006

Người thực hiện

Nguyễn Thị Hương