Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số và ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong việc giải phơng trình, bất phơng trình Phần I: Lý thuyết 1... Tìm giá trị lớn n
Trang 1Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
và ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong việc
giải phơng trình, bất phơng trình Phần I: Lý thuyết
1. Định nghĩa : Cho hàm số y = f(x) xác định trên D Khi đó
+) M đợc gọi là GTLN của hàm số trên D KH: M max f(x)
D x
f(x) M, xD
Tồn tại x 0 D sao cho M = f(x0)
+) m đợc gọi là GTNN của hàm số trên D KH: M min f(x)
D x
f(x) m, xD
Tồn tại x 0 D sao cho M = f(x0)
2. Tính chất :
a) Tính chất 1: Giả sử f(x) xác định trên D và A, B là hai tập con của D ( A B ) Giả sử tồn tại
)
(
max f x
A
)
(
max f x
B
x , min f(x)
A x , min f(x)
B x Khi đó, ta có max f(x)
A x max f(x)
B x và min f(x)
A x min f(x)
B x
CM: Giả sủ max f(x)
A x = f(x0) với x0 A Do x0 A x0BAB
Theo định nghĩa ta có, f(x0) max f(x)
B x
hay max f(x)
A x max f(x)
B x
b) Tính chất 2: Hàm số f(x) xác định trên D và tồn tại max f(x)
D x và min f(x)
D x
Khi đó, ta có: max f(x) min f(x)
D x D
và min f(x) max f(x)
D x D
c) Tính chất 3: Giả sử f(x) và g(x) là hai hàm số xác định trên D và f(x) g(x) với mọi x thuộc D Khi đó, max f(x) maxg(x)
D x D
d) Tính chất 4: Giả sử f(x) xác định trên D và DD1D2 Giả thiết tồn tại max f(x)
i
D x và min f(x)
i
D x
với i 1 n,_ Khi đó,
max
2 1
x f x
f x
f
D x D
x D
2 1
x f x
f x
f
D x D
x D
e) Tính chất 5: Cho các hàm số f1(x), f2(x), … , f , f n(x) cùng xác định trên D
Đặt f(x) = f1(x) + f2(x) + … , f + f n(x) Giả thiết tồn tại, max f(x),min f(x),max f (x),min f i(x)
D x i D x D
x D
n
i 1 , Khi đó, ta có
) ( max
) ( max ) ( max ) (
D x D
x D
x D
Dấu = xảy khi và chỉ khi tồn tại x“ = ” xảy khi và chỉ khi tồn tại x ” xảy khi và chỉ khi tồn tại x 0 thuộc D sao cho max f i(x) f i(x0)
D
với i 1 ,n
) ( min
) ( min ) ( min ) (
D x D
x D
x D
Dấu = xảy khi và chỉ khi tồn tại x“ = ” xảy khi và chỉ khi tồn tại x ” xảy khi và chỉ khi tồn tại x 0 thuộc D sao cho min f i(x) f i(x0)
D
với i 1 ,n
f) Tính chất 6: Cho các hàm số f1(x), f2(x), … , f , f n(x) cùng xác định trên D và fi(x) > 0.
Đặt f(x) = f1(x) f2(x) … , f f n(x) Giả thiết tồn tại, max f(x),min f(x),max f (x),min f i(x)
D x i D x D
x D
Khi đó, ta có
)) ( max )) (
( max ))(
( max ( ) (
D x D
x D
x D
) ( min )
( min ) ( min ) (
D x D
x D
x D
Phần II: Bài tập
I/ Lý thuyết:
Trang 2Bất đẳng thức cosi: Cho a1,a2,a3, ,a n là các số không âm Khi đó, n
n
n
a a
a
2 1 2
1
Dấu “ = ” xảy khi và chỉ khi tồn tại x = ” xảy khi và chỉ khi tồn tại x xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = … = a = an
Bất đẳng thức bunhiacopski: Cho a1,a2,a3, ,a n và b1,b2,b3, ,b n là 2n số bất kì Khi đó,
2 2 1 1 2 2
2
2 1 2 2
2
2
1 a a n b b b n (a b a b a n b n)
Dấu “ = ” xảy khi và chỉ khi tồn tại x = ” xảy khi và chỉ khi tồn tại x xảy ra khi và chỉ khi
n
n
b
a b
a b
a
2
2 1
1
II/ Bài tập:
Bất đẳng thức cosi
Bài 1: (1 – 24) Cho hàm số y 4 1 x2 4 1 x 4 1 x Tìm giá trị lớn nhất của hàm số.
Hàm số có TXĐ: D 1 ; 1
Với mọi x D, áp dụng bất đẳng thức cosi ta có,
2
1 1
1 1
x x
x
2
1 1 1 1
x
x (2)
2
1 1 1 1
x
Cộng vế với vế 3 đẳng thức trên ta có, f(x) 1 1 x 1 x (4) với mọi x D
Dấu “ = ” xảy khi và chỉ khi tồn tại x = ” xảy khi và chỉ khi tồn tại x xảy ra khi và chỉ khi dấu “ = ” xảy khi và chỉ khi tồn tại x = ” xảy khi và chỉ khi tồn tại x ở (1), (2) và (3) cùng xảy ra Mà dấu “ = ” xảy khi và chỉ khi tồn tại x = ” xảy khi và chỉ khi tồn tại x ở (1), (2) và (3) xảy ra khi và chỉ khi x = 0
áp dụng bấtt đẳng thức cosi, với mọi x D, ta có:
2
1 1 1 1
1 x
x
2
1 1 1 1
1 x
x
2
2 2
2 1 1 1
1 )
( x x
x x
x
Dấu “ = ” xảy khi và chỉ khi tồn tại x = ” xảy khi và chỉ khi tồn tại x xảy ra khi và chỉ khi dấu “ = ” xảy khi và chỉ khi tồn tại x = ” xảy khi và chỉ khi tồn tại x trong (5) và (6) xảy ra Dấu “ = ” xảy khi và chỉ khi tồn tại x = ” xảy khi và chỉ khi tồn tại x trong (5) và (6) xảy ra khi và chỉ khi x = 0
Từ (4) và (7 suy ra, f(x) 3 với mọi x D mà f(0) = 3 và 0 D nên max ( )3
f x D
2 )
Hàm số có TXĐ:
2
1
; 1
D
Với mọi x D, áp dụng bất đẳng thức cosi, ta có:
2
2 2 2
2 1 1 ) 2 1 ( 1 2
1
2 2
2
x x x
2
2 2 2 2 1 2 )
(x x x x2 x x x2 x2
Dấu “ = ” xảy khi và chỉ khi tồn tại x = ” xảy khi và chỉ khi tồn tại x xảy ra khi và chỉ khi 0
2
1 1
1 1
2 1 1
2 2
x x
x
x x
Suy ra, max ( )1
f x
D
x
Bài 3: (30 – 66) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
y
y x
x y
x f
1 1
) ,
x y x y x y
D
Trang 3HD: (66)
Lấy (x, y) D Khi đó,
x
y y
x y
y x
x y
x
1 1
) , (
áp dụng bất đẳng thức cosi
y x x y
x y y x
2
2
f(x,y) x y 2 ( x y)
Hay f(x,y) x y (4)
y x x
x y
y y
x
Từ (4) và (5) suy ra
y x y x
f( , ) 1 1
y x y
x
2
1 ) ,
Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số 2 2
2
2 2
1 1
y x xy y
2 1 1 1 2
1 ) ,
y x y
x f
Dấu “ = ” xảy khi và chỉ khi tồn tại x=” xảy khi và chỉ khi tồn tại x xảy ra khi và chỉ khi x y
y x
1 1 1 1
2
1
y x
2
1
;
2
1
2
1
; 2
1
) ,
f x y
D y x
Bài 4: (18 – 49) Tìm các giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x,y) trên miền D(x,y):x y 0
a)
) (
1 )
,
(
y x y x y
x
f
) 1 )(
(
4 )
,
(
y y x x y
x
g
) (
1 )
,
(
y x y x y
x
h
HD:
a) Lấy (x,y) D tuỳ ý Khi đó, theo bất đẳng thức cosi ta có:
3 ) (
1 ) ( 3 ) (
1 )
( )
(
1 )
,
y x y y x y y
x y y x y y x y x y
x
f
Dấu “ = ” xảy khi và chỉ khi tồn tại x = ” xảy khi và chỉ khi tồn tại x xảy ra khi và chỉ khi y = x – y =
) (
1
y x
1
2
y x
Có ( 2 , 1 ) D và f( 2 , 1 ) 3 Vậy min ( , ) 3
) ,
f x y D
y x
b) Lấy (x,y) D tuỳ ý Khi đó, theo bất đẳng thức cosi ta có:
1 ) 1 )(
(
4 2
1 2
1 )
( ) 1 )(
(
4 )
,
y y x
y y
y x y
y x x y
x
g
3 1 4 1 ) 1 )(
(
4
2
1 2
1 ).
(
4 4
y y x
y y y x
Dấu “ = ” xảy khi và chỉ khi tồn tại x = ” xảy khi và chỉ khi tồn tại x xảy ra khi và chỉ khi
1
2 )
1 )(
(
4 2
1
x y
y x
y y x
Có ( 2 , 1 ) D và g( 2 , 1 ) 3 Vậy min ( , ) 3
) ,
g x y D
y x
c) Lấy (x,y) D tuỳ ý Khi đó, theo bất đẳng thức cosi ta có:
Trang 42 2 2
4 4
4 ) (
1 2 4 ) (
1 2
2 )
,
(
4 4
2
y x y
y x y y
x y
y x y x y y
x
h
Dấu “ = ” xảy khi và chỉ khi tồn tại x = ” xảy khi và chỉ khi tồn tại x xảy ra khi và chỉ khi
3
2
1 3 )
(
1
x y
x y
y x y
2
3 ,
3 3
2
3 ,
3 3 3
) ,
h x y
D y x
x
z z
y y
x z y x xyz z
y x
) 1 ( ) , , (
trên miền D(x,y,z) :x 0 ,y 0 ,z 0
HD:
z y x y
x xy x
z xz z
y yz z y
x
f 1 1 1
) ,
,
(
Lấy (x,y,z) tuỳ ý thuộc D Khi đó, áp dụng bất đẳng thức cosi, ta có:
x y
x xy z x
z xz y z
y
yz 2 , 2 , 2
z
y y
x x z y x z y x z y
x
f
Dấu “ = ” xảy khi và chỉ khi tồn tại x = ” xảy khi và chỉ khi tồn tại x xảy ra khi và chỉ khi xyz 1
Vì (1, 1, 1) thuộc D và f(1,1,1) = 6 nên min ( , , )6
f x y z D
x
z y
x z
y x
f( , , ) 2 1 2 1 2 1
và giá trị lớn nhất của hàm số g(x,y,z) x 16xyz , h(x,y,z) x xy 3 xyz trên miền
x y z x y z x y z
D
HD: (57)
a) Lấy (x,y,z) D tuỳ ý áp dụng bất đẳng thức cosi ta có:
5 2
5 1
1 1 1
1
1
2
x
yz x
z x
y x
z y x
5 2 5 1
1 1 1
1
1
2
y
xz y
z y
x y
z y x
5 2
5 1
1 1 1
1
1
2
z
xy z
y z
x z
z y x
Nhân vế với vế của ba bất đẳng thức ta có,
125 ) , ,
(x y z
f với mọi (x,y,z) thuộc D
Dấu “ = ” xảy khi và chỉ khi tồn tại x=” xảy khi và chỉ khi tồn tại x xảy ra khi và chỉ khi
3
1
z
y z
x y
z y
x x
z x y
3
1
;
3
1
;
3
1
3
1
; 3
1
; 3
1
) , ,
f x y z D
z y x
b) Lấy (x,y,z) D với x + y + z = 1 khi đó,
) 16 1 )(
( 16 1 ) 1
( 16 ) ( 1 ) , ,
áp dụng bất đẳng thức cosi ta có, yz 2 yz và 1 16yz 8 yz (yz)( 1 16yz) 16yz
Khi đó, g(x,y,z) 1 16yz 16yz 1
Dấu “ = ” xảy khi và chỉ khi tồn tại x=” xảy khi và chỉ khi tồn tại x xảy ra khi và chỉ khi
4 1 2 1
0 , 0 , 0
1
1 16
z y x
z y x
z y x yz z y
Trang 5Mà D
4
1
,
4
1
,
2
1
4
1 , 4
1 , 2
1
4
1 , 4
1 , 2
1 max
) , ,
D z y x
Bất đẳng thức bunhia
Bài 7: (15 – 45) Tìm GTLN của hàm số
1 1 1
) , , (
z
z y
y x
x z y x
x y z x y z x y z
D
1
1 1 1
1 1 1
1 1 ) , , (
z y
x z
y x f
1
1 1
1 1
1 3
z y
áp dụng bất đẳng thức bunhia cho hai cặp số
1 , 1
1 , 1
1
z y
x và x 1 , y 1 , z 1 có
1
1 1
1 1
z y
Mà x + y + z = 1 từ (2) suy ra
4
9 1
1 1
1 1
1
Kết hợp (1) và (3) suy ra
3
4 4
9 3 ) , , (x y z
3
1 , 3
1 , 3
1
và
3
4 3
1 , 3
1 , 3
1
f
Vậy
3
4 ) , , (
D
x
Bài 8: (34 – 74) Tìm GTLN của hàm số f(x,y,z) y(z x) trên miền
D
HD: Ta có f(x,y,z) = y(z – x) = z(2x + y) + (- x)(2z + y)
áp dụng bất đẳng thức bunhia cho hai cặp số z , ( x) và 2xy, 2zy ta có
Mà x2 + z2 = 1 và (2x + y)2 + (2z + y)2 = 2y2 + 4y(x + z) + 4(x2 + y2) = 16 vì y2 + 2y(x + z) = 6 Khi đó, y(z x)2 1.1616 y(z x)4 hay f(x, y, z) 4
Dấu “ = ” xảy khi và chỉ khi tồn tại x = ” xảy khi và chỉ khi tồn tại x xảy ra khi và chỉ khi
10 1 10 10 3
2 2
6 ) ( 2
1 2
2 2
z y x
y z
y x x z
z x y y
z x
10
1 , 10 , 10
3 ,
10
1 , 10 ,
10
3
f x y z D
x
Bài 9 Bài 36(77)
y x y
y x
x y x
1 1 ) , (
2 2
trên miền
( , ) : 0 1 , 0 1
D
1
1 1 ) , (
2 2
y x
y y
y x x
x y x f
2
1 1
1 1
1
y x y
áp dụng bất đẳng thức bunhia cho hai cặp số
1 , 1
1 , 1 1
và ( 1 x, 1 y, xy
Trang 6Ta có, ( 1 ) ( 1 ) ( ) 1 1 1 9
1
1 1
1 1
z y
Từ (1) và (2)
2
5 2 2
9 ) ,
f x y Dấu “ = ” xảy khi và chỉ khi tồn tại x = ” xảy khi và chỉ khi tồn tại x xảy ra khi và chỉ khi
3
1 1
1 1
1 1
1
y x y x y
y x x
Có
2
5 3
1 , 3
1 , 3
1
,
3
1
2
5 ) , (
D x
Bài8: Bài 37(83) Tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x,y,z) xyz trên miền
3
4 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( : )
,
,
(x y z x x y y z z
D
3
4 ) 1 ( ) 1 ( ) 1
x x
áp dụng bất đẳng thứ bunhia cho hai cặp số 1 , 1 , 1 và (x,y,z)ta có: 3 (x2 y2 z2 ) (xyz) 2
Bài 10: bài 39(85) Tìm GTNN và GTLN của hàm số f(x,y,z) x3 y3 z3 và GTLN của hàm số
4 4 4
)
,
,
g trên miền D(x,y,z) :x 0 ,y 0 ,z 0 ,xyz 1
HD:
a) Xét hàm số f(x,y,z) x3 y3 z3 trên D(x,y,z) :x 0 ,y 0 ,z 0 ,x yz 1
Lấy (x, y, z) thuộc D áp dụng bất đẳng thức bunhia cho hai cặp số x x,y y,z z và x, y, z
Ta có, suy ra, f(x,y,z) (x2 y2 z2 ) 2 (1) do x + y + z = 1
áp dụng bất đẳng thức bunhia cho cặp số 1 , 1 , 1 và (x,y,z)
Ta có,
3
1 )
( ) (
y z x y z x y z
Từ (1) và (2) suy ra
9
1 ) , , (x y z
f
Dấu “ = ” xảy khi và chỉ khi tồn tại x = ” xảy khi và chỉ khi tồn tại x xảy ra khi và chỉ khi
3
1
y z x
Có
9
1 3
1 , 3
1 , 3
1 , 3
1
,
3
1
,
3
1
9
1 ) , , (
D x
b) Lấy (x, y, z) thuộc D áp dụng bất đẳng thức bunhia cho hai cặp số 4 x,4 y, 4 z và (1, 1, 1)
4 4
) (
Lại áp dụng bất đẳng thức bunhia cho hai cặp số x, y, z và (1, 1, 1)
Từ (1) và (2) suy ra 2 ( , , ) 3 3 27
z y x
g hay g(x,y,z) 4 27 Dấu “ = ” xảy khi và chỉ khi tồn tại x = ” xảy khi và chỉ khi tồn tại x xảy ra dấu “ = ” xảy khi và chỉ khi tồn tại x = ” xảy khi và chỉ khi tồn tại x ở (1) và (2) cùng xảy ra hay
3
1
x y z
3
3 3
1 , 3
1 , 3
1 , 3
1
,
3
1
,
3
1
f x y z D
Phơng pháp: Xét bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số f(x) trên một miền D cho trớc.
B 1: Gọi y0 là một giá trị tuỳ ý của hàm số f(x) trên D.
B 2: Giải điều kiện để hệ phơng trình (ẩn x):
D x
y x
f( ) 0
B 3: Biến đổi đa hệ phơng trình về dạng: y0
B 4: Vì y0 là giá trị bất kì trên D Đa ra kết luận.
Bài tập:
Trang 7Bài 1: (96-185) Tìm GTLN và GTNN của hàm số
10 2
23 7 2 )
2
x x
x x x
TXĐ: R
Gọi y0 là một giá trị của hàm số Khi đó, phơng trình 0
2
2
10 2
23 7 2
y x
x
x x
Vì x2 + 2x + 10 0 nên (1) 2 7 23 ( 2 2 10 )
0 2
x x y x x ( 2 ) 2 ( 2 0 7 ) 10 0 23 0
(2) có nghiệm
TH 1: y0 = 2 phơng trình (2) trở thành 3x 3 0 x 1 ( 1 ) có nghiệm
TH 2: y0 0, khi đó phơng trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi 0
0 ) 23 10
)(
2 ( 4 ) 7 2
2 , 2
5 2
3 0 15 16
Vì y0 là một giá trị tuỳ ý của hàm số y = f(x), nên
2
3 ) ( min , 2
5 ) (
R x R
x
Bài 2: (97 – 188) Tìm GTLN và GTNN của hàm số
1
3 2 4
2 2
x
x x
y
Đ/S: 1 y0 5
Bài 3: (98 – 191) Tìm GTLN và GTNN của hàm số
1 2 3
3 10 2
2 2
x x
x x y
Đ/ S:
4
153 1
4
153
1
0
) ,
trên một miền ( , ):( 2 2 1)2 4 2 2 2 2 0
D
HD: Gọi t0 là một giá trị tuỳ ý của hàm số f(x,y) trên D
Khi đó, hệ phơng trình
) 2 ( 0 4
) 1 (
) 1 ( 2 2 2 2 2 2 2
0 2 2
y x y x y
x
t y x
có nghiệm
Từ (2) ( 2 2 ) 2 3 ( 2 2 ) 1 4 2 0
0
2
Để hệ cố nghiệm thì (3) có nghiệm
2
5 3 2
5 3 0 1
2 0
Khi đó, (3) có nghiệm
4
1
30
2 0
4
1
0
2 0
Mà t0 là một giá trị tuỳ ý của f(x,y) trê D nên
2
5 3 ) , ( max
)
,
(
D
y
và
2
5 3 ) , ( min
) , (
D y x
Bài 5: Tìm GTLN và GTNN của hàm số
7
1 2 )
,
y x
y x y x
f trên miền D(x,y) :xy 1
HD: Gọi t0 là một giá trị tuỳ ý của hàm số f(x,y) trên D
Khi đó, hệ phơng trình
) 2 ( 1
) 1 ( 7
1 2
0 2
2
y x
t y
x
y x
có nghiệm
Từ (2) có x = 1 – y thế vào (1) y2 1 y2y27t0 vì x2 + y2 + 7 > 0
0 2 8 ) 1 2 (
Để hệ có nghiệm thì (3) có nghiệm
TH 1: t0 = 0 khi đó, (3) trở thành – y – 2 = 0 y 2, x = 3 phơng trình có nghiệm
TH 2: t0 0 đợc phơng trình bậc hai, phơng trình có nghiệm
Trang 80 , 20
10 2 5 30
10 2 5 0 1 20 60 0 ) 2 8 ( 8 ) 1 2
0 0
0 2
Kết hợp (3) có nghiệm khi
20
10 2 5 30
10 2 5
0
t
Vì t0 là một giá trị bất kì của f(x,y) trên D nên
30
10 2 5 ) , ( max
) , (
D
30
10 5 ) , ( min
) , (
D y x
2 2
4
) 4 ( )
, (
y x
y x x y x f
trên ( , ): 2 2 0
D
HD: Xét D1 (x,y):x0,y0 và D2 (x,y):y0 Khi đó, DD1D2
Nếu (x,y)D1 thì f(x,y) = 0 Vậy max ( , ) min ( , ) 0
1 1
D x D
x
Nếu (x,y)D2 Khi đó, ta có
1 2
2 2 2
) ,
2 2
y x y
x y
x y x f
Đặt
y
x
t
2
, đợc hàm số
1
4 4 1
) 2 ( )
2 2
t
t t
t t t
Khi đó max ( , ) max ( ), min ( , ) min ( )
2
)
,
R t D
y x R
t D
y
Gọi là một giá trị bất kì của hàm số F(t)
Khi đó, phơng trình
1
4 4
2
t
t
0 4 4
t t (1) có nghiệm
TH 1: Với = 0 phơng trình (1) có nghiệm t =1
TH 2: Với 0 phơng trình (1) có nghiệm ' 4 ( 4 ) 0 2 2 2 2 2 2 , 0 Kết hợp (1) có nghiệm khi 2 2 2 2 2 2
Suy ra, max ( , ) max ( ) 2 2 2
2
)
,
R t D
2
) ,
R t D
y x
Vậy max ( , ) max max ( , ), max ( , ) max0 , 2 2 2 2 2 2
2 1
D x D
x D
x
min ( , ) minmin ( , ),min ( , ) min0, 2 2 2 2 2 2
2 1
D x D
x D
x
4 2
) 1 (
3 4 3 ) (
x
x x x
f
HD: Gọi y0là một giá trị tuỳ ỳ của f(x)
Khi đó, phơng trình 2 2 0
4 2
) 1 (
3 4 3
y x
x x
có nghiệm
0 3 )
2 ( 2 ) 3
0
4
Để (1) có nghiệm xét hai TH
TH 1: y0 = 3 khi đó (1) trở thành x2 = 0 Vậy (1) có nghiệm
TH 2: (1) có nghiệm khi và chỉ khi hệ
) 2 ( 0 3 )
2 ( 2 ) 3 (
0
0 0
2
y t
Để (1) có nghiệm (2) có nghiệm t 0 mà (2) có P = 1 > 0 (2) có 2 nghiệm cùng dấu
Khi đó, (2) có nghiệm
2
5 0
0 '
0
t S
Kết hợp hai trờng hợp (1) có nghiệm khi
2
5
0
t
Vậy… = a
Trang 9Bài 8: (105 – 201) Cho hàm số
1 )
2
x
q px x x
f Tìm p, q để max ( )9,min ( )1
R x R
x
HD: Gọi y0 là một giá trị tuỳ ý của hàm số f(x)
2
2
x
q px x
Ta có, (1) ( 1 ) 2 ( 0 ) 0
y x px y q (2)
Để (1) có nghiệm thì (2) có nghiệm, xét 2 trờng hợp
TH 1: y0 = 1 thì (2) có nghiệm khi p 0 hoặc p = 0 và q = 1.
TH 2: y0 1 thì (2) có nghiệm khi 2 4 ( 0 1 )( 0 ) 0
0
2
2 0
y
Ta có y1 1 y2 vì với y0 = 1 có p2 0 q
Kết hợp hai trờng hợp ta có để (1) có nghiệm là y1 y0 y2
Khi đó, tacó min f(x) y1,max f(x) y2
R x R
Theo viét ta có
8
7 9
4
4
8 1
2 2 1
2 1
p
q q
p y y
q y y
Vậy… = a
Bài 9: (106 – 202) Cho hàm số
36
) ( 12 2
x
a x x
y tìm a nguyên khác 0 sao cho đại lợng max f(x)
R
là số nguyên.
HD: Gọi y0 là một giá trị tuỳ ý của hàm số f(x)
2 36
) ( 12
y x
a x x
(1) có nghiệm
Từ (1) ta có ( 12 ) 2 12 36 0 0 ( 2 )
Để (1) có nghiệm thì (2) có nghiệm Để (2) có nghiệm xét hai trờng hợp
TH 1: y0 = 12 có (2) trở thành x = 0 Vậy (2) có nghiệm
TH 2: y0 12 thì (2) có nghiệm ' 36 2 36 0( 0 12 ) 0
0
2
0
36
Nhận thấy y0 = 0 thì ' a2 0 a do vậy 6 36 a2 0 6 36 a2
0
36
Vậy maxf(x) 6 36 a2
R
Tìm a nguyên khác 0 để 36 a 2 = k (3) nguyên dơng
Nếu a > 0 thoả mãn (3) thì - a cũng thoả mãn 3, xét a > 0 khi đó, (3) 36 k2 a2 (k a)(ka)
Vì k + a > 0 suy ra k – a > 0 và k + a và k – a là số nguyên Suy ra
18
2
a k
a k
8
a
Vậy a = 8 và a = - 8 thì … = a
Phơng pháp: Cho hàm số y = f(x) xác định trên [a; b]
B 1: Giải phơng trình f (x) = 0 để tìm các nghiệm x’(x) = 0 để tìm các nghiệm x 1, x2, x3, … , f ,x n trong [a; b].
B 2: Tính các số f(a), f(b), f(x1), f(x2), … , f , f(x n).
B 3: Kết luận GTLN là số lớn nhất, GTNN là số nhỏ nhất trong các giá trị trên.
Bài tập:
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y sin 20 x cos 2x
2
cos 2 sin hàm số y sin 20x cos 20 x tuần hoàn với chu kì
2
T Do vậy, ta chỉ cần tìm GTLN và GTNN của hàm số trên 1 chu kì
2
;
0
Trang 10Ta có, y' 20 sin 19 x cosx 20 cos 19 x sinx
Xét y’(x) = 0 để tìm các nghiệm x = 0
4 2
0 sin
cos
0 cos
0 sin
x x x
x x x x
Bảng biến thiên: x 0 4 2
y’(x) = 0 để tìm các nghiệm x 0 - 0 + 0
1 1
y
9 2
1
Kết luận:
512
1 min
, 1
R x R
x
Bài 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số
10 2
23 7 2 )
2
x x
x x x
Bài 3: Cho hàm số
1 )
2
x
q px x x
f Tìm p, q để max ( )9,min ( )1
R x R
x
Phơng pháp: Dựa vào tính đồng biến và nghịch biến của hàm số bậc nhất và bậc hai Lập bảng biến thiên của hàm f(x) cần tìm GTLN, GTNN trên D cho trớc.
Tính chất 1
+) Hàm số y = ax + b đồng biến khi a > 0 và nghịc biến khi a < 0.
+) Hàm số y = ax 2 + bx + c:
Nếu a > 0: Đồng biến khi
a
b x
2
, nghịch biến khi
a
b x
2
Nếu a < 0: Đồng biến khi
a
b x
2
, nghịch biến khi
a
b x
2
Tính chất 2:
+) Nếu f(x) là hàm đồng biến trên D thì - f(x) là hàm nghịch biến trên D.
+) Nếu f(x) là hàm đồng biến trên D và f(x) > 0 thì hàm
) (
1
x
f nghịch biến trên D.
Tính chất 3:
+) Nếu f(x) và g(x) là hai hàm đồng biến trên D thì hàm f(x) + g(x) cũng đồng biến trên D +) Nếu f(x), g(x) là hai hàm đồng biến trên D và f(x) >0, g(x) > 0 trên D thì hàm f(x).g(x) cũng
đồng biến trên D.
Bài tập
Bài 1: (107 – 206) Tìm GTLN và GTNN của hàm số y 2x 4 3x 6 x 3 x 1 xét trên miền
HD: Lập bảng biến thiên của hàm số trên D
D
Bài 3: (110-210) Tìm GTNN và GTNN của hàm số f(x,y,z) xyzxyyzzx trên miền
D
x
D
y x y x y x
f( , ) ( ) 1 1 trên miền
D
Bài 6: (119 – 227) Tìm GTLN và GTNN của hàm số y 3 x 6 x 18 3x x2 trên miền
D