CHUYÊN ĐỀ ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT. BỘI CHUNG NHỎ NHẤT CHUYÊN ĐỀ: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT BỘI CHUNG NHỎ NHẤT (6 tiết) I. Kiến thức cơ bản 1. Định nghĩa: a) Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó. b) Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác không trong tập hợp các bội chung của các số đó. 2. Cách tìm a) Muốn tìm UCLN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước: +) Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố +) Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung. +) Bước 3: lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất. Tích đó là UCLN phải tìm. Chú ý: +) UCLN(a,b,1)=1 +) +) Để tìm UC ta tìm ước của UCLN các số đó. b) Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1 ta thực hiện ba bước +) Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố +) Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng. +) Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với sô mũ lớn nhất. Tích đó chính là BCNN cần tìm. Chú ý: +) Nếu các số đã cho đôi một nguyên tố cùng nhau thì BCNN là tích của các số đó. +) +) Để tìm BC ta tìm bội của BCNN các số đó.
Trang 1CHUYÊN ĐỀ: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT BỘI CHUNG NHỎ NHẤT (6 tiết)
I Kiến thức cơ bản
1 Định nghĩa:
a) Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các
ước chung của các số đó
b) Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác không trong
tập hợp các bội chung của các số đó
2 Cách tìm
a) Muốn tìm UCLN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước:
+) Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố
+) Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung
+) Bước 3: lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ
nhất Tích đó là UCLN phải tìm
Chú ý:
+) UCLN(a,b,1)=1
+) a m b m c m ; ; UCLN a b c m( , , , )m
+) Để tìm UC ta tìm ước của UCLN các số đó
b) Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1 ta thực hiện ba bước
+) Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố
+) Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng
+) Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với sô mũ lớn
nhất Tích đó chính là BCNN cần tìm
Chú ý:
+) Nếu các số đã cho đôi một nguyên tố cùng nhau thì BCNN là tích của
các số đó
+) c a c b ; UCLN a b c( , , )c
+) Để tìm BC ta tìm bội của BCNN các số đó
Trang 2Kiến thức bổ sung
1 Nếu ab c và UCLN(a,c)=1 thì b c
2 Nếu a m a n ; a BCNN m n ( ; )
Đặc biệt nếu a m a n UCLN m n ; ; ( ; ) 1 thì a m n
3 Nếu
( ; ) 1
a d m UCLN a b d b d n
UCLN m n
4 Nếu
( ; ) 1
q a m BCNN a b q q b n
UCLN m n
5 UCLN(a;b).BCNN(a,b)=a.b
II. Bảng mô tả và câu hỏi
Nội dung Nhận biết Thông hiểu Vận dụng
thấp
Vận dụng cao
Định nghĩa
UCLN-BCNN
Học sinh nhận biết được UCLN, BCNN của hai hay nhiều số
Cách tìm
UCLN-BCNN
Phát biểu được cách tìm UCLN, BCNN bằng cách phân tích các số ra thừa số
Tính được UCLN, BCNN của hai hay nhiều số bằng cách phân tích
ra thừa số nguyên tố và
Sử dụng kiến
UCLN, BCNN
để giải các bài toán thực tế, các bài toán tính UCLN,
Sử dụng kiến thức về UCLN, BCNN để giải các bài toán tổng quát, các bài toán khó
( các bài tập dạng
Trang 3nguyên tố sử dụng một
số chú ý để tìm (các bài tập dạng 1) Bài 1
BCNN một cách trực tiếp, (các bài tập dạng 2.)
Bài: 2;3;4;5
4, dạng 5) Bài
11,12,13,14,15,16
Cách tìm UC,
BC thông qua
UCLN,
BCNN
Phát biểu được cách tìm UC, BC thông qua UCLN, BCNN
Tính được
UC, BC thông qua UCLN, BCNN( các bài tập dạng 1) Bài 1
Sử dụng kiến thức về UC,
BC để giải các bài toán thực
tế, các bài toán tìm số chia, số
bị chia trong phép toán chia hết thỏa mãn điều kiện cho trước (các bài tập dạng 3) Bài 6
Sử dụng kiến thức về UC, BC
để giải các bài toán thực tế, các bài toán tìm số chia, số bị chia trong phép toán chia có dư thỏa mãn điều kiện cho trước
Bài 7,8,9,10
III Các dạng bài tập và câu hỏi tự luyện
1 Dạng 1: Tìm UCLN và BCNN của hai hay nhiều số
Bài toán 1: Tìm UCLN và BCNN của 100, 150; 125
Giải: 100 2 5 ;150 2.3.5 ;125 5 2 2 2 3
Các thừa số nguyên tố chung là: 5
Trang 4Các thừa số nguyên tố riêng là: 2;3
2
(100;150;125) 5 25
(100;150;125) 2 3.5 1500
UCLN
BCNN
Bài toán 2: Tìm UC, BC của 100,150,125
Giải: Để tìm ƯC; BC của các số trên ta không cần lập tập hợp các ước và bội của
các số mà thông qua ƯCLN; BCNN để tìm
(100;150;125) (25) 1;5;25
(100;150;125) (1500) 0;1500;3000;
Các bài tập tương tự:
Bài 1: Tìm UCLN; BCNN ; UC; BC của
a) 124 và 55
b) 122; 84 và 126
c) 10; 30; 50
d) 124; 84; 320
e) 12; 24; 48
f) 120; 300; 250
2 Dạng 2: Giải các bài toán bằng việc tìm UCLN; BCNN
Bài toán 3:
a)Tìm số tự nhiên n biết n lớn nhất và 125 ;100 ;150x x x
b)Tìm số tự nhiên n biết n nhỏ nhất và 125; 100; 150x x x
Giải: a) 125 ;100 ;150x x x x UC (125;100;150)
Mà x lớn nhất nên x=UCLN(125;100;150)=25
Trang 5b) 125; 100; 150x x x x BC (125;100;150)
Mà x nhỏ nhất nên x=BCNN(125;100;150)=1500
Bài toán 4: Đội văn nghệ của 1 trường có 48 nam và 72 nữ Muốn phục vụ tại
nhiều địa điểm , đội dự định sẽ chia thành các tổ gồm cả nam và nữ Số nam và nữ
được chia đều Có thể chia được nhiều nhất thành bao nhiêu tổ? Khi đó mỗi tổ có
bao nhiêu nam; bao nhiêu nữ
Giải
Gọi số tổ là a (aN*) Vì muốn phục vụ tại nhiều địa điểm , đội dự định sẽ chia
thành các tổ gồm cả nam và nữ Số nam và nữ được chia đều nên a là ước chung
của 48 và 72
Mà cần tìm số tổ là nhiều nhất nên a = ƯCLN( 48; 72) = 24 ( tổ)
Mỗi tổ có: 48 : 24 = 2( nam) và 72: 24 = 3 ( nữ)
Đáp số: 24 tổ; mỗi tổ 2 nam và 3 nữ
Bài toán 5
Hai bạn An và Bách cùng học một trường nhưng ở 2 lớp khác nhau An cứ 10 ngày
lại trực nhật 1 lần; Bách cứ 12 ngày lại trực nhật 1 lần Lần đầu cả 2 người cùng
trực nhật vào 1 ngày Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày thì 2 bạn lại cùng trực nhật?
Lúc đó mỗi bạn đã trực nhật được mấy lần?
Giải:
Gọi số ngày mà ít nhất 2 bạn lại cùng trực nhật là a( aN*) Vì An cứ 10 ngày lại
trực nhật 1 lần; Bách cứ 12 ngày lại trực nhật 1 lần Lần đầu cả 2 người cùng trực
nhật vào 1 ngày nên a là bội chung của 10 và 12
Trang 6Mà cần tìm số ngày ít nhất mà 2 bạn lại cùng trực nhật nên
a = BCNN ( 10; 12) = 60 ( ngày )
Lúc đó An đã trực nhật được 60 : 10 = 6 ( lần)
Bách đã trực nhật được 60 : 12 = 5 ( lần)
Đáp số: 60 ngày; An đã trực nhật được 6 lần; Bách đã trực nhật được 5 lần
Bài tập tương tự
Bài 2: Tìm số tự nhiên a lớn nhất biết rằng 480 ;600x x
Bài 3: Một đội y tế có 24 bác sĩ, 108 y tá Có thể chia đội y tế đó nhiều nhất thành
mấy tổ để các bác sĩ cũng như y tá được chia đều vào mỗi tổ
Bài 4: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khác 0 sao cho a126; 198a
Bài 5: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 6,7,9,đều được số dư theo thứ tự là
2,3,5
Dạng 3: Giải các bài toán bằng việc tìm UC, BC của hai hay nhiều số
thỏa mãn điều kiện cho trước.
Bài toán 6: a) Tìm số tự nhiên n biết 125 ;100 ;150x x x và x<10
Trang 7b)Tìm số tự nhiên n biết 125; 100; 150x x x ; x 3000
Giải: a) 125 ;100 ;150x x x x UC (125;100;150)
UCLN(125;100;150)=25 nên x U (25)1;5;25
Mà x<10 nên x 1;5
b) 125; 100; 150x x x x BC (125;100;150)
BCNN(125;100;150)=1500 nên x B (1500)0;1500;3000;
Mà x<3000 nên x 0;1500
Bài toán 7: Một đơn vị bộ đội khi xếp hàng 20; 25; 30 đều dư 15; nhưng xếp hàng
41 thì vừa đủ Tính số người của đơn vị đó biết rằng số người chưa đến 1000
người
Giải:
Gọi số người của đơn vị là a( người) ( a N; a 1000) Khi xếp hàng 20; 25; 30
đều dư 15 người
Do đó : (a – 15) BC (20; 25; 30)
BCNN ( 20; 25; 30) = 300
=> ( a – 15) B ( 300) = { 0; 300; 600; 900; 1200; }
=> a {15 ; 315; 615; 915; 1215; }
Do khi xếp hàng 41 thì vừa đủ nên a 41; a 1000 nên a = 615
KL: Số người của đơn vị là 615 người
Trang 8Bài toán 8: Tìm số tự nhiên n biết 125 khi chia cho x được số dư là 5; 85 khi chia
cho x được số dư là 1
Giải: Vì 125 chia cho x dư 5 nên 120 x
85 chia cho x dư 1 nên 84 x
Do đó x UC (120;84);x5
UCLN(120;84)=12 nên x U (12) àv x 5 x6;12
Bài toán 9: Tìm số tự nhiên x nhỏ nhất khi chia cho 5 dư 1, chia cho 7 dư 5.
Đây là dạng bài toán tìm x thông qua tìm BC Tương tự như đối với bài toán 7
nhưng ở mức độ khó hơn vì ta chưa xác định được ngay biểu thức chứa x nào là
BCNN(5;7)
Giải: Vì x chia 5 dư 1 nên x 1 5 x 1 10 5 x9 5
Vì x chia 7 dư 5 nên x 5 7 x 5 14 7 x9 7
x BC x
Mà x nhỏ nhất nên x+9=BCNN(5;7)=35
Vây x=26 là kết quả cần tìm
Các bài tập tương tự
Bài 6: Ngọc và Minh mỗi người mua một số bút chì Trong mỗi hộp đều có từ hai
bút trở lên Và số bút ở mỗi hộp đều nhau, Tính ra Ngọc mua 20 bút và Minh mua
15 bút Hỏi mỗi hộp có bao nhiêu bút chì
Bài 7: Tìm số tự nhiên a biết rằng 156 chia cho a dư 12 và 280 chia a dư 10.
Trang 9Bài 8: Tìm số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số biết số đó chia hết cho tất cả các số
3,4,5,6
Bài 9: Số học sinh khối 6 của một trường trong khoảng từ 200 đến 400 Khi xếp
hàng 12; 15; 18 đều thừa 5 học sinh Tính sô học sinh khối 6
Bài 10:Tìm số tự nhiên nhỏ hơn 200, biết số đó chia 2 dư 1, chia 3 dư 1, chia 5
thiếu 1 và chia hết cho 7
3 Dạng 4: Các bài toán tổng quát bằng việc tìm UCLN và BCNN
Bài toán 10: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì các số sau nguyên tố cùng
nhau: 2n+3 và 4n+8
Chứng minh : để chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau ta chứng minh cho
UCLN của chúng bằng 1 Đây là dạng bài tập quen thuộc nhưng còn mới lạ đối với
các em lớp 6 Các bài tập dạng này nhằm phát triển tư duy logic cho các em
Gọi d UCLN n (2 3;4n8)
2(2n 3) d
và 4n 8 d
(4 8) (4 6)
d d
Vì 2n+3 là số lẻ nên d=2 không xảy ra
Vậy d=1 hay với mọi n thì hai số 2n+3 và 4n+8 nguyên tố cùng nhau
Trang 10 Giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh vì sao ta lại nhân 2n+3 với 2 là để
triệt tiêu n
Bài toán 11: Tìm số tự nhiên n để các số sau nguyên tố cùng nhau: 7n+13 và 2n+4
Giải: Gọi d UCLN n (7 13;2n4)
(7n 13) d
và 2n 4 d
(14 28) (14 26)
d d
Nếu
2 7 13 2 7( 1) 6 2 7( 1) 2
Vậy để 7n+13 và 2n+4 nguyên tố cùng nhau thì n 2k 1
Các bài tập tương tự
Bài 11: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n các số sau là hai số nguyên tố
a)7n+10 và 5n+7
b)n+2 và 2n+3
Bài 12: Tìm các số tự nhiên n để các số sau nguyên tố cùng nhau
a)4n+3 và 2n+3
b) 7n+13 và 2n+4
c) 9n+24 và 3n+4
Trang 11d) 18n+3 và 21n+7
4 Dạng 5: Các bài toán về UCLN và BCNN
Bài toán 12:
a)Tìm hai số tự nhiên có tích bằng 720 và có UCLN bẳng 6
b)Tìm hai số tự nhiên có tích bằng 720 và có BCNN bằng 120
c) Tìm hai số tự nhiên a và b biết UCLN(a,b)=6 và BCNN(a,b)=120
Giải:
a)Gọi hai số tự nhiên đó là a và b
ta có UCLN(a;b)=6 nên a=6m; b=6n và UCLN(m,n)=1
nên a.b=6m.6n=36m.n=720 suy ra m.n=20
chọn cặp m, n nguyên tố cùng nhau và có tích bằng 20 ta được
do đó
b)Gọi hai số tự nhiên a và b
Ta có UCLN(a;b).BCNN(a,b)=ab
Do đó 120.UCLN(a,b)=720 suy ra UCLN(a;b)=6
Đến đây giải như câu a
a)Ta có UCLN(a,b).BCNN(a,b)=a.b suy ra a.b=720 Bài toán quay trở về câu a
Bài toán 13: Tìm hai số tự nhiên a và b biết
Trang 12a)UCLN(a,b)=4; trong đó b=8 (b>a) Tìm a.
b)BCNN(a,b)=770; trong đó a=14 Tìm b
giải:
a)Ta có UCLN(a,8)=4 nên a=4.m; 8=4.2 và UCLN(m,2)=1
Vì a<b nên m<2 Mà UCLN(m,2)=1 suy ra m=1 suy ra a=4 là giá trị cần tìm
b)Ta có BCNN(a,14)=770 nên 770=a.m; 770=14.55 và UCLN(m,55)=1
Ta có 770=14.55=a.m
14.55
m
Do đó a 55;110;380;770
Bài tập tương tự
Bài 13: Tìm hai số tự nhiên a, b biết
a)UCLN(a,b)=12, a>b, a=72
b)BCNN(a,b)=120,a=12 Tìm b
c)BCNN(a,b)=300, a=15 Tìm b
d)BCNN(a,b)=210; a=17 Tìm b
Bài 14: Tìm hai số tự nhiên a, b biết
a)UCLN(a,b)=6; a.b=720
b)BCNN(a,b)=900 và a.b=2700
c)BCNN(a,b)=90 và a.b=900
Trang 13d) UCLN(a,b)=6 và a+b=30
Bài 15: Tìm hai số tự nhiên a, b biết
a)UCLN(a,b)=6 và BCNN(a,b)=180
b)UCLN(a,b)=12 và BCNN(a,b)=72
c)BCNN(a,b)=20.UCLN(a,b) và a.b=180
d) UCLN(a,b)=15 và BCNN(a,b)=20.UCLN(a,b)
Bài 16*: Tìm hai số tự nhiên a và b biết
a)UCLN(a,b)+BCNN(a,b)=19
b)BCNN(a,b)-UCLN(a,b)=5
IV Định hướng hình thành và phát triển năng lực cho học sinh
- NL tính toán: Phân tích được một số ra thừa số nguyên tố, từ đó tính
được UCLN, BCNN của hai hay nhiều số thông qua phân tích ra thừa
số nguyên tố
- NL tư duy toán học: phân tích, suy luận logic, lập luận để đưa bài toán
dạng khác về dạng quen thuộc
- NL giải quyết vấn đề:
- NL hợp tác, giao tiếp: rèn luyện thong qua quá trình hoạt động nhóm
và giao tiếp trao đổi giữa thầy và trò
V Phương pháp dạy học
- Nêu và giải quyết vấn đề
- Hoạt động nhóm
- Luyện tập thực hành