chuyên đề giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Chủ đề: Giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất Chủ đề 3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM GTLN,GTNN 1. Cách tìm GTLN, GTNN trên khoảng (a; b): trong đó a có thể là ∞− , b có thể là ∞+ . Ta thực hiện: - Tính đạo hàm y’ - Lập bảng biến thiên: Nếu trên (a; b) hàm số chỉ có một cực đại (cực tiểu) duy nhất thì giá trò cực đại (cực tiểu) là giá trò lớn nhất (nhỏ nhất) . • Chú ý: Nếu trên khoảng (a; b) hàm số luôn luôn đồng biến hoặc luôn luôn nghòch biến thì không có GTLN, GTNN trên khoảng đó. Bài tập áp dụng: 1) Tìm giá trò lớn nhất giá trò nhỏ nhất của các hàm số sau: a) y = 4 - x 2 ; b) y = 4x 3 – 3x 4 ; c) y = x 4 + 2x 2 – 2; d) y = 2xx 2 ++ ; e) y = x 1xx 2 ++ với x > 0; g) y = 2 x +3x 1 x -1 + với x < 1. h) 1 y = cosx trên khoảng ; 3 2 2 π π    ÷   k) = 2 x y x + 4 2) Tìm kích thước của hình chữ nhật có diện tích lớn nhất, biết rằng chu vi bằng 16 cm. HD: - Gọi một kích thước là x, điều kiện 0 < x < 8 ⇒ Diện tích của hình chữ nhật là S(x) = x( 8 – x). - Tìm x ∈ (0; 8) để S(x) lớn nhất. ĐS: x = 4 cm 3) Hãy xác đònh hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất, biết diện tích bằng 48cm 2 . HD: - Gọi x là một kích thước của hình chữ nhật, điều kiện x > 0. - Chu vi của hình chữ nhật là 48 ( ) 2( )P x x x = + . - Tìm x ∈ (0; +∞ ) để P(x) nhỏ nhất. ĐS: Hình vuông có cạnh bằng 4 3 m 2. Cách tìm GTLN, GTNN trên khoảng [a; b] Ta thực hiện: - Tính đạo hàm y’ - Tìm các cực trò thuộc [a; b] của hàm số. Giả sử các điểm cực trò là x 1 , x 2 ,…x n - Tính f(x 1 ), f(x 2 )….f(x n ) và f(a), f(b), so sánh. Rồi kết luận. • Chú ý: - Nếu hàm số f(x) đồng biến trên [a; b] thì Maxy = f(b) và miny = f(a). - Nếu hàm số f(x) nghòch biến trên [a; b] thì Maxy = f(a) và miny = f(b). Bài tập áp dụng: 1) Tìm giá trò lớn nhất giá trò nhỏ nhất của các hàm số : a) y= 2x 3 + 3x 2 – 12x + 1 trên đoạn [-1; 5]; b) y = 1 + 4x + x 2 trên đoạn [-1; 3]; c) y= 4x5− trên đoạn [-1; 1]; d) y= sin2x – x trên [ ] 2 ;0 π ; e) y= 3416x4x 2 +− trên đoạn [-1; 4]; g) y= sin2x - 2sinx trên đoạn [- ]; 2 π π ; h) y = x + cos 2 x trên đoạn [0; ] 4 π ; k) y = 2x + 2 x5− ; l) y= cos2x + x trên đoạn [ ] 2 ; 2 ππ − ; m) y = 2005x12005x1 −++ ; 1 Chủ đề: Giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất 2) Tìm GTLN, GTNN hàm số 3 6 (3 )(6 )y x x x x= + + − − + − . ĐS: miny = 9 3 2 2 − , maxy = 3. 3) Tìm GTNN hàm số 2 2 3 2 1y x x x= − − + + . ĐS: miny = -1 tại x = -1 4) Tìm GTLN, GTNN hàm số y= 1sinxsin 1sinx 2 ++ + x . HD: - Đặt t = sinx điều kiện: -1 t 1 ≤ ≤ - Đưa về tìm GTLN, GTNN trên [-1; 1] II. SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐỂ TÌM GTLN, GTNN Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trê n [a; b]bằng điều kiện có nghiệm của phng trình: Ta thực hiện: - Xem phương trình f(x) – y = 0 là phương trình ẩn x - Tìm điều kiện để phương trình ẩn x có nghiệm trên [a; b]. 1) Tìm GTLN, GTNN của hàm số: 2 1 ) ; 1 x a y x x + = − + 2 2 3 ) . 2 x b y x x + = − + HD: a) - Giả sử hàm số đạt GTLN (GTNN) tại x 0 thì x 0 là nghiệm của pt: + = − + 2 1 1 x y x x - Ta có pt ( ) + = ⇔ − + + − = − + 2 2 1 1 1 0 1 x y yx y x y x x - Trường hợp y = 0 ta có phương trình là: x = - 1 - Trường hợp y 0≠ .Ta có phương trình có nghiệm khi 3-2 3 3+2 3 3y 6y +1 0 y 3 3 2 ∆ = − + ≥ ⇔ ≤ ≤ - So sánh hai trường hợp ta có: maxy = 3+2 3 3 ; miny = 3-2 3 3 b) Tương tự maxy = 2; miny = 7 6 2) Tìm GTLN, GTNN hàm số y= 2xcosx ++ + sin cosx 2 HD: - Giả sử hàm số đạt GTLN (GTNN) tại x 0 thì thì x 0 là nghiệm của pt: y x cos x 2 + = + + 2 cosx sin (1) - Do sinx + cosx + 2 0 ≠ với mọi x nên pt (1) ysinx + (y - 1)cosx = 2(1- y) ⇔ - Phương trình có nghiệm khi y 2 + (y – 1) 2 ≥ [2(1 - y)] 2 3- 3 3+ 3 y 2 2 ⇔ ≤ ≤ Ta có: maxy = 3 + 3 2 ; miny = 3 - 3 2 2 . Chủ đề: Giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất Chủ đề 3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM GTLN,GTNN 1. Cách. 2 x5− ; l) y= cos2x + x trên đoạn [ ] 2 ; 2 ππ − ; m) y = 2005x12005x1 −++ ; 1 Chủ đề: Giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất 2) Tìm GTLN, GTNN hàm số 3 6 (3 )(6 )y x x x x= + + − − + − . ĐS: miny =. thiên: Nếu trên (a; b) hàm số chỉ có một cực đại (cực tiểu) duy nhất thì giá trò cực đại (cực tiểu) là giá trò lớn nhất (nhỏ nhất) . • Chú ý: Nếu trên khoảng (a; b) hàm số luôn luôn đồng biến