1. Biến đổi "tương đương" trong những tình huống chỉ đúng một chiều là chiều "suy ra" Những biến đổi sau không đúng: Hai đường thẳng song song "tương đương" với hai hệ số góc bằng nhau. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ABC ‘tương đương’ đường thẳng d vuông góc với đường thẳng AB. f(x) bằng g(x) ‘tương đương’ với đạo hàm của f(x) bằng đạo hàm của g(x). u bằng f(x) ‘tương đương’ với du bằng đạo hàm của f(x) nhân với dx. Hệ hai phương trình f(x,y)=0 và g(x,y)=0 ‘tương đương’ với một phương trình a.f(x,y)+b.g(x,y)=0 (a, b là hai số thực khác 0). Hai số phức bằng nhau ‘tương đương’ với hai phần thực bằng nhau. Hai số phức bằng nhau ‘tương đương’ với hai phần ảo bằng nhau…. Giải pháp an toàn: Một số trường hợp thường dùng biến đổi "tương đương" là giải phương trình, giải hệ phương trình, giải bất phương trình, giải hệ bất phương trình, giải bài toán tìm điều kiện cần và đủ. Các trường hợp khác, học sinh nên biến đổi "suy ra". Tóm lại, khi khẳng định ‘Nếu A thì B’ đúng và khẳng định "Nếu B thì A" sai, học sinh không được biến đổi "tương đương". 2. Thiếu điều kiện, thừa kết quả, quên kết luận Khi bài toán có biểu thức căn bậc hai, biểu thức có ẩn dưới mẫu số, biểu thức tanx, biểu thức cotx, biểu thức logarit, dạng đại số của số phức, học sinh cần hình thành ‘phản xạ có điều kiện’ và kiểm tra lại điều kiện trước khi viết đáp số. Với những bài toán cần xét nhiều trường hợp, học sinh cần chú ý tổng hợp kết quả và kết luận. 3. Gạch đầu dòng tùy tiện Nếu học sinh gạch đầu dòng liền trước một biểu thức thì có thể bị hiểu là: nhầm dấu của biểu thức Ví dụ: Giải phương trình sinx + cosx = 1. Nếu học sinh gạch đầu dòng là " – sinx + cosx = 1" thì sẽ bị hiểu nhầm là ‘biểu thức trừ sinx cộng với cosx bằng 1’. 4. Viết lời giải bài toán như một ‘đoạn văn’ dài, không chia ý rõ ràng và làm sai ở câu cuối cùng của đoạn mình viết Học sinh nên chia ý rõ ràng và xuống dòng khi kết thúc các ý, nếu sai ý sau thì vẫn được chấm điểm ý trước. Mỗi bài toán thi đại học thường được tính 1 điểm và đáp án thường có 4 ý, mỗi ý 0,25 điểm. Các học sinh cần chú ý điều này để trình bày các ý rõ ràng. 5. Viết nhầm lẫn các chữ, các kí hiệu Học sinh chú ý phân biệt các chữ, các kí hiệu sau khi viết bài thi: Chữ i và số 1, chữ b và số 6, chữ z và số 2, chữ D và chữ P, chữ D và chữ O, chữ P và chữ O, chữ H và chữ A, chữ g và chữ y, chữ g và chữ q, chữ q và số 9, chữ C và dấu ngoặc đơn ( , chữ C và kí hiệu chỉ quan hệ tập hợp con, dấu ngoặc đơn ( và kí hiệu chỉ quan hệ tập hợp con, chữ u và chữ v, chữ u và chữ n, dùng chung kí hiệu chỉ quan hệ tập hợp con và kí hiệu chỉ quan hệ phần tử thuộc tập hợp, chữ a và kí hiệu góc anpha. 6. Dùng chung tên điểm tại hai vị trí khác nhau Bài toán phương pháp tọa độ, học sinh thường có thói quen gọi tâm đường tròn là O, gọi tâm mặt cầu là O. Các em cần chú ý rằng, O là gốc tọa độ. Trong trường hợp dùng chung tên điểm, các em không nên vội vàng xóa, có thể khắc phục nhanh sự cố bằng cách thêm dấu phẩy vào điểm đó, ví dụ O’. 7. Tính toán sai, sử dụng kết quả sai để làm tiếp Học sinh cần chú ý cẩn thận trong từng phép tính, tránh tình trạng tính toán vội vàng rất nhiều phép tính rồi mới kiểm tra từ đầu và sửa sai từ đầu. 8. Lập phương trình sai, sử dụng máy tính để tìm chính xác nghiệm của phương trình đó và yên tâm kết luận Học sinh cần chú ý kiểm tra kĩ phương trình trước khi dùng máy tính để tìm nghiệm, tránh tình trạng quá tin tưởng máy tính mà quên mất là phương trình sai. 9. Nhập sai số liệu vào máy tính điện tử và yên tâm dùng kết quả của máy tính Học sinh không nên chủ quan khi dùng máy tính, cần kiểm tra cẩn thận các số liệu khi nhập vào máy tính. 10. Sử dụng máy tính điện tử để tìm nghiệm dưới dạng gần đúng Khi đáp số được viết dưới dạng phân số hoặc dạng căn bậc hai, dạng logarit của một số dương, nếu máy tính cho kết quả là một số thập phân gần đúng thì vẫn không được chấp nhận với bài toán yêu cầu tìm đúng kết quả. Học sinh cần chú ý thử máy tính trước khi đi thi. 11. Đọc nhầm đề dẫn đến một bài toán dễ hơn, tính toán nhanh hơn, giải được bài toán mới và yên tâm không kiểm tra lại đề bài Học sinh cần đọc đề kĩ, xác định đúng yếu tố đã cho, điều phải tìm, điều phải chứng minh. 12. Sử dụng đúng giả thiết và mất thời gian đưa ra kết quả mới không liên quan gì đến kết luận của bài toán Học sinh phải rất cảnh giác với những tình huống ‘lạc đề’, suy luận đúng nhưng không để làm gì, không phục vụ cho việc giải bài toán trong đề thi. 13. Mất thời gian làm đúng một bài toán không liên quan đến bài toán trong đề thi Tình huống có thể xảy ra với học sinh và không có điểm. Bài toán trong đề thi: Chứng minh biểu thức A lớn hơn biểu thức B. Học sinh mất thời gian chứng minh được biểu thức A lớn hơn biểu thức C nhưng không biết biểu thức C lại nhỏ hơn biểu thức B. 14. Sử dụng kết quả không được quy định trong chương trình Kết quả được sử dụng để giải bài thi phải phù hợp với sách giáo khoa chương trình hiện hành. Khi học sinh thừa nhận kiến thức không được quy định trong chương trình, học sinh làm đúng, bài thi vẫn không được tính điểm tối đa. Nếu các học sinh giỏi sử dụng kết quả ngoài sách giáo khoa thì phải chứng minh lại các kết quả đó bằng kiến thức trong sách giáo khoa. Khi chọn đề theo chương trình ban cơ bản, học sinh đã học sách giáo khoa ban nâng cao có thể không biết những kết quả mình sử dụng không có trong sách giáo khoa ban cơ bản. Học sinh cần tìm hiểu trước những kiến thức có trong sách giáo khoa ban nâng cao nhưng không có trong sách giáo khoa ban cơ bản. 15. Nghĩ được cách giải, học sinh có thể vui mừng và chủ quan, không kiểm soát được mình viết đúng hay viết sai, không cẩn thận trong việc viết kết quả Học sinh không có cơ hội gặp giám khảo để giải thích suy nghĩ của mình. Khi đi thi, các em không thể bằng lòng sớm với việc phát hiện ra cách giải. Khi ngồi trong phòng thi, yếu tố tâm lí có thể làm cho các em không viết được chính xác những điều đã suy nghĩ. Học sinh cần chú ý - Ba yếu tố quan trọng ảnh hưởng đến kết quả thi là: kiến thức, kĩ năng và tâm lí. - Ba nguyên tắc quan trọng khi viết bài thi để có thể đạt điểm cao là: 3 Đ: Đúng - Đủ - Đẹp. 1) Học sinh phải viết đúng kí hiệu, viết đúng công thức, vẽ hình đúng, lập luận đúng, kết quả đúng. 2) Học sinh phải viết đủ ý. 3) Học sinh phải trình bày đẹp, diễn đạt tốt.
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn đề liên quan Hàm số lớp 12 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguy ễ n Ph ú Kh ánh – ð à L ạt 77 TĨM TẮT LÝ THUYẾT • Hàm số ( ) f x xác định và có liên tục trên đoạn ; a b thì ( ) ' f x xác định trên khoảng ( ) ; a b . • Hàm số ( ) f x xác định và có liên tục trên nửa đoạn ) ( ; ; a b hay a b thì ( ) ' f x xác định trên khoảng ( ) ; a b . • Hàm số có thể khơng đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trên một tập hợp số thực cho trước . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } 1 2 ; ; max max , , , i x a b x a b f x f a f x f x f x f b ∈ ∈ • = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } 1 2 ; ; min min , , , i x a b x a b f x f a f x f x f x f b ∈ ∈ • = ( ) ( ) ( ) 0 0 , max , x D x D f x M M f x x D f x M ∈ ∀ ∈ ≤ • = ⇔ ∃ ∈ = ( ) ( ) ( ) 0 0 , min , x D x D f x m m f x x D f x m ∈ ∀ ∈ ≥ • = ⇔ ∃ ∈ = CÁC BÀI TỐN CƠ BẢN Ví dụ 1: Giải : Xét : 2 1 ( 1 ) 1 1 1 1 2 (2 1)( 1) 2 ( 1) 1 4 4 1 n n n n n n n n n n n n n + − + − = < = − + + + + + + + Vậy : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 5 1 n S n n n < − + − + + − = − + 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2( 2) 4 4 4 4 n n n S S n n n n n < − < − = − ⇒ < + + + + + 2001 2001 2 2001 2001 2001 2 1 2003 2003 4006 n S S= ⇒ < − = ⇒ < GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦ A HÀM SỐ Chứng minh rằng : 1 1 1 1 2001 4006 3(1 2) 5( 2 3) 7( 3 4) 4003( 2001 2002) + + + + < + + + + Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguy ễ n Ph ú Kh ánh – ð à L ạt 78 Ví dụ 2: Giải : Vận dụng bất ñẳng thức a b a b − ≥ − . Dấu " " = xảy ra khi 0 ab ≥ 1 1 2 2 2008 2008 1 1 1 1 1 1 x x x x x x − ≥ − − ≥ − − ≥ − 1 2 2008 1 2 2008 2008 1 1 1 1 1 1 1 so E x x x x x x ⇒ = − + − + + − ≥ + + + − + + + Hay 2009 2008 1 E ≥ − = Dấu " " = xảy ra khi 1 2 3 4 2008 1 2 2008 , , , , 0 2009 x x x x x x x x ≥ + + + = Vậy min 1 E = khi 1 2 3 4 2008 1 2 2008 , , , , 0 2009 x x x x x x x x ≥ + + + = Ví dụ 3: Giải : Ta có 2 2 ( , ) ( 1) ( 1) 5 5 P x y x y = − + + + ≥ , x y ∀ ∈ ℝ Dấu " " = xảy ra khi 1 1 x y = = Vậy min ( , ) 5 P x y = khi ( ) ( ) , 1;1 x y = Ví dụ 4: Cho 1 2 3 4 2008 , , , , x x x x x thoả mãn 1 2 2008 2009 x x x+ + + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 2 2008 1 1 1 E x x x = − + − + + − Tìm GTNN của biểu thức 2 2 ( , ) 2 2 7 P x y x y x y = + − + + . Cho 2 2 9 0 x y z + − − = . Tìm GTNN của biểu thức 2 2 2 (1 ) (2 ) (3 ) P x y z = − + − + − . Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguy ễ n Ph ú Kh ánh – ð à L ạt 79 Giải : Trong không gian Oxyz ta xét ñiểm ( ) 1;2;3 A và mặt phẳng ( ) : 2 2 9 0 x y z α + − − = Nếu ( ) ( ) ; ;M x y z α ∈ thì 2 2 2 2 (1 ) (2 ) (3 ) AM x y z = − + − + − Mà 2 4 3 9 ( ; ) 2 4 4 1 AM d A α + − − ≥ = = + + nên 2 2 2 (1 ) (2 ) (3 ) 4 P x y z = − + − + − ≥ . Dấu " " = xảy ra khi ( ) ; ; M x y z là chân ñường vuông góc hạ từ ( ) 1;2;3 A lên mặt phẳng ( ) α . Vậy min 4 P = . Ví dụ 5: Giải : 2 2 3 5 , 1 ( 1) x x A x x + + = ≠ − 2 2 2 ( 2 1) 5.( 1) 9 5 9 1 1 ( 1) ( 1) x x x A x x x − + + − + = = + + − − − ðặt 1 , 0 1 t t x = ≠ − 2 2 5 11 11 1 9 3 6 6 6 A t t t = + + = + + ≥ Dấu " " = xảy ra khi 5 1 5 13 8 1 8 5 t x x = − ⇔ = − ⇔ = − − 2 2 3 8 6 ( 1) 2 1 x x B x x x − + = ≠ − + 2 2 2 3( 2 1) 2( 1) 1 2 1 3 1 ( 1) ( 1) x x x B x x x − + − − + = = − + − − − Tìm GTNNcủa biểu thức 2 2 3 5 , 1 ( 1) x x A x x + + = ≠ − 2 2 3 8 6 ( 1) 2 1 x x B x x x − + = ≠ − + 2 2 1 1, N x x x x x = + + + − + ∈ ℝ Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguy ễ n Ph ú Kh ánh – ð à L ạt 80 ðặt 1 , 0 1 t t x = ≠ − ( ) 2 2 3 2 1 2 2 B t t t = − + = − + ≥ Dấu " " = xảy ra khi 1 1 1 2 1 t x x = ⇔ = ⇔ = − Vậy min 2 B = khi 2 x = 2 2 1 1, N x x x x x = + + + − + ∈ ℝ Bài toán này có rất nhiều cách giải và tôi ñã giới thiệu trong chuyên ñề bất ñẳng thức. Nhân ñây tôi giới thiệu 5 cách giải ñộc ñáo . Cách 1 : 2 2 2 2 1 3 1 3 2 2 2 2 N x x = + + + − + 2 2 2 2 1 3 1 3 ( ) 0 ( 0 2 2 2 2 N x x = − − + − − + − + − Trên mặt phẳng toạ ñộ Oxy xét các ñiểm ( ) 1 3 1 3 , , , , ,0 2 2 2 2 A B C x − − Dựa vào hình vẽ ta có N AC CB AB = + ≥ 2 1 AC x x = + + , 2 1 BC x x = − + Mà 2 2 1 1 3 3 2 2 2 2 2 2 AB AB = + + + = ⇒ = Dấu " " = xảy ra khi , , A B C thẳng hàng , hay 0 x = , nghĩa là C O ≡ Vậy min 2 N = khi 0 x = Cách 2: Dùng bất ñẳng thức vectơ : a b a b N a b + ≥ + ⇒ ≥ + Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguy ễ n Ph ú Kh ánh – ð à L ạt 81 Chọn : 2 2 1 3 1 3 ; 1, ; 1 2 2 2 2 a x a x x b x b x x = − + ⇒ = − + = + ⇒ = + + ( ) 2 2 (1; 3) 1 3 2 2 a b a b N + = ⇒ + = + = ⇒ ≥ Dấu " " = xảy ra khi 0 a b x = ⇔ = Vậy min 2 N = khi 0 x = Cách 3: Do 2 2 1 1, N x x x x x = + + + − + ∈ ℝ , do ñó gợi ta nghĩ ñến bất ñẳng thức trung bình cộng, trung bình nhân . Ta có : ( ) ( ) 4 2 2 4 2 4 2 1 1 2 1 2,N x x x x x x x ≥ − + + + = + + ≥ ∈ ℝ Dấu " " = xảy ra khi 2 2 4 2 1 1 0 1 1 x x x x x x x + + = − + ⇔ = + + = Vậy min 2 N = khi 0 x = Cách 4: Vì ( ) 2 2 2 4 2 2 1 0, 0, 2 1 2 1 1 0, x x x N x N x x x x x x − + ≥ ∀ ∈ ⇒ ≥ ∀ ∈ ⇒ = + + + + + + ≥ ∀ ∈ ℝ ℝ ℝ Do 2 4 2 1 1 1 1 x x x + ≥ + + ≥ . ðẳng thức ñồng thời xảy ra khi 0 x = , nên 2 4 2 N N ≥ ⇒ ≥ Vậy min 2 N = khi 0 x = Cách 5: Dễ thấy ( ) 2 2 1 1,N f x x x x x x = = + + + − + ∈ ℝ là hàm số chẵn x ∈ ℝ . Với 1 2 0 x x ∀ > > , ta có ( ) ( ) 1 2 0, 0 f x f x > > nên dấu của ( ) ( ) 1 2 f x f x − cũng là dấu của ( ) ( ) 2 2 1 2 f x f x − ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 2 4 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 . f x f x x x x x x x− == − + + + − + + Vì 2 2 1 2 1 2 4 2 4 2 1 1 2 2 0 0 1 1 x x x x x x x x > > > > ⇒ + + ≥ + + nên ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 0, 0 f x f x x x − > ∀ > > Suy ra ( ) ( ) 1 2 1 2 0, 0 f x f x x x − > ∀ > > Với 0 x > thì hàm số ( ) f x luôn ñồng biến và 0 x < thì hàm số ( ) f x luôn nghịch biến và ( ) 0 2 f = Vậy ( ) f x ñạt ñược giá trị cực tiểu tại 0 x = . Do ñó min 2 N = khi 0 x = . Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguy ễ n Ph ú Kh ánh – ð à L ạt 82 Ví dụ 6: Giải : Ví dụ 7: Giải : 2 2 2 2 3 6 10 4 4 3 3 7 2 2 2 2 ( 1) 1 x x A x x x x x + + = = + = + ≤ + + + + + + Dấu " " = xảy ra khi 2 ( 1) 0 1 x x + = ⇔ = − Vậy max 7 A = khi 1 x = − 2 , 0 ( 2000) x M x x = > + Vì 0 x > nên 0 M > .Do ñó 1 max min M M → ⇔ → 2 2 2 2 2 1 1 2 .2000 2000 2.2000 2000 4.2000 ( 2000) . x x x x x x M x x x + + − + + = + = = 2 1 ( 2000) 8000 8000 x M x − = + ≥ Tìm GTLNcủa biểu thức 2 2 3 6 10 2 2 x x A x x + + = + + 2 , 0 ( 2000) x M x x = > + Tìm GTLN và NN của biểu thức Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguy ễ n Ph ú Kh ánh – ð à L ạt 83 Dấu " " = xảy ra khi 2000 x = 1 1 min 8000 max 8000 M M = → = Vậy 1 max 8000 M = khi 2000 x = Ví dụ 8: Giải : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 10 3 , 3 2 5 3 0, * 3 2 1 x x A x A x A x A x x x + + = ∀ ∈ ⇔ − + − + − = ∀ ∈ + + ℝ ℝ • 2 3 2 0 , 3 A A x − = ⇔ = ∀ ∈ ℝ • 2 3 2 0 , 3 A A x − ≠ ⇔ ≠ ∀ ∈ ℝ phương trình ( ) * là phương trình bậc 2 ñối với x . Do ñó phương trình ( ) * có nghiệm nếu ( ) ( )( ) 2 5 5 4 3 2 3 0 7 2 A A A A ∆ = − − − − ≥ ⇔ ≤ ≤ Vậy 5 max 7, min 2 A A = = 2 2 2 2 12 8 3 , (2 1) x x B x x + + = ∈ + ℝ ðặt tan 2, 2 2 u x x π π − = < < 4 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 3 tan 4 tan 3 3cos 4 sin cos 3 sin sin 2 ( ) 3 2 (1 tan ) (sin cos ) u u u u u u u A g u u u u + + + + = = = = − + + Vì 2 5 5 5 min ( ) min 0 sin 2 1 ( ) 3 2 2 2 max ( ) 3 max 3 g u B u g u g u B = = ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ⇒ = = Ví dụ 9: Giải : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : 2 2 2 10 3 , 3 2 1 x x A x x x + + = ∈ + + ℝ 2 2 2 2 12 8 3 , (2 1) x x B x x + + = ∈ + ℝ Cho 2 2 2 1 x y z + + = . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : T xy yz zx = + + . Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguy ễ n Ph ú Kh ánh – ð à L ạt 84 Ta có 2 2 2 2 ( ) 0 2( ) 0 x y z x y z xy yz zx + + ≥ ⇒ + + + + + ≥ hay 1 1 2 0 2 T T + ≥ ⇔ ≥ − Dấu " " = xảy ra chẳng hạn khi 1 1 0; ; 2 2 x y z= = = − Vậy 1 min 2 T = − chẳng hạn khi 1 1 0; ; 2 2 x y z= = = − Mặt khác 2 2 2 2 2 2 ( ) 0 ( ) 0 2( ) 2( ) ( ) 0 x y y z x y z xy yz zx z x − ≥ − ≥ ⇒ + + ≥ + + − ≥ hay 2 2 1 T T ≥ ⇔ ≤ Dấu " " = xảy ra khi 3 3 x y z= = = ± Vậy max 1 T = khi 3 3 x y z= = = ± Ví dụ 10: Giải : Áp dụng bất ñẳng thức trung bình cộng , trung bình nhân. 2 1 1 (1 )(1 ) xy x y x y x y + ≥ + + + + 1 1 1 2 1 1 (1 )(1 ) x y x y + ≥ + + + + Cộng vế theo vế , ta ñược: ( ) 2 2 1 1 2 1 (1 (1 )(1 ) (1 )(1 ) 1 (1 )(1 ) (1 )(1 ) xy xy xy x y x y xy x y x y + + ≥ ⇔ ≤ ⇔ + ≤ + + ⇔ + + ≥ + + + + + Dấu " " = xảy ra khi 0 x y = > Ví dụ 11: Giải : Chứng minh rằng với mọi 0, 0 x y > > , ta luôn có ( ) 2 (1 )(1 ) 1 x y xy + + ≥ + . Cho 4 a ≥ , chứng minh rằng : 1 17 4 a a + ≥ . Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguy ễ n Ph ú Kh ánh – ð à L ạt 85 Ta có : 1 1 15 16 16 a a a a a + = + + Áp dụng bất ñẳng thức trung bình cộng , trung bình nhân cho hai số dương 16 a và 1 a . 1 1 1 1 2 . 2 16 16 16 2 a a a a + ≥ = = Mà 15 15 15 4 .4 16 16 4 a a ≥ ⇒ ≥ = Vậy : 1 1 15 17 16 16 4 a a a a a + = + + ≥ Dấu " " = xảy ra khi 4 a = . Ví dụ 12: Giải : ðặt 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1A a b c a b c a b b c a c a b c = + + + = + + + + + + + Áp dụng bất ñẳng thức trung bình cộng , trung bình nhân cho hai số dương, ta ñược: 3 2 2 2 3 3 3 3 3 1 1 1 1A abc abc a b c a b c ≥ + + + = + Và 3 1 1 8 8 3 8 + + ≤ = ⇒ ≤ ⇒ ≥ a b c abc abc abc Vậy : 3 1 729 1 8 512 A ≥ + = . Dấu " " = xảy ra khi 2 a b c = = = . Cho 0 x y > ≥ . Chứng minh rằng : 2 4 3 ( )( 1) x x y y + ≥ − + Áp dụng bất ñẳng thức trung bình cộng , trung bình nhân cho bốn số dương 2 8 2 2 , 1, 1, ( )( 1) x y y y x y y − + + − + 2 4 2 2 8 8 2 2 2( 1) 4 2( )( 1) ( )( 1) ( )( 1) x y y x y y x y y x y y ⇒ − + + + ≥ − + − + − + 2 2 4 4 1 4 3 ( )( 1) ( )( 1) x x x y y x y y ⇔ + + ≥ ⇔ + ≥ − + − + Cho , , 0 a b c > thoả mãn 6 a b c + + = . Chứng minh rằng : 3 3 3 1 1 1 729 1 1 512 a a b c + + + ≥ . Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguy ễ n Ph ú Kh ánh – ð à L ạt 86 Dấu " " = xảy ra khi 2 8 2 2 2( 1) 2; 1 ( )( 1) x y y x y x y y − = + = ⇔ = = − + Ví dụ 13: Giải : ðiều kiện : 2008 x ≥ . ðặt 2 2 2007 0 2 2009 2008 2008 0 a x x a x b b x = − ≥ + = + ⇒ = + = − ≥ , ta có : 2 2 1 1 2009 2008 2009 2008 a b A a b a b a b = + = + + + + + Áp dụng bất ñẳng thức trung bình cộng , trung bình nhân 2009 2008 2 2009, 2 2008 a b a b + ≥ + ≥ Do ñó 1 1 2 2009 2 2008 A ≤ + Dấu " " = xảy ra khi 2 2 2 2 2009 2009 2007 4006 2008 2008 2008 a a x a a x b x b b b = = = + ⇔ ⇒ ⇒ = = = + = Vậy 1 1 max 2 2009 2 2008 A = + khi 4006 x = Ví dụ 14: Giải : Với , 0 x y > ta luôn có 1 1 4 x y x y + ≥ + 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 4 1 2 2 2 2 A x y xy x y xy xy x y xy xy = + = + + ≥ + + + + + hay ( ) 2 4 1 A xy x y ≥ + + Mặt khác ( ) 2 1 2 4 4 x y x y xy xy + + ≥ ⇒ ≤ = Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2007 2008 2 x x A x x − − = + + . Cho , 0 x y > thoả mãn 1 x y + = . Tìm GTNN của biểu thức 2 2 1 1 A x y xy = + + . [...]... , max y = 1 Ví d 23: ( ) Tìm các giá tr a, b sao cho hàm s f x = b ng −1 ax + b có95 tr l n nh t b ng 4 và có giá tr nh nh t giá x2 + 1 Nguytrn lPhú Khánh - à L t t Giá n nh t và nh nh Các vNguy liên quan Hàm sðà L 12 n đ n Phú Khánh – l p t Gi i : Hàm s đã cho xác đ nh trên ℝ • Hàm s có giá tr l n nh t b ng 4 khi và ch khi ax + b 4x 2 − ax + 4 − b ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ≤ 4, ∀x ∈ ℝ 2 x + 1 ∆ = a 2... có di n tích l n nh t và tìm giá tr l n nh t đó Gi i : a ⇒ NM = BC − 2BM = a − 2x 2 QM Trong tam giác vng BMQ có tan QBM = ⇒ QM = BM tan QBM = x 3 BM ð t BM = x , 0 < x < 110 Nguytrn lPhú Khánh - à L t t Giá n nh t và nh nh Các vNguy liên quan Hàm sðà L 12 n đ n Phú Khánh – l p t ( ) ( ) Di n tích hình ch nh t MNPQ là S x = MN QM = a − 2x x 3 a Bài tốn quy v : Tìm giá tr l n nh t c a S x = a −... i t = ±2 thì phương trình cho có m t nghi m • V i t > 2 thì v i m i giá tr c a t thì có 2 giá tr x Do đó phương trình (1) có đúng hai nghi m ð t : t=x + phân bi t thì phương trình (2) có đúng 2 nghi m t = ±2 ho c có đúng 1 nghi m t > 2 106 Nguytrn lPhú Khánh - à L t t Giá n nh t và nh nh Các vNguy liên quan Hàm sðà L 12 n đ n Phú Khánh – l p t 2 = a + 6 N u phương trình (2) có đúng 2 nghi m t =...Nguytrn lPhú Khánh - à L t t Giá n nh t và nh nh Do đó A ≥ 4 + Các vNguy liên quan Hàm sðà L 12 n đ n Phú Khánh – l p t 1 =6 1 2 4 V y min A = 6 khi x = y = 1 2 Ví d 15: Cho x , y, z > 0 Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c M = xyz (x + y )(y + z )(z + x ) Gi i : Áp d ng b t đ ng th c trung bình c ng... 99 dương sang Nguytrn lPhú Khánh - à L t t Giá n nh t và nh nh Xét () g c = g ' (c ) = 2c + Các vNguy liên quan Hàm sðà L 12 n đ n Phú Khánh – l p t 3 ,c>0 c +1 c2 + 1 2(1 − 8c 2 ) 2 (c 2 + 1)2 ( c 2 + 1 + 3c ) c > 0 1 g' (c) = 0 ⇔ ⇔c = 2 2 2 1 − 8c = 0 1 2 24 10 ⇒ ∀c>0:g c ≤ g( )= + = 3 9 3 2 2 1 a = 2 10 ⇒P ≤ D u "=" x y ra khi b = 2 3 1 c = 2 2 10 V y giá tr l n nh t c a P... 1) x 2 + 1 f / (x ) = 0 ⇔ x = 1 Gi i h n : 100 Nguytrn lPhú Khánh - à L t t Giá n nh t và nh nh lim f (x ) = lim x →∞ 1 x 1 + x x →∞ x −∞ f' x ⇒ lim f (x ) = 1, lim f (x ) = −1 x →+∞ 1 1+ 2 x x x →−∞ +∞ 1 + 0 − ( ) f (x ) Các vNguy liên quan Hàm sðà L 12 n đ n Phú Khánh – l p t 2 1 1 D a vào b ng bi n thiên ta th y −1 < m ≤ 2 là giá tr m c n tìm b ) m x 2 + 2 = x + m có nghi m th c m... có nghi m: 6 5 x2 + x + 1 − x2 − x + 1 = m 4 3 2 b ) Cho phương trình x + 3x − 6x − ax − 6x + 3x + 1 = 0 Tìm t t c các giá tr c a tham s a , đ phương trình có đúng 2 nghi m phân bi t 105 Nguytrn lPhú Khánh - à L t t Giá n nh t và nh nh Các vNguy liên quan Hàm sðà L 12 n đ n Phú Khánh – l p t Gi i : x2 + x + 1 − x2 − x + 1 = m a ) Tìm m đ pt sau có nghi m: Xét hàm s f (x ) = x 2 + x + 1 − x 2 − x +... khi x = − Ví d 19: Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a các hàm s : a ) f (x ) = x 2 − 4x + 5 trên đo n [−2; 3] 9 1 b ) f ( x ) = x 6 − 3x 4 + x 2 + trên đo n [−1; 1] 4 4 2 c) f (x ) = −x + 5x + 6 ( ) d ) f x = (x − 6) x + 4 trên đo n 0; 3 2 90 1 2 ( ) min f x = 5 khi x = −5 2 Nguytrn lPhú Khánh - à L t t Giá n nh t và nh nh Các vNguy liên quan Hàm sðà L 12 n đ n Phú Khánh – l p t Gi i : a... =5 −x 2 + 10x − 16 ( ) S ' x đ i d u t dương sang âm nên hàm s S x đ t đi m c c đ i t i x = 5 Di n tích tam giác l n ( ) ( ) nh t khi m i c nh còn l i dài 5 cm Khi đó di n tích l n nh t : S x = 12 109 Nguytrn lPhú Khánh - à L t t Giá n nh t và nh nh Các vNguy liên quan Hàm sðà L 12 n đ n Phú Khánh – l p t Ví d 2: ( ) M t h p khơng n p đư c làm t m t m nh cáctơng H p có đáy là hình vu ng c nh x cm... d 20: ( ) a ) Tìm giá tr l n nh t c a các hàm s : f x = x 3 + 3x 2 − 72x + 90 trên đo n −5;5 b ) Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s f ( x ) = x 3 − 3x + 2 trên đo n –3; 2 ( ) 3 2 c) Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s f x = x − 3x + 1 trên đo n −2;1 ( ) d ) Tìm a đ giá tr l n nh t c a hàm s f x = x + 2x + a − 4 trên đo n −2;1 đ t giá tr nh nh t . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số: 1 sin cos y x x = + Tìm các giá trị , a b sao cho hàm số ( ) 2 1 ax b f x x + = + có giá trị lớn nhất bằng 4 và có giá trị nhỏ nhất. x a = + + − trên ñoạn 2;1 − ñạt giá trị nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh - à Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguy ễ n Ph ú Kh ánh – ð à L ạt . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : T xy yz zx = + + . Nguyễn Phú Khánh - à Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguy ễ n Ph ú Kh ánh