CHUYÊN ĐỀ ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT. BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

CHUYÊN ĐỀ ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT. BỘI CHUNG NHỎ NHẤT CHUYÊN ĐỀ: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT BỘI CHUNG NHỎ NHẤT (6 tiết) I. Kiến thức cơ bản 1. Định nghĩa: a) Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó. b) Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác không trong tập hợp các bội chung của các số đó. 2. Cách tìm a) Muốn tìm UCLN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước: +) Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố +) Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung. +) Bước 3: lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất. Tích đó là UCLN phải tìm. Chú ý: +) UCLN(a,b,1)=1 +) +) Để tìm UC ta tìm ước của UCLN các số đó. b) Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1 ta thực hiện ba bước +) Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố +) Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng. +) Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với sô mũ lớn nhất. Tích đó chính là BCNN cần tìm. Chú ý: +) Nếu các số đã cho đôi một nguyên tố cùng nhau thì BCNN là tích của các số đó. +) +) Để tìm BC ta tìm bội của BCNN các số đó.

CHUYÊN ĐỀ: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT BỘI CHUNG NHỎ NHẤT (6 tiết)

+) Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

+) Bước 3: lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất Tích đó là UCLN phải tìm.

Chú ý:

+) UCLN(a,b,1)=1

+) a m b m c m ;  ;   UCLN a b c m( , , , )m

+) Để tìm UC ta tìm ước của UCLN các số đó.

b) Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1 ta thực hiện ba bước+) Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố

+) Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.

+) Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với sô mũ lớn nhất Tích đó chính là BCNN cần tìm.

UCLN m n

UCLN m n

5 UCLN(a;b).BCNN(a,b)=a.b

II. Bảng mô tả và câu hỏi

Nội dungNhận biếtThông hiểuVận dụngthấp

Vận dụng caoĐịnh nghĩa

Học sinh nhận biết được UCLN, BCNN của hai hay nhiềusố

Cách tìmUCLN-BCNN

Phát biểu được cách tìm UCLN, BCNN bằng cách phân tích các số ra thừa số

Tính được UCLN, BCNNcủa hai hay nhiều số bằng cách phân tích ra thừa số nguyên tố và

Sử dụng kiến

UCLN, BCNNđể giải các bàitoán thực tế,các bài toántính UCLN,

Sử dụng kiếnthức về UCLN,BCNN để giảicác bài toán tổngquát, các bài toánkhó.

( các bài tập dạng

nguyên tố sử dụng một số chú ý để tìm(các bài tập dạng 1)Bài 1

BCNN mộtcách trực tiếp,(các bài tậpdạng 2.)

Bài: 2;3;4;5.

4, dạng 5)Bài

Cách tìm UC,BC thông qua

Phát biểu được cách tìm UC, BC thông qua UCLN, BCNN

Tính được UC, BC thông qua UCLN, BCNN( các bài tập dạng 1)Bài 1

Sử dụng kiếnthức về UC,BC để giải cácbài toán thựctế, các bài toántìm số chia, sốbị chia trongphép toán chiahết thỏa mãnđiều kiện chotrước (các bàitập dạng 3)Bài 6

Sử dụng kiếnthức về UC, BCđể giải các bàitoán thực tế, cácbài toán tìm sốchia, số bị chiatrong phép toánchia có dư thỏamãn điều kiệncho trước

Bài 7,8,9,10

III.Các dạng bài tập và câu hỏi tự luyện

1 Dạng 1: Tìm UCLN và BCNN của hai hay nhiều sốBài toán 1: Tìm UCLN và BCNN của 100, 150; 125

Giải: 100 2 5 ;150 2.3.5 ;125 5 22  2  3

Các thừa số nguyên tố chung là: 5

Các thừa số nguyên tố riêng là: 2;3

Bài toán 2: Tìm UC, BC của 100,150,125

Giải: Để tìm ƯC; BC của các số trên ta không cần lập tập hợp các ước và bội của các số mà thông qua ƯCLN; BCNN để tìm.

2 Dạng 2: Giải các bài toán bằng việc tìm UCLN; BCNNBài toán 3:

a)Tìm số tự nhiên n biết n lớn nhất và 125 ;100 ;150x x x

b)Tìm số tự nhiên n biết n nhỏ nhất và 125; 100; 150x x xGiải: a) 125 ;100 ;150x x x x UC (125;100;150)

Mà x lớn nhất nên x=UCLN(125;100;150)=25

b) 125; 100; 150x x x  x BC (125;100;150)Mà x nhỏ nhất nên x=BCNN(125;100;150)=1500

Bài toán 4: Đội văn nghệ của 1 trường có 48 nam và 72 nữ Muốn phục vụ tại

nhiều địa điểm , đội dự định sẽ chia thành các tổ gồm cả nam và nữ Số nam và nữđược chia đều Có thể chia được nhiều nhất thành bao nhiêu tổ? Khi đó mỗi tổ cóbao nhiêu nam; bao nhiêu nữ.

Giải

Gọi số tổ là a (aN*) Vì muốn phục vụ tại nhiều địa điểm , đội dự định sẽ chiathành các tổ gồm cả nam và nữ Số nam và nữ được chia đều nên a là ước chungcủa 48 và 72

Mà cần tìm số tổ là nhiều nhất nên a = ƯCLN( 48; 72) = 24 ( tổ)Mỗi tổ có: 48 : 24 = 2( nam) và 72: 24 = 3 ( nữ).

Đáp số: 24 tổ; mỗi tổ 2 nam và 3 nữ.

Bài toán 5

Hai bạn An và Bách cùng học một trường nhưng ở 2 lớp khác nhau An cứ 10 ngàylại trực nhật 1 lần; Bách cứ 12 ngày lại trực nhật 1 lần Lần đầu cả 2 người cùngtrực nhật vào 1 ngày Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày thì 2 bạn lại cùng trực nhật?Lúc đó mỗi bạn đã trực nhật được mấy lần?

Giải:

Gọi số ngày mà ít nhất 2 bạn lại cùng trực nhật là a( aN*) Vì An cứ 10 ngày lạitrực nhật 1 lần; Bách cứ 12 ngày lại trực nhật 1 lần Lần đầu cả 2 người cùng trựcnhật vào 1 ngày nên a là bội chung của 10 và 12.

Mà cần tìm số ngày ít nhất mà 2 bạn lại cùng trực nhật nên a = BCNN ( 10; 12) = 60 ( ngày )

Lúc đó An đã trực nhật được 60 : 10 = 6 ( lần).Bách đã trực nhật được 60 : 12 = 5 ( lần)

Đáp số: 60 ngày; An đã trực nhật được 6 lần; Bách đã trực nhật được 5 lần.

Bài tập tương tự

Bài 2: Tìm số tự nhiên a lớn nhất biết rằng 480 ;600x x

Bài 3: Một đội y tế có 24 bác sĩ, 108 y tá Có thể chia đội y tế đó nhiều nhất thành

mấy tổ để các bác sĩ cũng như y tá được chia đều vào mỗi tổ.

Bài 4: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khác 0 sao cho a126; 198a

Bài 5: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 6,7,9,đều được số dư theo thứ tự là

b)Tìm số tự nhiên n biết 125; 100; 150x x x ; x 3000Giải: a) 125 ;100 ;150x x x x UC (125;100;150)

Bài toán 7: Một đơn vị bộ đội khi xếp hàng 20; 25; 30 đều dư 15; nhưng xếp hàng

41 thì vừa đủ Tính số người của đơn vị đó biết rằng số người chưa đến 1000người.

Gọi số người của đơn vị là a( người) ( a  N; a  1000) Khi xếp hàng 20; 25; 30đều dư 15 người

Do đó : (a – 15)  BC (20; 25; 30).BCNN ( 20; 25; 30) = 300

=> ( a – 15)  B ( 300) = { 0; 300; 600; 900; 1200; }=> a  {15 ; 315; 615; 915; 1215; }

Do khi xếp hàng 41 thì vừa đủ nên a  41; a  1000 nên a = 615.KL: Số người của đơn vị là 615 người.

Bài toán 8: Tìm số tự nhiên n biết 125 khi chia cho x được số dư là 5; 85 khi chia

cho x được số dư là 1.

Giải: Vì 125 chia cho x dư 5 nên 120 x

85 chia cho x dư 1 nên 84 x

Do đó x UC (120;84);x5

UCLN(120;84)=12 nên x U (12) àv x 5 x6;12

Bài toán 9: Tìm số tự nhiên x nhỏ nhất khi chia cho 5 dư 1, chia cho 7 dư 5.

Đây là dạng bài toán tìm x thông qua tìm BC Tương tự như đối với bài toán 7nhưng ở mức độ khó hơn vì ta chưa xác định được ngay biểu thức chứa x nào làBCNN(5;7).

Giải: Vì x chia 5 dư 1 nên x 1 5  x 1 10 5   x9 5

Vì x chia 7 dư 5 nên x 5 7  x 5 14 7   x9 7

x BCx

Mà x nhỏ nhất nên x+9=BCNN(5;7)=35Vây x=26 là kết quả cần tìm.

Các bài tập tương tự

Bài 6: Ngọc và Minh mỗi người mua một số bút chì Trong mỗi hộp đều có từ hai

bút trở lên Và số bút ở mỗi hộp đều nhau, Tính ra Ngọc mua 20 bút và Minh mua 15 bút Hỏi mỗi hộp có bao nhiêu bút chì.

Bài 7: Tìm số tự nhiên a biết rằng 156 chia cho a dư 12 và 280 chia a dư 10.

Bài 8: Tìm số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số biết số đó chia hết cho tất cả các số

Bài 9: Số học sinh khối 6 của một trường trong khoảng từ 200 đến 400 Khi xếp

hàng 12; 15; 18 đều thừa 5 học sinh Tính sô học sinh khối 6.

Bài 10:Tìm số tự nhiên nhỏ hơn 200, biết số đó chia 2 dư 1, chia 3 dư 1, chia 5

thiếu 1 và chia hết cho 7.

3 Dạng 4: Các bài toán tổng quát bằng việc tìm UCLN và BCNNBài toán 10: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì các số sau nguyên tố cùng

nhau: 2n+3 và 4n+8.

Chứng minh : để chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau ta chứng minh cho UCLN của chúng bằng 1 Đây là dạng bài tập quen thuộc nhưng còn mới lạ đối vớicác em lớp 6 Các bài tập dạng này nhằm phát triển tư duy logic cho các em.

Vì 2n+3 là số lẻ nên d=2 không xảy ra.

Vậy d=1 hay với mọi n thì hai số 2n+3 và 4n+8 nguyên tố cùng nhau.

 Giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh vì sao ta lại nhân 2n+3 với 2 là để triệt tiêu n.

Bài toán 11: Tìm số tự nhiên n để các số sau nguyên tố cùng nhau: 7n+13 và 2n+4

Giải: Gọi d UCLN n (7 13;2n4)(7n 13) d

Bài 12: Tìm các số tự nhiên n để các số sau nguyên tố cùng nhau

a)4n+3 và 2n+3b) 7n+13 và 2n+4c) 9n+24 và 3n+4

a)Gọi hai số tự nhiên đó là a và b

ta có UCLN(a;b)=6 nên a=6m; b=6n và UCLN(m,n)=1nên a.b=6m.6n=36m.n=720 suy ra m.n=20

chọn cặp m, n nguyên tố cùng nhau và có tích bằng 20 ta được

a)Ta có UCLN(a,b).BCNN(a,b)=a.b suy ra a.b=720 Bài toán quay trở về câu a.

Bài toán 13: Tìm hai số tự nhiên a và b biết

a)UCLN(a,b)=4; trong đó b=8 (b>a) Tìm a.b)BCNN(a,b)=770; trong đó a=14 Tìm b.

a)Ta có UCLN(a,8)=4 nên a=4.m; 8=4.2 và UCLN(m,2)=1.

Vì a<b nên m<2 Mà UCLN(m,2)=1 suy ra m=1 suy ra a=4 là giá trị cần tìm.b)Ta có BCNN(a,14)=770 nên 770=a.m; 770=14.55 và UCLN(m,55)=1Ta có 770=14.55=a.m

Bài 13: Tìm hai số tự nhiên a, b biết

a)UCLN(a,b)=12, a>b, a=72.b)BCNN(a,b)=120,a=12 Tìm bc)BCNN(a,b)=300, a=15 Tìm bd)BCNN(a,b)=210; a=17 Tìm b

Bài 14: Tìm hai số tự nhiên a, b biết

a)UCLN(a,b)=6; a.b=720

b)BCNN(a,b)=900 và a.b=2700.c)BCNN(a,b)=90 và a.b=900

d) UCLN(a,b)=6 và a+b=30

Bài 15: Tìm hai số tự nhiên a, b biết

a)UCLN(a,b)=6 và BCNN(a,b)=180.b)UCLN(a,b)=12 và BCNN(a,b)=72.c)BCNN(a,b)=20.UCLN(a,b) và a.b=180

d) UCLN(a,b)=15 và BCNN(a,b)=20.UCLN(a,b)

Bài 16*: Tìm hai số tự nhiên a và b biết

IV.Định hướng hình thành và phát triển năng lực cho học sinh

- NL tính toán: Phân tích được một số ra thừa số nguyên tố, từ đó tính được UCLN, BCNN của hai hay nhiều số thông qua phân tích ra thừa số nguyên tố.

- NL tư duy toán học: phân tích, suy luận logic, lập luận để đưa bài toándạng khác về dạng quen thuộc.