Đang tải... (xem toàn văn)
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I là giao điểm của đường thẳng d1 và d2 Trung điểm của một cạnh là giao điểm của d1 với trục Ox. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật
Bài (Câu 21/4-50) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 12, tâm I giao điểm đường thẳng d1 : x y d2 : x y Trung điểm cạnh giao điểm d1 với trục Ox Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật Giải x x y Ta có: d1 d2 I Tọa độ I nghiệm hệ: x y y 9 3 Vậy I ; 2 2 Do vai trò A, B, C, D nên giả sử M trung điểm cạnh AD M d1 Ox Suy M 3;0 2 9 3 Ta có: AB IM 2 2 Theo giả thiết: SABCD AB AD 12 AD SABCD 12 2 AB Vì I M thuộc đường thẳng d1 d1 AD Đường thẳng AD qua M 3;0 vuông góc với d1 nhận n 1;1 làm VTPT nên có PT: 1 x 3 1 y x y Lại có MA MD x y Tọa độ A, D nghiệm hệ PT: 2 x 3 y y x y x y x 2 2 x 3 y x 3 x 3 x 1 x x Vậy A 2;1, D 4; 1 y y 1 9 3 Do I ; trung điểm AC suy ra: 2 2 xC x I x A yC yI yA Tương tự I trung điểm BD nên ta có B 5;4 Vậy tọa độ đỉnh hình chữ nhật là: 2;1 , 5;4 , 7;2 , 4; 1 Bài (Câu 25/5-53) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh D 4;5 , điểm M trung điểm cạnh AD, đường thẳng CM có phương trình: x 8y 10 , đỉnh B thuộc đường thẳng d : x y Tìm tọa độ đỉnh lại A, B C hình chữ nhật, biết đỉnh C có tung độ nhỏ Giải Ta có: B d B d; 2b 1 Mà: d B, CM BH x 2b 1 10 52 52 17b 18 52 2 65 65 8 b B 2; 5 70 70 123 b B ; 17 17 17 70 123 Điểm B ; : loại, điểm B điểm D cho nằm phía đối 17 17 với đường thẳng CM Chọn B 2; 5 , suy I 3;0 Ngoài ra: C CM C 8c 10;c với c < BC 8c 12;c 5 Mà BC DC BC DC với DC 8c 14;c 5 c 8c 12 8c 14 c 5 c 5 65c 208c 143 143 c 65 Vì c < 2, chọn c = 1, suy C 2;1 I trung điểm AC nên A 8;1 , B 2; 5 , C 2;1 Vậy A 8;1 Bài (Câu 36/7-61) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có B, C thuộc trục tung, phương trình đường chéo AC: 3x y 16 Xác định tọa độ đỉnh A, B, C, D biết bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC Giải C giao điểm AC Oy C 0;4 Gọi B 0; b , phương trình AB: y b (Do AB vuông góc BC Oy ) 16 4b Có A giao điểm AB AC A ,b Gọi r bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC Ta có: b S ABC S pr r b4 AB BC CA b b b 3 b Có r 1 b b Với b 1 A 4;1, B 0;1, C 0;4 , D 4;4 Với b A 4;7 , B 0;7 , C 0;4 , D 4; 4 Bài (Câu 39/8-63,64) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AB BC Gọi H hình chiếu A lên đường thẳng BD; E, F trung điểm đoạn CD BH Biết A 1;1 , phương trình đường thẳng EF 3x y 10 điểm E có tung độ âm Tìm tọa độ đỉnh B, C, D Giải Gọi E, F, G trung điểm đoạn thẳng CD, Bh, AB Ta chứng minh G A AF EF B F Ta thấy tứ giác ADEG ADFG nội tiếp nên tứ giác ADEF nội tiếp, H D AF EF E C Đường thẳng AF có phương trình: x 3y Tọa độ điểm F nghiệm hệ: 17 x x y 10 F 17 ; AF 32 5 x 3y y AFE DCB EF AF ; 2 17 51 E t;3t 10 EF t 3t 5 5 5t 34t 57 t t 19 19 Do E 3; 1 E ; 5 Theo giả thiết ta E 3; 1 , Pt AE: x y Gọi D x; y , tam giác ADE vuông cân D nên 2 2 AD AE x 1 y 1 x 3 y 1 AD DE x 1 x 3 y 1 y 1 x x y x Do D 1; 1 D 3;1 x 1 x 3 y 1 y Vì D F nằm phía so với đường thẳng AE nên D 1; 1 Khi đó, C 5; 1 ; B 1;5 Vậy B 1;5 ; C 5; 1 ; D 1; 1 Bài (Câu 41/8-65) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đường phân giác góc ABC qua trung điểm M cạnh AD, đường thẳng BM có phương trình: x y 0, điểm D nằm đường thẳng có phương trình x y Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD biết đỉnh B có hoành độ âm đường thẳng AB qua E 1;2 Giải Kẻ đường thẳng qua E vuông góc BM H cắt AC E’ A H trung điểm EE’ E D H Phương trình EH: x y 3 H EH BM H ; 2 M B C E' Vì H trung điểm EE’ E ' 0;1 Giả sử B b; b BM (b 0) BE 1 b; b , BE ' b; 1 b b (loai ) Mà BE BE ' BE BE ' 2b 1 b b 1 (tm) B 1;1 Phương trình cạnh AB: x 1 Giả sử A 1; a AB (a 1) D d;9 d d 1 a d Do M trung điểm AB M ; Mặt khác: M BM d 1 a d a 2d (1) 2 Ta có: AD d 1;9 d a , AB 0;1 a Mà AB AD AB AD a d a A 1;4 Từ (3) (4) ta có: d 5 D 5;4 Do AB DC C 5;1 Vậy tọa độ hình chữ nhật là: A 1;4 , B 1;1 , C 5;1 , D 5;4 (2) Bài (Câu 50/10-73) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AB AD 2, tâm I 1; 2 Gọi M trung điểm cạnh CD, H 2; 1 giao điểm hai đường thẳng AC BM Tìm tọa độ điểm A, B Giải Theo giả thiết ta có H trọng tâm tam giác A B BCD nên IC 3IH MÀ IH 1;1 , giả sử I x 3.1 x C x; y C 4;1 y 3.1 y H D M Do I trung điểm AC nên A 2;5 Lại có AB AD nên C CM BC MBC BAC BC AB Mà BAC BCA 90 MBC BCA 90 AC BM Đường thẳng BM qua H 2; 1 , có vtpt IH 1;1 Phương trình BM: x y B t;1 t Có AB t 2;6 t ; CB t 4; t Vì AB BC AB.CB t t t t t B 2; 1 B 2; 1 Bài (Câu 51/74, THPT Cù Huy Cận- lần- 1-2015) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm A thuộc đường thẳng d1 : x y , điểm C(7,5), M điểm thuộc đoạn BC cho MB = 3MC, đường thẳng qua D M có phương trình d2 : 3x y 18 Xác định tọa độ đỉnh A,B biết điểm B có tung độ dương Giải D A C Gọi A(t; t 4) d1 , I AC DM M Ta có IAD ICM ( g.g ) IA AD 4 IC CM B IA 4IC IA 4IC Gọi I(x;y) Ta có: IA (t x; t y); IC (7 x;5 y) t 28 x t x 28 x IA 4 IC t y 20 y y t 16 t 28 t 16 t 28 t 16 I ; 18 t I thuộc DM nên 5 Vậy tọa độ A(5;1) Bài (Câu 57/81, HSG- Lý Thái Tổ - Bắc Ninh – 2016) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có E,F thuộc đoạn AB,AD cho EB=2EA; FA=3FD; F(2,1) tam giác CEF vuông F Biết đường thẳng x y qua điểm C,E Tìm tọa độ điểm C biết C có hoành độ dương Giải B C AEF DFC có: F C1 (vì phụ với góc F2 ), H A D 90o AEF E AE AF EF DF DC FC Mà x-3y-9=0 A DFC F D AE AB AD AD AB ; DF ; AF 4 AD Gọi H hình chiếu F EC Khi CF 2FH 2d ( F , CE) Gọi C(3t+9;t) với t>-3 (vì xc >0) Ta có: CF CF 20 t 1 (3t 7)2 (t 1)2 20 t 4t t 3( L) Với t 1 C(6; 1) Bài (Câu 59/83, THPT DakMil – DakNong – 2016) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có AB=2BC H hình chiếu A lên BD E,F trung điểm đoạn CD BH Biết A(1,1) phương trình đường thẳng EF: 3x y 10 điểm E có tung độ âm Tìm tọa độ B,C,D Giải G A Gọi E,F,G trung điểm đoạn thẳng CD,BH,AB Ta chứng minh AF EF Ta thấy B tứ giác ADEG ADFG nội tiếp nên tứ giác ADEF nội tiếp.Do AF EF F H D Đường thẳng AF có phương trình: x y C E Tọa độ điểm F nghiệm hệ: 17 x x y 10 32 17 F ; AF 5 x 3y y AFE DCB EF AF 2 E (t;3t 10) EF 51 17 t 3t 5 5 E (3; 1) t 5t 34t 57 hay 19 E ; t 19 5 Theo giả thiết ta E(3;-1), phương trình AE : x y Gọi D(x;y), tam giác ADE vuông cân D nên: ( x 1)2 ( y 1) ( x 3) ( y 1) AD DE AD DE ( x 1)( x 3) ( y 1)( y 1) y x x x D(1; 1) hay ( x 1)( x 3) y 1 y D(3;1) Vì D F nằm hai phía so với đường thẳng AE nên D(1;-1) Khi C(5;-1), B(1;5) cần tìm Bài 10 (Câu 60/84, THPT Ngô Sĩ Liên - Bắc Giang - Lần2 - 2016) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng x y A(4;8) Gọi E điểm đối xứng với B qua C, F (5; 4) hình chiếu vuông góc B đường thẳng ED Tìm tọa độ điểm C diện tích hình chữ nhật ABCD Giải E F Ta có C d : x y nên C (t; 2t 5) Ta chứng minh điểm A,B,C,D,F nằm D C A B đường tròn đường kính BD Do tứ giác ABCD hình chữ nhật AC đường kính đường tròn trên, nên suy AFC 90o AC AF CF Kết hợp với gt ta có phương trình: (t 4)2 (2t 13)2 81 144 (t 5)2 (2t 1) t Từ ta C (1; 7) Từ giả thiết ta có AC / / EF , BF AC, C trung điểm BE nên BF cắt vuông góc với AC trung điểm Suy F đối xứng với B qua AC, suy ABC AFC S ABC S AFC S ABCD 2S AFC 75(dvdt) Bài 11 (Câu 61/84, THPT Hàn Thuyên - Bắc Ninh - Lần – 2016) Trong mặt phẳng 31 17 ; điểm 5 5 với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AD=3AB Điểm H đối xứng B qua đường chéo AC Tìm tọa độ hình chữ nhật biết CD có phương trình x y 10 C có tung độ âm Giải H tan ACB A D cos ACD cos ACH Vì sin ACH N 5 cos ACD ;sin ACD 5 sin HCD sin ( ACD ACH ) B Ta có: d ( H , CD) C 18 18 HC 6 5 31 65 Gọi C (c; c 10) CH c; c 5 c 2 31 67 Ta có: c c 72 73 C (5; 5) c 5 Phương trình BC : ( x 5) ( y 5) x y Gọi B(b;-b) ta có BC CH BC 72 (b 5)2 (b 5)2 72 b 11( L) B(1;1) b 1 Tìm A(2;4), D(8;-2) Bài 12 (Câu 63/85, THPT Đội Cấn – Vĩnh Phúc - lần – 2016) Cho hình chữ nhật ABCD có A(1;5), AB=2BC điểm C thuộc đường thẳng d : x y Gọi M điểm nằm tia đối tia CB, N hình chiếu vuông góc B MD Tìm tọa 1 độ điểm B C biết N ; điểm B có tung độ nguyên 2 Giải A B Gọi I AC BD Do BN DM IN IB ID IN IA IC I D C ANC vuông N 1 đường thẳng CN qua N ; nhận 2 N 7 9 NA ; pháp tuyến nên có phương trình 2 2 M x y 13 Do C CN d C (2; 3) Gọi B(a; b) Do AB 2BC AB BC nên ta có hệ phương trình (a 1)(a 2) (b 5)(b 3) 2 2 (a 1) (b 5) (a 2) (b 3) a 5; b 1 Giải hệ suy a ; b (KTM) 5 Vậy B(5;-1), C(2;-3) Bài 13 (Câu 103/96, THPT – Xuân Trường – Nam Định – Lần - 2016) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Gọi M điểm đối xứng B qua C N hình chiếu vuông góc B MD.Tam giác BDM nội tiếp đường tròn (T) có phương trình: ( x 4)2 ( y 1)2 25 Xác định tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD biết phương trình đường thẳng CN là: 3x y 17 ; đường thẳng BC qua điểm E 7;0 điểm M có tung độ âm Giải A D B I C +(T) có tâm I (4;1); R + Do I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BDM N, C chân đường cao nên chứng minh được: IM CN E N M + Lập ptdt IM qua I IM CN : 4( x 4) 3( y 1) x y 19 M (7; 3) + M giao điểm (T) với IM: M (1;5)(loai) + Đường thẳng BC qua M, E có pt: x + C giao điểm BC NC C (7;1) + B đối xứng M qua C B(7;5) + Đường thẳng DC qua C vuông góc BC: y D(9;1) D giao điểm (T) DC: D(1;1) Vì B, D nằm phía với CN nên D(1;1) + Do BA CD A(1;5); B(7;5); C (7;1); D(1;1) Bài 18 (Câu 113/98) (Nguyễn Minh Tiến) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm E thuộc tia đối tia DC Đường tròn đường kính AE cắt đường chéo BD điểm thứ hai H 1;0 Gọi M trung điểm EC, trung điểm K BH thuộc đường thẳng (d ) : x y đường tròn đường kính AM có phương trình 5 65 x ( y 1) Xác định toạ độ đỉnh hình chữ nhật ABCD, biết điểm K 2 có hoành độ dương J E F A D j L M H K B C Hướng dẫn: Dựng hình chữ nhật ADEJ ADML 2 Dễ thấy L trung điểm BJ, suy LK // JH Mặt khác: JDH = 90 độ, nên LK vuông góc KD Vậy K thuộc (J), suy tọa độ K giao điểm (J) (d) Tìm B, D giao (J) BD Tìm L, suy AB, suy A Bài 19 (Câu 118/101, THPT – Lý Thái Tổ - Bắc Ninh – Lần - 2016) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có hình chiếu vuông góc A 7 lên đường thẳng BD H ; , điểm M (1;0) trung điểm cạnh BC phương 5 trình đường trung tuyến kẻ từ A tam giác ADH có phương trình x y Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD Giải Gọi N, K trung điểm HD AH NK // AD NK AD Do AD AB NK AB Mà AK BD K trực tâm tâm giác ABN Suy BK AN (1) Vì M trung điểm BC BM BC Do NK // BM NK = BM A BMNK hình bình hành D K N MN // BK (2) Từ (1) (2) suy MN AN H B Phương trình MN có dạng: x y c M (1;0) MN 1 7.0 c c phương trình AM là: x y 1 Mà N MN AN N ; Vì N trung điểm HD D(2; 1) 5 8 6 Ta có: HN ; 5 5 Do AH HN AH qua H nhận n (4; 3) VTPT M C phương trình AH là: x y Mà A AH AN A(0;3) 2(1 xB ) x 2 B B(2; 2) 4 2(0 yB ) yB Ta có: AD BM Vì M trung điểm BC C (0; 2) Vậy tọa độ đỉnh hình chữ nhật là: A(0;3), B(2;2), C(0; 2), D(2; 1) Bài 20 (Câu 123/103, Nguyễn Thành Hiển) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm M N thứ tự thuộc cạnh AB, BC cho AM BC ; CN BM Điểm H 7;1 thuộc đường thẳng AN, CM có phương trình x y 18 điểm A thuộc đường thẳng x y Tìm tọa độ điểm A Hướng dẫn: Chứng minh hai đường thẳng AN CM tạo với góc 450 Bài 21 (Câu 125/103, Nguyễn Thành Hiển) Trong mặt phẳng Oxy cho hình chữ nhật ABCD Trên cạnh AB AD lấy E F cho EB FA Tìm tọa độ EA FD đỉnh hình chữ nhật ABCD biết đường thẳng BD có phương trình x y , 2 5 25 11 đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF (C ) : x y , K (11; 2) thuộc 2 2 AD điểm A có hoành độ nhỏ Hướng dẫn: Kẻ AH vuông góc BD, chứng minh EHF 900 Bài 22 (Câu 159/113 ,THPT- Chuyên ĐH Vinh - 2015) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AB 2BC, B(7;3) Gọi M trung điểm đoạn AB, E điểm đối xứng D qua A Biết N (2; 2) trung điểm DM, điểm E thuộc đường thẳng x y Tìm toạ độ điểm D Giải E F B(7;3) A I H N(2;-2) C D Trước hết, ta chứng minh NE NB Đặt AB 2BC 2a, ta có NE NB ND DE NM MB ND.NM ND.MB DE NM DE.MB a a a a.cos1350 2a cos 450 2 a a2 a2 2 Suy NE NB Do NE : x y E(3;3) Gọi I BN AD Kẻ MH / / AD( H BI ) Ta có NI NH , HI HB Suy 5 3( x1 2) 11 BN 3NI I ; 3 5 3( y1 2) Lại có: DI MH AI Suy ra: EI 5ID D(1; 5) Lưu ý: Học sinh đặt AB x, AD y Biểu thị vecto NE, NB qua x, y Từ dễ dàng suy NE.NB Bài 23 (Câu 180/120, Phạm Tuấn Khải – 12-2015) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AB AC , đường tròn tâm D bán kính CD cắt đường 22 7 ; F (0; 1) Biết điểm D nằm 13 13 thẳng AC, AD rại điểm E đường thẳng d : x y Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD Giải D A F I E C B *Ta có D d D(d ; d 7) Vì E , F thuộc đường tròn (T ) nên DE DF 2 22 84 DE DF d d d (d 6)2 d D(2; 5) 13 13 2 CD : x y 12 * Suy FD (2; 4) 2(1; 2) AD : x y (T ) : ( x 2) ( y 5) 20 * Toạ độ điểm C nghiệm hệ x y 12 x 6; y 3 C (6; 3) 2 x 2; y 7 C (2; 7) ( x 2) ( y 5) 20 Do C E phía so với đường AD nên ta nhận C (6; 3) 56 32 ACquaC * Ta có EC ; AC : x y (7; 4) 13 13 13 4 x y A(1;1) 2 x y Tọa độ A nghiệm hệ phương trình Ta có AB DC B(3;3) Vậy tọa độ điểm thỏa mãn yêu cầu toán A(1;1); B(3;3); C(6; 3); D(2; 5) Bài 24 (Câu 183/122, Phạm Tuấn Khải – 14-2015) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn (C) Gọi M trung điểm cạnh AB, 10 đường thẳng CM cắt đường tròn (C) E (0;2) Biết G ; trọng tâm tam 3 giác ABC, điểm F (2; 4) nằm đường tròn (C) đểm B có hoành độ dương Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD Giải E(0;2) B A M G D C F(-2;4) IE IF IE 3IG * Gọi I (a; b) tâm hình chữ nhật ABCD Ta có : 41 41 a (b 2) (a 2) (b 4) x ; y I ; 8 2 1 10 1 x ; y 1 a (b 2) x y 3 3 I ; 2 2 1 41 * Với I ; ; IB 3IG B ; (loai) Với 8 4 1 I ; ; IB 3IG B 5; D(0; 3) 2 10 5 ; nEG (1; 2) EF : x y 3 * Ta có: EG 2 5 1 25 IB (C ) : x y Tọa độ điểm C nghiệm hệ: 2 2 2 2 5 25 x 0; y 2(l ) x y C (6; 1) A(1;0) 2 2 x 6; y 1(tm) x y Vậy tọa độ điểm thoả mãn toán A(1;0); B(5;0); C(6; 1); D(0; 3) Bài 25 (Câu 184/123, Phạm Tuấn Khải – 15-2015) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm E nằm cạnh BC, phương trình đường tròn ngoại 1 25 tiêp ABE x ( y 1)2 phương trình đường thẳng DE : 3x y 18 2 Biết điểm M (0; 3) nằm đường thẳng AB, tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD Giải E C B I M A D 1 *Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE có tâm I ;1 , bán kính R 2 1 25 x ( y 1) Tọa độ điểm E nghiệm hệ phương trình E (2;3) 3x y 18 Do tam giác ABE vuông B nên trung điểm AE suy A(1; 1) Suy AM (1; 2) AB : x y BC : x y AD : x y 1 2 x y x 2 B(2;1) x y y *Toạ độ B nghiệm hệ x 3x y 18 3 *Toạ độ D nghiệm hệ D 4; 2 x y 1 y xC xD xA xB 7 *Ta có BC AD C 3; yC yD y A yB 2 7 3 Vậy tọa độ điểm thỏa mãn yêu cầu toán là: A(1; 1); B(2;1); C 3; ; D 4; 2 Bài 26 (Câu 191/127, THPT – Tứ Kỳ - Hải Dương - 2015) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có: AB 2, BC 2 , điểm E thuộc đoạn DC cho EC , điểm 14 17 I ; thuộc đường thẳng BE Biết đường thẳng AC có 3 phương trình: x y điểm A, B có hoành độ nguyên dương Tìm tọa độ đỉnh A, B, C, D hình chữ nhật Giải A B I H D E C Trước tiên bạn cần lưu ý “khâu dựng hình” theo tỉ lệ đề ta có: EC= AB AB ; AC Vì không “ khéo léo” để ý tỉ lệ mà dựng “qua loa” hình vẽ bạn đọc không phát kiện ngầm ẩn quan trọng là: EB AC Do để tránh sai sót ta lấy đô dài AB tương đương cm; hay ô li tập cạnh EC, AC thành EC 4; AC Vì việc dựng hình dễ dàng nhiều ! Trước hết ta chứng minh EB AC tan EBC Xét tan BAC EC BC EBC BAC Lại có BAC BCA 900 BC AC Suy EBC BCA 900 BHC 900 ( H AC BE ) AC BE *Do EB AC : x y nên BE có phương trình: 5x y m 14 17 ; nên ta có m 29 suy BE : 5x y 29 3 BE qua I *Ta có H BE AC nên tọa độ H thỏa mãn hệ: 71 x x 29 71 22 13 H ; 13 13 x y y 22 13 Ta có: ABC vuông B đường cao BH nên: 1 1 13 72 HB 2 BH BA BC 18 72 13 Do B BE nên ta có B(b;29 5b) nên HB Suy b 5(tm) hay b 72 71 355 72 b 5b 13 13 13 13 77 (ktm) nên B(5; 4) 13 Lại có A AC : x y nên A(5a 3; a) ta có AB 31 a (ktm) Nên: BA 18 5a 8 (a 4) 18 nên A(2;1) 13 * a 1 Z 2 *Theo định lý Thales thuận ta có: AB AH BH 13 AC AH C (7; 2) EC HC HE Lại có AB DC D(4; 1) Vậy tọa độ điểm thỏa mãn yêu cầu đề A(2; 1), B(5;4), C(7;2), D(4; 1) Bài 27 (Câu 193/129, THPT – Lê Quý Đôn – Bình Định - 2015) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có hình chiếu vuông góc B đường thẳng 3 Viết phương 2 AC E (5;0) , trung điểm AE CD F (0; 2), I ; trình đường thẳng CD Giải y A B A F x O E C I D *Tọa độ đỉnh A(5; 4) Phương trình đường thẳng AC : x y 10 *Ta chứng minh BF IF : 1 BF ( BA BE ), FI ( FD FC ) ( AD EC ) 2 Suy ra: 4BF.FI ( BA BE)( AD EC ) BA AD BA.EC BE AD BE.EC Suy ra: 4BF FI ( BA BE)( AD EC ) BA.EC BE AD EA.EC BE.BC BE BE Do BF IF * BF IF qua F nên có phương trình: x y BE qua E vuông góc EF nên có phương trình: 5x y 25 7 x y x B BF BE nên tọa độ B thỏa mãn: B(7;5) 5 x y 25 y *Phương trình đường thẳng CD qua là: x 24 y 39 Vậy phương trình đường thẳng thoả mãn yêu cầu toán là: CD : x 24 y 39 Bài 28 (Câu 194/130, THPT – Lý Tự Trọng – Bình Định - 2015) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn (C) tâm I (5; 2) Các tiếp tuyến (C) B, D cắt tiếp tuyến (C) C M, N Trực tam giác AMN điểm H (5; 1) Diện tích tam giác AMN 78 Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD biết C có tung độ âm hoành độ M N dương (trong hoành độ M lớn hoành độ N) Giải H *Đường tròn (C ) có tâm I AC BD AC MN Do AC đường cao tam giác AMN, nên H thuộc AC AC qua I H nên AC có phương trình x C thuộc AC nên C có tọa độ C (5; c) (c 0) Vì I trung điểm AC nên suy A(5; c) Đường thẳng MN qua C vuông góc AC nên có phương trình y c *Vì M,N thuộc đường thẳng MN nên suy tọa độ M (m; c), N (n; c) (m n 0) AM (m 5; 2c 4) HN (n 5; c 1) Ta có: Do H trực tâm tam giác AMN nên ta có AM HN (1) IM (m 5; c 2) IN (n 5; c 2) Theo tính chất tiếp tuyến ta có IM IN phân giác góc BIC ,CID Mặt khác, B,I,D thẳng hang nên suy ra: MIN 900 IM IN IM IN (2) (m 5)(n 5) (2c 5)(c 1) *Từ (1) (2) ta có hệ (m 5)(n 5) (c 2) (I ) c C có tung độ âm nên ta c 4 Suy (2c 4)(c 1) (c 2) c 2c nhận c 4 Suy C (5; 4), A(5;8) AC 12 Hơn từ hệ (I) với c 4 ta có: (m 5)(n 5) 36 (2) *Mặt khác, S AMN AC.MN 78 MN 13 m n 13 m n 13 (3) (do m n ) Từ (2),(3) giải m 14, n (nhận) m 9, n 4 ( loại n ) Suy M (14; 4), N (1;4) *Ta có IB IC đường tròn (C ) : ( x 5)2 ( y 2)2 36 (*) Mặt khác IM 117 CM BM IM IB2 117 36 Suy B,C thuộc đường tròn (C ') : ( x 14)2 ( y 4)2 81 (**) 137 x 13 x 137 56 hay B ; *Giải hệ (*) (**) ta 13 13 y 4 y 56 13 7 4 Suy I trung điểm BD nên suy D ; 13 13 137 56 7 4 ; , C (5; 4), D ; 13 13 13 13 Vậy tọa độ điểm thỏa mãn yêu cầu toán A(5;8), B [...]... độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn (C) Gọi M là trung điểm của cạnh AB, 10 1 đường thẳng CM cắt đường tròn (C) tại E (0;2) Biết G ; là trọng tâm của tam 3 3 giác ABC, điểm F (2; 4) nằm trên đường tròn (C) và đểm B có hoành độ dương Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD Giải E(0;2) B A M G D C F(-2;4) IE IF IE 3IG * Gọi I (a; b) là tâm hình chữ nhật ABCD Ta... phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có: AB 3 2, BC 2 2 , điểm E thuộc đoạn DC sao cho EC 4 2 , điểm 3 14 17 I ; thuộc đường thẳng BE Biết đường thẳng AC có 3 3 phương trình: x 5 y 3 0 và các điểm A, B có hoành độ nguyên dương Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D của hình chữ nhật Giải A B I H D E C Trước tiên bạn cần lưu ý “khâu dựng hình theo như tỉ lệ của đề bài ta có: EC= 4... 103/96, THPT – Xuân Trường – Nam Định – Lần 1 - 2016) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Gọi M là điểm đối xứng của B qua C và N là hình chiếu vuông góc của B trên MD.Tam giác BDM nội tiếp đường tròn (T) có phương trình: ( x 4)2 ( y 1)2 25 Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết phương trình đường thẳng CN là: 3x 4 y 17 0 ; đường thẳng BC đi qua điểm... dẫn: 1 Dựng các hình chữ nhật ADEJ và ADML 2 Dễ thấy L là trung điểm BJ, suy ra LK // JH 3 Mặt khác: JDH = 90 độ, nên LK vuông góc KD 4 Vậy K thuộc (J), suy ra tọa độ K là giao điểm (J) và (d) 5 Tìm được B, D là giao của (J) và BD 6 Tìm được L, suy ra AB, suy ra A Bài 19 (Câu 118/101, THPT – Lý Thái Tổ - Bắc Ninh – Lần 2 - 2016) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có hình chiếu vuông... Trọng – Bình Định - 2015) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn (C) tâm I (5; 2) Các tiếp tuyến của (C) tại B, D cắt tiếp tuyến của (C) tại C lần lượt tại M, N Trực tam giác AMN là điểm H (5; 1) Diện tích tam giác AMN bằng 78 Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết C có tung độ âm và hoành độ của M và N đều dương (trong đó hoành độ của M lớn hơn hoành độ của... 0 Bài 23 (Câu 180/120, Phạm Tuấn Khải – 12-2015) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AB AC , đường tròn tâm D bán kính CD cắt các đường 22 7 ; và F (0; 1) Biết điểm D nằm trên 13 13 thẳng AC, AD lần lượt rại các điểm E đường thẳng d : x y 7 0 Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD Giải D A F I E C B *Ta có D d D(d ; d 7) Vì E , F thuộc đường tròn... Minh Tiến) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm E thuộc tia đối của tia DC Đường tròn đường kính AE cắt đường chéo BD tại điểm thứ hai H 1;0 Gọi M là trung điểm EC, trung điểm K của BH thuộc đường thẳng (d ) : x y 4 0 và đường tròn đường kính AM có phương trình 2 5 65 2 x ( y 1) Xác định toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD, biết điểm K 2 4 có hoành... (Câu 184/123, Phạm Tuấn Khải – 15-2015) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm E nằm trên cạnh BC, phương trình đường tròn ngoại 1 2 25 tiêp ABE là x ( y 1)2 và phương trình đường thẳng DE : 3x 4 y 18 0 2 4 Biết điểm M (0; 3) nằm trên đường thẳng AB, tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD Giải E C B I M A D 1 5 *Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE... x 2 B B(2; 2) 4 2(0 yB ) yB 2 Ta có: AD 2 BM Vì M là trung điểm BC C (0; 2) Vậy tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật là: A(0;3), B(2;2), C(0; 2), D(2; 1) Bài 20 (Câu 123/103, Nguyễn Thành Hiển) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có các điểm M và N thứ tự thuộc cạnh AB, BC sao cho AM BC ; CN BM Điểm H 7;1 thuộc đường thẳng AN, CM có phương... điểm A Hướng dẫn: Chứng minh hai đường thẳng AN và CM tạo với nhau một góc 450 Bài 21 (Câu 125/103, Nguyễn Thành Hiển) Trong mặt phẳng Oxy cho hình chữ nhật ABCD Trên cạnh AB và AD lần lượt lấy E và F sao cho EB FA Tìm tọa độ các EA FD đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết đường thẳng BD có phương trình x 2 y 8 0 , 2 2 5 25 11 đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF là (C ) : x y