Sử dụng phương pháp đại số lượng giác tìm GTLN và GTNN

CHUYÊN ĐỀ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ, LƯỢNG GIÁC GIẢI BÀI TỐN TÌM GTLN - GTNN MƠĐUN SỐ PHỨC A KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa  Lưu ý: Bất đẳng thức tam giác  z1  z2  z1  z2   dấu bằng xảy ra khi  z1  kz2  với  k   .   z1  z2  z1  z2   dấu bằng xảy ra khi  z1  kz2  với  k     z1  z2  z1  z2   dấu bằng xảy ra khi  z1  kz2  với  k     z1  z2  z1  z2   dấu bằng xảy ra khi  z1  kz2  với  k    Bất đẳng thức AM-GM Với  a1 , a2 , , an  khơng âm ta ln có  a1  a2   an  n n a1.a2 an  , n  là số tự nhiên  lớn hơn 1.Dấu bằng xảy ra khi  a1  a2  an   Bất đẳng thức Bunyakovsky  a12  a22   an2  b12  b22   bn2    a1b1  a2b2   anbn 2 Dấu bằng xảy ra khi  a1 a2 a    n b1 b2 bn B BÀI TẬP Kĩ thuật 1: Đánh giá hai modun với Kĩ thuật này chúng ta tận dụng các phép đánh giá   ab  a  b  Câu ab  a  b Cho số phức  z  thỏa mãn  z  i   Giá trị lớn nhất của z  là  A C 2 D Phân tích  Nhận thấy bên trong mơ đun chỉ có 1 vị trí chứa  z bởi vậy ta sẽ nghĩ đến đánh giá hai B modun  z  i ,  z  với nhau  Công cụ chúng ta hay dùng để đánh giá các mô đun với nhau a  b  a  b  và  a  b  a  b Lời giải  2 Ta có:  z  i  z  i  z   Do đó z    z    z  Với  z   i , ta có  z  i  i   và z  Do đó  z max  z max  Vậy chọn đáp án D Câu Cho số phức  z   thỏa mãn  z  khơng phải số thực và  w  z  là số thực. Tìm giá trị lớn nhất   z2 của biểu thức  P  z   i   A 2 B C Phân tích D z  là số thực nên ta tìm cách biểu diễn số phức  z  theo số thực đó  z2 Sau đó ta nhận thấy  z  là ẩn của phương trình bậc hai. Từ đó ta sẽ tìm được  z    Đề bài cho  w   Nhận thấy bên trong mơ đun chỉ có 1 vị trí chứa  z bởi vậy ta sẽ nghĩ đến đánh giá hai modun  z   i ,  z  với nhau  Công cụ chúng ta hay dùng để đánh giá các môdun với nhau a  b  a  b  và  a  b  a  b   Lời giải z  w   z   z  z  z    *   2 z w (*) là phương trình bậc hai với hệ số thực     Vì  z  thỏa  *  nên  z  là nghiệm phương w Ta có w  trình  *  Gọi  z1 , z2  là hai nghiệm của (*) Suy ra  z1 z2   z1 z2   z1 z2   z  Suy ra P  z   i  z   i    2  Dấu bằng xảy ra khi  z   i Vậy chọn đáp án A  Câu Cho số phức  z  thỏa  z   2  Tìm tích  giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P  A B C D zi   z Phân tích   Nhận thấy  zi i  có thể viết lại thành    tức là bên trong cũng chỉ  z z zi  với  z   z  Công cụ chúng ta hay dùng để đánh giá các môdun với nhau a  b  a  b  và  a  b  a  b   có một vị trí chứa  z  . Nên ta tìm cách đánh giá  Lời giải Chọn A Ta có  P   i i 1  1   Mặt khác:     |z| |z| z z Vậy giá trị nhỏ nhất của  P  là , xảy ra khi  z  2i;  giá trị lớn nhất của  P  bằng   xảy ra khi  2 z  2i   Câu Xét số phức  z  thỏa mãn  z   z  i  2  Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A  z  2 B z  C  z  2 D z  Lời giải Cách Sử dụng bất đẳng thức modun, ta có  2  z 1  z  i   z 1  z  i   z 1  z  i   2 Do đó dấu bằng phải xảy ra, tức là   z  i   z  i  z  1       z z i  Chọn đáp án C Cách Gọi  z  x  yi ,  x; y     được biểu diễn bởi điểm  M  x; y    2 Suy ra  z   z  i   x  1  y  x   y  1  2MA  3MB  với  A 1;0  , B  0;1 Khi đó, điều kiện bài tốn trở thành  MA  3MB  2  AB (1).  Mặt khác, ta ln có:  MA  3MB   MA  MB   MB  AB  MB  (2).  Từ (1) và (2), suy ra:  AB  MB  MA  3MB  AB  AB  MB  AB  MB   3  MB   M  B  0;1  Z    ;  2 2 Câu Cho số phức  z  thỏa mãn  z   Tìm giá trị lớn nhất M max  và giá trị nhỏ nhất  M  của biểu  thức  M  z  z   z  A M max  5;  M    C M max  4;  M    B M max  5;  M    D M max  4;  M    Phân tích  Ta tìm cách đánh giá z  z   z   với  z    Công cụ chúng ta hay dùng để đánh giá các môdun với nhau a  b  a  b  và  a  b  a  b   Lời giải Chọn A Ta có:  M  z  z   z   , khi z   M   M max    Mặt khác:  M   z3 1 z  1 z  1 z3   z3   z3   z3  1, khi  z  1  M   M    Câu Cho số phức  z  thỏa mãn  z    Tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z  là  z A B  Ta tìm cách đánh giá z  C 13 Phân tích  với  z  .  z D  Trước  hết  ta  có  bài  tốn  tổng  qt:  Cho a, b, c là  các  số  thực  dương  và  số  phức  z  b c  c  4ab c  c  4ab  c  Chứng minh rằng  z    z 2a 2a Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  z  là số thuần ảo b  Dựa vào dấu đẳng thức xảy ra ta chỉ cần tiến hành giải phương trình  az   c  rồi lấy z trị tuyệt đối mỗi nghiệm. Khi đó số dương nhỏ là z  số dương lớn là  max z   thỏa mãn az  Lời giải Ta có  z  1  13  13  z    z  z 1    z z z 2 Do đó  z   13 3  13 ; max z    2 Vậy tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của z  là  13   Kĩ thuật 2: Dùng bất đẳng thức đại số Kĩ thuật này chúng ta tận dụng các phép đánh giá   Với  a1 , a2 , an  khơng âm ta ln có  a1  a2   an  n n a1.a2 an Dấu bằng xảy ra khi  a1  a2  an  .  a   a22  an2  b12  b22  bn2    a1b1  a2b2   anbn  Dấu bằng xảy ra khi  Câu a1 a2 a    n b1 b2 bn Cho số phức  z  thỏa mãn điều kiện  z    Tìm giá trị lớn nhất của  T  z  i  z   i   A max T  B max T  C max T  D max T  Phân tích  Ta tìm cách biểu diễn   z  i , z   i  theo  z   . Khi đó  T  z  i  z   i  biểu diễn  được dưới dạng   và  z  cũng biểu diễn được dưới dạng    Ta tìm cách đánh giá   Lời giải Chọn B T  z  i  z   i   z  1  1  i    z  1  1  i    Đặt  w  z   Ta có  w   và  T  w  1  i   w  1  i    Đặt  w  x  y.i  Khi đó  w   x  y T   x  1   y  1 i   x  1   y  1 i   1  2 2  x  1   y  1  12   x  1   y  1   x  1   y  1 2   22x   x  1   y  1  y2  4  Vậy  max T    Câu Cho số phức  z  thỏa mãn  z   z    Gọi  M ,  m  lần lượt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất z  Khi đó  M  m  bằng  C D  Phân tích  Đề bài u cầu tính  M  m  do vậy ta sẽ đi tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z A  B   Đề bài cho  z   z   có 2 mơđun mà mơđun có thể biểu diễn qua căn. Tức là đề bài cho biết tổng hai căn. Do vậy ta sẽ đánh giá tổng hai căn với căn thứ ba.   Cơng cụ để đánh tổng hai căn với căn thứ ba có thể dùng Bunhiacopxki Lời giải Chọn B Gọi  z  x  yi  với  x; y     Ta có   z   z   z   z   z  z  Do đó  M  max z  khi  z  4  .  Mà  z   z    x   yi  x   yi    x  3  y2   x  3  y2  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có    x  3  y   x  3  y2  1 2  12   x  3  y   x  3  y       x  y  18    x  y  18   64  x2  y   x2  y   z  Do đó  M  z  Vậy  M  m     Câu 2 Tìm số phức  z sao cho  z    4i    và biểu thức P  z   z  i  đạt giá trị lớn nhất.  A z   i B z   5i C z   2i Lời giải D z   3i Chọn B Cách Đặt  z  x  yi  x, y      2 Khi đó  z    4i     x     y    2 Ta có  P   x    y  x   y  1  x  y   P  23   x  3   y     Suy ra  P  23   x  3   y    4   22   x  3   y    Suy ra  13  P  33   Do đó:  Pmax x 3 y 4  x    33  khi và chi khi      y      x     y    10 Vậy  z   5i   Cách Đặt  z  x  yi  x, y      2 Khi đó  z    4i     x     y      20.5  10  x   sin t  x   sin t Đặt      y   cos t  y   cos t     P  z   z  i  x  y    sin t   cos t   sin t  cos t  P  23 Theo điều kiện có nghiệm phương trình lượng giác       2   P  23  P  46 P  429   13  P  33   Vậy GTLN của  P  là  33    z   5i   Câu 10 Cho số phức  z  thỏa mãn  z   và số phức w  A w  B w  2z  i  Khi đó, kết luận nào sau đây đúng?   iz C w    D  w    Lời giải Chọn B Đặt  z  a  bi  a, b     a  b   do  z  2a   2b  1 i 2a   2b  1 i 4a   2b  1 2z  i w    2  iz   b     b     b  a2 Ta chứng minh  4a   2b  1 2  b 2  a2    2 Thật vậy ta có:  4a   2b  1    b   a  a  b    Dấu  "  "  xảy ra khi và chỉ khi  a  b    Câu 11 Cho ba số phức  z1 , z2 , z3  thỏa mãn  z1  z2  z3  và  z1  z2  z3   Giá trị lớn nhất của biểu thức của  P  z1  z2  z2  z3  z3  z1  bằng bao nhiêu? A Pmax    B.  Pmax  C Pmax    D Pmax  10   Phân tích  Với phép biến đổi 2 2   z1  z2  z  z3  z3  z1  z1  z  z3   z1  z2  z3  z1  z  z3  giúp ta đánh giá    z1  z2  z2  z3  z3  z1  và  z1  z2  z2  .  Lời giải Chọn B 2 2 2 Áp dụng công thức biến đổi  z1  z2  z2  z3  z3  z1  z1  z2  z3  1    2 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có  P  z1  z2  z2  z3  z3  z1   Suy ra  Pmax   đáp án  B 1  2  22  22  z1  z2  z2  z3  z3  z1  3 3  2 Câu 12 Với hai số phức  z1 , z2  thỏa mãn  z1  z2   6i và  z1  z2  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  z1  z2 A P   B P  26 D P  34  C P  Lời giải Chọn B Cách 1: Gọi  z1  a1  b1i  và  z2  a2  b2i với  a1 , b1 , a2 , b2     a  a   z1  z2   6i  a1  a2    b1  b2  i   6i  Khi đó     b1  b2  a  a  b  b i       z1  z2  2  2   a1  a2    b1  b2   2 2   a1  a2    b1  b2    a1  a2    b1  b2   104  a12  a2  b12  b2  52   *  * Bunh 12  22  a12  a22  b12  b22   2.52  26 Ta có  P  z1  z2  a12  b12  a22  b22   Pmax  26  đáp án  B Cách 2: Áp dụng công thức biến đổi z.z  z và  z1  z2  z1  z2  ta có:  2 z1  z2  z1  z2   z1  z2  z1  z2    z1  z2  z1  z2    z1  z2  z1  z2    z1  z2  z1  z2     z1 z1  z2 z2   z1  z2 2   2 Vậy  z1  z2  z1  z2  z1  z2 2 Suy ra  z1  z2 Bunh P  z1  z2  2    z1  z2  z1  z2 82  62  22    52 * 2  12  22  z1  z2 *  2.52  26  Pmax  26  đáp án  B Câu 13 Xét  các  số  phức  z  a  bi  a, b      thỏa  mãn z   3i    Tính  P  a  b   z   3i  z   i  đạt giá trị lớn nhất A P  10 C P  Lời giải B P  D P  Chọn A Cách 1: 2 Ta có:  z   3i    a     b  3   a  b  8a  6b  20 Đặt  A  z   3i  z   i  ta có:  A  a  1   b  3  2   a  1   b  1 2 A2  12  12   a  1   b  3   a  1   b  1   22a  b   4b  12   16a  8b  28    4a  2b   1 Mặt khác ta có: 4a  2b    a     b  3  15  4   2   a     b  3   15  25  2 Từ  1  và     ta được:  A2  200 4a  2b   25 a    Để  Amax  10   a  b  b    Vậy  P  a  b  10   Cách 2: 2 Do  z   3i    a     b  3  Suy ra  M   C   có tâm  I  4;3  và bán kính R  Gọi A  1;3 ,  B 1; 1 ,  I   0;1   Suy ra  P  MA  MB   MA2  MB  AB 2   Suy ra  PMax  MI Max  I  là hình chiếu vng góc của M  trên  AB  M , I , I   thẳng hàng. Vì  ta thấy IA  IB  MA  MB  nên xảy ra dấu=   Ta có IM   a  4; a  3 , II    4; 2   nên  AB  M , I , I   thẳng hàng  2 Mặt khác ta có MA  MB  MI 2   2  a    4  b  3  a  2b    Tọa độ  M  là nghiệm của hệ  a  2   b  32   a  2; b     a  6; b  a  2b  Mặt khác  M  2;   P  MA  MB  10 M  6;   P  MA  MB  10 Vậyđể PMax  thì M  6;   Suy ra  a  b  10 Cách 2 Ta có  z   3i    a     b      a  sin   Đặt  b  cos    Khi đó  M  z   3i  z   i   a  1   b  3   a  1   b  1  10 sin   30  sin   cos   30 Áp dụng BĐT Bunhiacopski   M  16 sin   cos   60  8  sin   cos    60   10  sin   Nên  M max  10  khi   cos    Vậy  P  a  b  10   a  sin       b  cos    Kĩ thuật 3: Dồn biến Kĩ thuật này chúng ta đi theo hướng   Với số phức ở dạng đại số từ đề bài ta đi tìm mối liên hệ giữa phần thực và phần ảo Nếu làm được điều này ta sẽ dồn về 1 biến  Từ đề bài chúng ta đánh giá về một mơđun có thể là z   Câu 14 Trong các số phức thỏa mãn điều kiện  z  3i  z   i  Tìm số phức có mơđun nhỏ nhất? B z    i   5 A z   2i C z   i 5 D z  1  2i Phân tích  Đề bài cho  z  3i  z   i  nên ta sẽ tìm được mối liên hệ giữa phần thực và phần ảo  của số phức z. Bởi vậy  z  sẽ dồn được một biến.  Lời giải Chọn C Giả sử  z  x  yi  x, y      2 z  3i  z   i  x   y  3 i   x     y  1 i  x   y  3   x     y  1  y   4x   y   4x  y    x  y 1   x  y  2  z  x  y   y  1  y  y  y    y     5 5  2 Suy ra  z  2 1 y    x   Vậy  z   i 5 5 Câu 15 Cho  z  thỏa mãn  z   4i  z  2i  Tìm GTLN của  w với  w  B w  A w  2 10 C w  2i z 10 D w  10 Lời giải Chọn C Đặt  z  x  yi  x, y   Khi đó 2 z   4i  z  2i  x  yi   4i  x  yi  2i   x     y    x   y    4 x  y  16   x  y    y   x Ta có 2i 5 2i 2i     w  w 2 z z z x y x2    x   2  x  2    2 x  x  16 2 10  Vậy  w max  x  x  16 2 Câu 16 Cho các số phức  z1   3i ,  z2  5  3i  Tìm điểm  M  x; y   biểu diễn số phức  z3 , biết rằng  Ta có   x  2    nên w   trong  mặt  phẳng  phức  điểm  M   nằm  trên  đường  thẳng  x  y     và  mô  đun  số  phức  w  3z3  z2  z1  đạt giá trị nhỏ nhất.   1 A M   ;      5 3 1 B M  ;     5 5 3 1 C M  ;    5 5  1 D M   ;     5 Lời giải Chọn D Ta có điểm  M  x; y   d : x  y    nên  M  y  1; y   z3  y   yi Do đó  w  z3  z  z1   y   yi    5  3i   1  3i   y   y   i 2 1 4   5y  y 1  5 y      , y     5 5  Suy ra  w   y    y  3 Vậy  w   1 , dấu bằng xảy ra khi y   M   ;    5  5 Câu 17 Cho  z  thỏa mãn  z   4i  z  2i  Tìm GTLN của  w với  w  B w  A w  2 10 C w  2i z 10 D w  10 Lời giải Chọn C Đặt  z  x  yi  x, y   Khi đó 2 z   4i  z  2i  x  yi   4i  x  yi  2i   x     y    x   y    4 x  y  16   x  y    y   x Ta có 2i 5 2i 2i      w w 2 z z z x y x2    x   2 x  x  16   2  x  2  10  Vậy  w max  x  x  16 2 Câu 18 Cho số phức z thoả mãn  z   Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P  z   z  Ta có   x  2    nên  w  A Pmax   B Pmax  10   C Pmax    Lời giải Chọn A Cách 1: Đặt  z  x  yi    x; y      D Pmax    Ta có  z   x  y   Suy ra  x   1;1 Ta có  P  z   z    x  1  y2   x  1  y  x   2 x  Xét hàm  f  x   x   2 x   trên đoạn   1;1 , ta được ,  f   x    x    2x  2 x  Bảng biến thiên:  Ta có  f   x    3 Dựa vào BBT, ta suy ra:  max f  x   f     và  f  x   f 1  1;1 1;1  5 Cách 2: Bunhiacopxki Theo BĐT Bunhiacopxki:   P  z   z   (12  22 ) z   z    10  z  1  2 Câu 19 Cho số phức  z  thỏa mãn  z   Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P   z   z   A 15 B C 20 Lời giải D 10 Chọn D Gọi  z  x  yi;    x  ; y     Ta có:  z   x  y   y   x  x   1;1 Xét hàm số  f  x   1  x   y  1  x   y  1  x   1  x  1  x   1  x  ;  x   1;1  Hàm số liên tục trên   1;1  và với Ta có:  P   z   z  x   1;1  ta có:  f   x   1  x     x     1;1 1  x   4 Ta có:  f 1  2;  f  1  6;  f     10  Pmax  10    5 Câu 20 Xét số phức  z  thỏa mãn  z   i  z   7i   Gọi  m , M  lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của  z   i  Tính  P  m  M   A P  13  73 B P   73  73   C P   73   D P  2 Lời giải Chọn B Gọi  M  x; y   là điểm biểu diễn của  z  Các điểm  A  2;1 ,  B  4,  ,  C 1; 1   Ta có  z   i  z   7i   MA  MB  , mà  AB     MA  MB  AB Suy ra  M  thuộc đoạn thẳng  AB   Phương trình đường thẳng  AB : y  x  , với  x   2;    2 2 Ta có  z   i  MC  z   i  MC   x  1   y  1   x  1   x    x  x  17 Đặt  f  x   x  x  17 ,  x   2;    f  x  4x  , f  x   x    ( nhận )    25 Ta có  f  2   13 ,  f     ,  f    73    2   25 Vậy  f  x  max  f    73 ,  f  x   f        2  M  73 , m  5  73  P  2   Câu 21 Cho số phức  z  thỏa mãn   z   i   z  i    Tính tổng  T  max z  z ?  A.  T  52 B T  C T  D.  T  2 Lời giải  Chọn A Đặt  z  a  bi; a, b    .    Ta có:   z   i   z  i     a  bi   i    a  bi   i     a    1  b    9a 2    b  1  2  a     b  1 a  6 45   b  1 0  1  b  1 45   b  1 Khi đó  z  a  b   b2  .  Khảo sát hàm số, ta có  45   b  1  45   b  1 max 1 5;1      b2  y    ;  1 5;1    Vậy  T  2 9  b2  y      4 5 2 Câu 22 Cho số phức z thoả mãn  z   Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P  z   z  z   Tính giá trị của M.n  A 13 B 39   C 3 D 13   Lời giải Chọn A  Cách 1: Đặt  z  a  bi,  a, b     Đặt  t  z  Ta có :  z   z   z    t  t2  2 2 2 z  z   z  z  z z  z z   z  z 2a   t   P  t  t  với  t   0; 2   t  z    z  1 z    z z  z  z   z  2a   2a  a  t  t  3,  t  P  t  t 3   t  t  3,  t  Bảng biến thiên:   MaxP  0;2 13 13   ; MinP   M m  0;2  Cách 2: z  r (cos x  i s inx)  a  bi  z.z  z  Do  z    r  a  b  P   cos x  cos x  , dặt  t  cos x   1;1  f (t )   2t  2t   1 TH1:  t   1;   2 max f (t )  f (1)   f '(t )  20 1  2t min f (t )  f       1  TH2:  t   ;1 2    13    t    max f (t )  f     f '(t )   2t  8 13 13  Maxf (t )  ;  Minf (t )   M n    4 Câu 23 Cho số phức  z  thỏa mãn  z   Tìm tổng giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức  P  với P   z   z ?  A  B  2 C 1  2 Lời giải D  Ta có  1 z2 P   z  z  z   z  x  ( x  1)  y  x   x  vì  x  y  z Khảo sát hàm số  f ( x)  x   x  với  x  D   1;1 + Với  x   ta có  f ( x)  x   x  ta có  f '( x)   2  2x 1   2x  2x  x    nên ta có  max P  P (1)  0; P  P (0)     + Với  1  x   ta được  f ( x)  2 x   x  trên tập điều kiện. Hàm số nghịch biến trên   1; 0  Từ đó  ta  f '( x)  2   2x max P  P (1)  2; P  P (0)     f '( x )    x  + Từ trên ta được  max P  P ( 1)  2; P  P (0)    Vậy kết  1;1 1;1 Câu 24 Cho số phức  z  thỏa mãn  z.z   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  P  z  3z  z  z  z   A 15   B   C 13   D Lời giải Chọn B Gọi  z  a  bi , với  a , b   Ta có:  z  z  2a ;  z.z   z   z  z  Khi đó  P  z  3z  z  z  z  z  z     z  z z  P  z z  3 z2 z  z  z  z  zz  z   z  z 1 3  P   z  z    z  z  a   a  4a   a   a     2 4  Vậy  Pmin    Kĩ thuật 4: Lượng giác hóa Câu 25 Cho số phức  z  thỏa mãn  z   2i   Tìm mơđun lớn nhất của số phức  z  A B 11  C  Lời giải D 56 Chọn A 2 Gọi  z  x  yi;    x  ; y     Ta có:  z   2i    x  1   y    Đặt  x   2sin t ; y  2  cos t ;  t   0; 2  Lúc đó:  2 z  1  2sin t    2  2cos t     4sin t  8cos t    42  82 sin  t    ;        z   sin  t     z     ;      10   zmax    đạt được khi z   i 5 Câu 26 Cho số phức  z  thỏa mãn  1  i  z   2i  10  Tìm mơđun lớn nhất của số phức z A B C D  Lời giải Chọn B Gọi  z  x  yi;    x  ; y      Ta có:  1  i  z   2i  10  1  i  z  6  2i 2  10  z   4i    x     y    1 i Đặt  x   sin t ; y   cos t ;  t   0; 2  Lúc đó:   2     cos t   25      8  sin t    ;       z   sin t  25  sin t  cos t  2  z  25  20sin  t     z   5;3   zmax   đạt được khi  z   6i Câu 27 Cho số phức  z  thỏa mãn  z   2i   Tìm mơđun lớn nhất của số phức  z  2i A 26  17 B 26  17 C 26  17 Lời giải D 26  17 Chọn A Gọi  z  x  yi;    x  ; y     z  2i  x   y   i  Ta có:  2 z   2i    x  1   y      Đặt  x   3sin t ;  y  2  3cos t ;  t   0; 2  2  z  2i  1  3sin t    4  3cos t   26   sin t  cos t   26  17 sin  t    ;        26  17  z  2i  26  17  z  2i max  26  17 Câu 28 Cho số phức  z  thỏa mãn  z   Gọi  M , m  lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tìm  Q  z   z   i  Tính  P  M  m 2 A  B  C Lời giải D  Chọn C Vì  z   z  cos x  i sin x  và  Q  cos x  i sin x   cos x  i sin x   i 2 1  3    cos x  1  sin x   cos x     sin x   2    2   cos x   cos x  sin x   2  ; 2       Do đó  P  2   2   1 3 Cách 2: Khi biết  z  , xét ba điểm  M  a; b  , A 1;  , B  ;    ta có  Q  MA  MB  và   2 M , A, B  cùng thuộc đường tròn   O,1  suy ra   MA  MB max  M  là điểm chính giữa cung  lớn   AB    MA  MB min  M là điểm chính giữa cung nhỏ   AB Câu 29 Cho  số  phức  z   thay  đổi  thỏa  mãn  z   i    Hỏi  giá  trị  nhỏ  nhất  của  biểu  thức P  z   9i  1  i  z   8i  là? A B 5 C Lời giải D Chọn B  Với  z   i   cos x  i sin x  , ta có:  P   i   cos x  i sin x    9i   i   cos x  i sin x     5cos x    i  5sin x     5cos x  i sin x     cos x     5sin x   2  8i 1 i  8i 1 i  cos x  1   5sin x    25  60cos x  80sin x  100  25  10cos x  70sin x  50  5 Câu 30 Cho số phức  z  thỏa mãn  z  i   Gọi  M , m  lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z   z   2i  Tính  P  M  m   A P   17 B P   17 C P   17   D P   17 Hướng dẫn giải Chọn B   Ta có:  z  i   cos x  i sin x   và  z   z   2i   cos x  i sin x   i    cos x  i sin x   i   2i   cos x     2sin x  1   cos x     2sin x  1   8cos x  4sin x   8cos x  4sin x  18  16 cos x    cos x   16sin x  18  16 cos x  80 cos x  144 cos x  65     2;2 17  2 Câu 31 Gọi  z  x  yi   x, y      là  số  phức  thỏa  mãn  hai  điều  kiện  z   z   26   3  i  đạt giá trị lớn nhất. Tính tích  xy 2 13 16 A xy  B xy  C xy  D xy  Lời giải Chọn D Đặt  z  x  iy   x, y     Thay vào điều kiện thứ nhất, ta được  x2  y  36   z Đặt  x  3cos t , y  3sin t  Thay vào điều kiện thứ hai, ta có  P   z  3    i  18  18sin  t      2  4 3 3   i z  Dấu bằng xảy ra khi  sin  t    1  t   2  4 Kĩ thuật 5: Sử dụng biểu thức liên hợp z.z  z Câu 32 Cho số phức  z  thỏa mãn  z  không phải là số thực và  w  z  là số thựC. Giá trị lớn nhất   z2 của biểu thức  M  z   i  là A 2 B D C Lời giải Chọn A Do  w  là số thực, suy ra:  z z z z z  z  ww z z z         z  z z 2  2 2 z 2 z 2 z  2 z  2 z 2 z  z  z z  z  z  z z     z.z   z   z     z.z     Đặt  z  x  yi  x, y     Khi đó  z   x  y   (*) Cách (Theo đại số kết hợp bất đẳng thức)  M  z   i   x  1   y  1 i   x  1   y  1  x2  y  2x  y  (*)   2x  y  Suy ra  M  x  y   2  22  x  y    8.2    M  2  M max  2 Cách (Theo hình học)  Gọi điểm  T  x ; y  biểu diễn số phức  z  x  yi (*)   T thuộc đường tròn   C   có tâm  O  0;0   và bán kính  R  Ta có  M   x  1   y  1 i   x  1   y  1  TA  với  A  1;1 Do  A  1;1   C   suy ra  M max  TAmax  R  2   Chú ý: Nếu A   C   M max  TAmax  OA  R   Câu 33 Cho số phức  z  thỏa mãn  z   z  Gọi  M ,  m  lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất  của  z  Tính  P  M  m A P  17  B P  17 C P  17  D P  17  Lời giải Chọn B  Ta có  z   z  z 16  z.z   4  z.z z  4 z2  4  4     z     z   z      z   z      z z  z z z  z    z 16 z  z  1  z   z z z   Vậy với  a  z  , ta có   a  17  17  16   a 8  2 a 17  17    17 2 Do đó  P  Câu 34 Cho số phức  z  thỏa mãn  z  A P    Tính  P  max z  z z B P  13 C P  13 Lời giải D P   13 Chọn B Theo giả thiết, ta có   1 1  1    z   z      z     z      z  z z  z    z  z  z 9 z  z  z2  z 2  9 z  z 2 z z 2  z  z 2 z  z   z 2 z 9  11   13  13   z   P  13 2 Câu 35 Cho số phức  z  thỏa mãn  z   Gọi  M  và  m  lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P  z   z  z   Tính giá trị của  M m A 13 B 39 C 3 D 13 Lời giải Chọn A Gọi  z  x  yi;    x  ; y     Ta có:  z   z.z  Đặt  t  z  , ta có   z   z   z    t   0; 2 Ta có  t  1  z 1  z    z.z  z  z   x  x  Suy ra  z  z   z  z  z.z  z z   z  t2   x  1  x   t    Xét hàm số  f  t   t  t  , t   0; 2  Bằng cách dùng đạo hàm, suy ra max f  t   13 13 ; f  t    M n  4 Câu 36 Cho số phức  z  thỏa mãn  z  A P    Tính  P  max z  z z B P  2 C P   Lời giải Chọn D Theo giả thiết ta có         z   z    16   z   z    116 z  z z  z   D P  2   z  z   16  z  z  z 4 z z   16  z  z 2 z z  z   z2  z 2 2 z  16 2  2   z   P  2 2 _ TOANMATH.com _ ... Cho? ?số? ?phức  z   thỏa mãn  z  không phải? ?số? ?thực? ?và? ? w  z  là? ?số? ?thực.? ?Tìm? ?giá trị lớn nhất   z2 của biểu thức  P  z   i   A 2 B C Phân tích D z  là? ?số? ?thực nên ta? ?tìm? ?cách biểu diễn? ?số? ?phức ... Theo điều kiện có nghiệm? ?phương? ?trình? ?lượng? ?giác       2   P  23  P  46 P  429   13  P  33   Vậy? ?GTLN? ?của  P  là  33    z   5i   Câu 10 Cho? ?số? ?phức  z  thỏa mãn  z  ? ?và? ?số? ?phức w  A... b, c là  các  số? ? thực  dương  và? ? số? ? phức  z  b c  c  4ab c  c  4ab  c  Chứng minh rằng  z    z 2a 2a Dấu đẳng thức xảy ra khi? ?và? ?chỉ khi  z  là? ?số? ?thuần ảo b  Dựa vào dấu đẳng thức xảy ra ta chỉ cần tiến hành giải? ?phương? ?trình