Hàm biến phức chương 2: Hàm số biến phức

HÀM BIẾN PHỨC Chương này trình bày về giới hạn của hàm cũng như của chuỗi hàm biến số phức,sau đó áp dụng vào việc xây dựng một số hàm số sơ cấp thường gặp.. Điều này ta đã đượcbiết tron

BÀI TẬP LỚN

MÔN: HÀM BIẾN PHỨC

NHÓM 2

Năm học 2015 – 2016

Chương II HÀM SỐ BIẾN PHỨC

***

§ 1 HÀM BIẾN PHỨC

Chương này trình bày về giới hạn của hàm cũng như của chuỗi hàm biến số phức,sau đó áp dụng vào việc xây dựng một số hàm số sơ cấp thường gặp Điều này ta đã đượcbiết trong giải tích thực – giải tích của các hàm nhiều biến thực Vì vậy, về cơ bản không

có gì hoàn toàn mới Tuy nhiên để thuận lợi cho người học, chúng tôi vẫn đưa ra một sốkhái niệm và kết quả sẽ dùng sau này

, với giá trị trong C

1.2 Tính liên tục và liên tục đều

Cho hàm f xác định trên tập tùy ý D ⊂ C với giá trị trong C và 0

z

là điểm tụ của

D hữu hạn hay là điểm xa vô cùng tận

Số phức a ∈ C gọi là giới hạn của hàm

Hàm f gọi là liên tục trên D nếu nó liên tục tại mọi điểm z ∈ D

Tương tự như đối với hàm biến thực , nếu f(z) và g(z) là các hàm liên tục tại 0

Rõ ràng nếu f liên tục đều trên D thì nó là hàm liên tục trên D

Các định lý sau được chứng minh tương tự như trường hợp hàm biến thực

Định lý 1 :Nếu f liên tục trên tập compact K⊂ D thì f liên tục đều trên K

ta nói nó hội tụ trên D.

Trong trường hợp giới hạn của dãy là hữu hạn trên D , bằng cách đặt

limn n

f = →∞ f

Nói một cách cụ thể hơn hàm f là giới hạn của dãy hàm

{ }f n trên D nếu:

được gọi là chuỗi hàm trên D.

Nếu đặt đối với mỗi n ≥ 1

trên D Dãy hàm này được gọi là dãy các tổng riêng của

chuỗi hàm (2) Hơn nữa

gọi là tổng của (2) và viết:

1

n n

Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy chuỗi số hội tụ

Đặt , khi đó với mọi ta có

Vì chuỗi (2) hội tụ đều và chuỗi số hội tụ nên với mọi ta tìm được sao cho

Cố định Theo giả thiết ta có

Do đó ta tìm được sao cho

Vì vậy với bất đẳng thức (3) cho ta

Nhận xét: Từ định lý 5 ta suy ra rằng: Nếu chuỗi (2)hội tụ đều trên D và các hàm

liên tục trên thì chuỗi cũng hội tụ đều trên và tổng của nó cũng là hàm liên tục trên

Ví dụ Xét tính hội tụ đều của chuỗi trong hình tròn đơn vị D(0, 1).

Ta đã biết với mọi |z|<1, chuỗi hội tụ Ta chứng tỏ rằng sự hội tụ này là không đều trên D(0,1)

Thật vậy, giả sử chuỗi hội tụ đều trên D(0, 1) Vì mọi hàm

n z

liên tục trên C nên theo nhận xét trên chuỗi hội tụ trên hình tròn đóng

∞

=

∑

phân kỳ

2.2 Chuỗi lũy thừa, định lý Abel.

Trường hợp riêng quan trọng của chuỗi hàm là chuỗi lũy thừa:

0

n n n

a) Vì chuỗi số 0

n

n o n

Với o

z q z

=

thì chuỗi 0

n n n

C z

∞

=

∑

hội tụ tuyết đối với mọi và hơn nữa chuỗi

hội tụ đều trên với

b) Bây giờ giả sử chuỗi

1 0

n n n

z > z

Nếu chuỗi

2 0

n n n

n n n

n n n

Theo cách đặt, hiển nhiên 0

n n n

n n n

Với mọi z cố định xét chuỗi số

0

n n n

Theo tiêu chuẩn Cauchy chuỗi (6) hội tụ, khi

lim supn lim supn 1

n n

z

C

→∞

>

Từ đó ta có định lý sau cho công thức tính bán kính hội tụ của chuỗi (4)

1lim supn

n n

n n

z

C

→∞

<

lim n n n

C R

n n n

n z a

Vậy chuỗi đã cho hội tụ trên toàn bộ mặt phẳng phức

b, Tìm bán kính hội tụ của chuỗi

2 1

1 ( ) n n.

n n

R

e n

c) Tìm miền hội tụ của chuỗi

2

n n

z n

!

1 ( 1)!

hyperbolic xác định trên toàn mặt phẳng phức.

3.2 Hàm mũ, hàm lượng giác và hàm hyperbolic.

Trong giải tích thực ta đã biết các chuỗi sau đây hội tụ tuyệt đối với mọi số thực

0 2 0

1 n!

n n n

n

n n n

x x

n x x

n x

shx

n x chx

Theo Định lý Abel các chuỗi nói trên vẫn hội tụ tuyệt đối nếu thay bởi số phức bất

kỳ thuộc Vì vậy ta có các hàm biến phức tương ứng xác định trên toàn bộ mặt phẳng phức sau đây:

n n n n

hội tụ tuyệt đối nên theo công thức

nhân chuỗi và định lý ở §2, Chương I ta có:

z z

ω

ω

ω ω

(6)

Chứng minh: Hai công thức đầu nhận được bằng cách trừ và cộng (1) với (2).

Theo định nghĩa ta có ngay

z x

e =e y i+ y Chứng minh Thật vậy theo định lý 1 ta có

là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2 iπ

Hàm sin z và cos z cùng tuần

hoàn với chu kỳ 2π

2) Tạo ảnh của các đường

ω = +

và

1

z z

ω=

−

Bài 5: Đối với ánh xạ .

z e

a) 1 + cosx + cos2x + + cosnx

b) sinx + sin2x + + sinnx

c) cosx + cos3x + + cos(2n-1)x

d) sinx + sin3xx + + sin(2n-1)x

Bài 9: Chứng minh:

1) siniz = ishz

2) cosiz = chz

3) tgiz = ithz

Bài 10: Biểu diễn qua các hàm lượng giác và hyperbolic biến số thực phần thực, phần ảo

cũng như môđun của các hàm:

1) sinz; 2) cosz; 3) shz; 4) chz

Bài 11: Tìm phần thực, phần ảo của:

Bài 12: Tìm cách bổ sung thêm giá trị của các hàm sau tại z = 0 để nó trở thành hàm liên

3)

2 2

Re( )

;

z z

4)

Re

v x c

c v

u v

.cos sin cos 2

2 2 cos sin sin 2

= (Trừ gốc tọa độ)

Bài 2:Cho hàm

1

−

=+

a) x = C

TH1: c = 0

0w1

2 2

I c

0

u

x

x v

2 2

2 2

2

I c

2 2

y r r

2 2

I c

2

I c

1sin1

f) sinx + sin2x + + sinnx.

g) cosx + cos3x + + cos(2n-1)x

h) sinx + sin3xx + + sin(2n-1)x

−Vậy:

(1 cos 2 ) (sin 2 ) 2sin 2 sin 2sin (1 cos 2 )

2 2 cos 2 2sin sin 2 (1 cos 2 )

=

2

(1 cos 2 ) 2.2sin

.( )

Bài 11: Tìm phần thực, phần ảo của:

1) cos(2+i) 2) sin2i 3) tg(2-i)

Re(cosz)=cos Im(cos ) sinx

sinz = sinx.chy + icosx.shy

với

z= +x iy

Suy ra:

Re(sinz) = sin Im(sin ) osx

cos(x+iy) cos sin

(sinx cos ).( os sin )

( os ) (s inx )

x ch y sh y tgz

shy chy tgz

3)

2 2

Re( )

;

z z

4)

Re

Re( ) ( ) n 0 lim ( ) 0

2 2 ' 2