CHUYÊN ĐỂ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT TOÁN 9

I. Mục tiêu Giúp HS nắm được các kiến thức, kĩ năng, phương pháp tìm GTLN, GTNN của một số dạng biểu thức thường gặp. II. Kiến thức cần nhớ Các kiến thức thường dùng 1. Luỹ thừa : a) x2  0 x  R  x2k  0 x  R, k  z  x2k  0 Tổng quát : f (x)2k  0 x  R, k  z  f (x)2k  0 Từ đó suy ra : f (x)2k + m  m x  R, k  z M f (x)2k  M b)  0 x  0  ( )2k  0 x  0; k z Tổng quát : ( )2k  0  A 0 (A là 1 biểu thức) 2 Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối : a) |x|  0  xR b) |x+y|  |x| + |y| ; nếu = xảy ra  x.y  0 c) |xy|  |x| |y| ; nếu = xảy ra  x.y  0 và |x|  |y| 3. Bất đẳng thức côsi : ai  0 ; i = : nN, n 2. dấu = xảy ra  a1 = a2 = ... = an 4. Bất đẳng thức Bunhiacôpxki : Với n cặp số bất kỳ a1,a2,...,an ; b1, b2, ...,bn ta có : (a1b1+ a2b2 +...+anbn)2  (

Ngày giảng: CHUYÊN ĐỀ: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT I Mục tiêu Giúp HS nắm kiến thức, kĩ năng, phương pháp tìm GTLN, GTNN số dạng biểu thức thường gặp II Kiến thức cần nhớ Các kiến thức thường dùng Luỹ thừa : a) x2  x  R  x2k  x  R, k  z  - x2k  Tổng quát : f (x)2k  x  R, k  z  - f (x)2k  Từ suy : f (x)2k + m  m x  R, k  z M - f (x)2k  M b) x  x   ( x )2k  x  0; k z 2k Tổng quát : ( A )   A 0 (A biểu thức) Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối : a) |x|   xR b) |x+y|  |x| + |y| ; "=" xảy  x.y  c) |x-y|  |x| - |y| ; "=" xảy  x.y  |x|  |y| Bất đẳng thức côsi : ai  ; i = 1, n : a1  a   a n  n a1 a .a n n nN, n 2 dấu "=" xảy  a1 = a2 = = an Bất đẳng thức Bunhiacôpxki : Với n cặp số a1,a2, ,an ; b1, b2, ,bn ta có : (a1b1+ a2b2 + +anbn)2  ( a12  a 22   a n2 ).(b12  b22   bn2 ) Dấu "=" xảy  b = Const (i = 1, n ) i Bất đẳng thức Bernonlly : Với a  : (1+a)n  1+na n N Dấu "=" xảy  a = Một số bất đẳng thức đơn giản thường gặp suy từ bất đẳng thức (A+B)2  a a2 + b2  2ab b (a + b)2  4ab c 2( a2 + b2 )  (a + b)2 a b  2 d b a 1   e b a a b III Một số phương pháp tìm cực trị Phương pháp 01 ( Sử dụng phép biến đổi đồng ) Bằng cách nhóm, thêm, bớt, tách hạng tử cách hợp lý, ta biến đổi biểu thức cho tổng biểu thức không âm (hoặc không dương) số Từ : 1.Để tìm Max f(x,y, ) miền D ta : �f ( x, y ) �M �  ( x0 , y0 ) �R � cho f(x0,y0, ) = M Để tìm Min f(x,y, ) miền D ta : �f ( x, y ) �m �  ( x0 , y0 ) �R � cho f(x0,y0, ) = m Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ A1 = x2 + 4x + Giải :Ta có : A1 = x2 + 4x + = x2 + 4x + + = (x + 2)2 +  (x + 2)2 0  A1 =  x + =  x = -2 Vậy A1 =  x = -2 Ví dụ : Tìm giá trị lớn A2 = -x2 + 6x - 15 Giải :Ta có : A2 = -x2 + 6x - 15 = - (x2- 6x + 9) - A2 = - (x - 3)2 -  - -(x - 3)2  x R  A2 max = -  x - =  x = Vậy A2 max = -  x = Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ A3 = (x-1)(x-4)(x-5)(x-8)+2002 Giải : Ta có : A3= (x-1)(x-4)(x-5)(x-8)+2002 = (x-1) (x-8) (x-4) (x-5) + 2002 2 = (x -9x + 8) (x - 9x + 20) + 2002= {(x2-9x + 14) - 6}.{(x2-9x + 14) + 6} + 2002 = (x2-9x + 14)2 - 36 + 2002 = (x2-9x + 14)2 + 1966  1966 (x2-9x + 14)2 0 x  A3 = 1966  x2-9x + 14 = x2 � x2 �  � Vậy A3 = 1966  � x7 x7 � � x  10 x  ( x 1) x  2x  2( x  x  1)  6( x  1)  x  10 x   2   Giải :Ta có: A4 = 2 x  ( x  1) x  2x  ( x  1) Ví dụ : Tìm giá trị lớn biểu thức A4 =    1  3 =-   x   0  A4 Max =  x    1 0 x   x   x = -2 Vậy : A4 Max =  x = -2 Phương pháp 02: ( Sử dụng bất đẳng thức ) Ta biết : Từ bất đẳng thức, cách chuyển ta đưa bất đẳng thức phép biến đổi tương đương mà vế số Vì : Sử dụng bất đẳng thức phép biến đổi tương đương ta tìm cực trị biểu thức Ví dụ : Cho a > b > Tìm GTNN B1 = a + b(a  b) 1 b(a  b) Giải :Ta có : B1 = a + b(a  b) = b + (a-b) + b(a  b)  3 (theo Côsi) b.( a  b)  a 2 B1   B1 =  b = a-b = b(a  b)    b 1  a 2  b 1 Vậy : B1 =   Ví dụ : Cho a,b > a + b = Tìm GTNN B2 = 1 1 + a2  b2 ab Giải :Theo bất đẳng thức Côsi : (x + y)( x  y )  x y 1  x  y  x y Ta có : ab  ( = (với x,y > 0) xy (1) a b 1 ) =  4 ab (2) a+b = ; a,b > Áp dụng bất đẳng thức (1) kết (2) ta có : 1 1 1 4     (  )  2 ab a  b 2ab a  b 2ab 2ab a  b 2ab  a  b B2  + (a  b)  a + b =  B2min =  a = b = Vậy : B2min =  a = b = B2 = Ví dụ : Cho xy + xz + yz = Tìm GTNN B3 = x4 + y4 + z4 Giải : Do xy + xz + yz =  16 = (xy + xz + yz)2  (x2+y2+z2) (x2+y2+z2) (Theo Bunhiacôpxki)  16  (x2+y2+z2)2  (x4 + y4 + z4) (12+12+12) 16 16  B3min = x=y=z= 3 16 Vậy : B3min = x=y=z= 3  B = x4 + y4 + z4  Ví dụ 4: Giả sử x y hai số thỏa mãn x > y xy = Tìm GTNN biểu thức: x2  y A x y x  y x  xy  y  xy ( x  y )  xy   x y x y x y ( x  y )  xy x y x y  x y    Do x > y xy = nên: A  x y x y x y Vì x > y � x – y > nên áp dụng bất đẳng thức côsi với số khơng âm, ta có: Giải: Ta viết: A  x y x y  x y x y 2 Dấu “=” xảy �  x  y � ( x  y )  � ( x  y)  (Do x – y > 0) Từ đó: A �2   �x  y  Vậy GTNN A � � �xy  A �2 � � �x   �x   �� hay � Thỏa điều kiện xy = �y  1  �y  1  Phương pháp 03: ( Sử dụng phương pháp đặt biến phụ ) Bằng cách đặt biến phụ sử dụng phép biến đối tương đương Sử dụng bất đẳng thức ta chuyển biến thức cho biểu thức đơn giản hơn, dễ xác định cực trị Ví dụ 1: Tìm GTNN C1 = x4 + 6x3 + 13x2 + 12x + 12 Giải : C1 = x4 + 6x3 + 13x2 + 12x + 12 C1 = ( x4 + 6x3 + 19x2 + 30x + 25) - (x2 + 3x + 5) + 17 C1 = (x2 + 3x + 5)2 - (x2 + 3x + 5) + 17 Đặt : x2 + 3x + = a C1 = a2 - 6a + 17 = a2 - 6a + + C1 = (a-3)2 + 8 (a-3)2  a x  1 �  C1min =  a - =  a =  x2 + 3x + =  � x  2 � x  1 � Vậy : C1min =  � x  2 �  x2 Ví dụ 2: Tìm GTNN C2 =  y y2 x2    x y  -     với x,y >  y x  y x y2 x2   Giải :Đặt : y x = a 2  2 = a - y x  C2 = 2.( a2 - 2) - 5a + = 2a2 - 5a + Ta thấy : a   C2 = 2a2 - 5a +   C2min = a =  x = y > Vậy : C2min =  x = y > x y y x Ví dụ 3: Tìm GTNN C3 = y  x -  + 2004 với x,y > y x Giải : Đặt : y x x y  = a  2 y  x = a2 – Khi : C3 = (a2 - 2) - 3a + 2004 y x C3 = a2 - 3a + 2002 = a2 - 3a + + 2000 = (a-1) (a-2) + 2000 Do ta có : a   a - 1> ; a - 20  (a-1) (a-2) 0  C3 = (a-1) (a-2) + 2000  2000 C3 = 2000  a =  x = y ; xy > Vậy C3 = 2000  x = y xy > Phương pháp 04: ( Sử dụng biểu thức phụ ) Để tìm cực trị biểu thức đó, đơi người ta xét cực trị biểu thức khác so sánh với nó, biểu thức phụ dễ tìm cực trị Ví dụ : Để tìm cực trị biểu thức A với A > 0, ta xét cực trị biểu thức : , -A, kA, k + A, |A| , A2 A Ví dụ 1: Tìm GTLN A = (k số) x2 x4  x2 1 Giải : a) Xét x =  A = giá trị khơng phải GTLN A với x  ta có A > 1 Amax  Pmin A x4  x2 1 x   với cách đặt ta có : P = x x 1 ta có : x2 + 2 x 2 (theo côsi) x x b) Xét x  đặt P =  P  + =  Pmin =  x = Do : Amax =  x=1  x Ví dụ 2: Tìm GTNN B = ( x  2002) với x > Giải : Đặt P1 = - B P1max  Bmin x Ta có : P1 = ( x  2002) với x >  P > Đặt P2 = P > với x > P2 Min  P1 Max ( x  2002) x  2.x.2002  2002  P2 = x x 2 x  2.x.2002  2002  4.x.2002 P2 = x ( x  2002)  4.2002 4.2002 8008 P2 = x ( x  2002) (do 0 x > 0) x  P2 Min = 8008  x = 2002  x = 2002 8008  BMin =  x = 2002 8008 Vậy BMin =  x = 2002 8008  P1 Max = Ví dụ 3: Cho a,b,c dương a + b + c = Tìm GTLN C = 5a  4b  5b  4c  5c  4a Giải : Do a,b,c >  C > Đặt : P = C2 PMax  CMax Ta có : P = ( 5a  4b  5b  4c  5c  4a )2  P  (12 + 12 + 12) (5a + 4b + 5b + 4c + 5c + 4a) theo Bunhiacôpxki P  3.9(a + b + c) = 81 a + b + c =  PMax = 81  a = b = c =  C Max = 81  a = b = c =  CMax =   a = b = c = Vậy CMax =   a = b = c = Ví dụ 4: Cho x, y, z, t > x y t y tx t Tìm GTNN D = y  t  x  t  x  y  x  y  Giải : Đặt P = 2D ta có : 2x P = y t  xy t 2( y  t ) 2y 2(t  x) 2( x  y ) 2t     x tx y xy t  2x y  t   2y x  y 3 y t t  x x t t  x   2t               2x   t  x 2y   x  y 2t   x y t   y t  2x y  t   2y x y 3 y t t x x y t  x   2t                   P=  y  t x t  x y x  y t       2 x x y y t t  P + + + (theo côsi) P=  P  15  PMin = 15  x = y = t > 15 x=y=t 15 Vậy DMin = x=y=t  DMin = Ví dụ 5: Cho x, y > 7x + 9y = 63 Tìm GTLN E = x.y Giải :Đặt : P = 63.E ta có :  7x  y  P = 63xy = 7x.9y    (theo côsi)   3969 3969  63  P   =  PMax = 4  2  x  63  Dấu "=" xảy  7x = 9y =   y 7   x 4,5 3969 63  EMax = : 63 =  4  y 3,5 Ví dụ : Cho x2 + y2 = 52 Tìm GTLN F = 2x + 3y Giải : Xét : P1 = |F| P1 = |2x + 3y| Đặt : P2 = P12 P2 = (2x + 3y)2 Theo Bunhiacơpxky : P2  (4 + 9) (x2 + y2) = 13.13.4  x 4  x    y 6  y   P2 Max = 13.13.4    P1 Max = 26 Do F  |F| = P  x 4  x 4 Vậy FMax = 26    y 6  y 6  FMax = 26   Ví dụ 7: Cho x,y > Tìm GTNN G = y x4 y4 x2 y2 x      y x y x y x Giải : Đặt : P = G - ta có : P= y x4 y4 x2 y2 x      -2 y x y x y x  x4   y4   x2 x2 y2 x y y2   x                 2 P=    x4   y2 y x x   y y2 x2 y     2 y  x   x2   y2   x y ( x  y) 0 P =   1    1      xy  y x y  x   PMin =  x = y > Vậy GMin =  x = y > Phương pháp 05: ( Phương pháp miền giá trị ) Trong số trường hợp đặc biệt, biểu thức đại số cho có hai biến số đưa dạng tam thức bậc ta sử dụng kiến thức miền già trị hàm số để giải thấy hiệu Giải sử ta phải tìm cực trị hàm số f(x) có miền giá trị D Gọi y giá trị f(x) với x  D Điều có nghĩa điều kiện để phương trình f(x) = y có nghiệm Sau giải điều kiện để phương trình f(x) = y có nghiệm (x biến, coi y tham số) Thường đưa đến biểu thức sau : m yM Từ  Min f(x) = m với x  D  Max f(x) = M với x  D Ví dụ 1: Tìm GTNN f(x) = x2 + 4x + Giải : Gọi y giá trị f(x) Ta có : y = x2 + 4x +  x2 + 4x + - y = (có nghiệm)  ' = - + y   y1 Vậy f(x) Min =  x = -2 Ví dụ 2: Tìm GTLN f(x) = - x2 + 2x - Giải : Gọi y giá trị f(x) Ta có : y = - x2 + 2x -  x2 - 2x + y + (có nghiệm)  ' = - y -   y-6 Vậy f(x)Max = -6  x = Ví dụ 3: Tìm GTLN, GTNN f(x) = x  4x  x  2x  Giải : Gọi y giá trị f(x) x  4x  Ta có : y =  yx2 + 2yx + 3y - x2 - 4x - = x  2x   (y - 1)x2 + (y - 2).x + 3y - = (có nghiệm) * Nếu y =  x = - * Nếu y   ' = (y - 2)2 + (3y - 6)(1 - y)   y2 - 4y + - 3y2 + 3y + 6y -   - 2y2 + 5y +   Ta thấy : y2