sử dụng phương pháp đại số vào giải các bài tập hình học

Sử dụng phương pháp Đại số trong việc chứng minh đẳng thức hình học.. Sử dụng phương pháp Đại số trong việc giải quyết bài toán dựng hình.. Sử dụng phương pháp Đại số trong việc Chứng mi

ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ VÀO GIẢI CÁC BÀI TẬP HÌNH HỌC

A Đặt vấn đề.

I Lí do chọn đề tài

II Đối tượng, phương pháp nghiên cứu

B.Giải quyết vấn đề.

I Một số dạng toán hình học sử dụng phương pháp Đại số

1. Sử dụng phương pháp Đại số trong việc tính toán các yếu tố hình học

2. Sử dụng phương pháp Đại số trong việc chứng minh điểm cố định

3. Sử dụng phương pháp Đại số trong việc chứng minh tam giác đều

4. Sử dụng phương pháp Đại số trong việc tìm vị trí điểm

5. Sử dụng phương pháp Đại số trong việc chứng minh đẳng thức hình học

6. Sử dụng phương pháp Đại số trong việc giải quyết bài toán dựng hình

7. Sử dụng phương pháp Đại số trong việc Chứng minh bất đẳng thức hình học và tìm cực trị hình học

II Một số bài tập áp dụng

III Một số điểm cần lưu ý khi sử dụng phương pháp đại số vào giải

các bài tập hình học

IV.Kết quả

1 Kết quả

2 Bài học kinh nghiệm và những điều kiện để áp dụng đề tài

C Kết luận và kiến nghị.

PHẦN A ĐẶT VẤN ĐỀ

I Lý do chọn đề tài

1 Cơ sở lí luận:

Trong chương trình toán THCS hình học - đại số có mối liên hệ chặt chẽ với nhau Phương pháp đại số có thể áp dụng vào để giải quyết những bài tập hình học khó, rèn luyện cho học sinh những kĩ năng toán học như kĩ năng tính toán, vẽ hình, kĩ năng đo đạc, ước lượng đồng thời giúp học sinh hình thành và phát triển những phương pháp, phương thức tư duy và hoạt động như Toán học hóa tình huống thực tế, phát hiện và xây dựng thuật giải,vận dụng toán học vào thực tiễn

Sử dụng phương pháp Đại số trong hình học có tác dụng góp phần phát triển năng lực trí tuệ như: phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa Rèn luyện những đức tính như : tính cẩn thận, chính xác, tính kỉ luật, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ cho HS

2 Cơ sở thực tiễn

Trong chương trình SGK Lớp 9 có rất nhiều bài toán hai chiều hình học - đại số nhằm hình thành và phát triển tư duy toán học cho HS, giúp các em hiểu rõ hơn vẻ đẹp của toán học.Rèn cho HS khả năng dự đoán,tính sáng tạo trong giải toán

Sử dụng phương pháp đại số trong hình học giúp cho HS hiểu được mối liên hệ hình học -đại số, giúp cho các em có cái nhìn nhiều góc độ về bộ môn hình học.Chính vì vậy tôi xin được

hệ thống các dạng bài tập hình học sử dụng phương pháp đại số nhằm giúp HS đặc biệt là HS khá, giỏi làm quen và hiểu được phương pháp này một cách hiệu quả nhất

II Mục tiêu,đối tượng

1 Mục tiêu

- Giúp HS làm quen và giải quyết các bài tập hình học bằng phương pháp đại số theo các mức độ từ dễ đến khó

- Rèn cho HS khả năng dự đoán,tính sáng tạo,giúp HS hoạt động tự giác,tích cực Rèn cho

HS đồng đều hai mặt là tri thức toán học và hoạt động thể hiện ngôn ngữ toán học

2 Đối tượng: Áp dụng cho bồi dưỡng HS khá ,giỏi lớp 9.

III Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu SGK,tài liệu tham khảo sau đó vận dụng vào hướng dẫn cho HS từ đó rút ra những bài học kinh nghiệm

- Thường xuyên trao đổi, hội thảo với GV bộ môn nhằm tháo gỡ những khó khăn của đề tài

- Một số tài liệu tham khảo:

+ Toán học tuổi trẻ,Toán học tuổi thơ

+ Toán nâng cao và phát triển 9

+ Một số tài liệu tham khảo khác

PHẦN A NỘI DUNG GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH HỌC SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ

1 Sử dụng phương pháp đại số trong việc tính toán các yếu tố hình học.

 Phương pháp tiến hành:

+ Chọn ẩn đặt điều kiện cho ẩn.

+ Biểu thị các yếu tố hình học theo ẩn.

+ Từ các mối quan hệ hình học lập phương trình hoặc hệ phương trình.

+ Giải phương trình hoặc hệ phương trình, chọn giá trị thích hợp.

C O

B I

Bài 1: Cho đường tròn (O), A là một điểm nằm ngoài (O), AO cắt đường tròn tại I Biết AI =

7, IB = 5 Tính độ dài AB?

Phân tích bài toán:

+)Tính AB bằng cách đưa AB về cạnh một tam giác vuông

+) Vẽ tam giác vuông ABK, kẻ AH  BK có thể biểu thị AB, BK theo KH từ đó dẫn đến việc chọn ẩn

là KH

Giải:

Đường vuông góc với AB tại A cắt BI tại K kẻ AH 

BK do OA  BC

=> I là điểm chính giữa BC => BI là phân giác của

B.

Có KBA AKB 90     0

CBI BIO 90  

Mà KBA CBI     AKB BIO    và BIO AIK     AKB AIK      AKI cân =>

HK = IH

Đặt HK = HI = x (x > 0) => BK = 2x + 5

Có AI = AK = 7

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông : AK2 =KH KB

   7 2   2 x  5  x

 2 x2  5 x  7 0 

x1 = 1 (thoả mãn)

x2 = 7

2

 ( loại)

=> BK = 7 do AB2 = KB2 - AK2 = 72 -  7 = 40 => AB = 2 102

Nhận xét: Đây là bài tập mà tôi đã khai thác từ bài tập 48 SBT toán 9 - T134 Bài tập này nhằm giúp học sinh củng cố các hệ thức lượng trong tam giác vuông, tính chất tiếp tuyến

Bài 2:

Cho điểm B nằm giữa A và C sao cho AB = 14 cm, BC = 28 cm vẽ về một phía của AC các nửa đường tròn tâm I, K, O có các đường kính theo thứ tự AB, BC, AC Tính bán kính của đường tròn tâm M tiếp xúc ngoài với các nửa đường tròn tâm I, K và tiếp xúc trong với nửa đường tròn tâm O

Phân tích bài toán:

M

A

E

F

N

H

+) Có thể tính OA, OI, OK, IK

+) Từ hệ thức MO2 - MI2 = OH2 - IH2

Và MK2 - MI2 = HK2 - HI2 dẫn đến việc chọn bán kính của (M) và chọn IH là ẩn

Giải:

Gọi D là giao điểm của OM và đường tròn ( O ) Ta có:

OA = OD = OC = AC 14 28

21



OI = OA - IA = 21 - 7 = 14 ( cm )

OK = OC - KC = 21 - 14 = 7 ( cm )

IK = 14 + 7 = 21 ( cm )

Gọi bán kính của đường tròn ( M ) là x ( x > 0 ) ta có :

IM = x + 7, MK = x +14 , MO = OD - MD = 21 - x

kẻ MH  AC Gọi HI = y ( y > 0 ) ta có:

MK2 - MI2 = HK2 - HI2  21 y2 y2 x142 x72

 x + 3y = 21 (1)

Ta lại có : MK2 - MI2 = HK2 - HI2   14  y 2 y2   21  x 2  x  7 2

 2x - y = 7 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

3 21

x y





 



Giải hệ ta được x = 6, y = 5 Bán kính đường tròn ( M ) bằng 6 cm

2 Sử dụng phương pháp đại số trong việc chứng minh điểm cố định

 Phương pháp tiến hành:

Trong dạng toán này cần dự đoán hình bằng cách:

- Dựa yếu tố cố định hoặc không đổi.

- Đặc biệt hoá bài toán để tìm hình cố định.

- Tìm giao điểm của các hình cố định.

Bài 3 Cho đường thẳng a và một điểm A cố định nằm ngoài a, H là hình chiếu vuông góc của

A xuống a Hai điểm B, C thay đổi trên a sao cho  BAC  900 GọiE, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H xuống AB, AC Chứng minh rằng:

a) Bốn điểm B, E, F, C cùng thuộc một đường tròn (O)

b) Đường tròn (O) luôn đi qua hai điểm cố định

Phân tích bài toán:

+) Do A và a cố định => đường thẳng AH cố định => dự đoán các điểm cố định thuộc AH

+) Các điểm cố định là giao của đường thẳng AH và (O)

Giải:

a) Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

AE AB = AH2 = AF AC   AEF   ACB ( hai cạnh góc vuông tỉ lệ)

 AEF ACB     BEFC là tứ giác nội tiếp

b) Gọi M, N lần lượt là các giao điểm của (O) với AH (M thuộc đoạn AH)

Ta đặt HM = x, HN = y ( x > 0; y > 0 ) AH = h (h > 0, h không đổi)

Theo hệ thức đường tròn ta có: HM.HN = HB HC

Mà HB HC = AH2

=> HM HN = AH2 hay x.y = h2 (1)

Có AH2 = AE AB

theo hệ thức lượng đường tròn ta có: AE AB = AM AN

=> AH2 = AM AN = ( AH - HM ) (AH + HN )

=> AH2 = AH2 - HM HN + AH ( HN - HM )

=> AH (HN - HM ) = HM HN

=> AH (HN - HM ) = AH2

=> HN - HM = AH hay y - x = h (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

2

x.y h

y x h







 



Giải hệ phương trình ta được: 5 1

2



2





=> M và N cố định vậy (O) luôn đi qua M, N cố định

3 Sử dụng phương pháp Đại số trong việc tìm vị trí của điểm.

 Phương pháp tiến hành:

- Cho hình vẽ thỏa mãn điều kiện đầu bài

- Sử dụng phương pháp đại số tìm khoảng cách của điểm với đường thẳng cố định hoặc một điểm cố định khác.

Bài 4

Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB = 2R Điểm C thuộc đường tròn (C không trùng với A

và B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn (O) GọiM

là điểm chính giữa của cung nhỏ AC Tia BC cắt Ax tại Q, AM cắt BC tại N, AC cắt BM tại P a) Chứng minh rằng tam giác ABN cân

b) Xác định vị trí của C trên nửa đường tròn (O) để đường tròn ngoại tiếp tam giác MNQ tiếp xúc với (O)

Phân tích bài toán:

Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau tại M thì chúng có tiếp tuyến chung tại M.Có điểm B cố định

vậy tìm vị trí điểm C bằng cách tìm độ dài đoạn BC a) ABN cân tại B (vì BM là đường cao đồng thời là phân giác) => AB = BN

b) Đường tròn (O) và đường tròn ngoại tiếp  MNQ tiếp xúc với nhau tại M  chúng có tiếp tuyến chung tại

M

Gọi My là tia tiếp tuyến chung của hai đường tròn, My cắt BQ tại E Có ME //AC (cùng vuông góc với MO)

Do  NME EMC   (vì cùng bằng góc MAC)

  MNC cân  EN = EC (1) Vì

MQB NME 

N

M

C

O P

Q

E

X x

X y

MBC CME     MQB MBC 

  MQB cân  EQ = EB (2)

Theo hệ thức lượng: AB2 = BC.BQ = BC.(BN+QN)

 AB2 = BC.(AB+BC) vì BN = AB; QN=BC

Đặt BC = x (x > 0) ta có: 4R2 = x.(2R+x)  x2 + 2Rx - 4R2 = 0 (*)

Giải phương trình (*) ta được x1   5 1 R   (thoả mãn)

x2    5 1 R   (loại) Vậy BC   5 1 R   thì đường tròn ngoại tiếp  MNQ và đường tròn (O) tiếp xúc nhau

4 Sử dụng phương pháp đại số trong việc chứng minh tam giác đều.

 Phương pháp tiến hành:

Sử dụng phép biến đổi đại số hoặc phương pháp bất đẳng thức để chứng minh ba cạnh hoặc các yếu tố khác như ba đường cao của tam giác bằng nhau.

Bài 5 Một tam giác có số đo đường cao là số nguyên và bán kính đường tròn nội tiếp là 1.

Chứng minh rằng tam giác đó đều

Giải:

Gọi độ dài ba cạnh của tam giác lần lượt là a, b, c và độ dài đường cao tương ứng là x, y, z

Do vai trò của x, y, z như nhau, giả sử x  y  z

áp dụng công thức r = S

P và z =

2S c

r = S

P=

2S

a b c   < 2S

2c =

S

c =

z

2 => z > 2 (vì r = 1)

(1) => x > 2, y > 2

1

x y z 2S 2S 2S 2S r

 

x  y z   z =>

3 1

z  => z  3

(2)

Từ (1) và (2) suy ra z = 3

Suy ra 1 1 2

x  y  3 (3)

mà 1 1

x  3 ,

1 1

y 3  =>

1 1 2

x  y  3 (4)

Từ (3) và (4) suy ra x = y = 3 => a = b = c => Tam giác đó đều

5 Sử dụng phương pháp Đại số để chứng minh đẳng thức hình học.

 Phương pháp tiến hành:

+) Biểu thị các đoạn thẳng theo các chữ.

+) Từ mối liên hệ hình học biến đổi hai vế bằng phương pháp Đại số về hai biểu thức bằng nhau.

Bài 6 cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác đều ABC Một tiếp tuyến của đường tròn cắt các

cạnh AB và ACtheo thứ tự ở M, N Chứng minh rằng:

a) MN2 = AM2 + AN2 - AM.AN

1

MB  NC 

Giải:

a) Kẻ NHAB Đặt AB = AC = BC = a, AM = x, AN

= y, MN = z

AH

2

2

x 2

  theo định lí Py-Ta-Go:

b) Theo tính chất tiếp tuyến ta có: AM + AN + MN = 2AD

=> x + y + z = 2 AD = a ta có

AM AN

1

MB  NC 

 x(x +z) + y(y + z) = (x +z)(y + z)

đẳng thức (*) đã được chứng minh ở phần a)

6 Sử dụng phương pháp Đại số trong việc giải quyết bài dựng hình

a) Các bài toán dựng hình cơ bản:

- Dựng tổng hay hiệu hai đoạn thẳng: Dựng x = a  b (a > b )

- Dựng đoạn thẳng bằng m

n lần đoạn thẳng cho trước:

n

 (m, n là số nguyên dương cho trước)

- Dựng đoạn trung bình nhân của hai đoạn thẳng cho trước;

dựng x  ab

- Dựng đoạn x  a2  b2 đưa về cạnh của tam giác vuông

b) Giải bài toán dựng hình bằng phương pháp Đại số

- Giả sử đã dựng được một hình thỏa mãn các điều kiện của đề bài, tìm xem trong hình ấy những đoạn thẳng nào chưa biết (x) , dùng phương trình thiết lập sự tương quan hình học để tìm x

Phân tích bài toán:

Sử dụng tính chất tiếp tuyến ta có:

AM + AN + MN = 2AD => có thể biểu thị

MB, NC theo AM, AN,MN và các cạnhcủa tam giác ABC vì vậy chọn biến là AM, AN,

MN và cạnh của tam giác ABC.

- Đưa về bài toán dựng hình cơ bản dựng x sau đó dựng hình cần dựng.

Bài 7 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính MN Dựng hình chữ nhật ABCD nội tiếp nửa

đường tròn ( A và D thuộc MN, Bvà C thuộc nửa đường tròn) sao cho hình chữ nhật đó có diện tích có diện tích lớn nhất

Phân tích: Giả sử hình chữ nhật ABCD dựng được như hình vẽ

Đặt AD = 2a, AB = b, OB =R

Xét OAB vuông: OA2 + AB2 = OB2 => a2 +b2 = R2

Gọi S là diện tích hình chữ nhật ta có S  2ab a  2  b2  R2

max S = R2  R 2

a b

2

  Vậy hình chữ nhật ABCD có diện tích lớn nhất bằng R2

 AD = 2AB.và AOB 45   0

Cách dựng:

dựng B sao cho MOB 45   0=> dựng hình chữ nhật ABCD

7 Sử dụng phương pháp Đại số trong việc chứng minh bất đẳng thức hình học và tìm cực trị hình học.

Một số bất đẳng thức cần nhớ:

a) Bất đẳng thức Cô-Si:

với hai số không âm a,b ta có: a b

2 ab 2



 b)  a b  2  4ab

c) Bất đẳng thức Bunhiacôpxki ( 2số ): 2 a  2  b2   a b  2

Dấu "=" của các bất đẳng thức này xảy ra  a = b

Bài 8: Cho đường tròn (O) dây cung BC A là mộtđiểm trên cung lớn BC AA', BB', CC' là ba

đường cao của tam giác H là trực tâm của tam giác

Chứng minh rằng A’A.A’H

4

2

BC



1) Chứng minh rằng

2

3 ' '

'







HC

HC HB

HB HA

HA

.

.

.

.







HB HA

CB CA HA HC

BA BC HC HB

AC AB

3) Gia sử BC cố định A là điểm chuyển động trên cung lớn BC Xác định vị trí điểm A để chu vi Δ A’B’C’ lớn nhất.

Giải:

B

C

R

b

a

A

C B

B ’

C ’

A ’

H



O

M

R

S

Để giải quyết các phần khai thác này cần chứng minh các bất đẳng thức phụ sau:

a) (a+b)2 4ab

b) (a+b+c)(

c b a

1 1 1



 ) 9 (a, b, c dương)

2

3











c c a

b c b

a

(a, b, c dương)

Chứng minh:

a) Xét (a+b)2 – 4ab = (a-b)2  0 => (a+b)2 4ab Dấu “=” xảy ra  a = b

b) (a+b+c)(

c b a

1 1 1



 ) = 1+   1   1

b

c a

c c

b a

b c

a b a













































b

c c

b a

c c

a a

b b

a

Do  2 2

a

b b

a a

b b

a

Tương tự  2

a

c c a

 2

b

c c b

=> (a+b+c)(

c b a

1 1 1



 ) 9 Dấu “=” xảy ra  a = b = c





























































c c

a

b c

b

a a b

c c a

b c b

a

= (a+b+c)(

b a a c c

1 1 1

) – 3

2

1

































b a a c c b b a c a c b

2

3 3 9 2

1





dấu “=” xảy ra  a = b = c

1) Do  AA 'B   CA'H có A’A.A’H = A’B.A’C (1)

áp dụng BĐT: (a+b)2  4ab => ab

4

)

b

a 



=> A’B.A’C

4 4

) ' '

BC C

A B A





Từ (1) và (2) => A’A.A’H

4

2

BC

 Dấu “=” xảy ra  A’B = A’C  Δ ABC cân tại A.

2) Gọi diện tích các tam giác ABC, HBC, HAC, HAB lần lượt là S, S1,

S2, S3 Có S = S1 + S2 + S3

Có

3 2

1 1

1

' '

' '.

2 1

'.

2 1 '

'

S S

S HA

HA S

S

S HA AA

HA S

S BC AA

BC HA AA

HA



















Chứng minh tương tự:

2 1

3 3

1

;

'

S S

S HC

HC S

S

S HB

HB









2 1

3 3

1

2 3

2

1



















S S

S S

S

S S

S

S HC

HC HB

HB HA

HA

(theo BĐT phần c)

Dấu “=” xảy ra  S1 = S2 = S3 =

3

S

=> H là trọng tâm của Δ ABC Mà H là trực tâm của

Δ ABC => Δ ABC đều.

3) Do Δ CHB’ ~ Δ CAC’ (g-g) =>

S

S CC AB

CB HB AC

AB

HC HB CC

CB CA

' 2 1

' 2 1

'

'









.

.

;

S

S BC CA

HB HA S

S BC AB

HC HA





.

.

.













S

S S S BC CA

HB HA BA BC

HA HC AC

AB

HC

áp dụng bất đẳng thức: (a+b+c)(

c b a

1 1 1



.

.

.

.

.

.

.



































HB HA

CB CA HA HC

BA BC HC HB

AC AB BC

CA

HB HA BA BC

HA HC AC

AB

HC

.

.

.

.







HB HA

CB CA HA HC

BA BC HC HB

AC AB

Dấu “=” xảy ra  Δ ABC đều.

Từ phần 2) và dựa vào kết quả của bài tập 4 (SGKtrang 54-Ôn tập chương II) có thể khai thác thêm:

'

' '

' '

'







HC

CC HB

BB HA

AA

b) AA’, BB’, CC’ lần lượt cắt đường tròn tại M, R, S

Chứng minh rằng:   3

HC

HS HB

HR HA

HM

4) Vẽ tiếp tuyến Ax của đường tròn Do Ax//B’C’ => OA ┴ B’C’

2

1 ' ' 2

1

C B R C

B

Tương tự SBC’OA’ = ' '

2

1

C A R

SBC’OA’ = ' '

2

1

B A R

SAB’OC’+ SBC’OA’+ SBC’OA’ = .( ' ' ' ' ' ' )

2

1

B C C A B A

 SABC = ' ' '

2

1

C B A

P

 PA’B’C’ lớn nhất  SABC lớn nhất  A là điểm chính giữa của cung lớn BC

Có thể khai thác thêm cho học sinh khá, giỏi tham khảo thêm một số bài toán cực trị:

Xác định vị trí điểm A để:

a) Diện tích Δ HBC lớn nhất.

b) Chu vi Δ HBC lớn nhất.

c) Tổng HA + HB + HC lớn nhất.

d) Tổng khoảng cách từ Ođến các cạnh Δ ABC lớn nhất.B

II MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG

Bài 1: Tính sin360 mà không sử dụng máy tính hoặc bảng số

(Đề thi học sinh giỏi tỉnh năm học 2005- 2006).

Bài 2: Tính các góc của một tam gáic vuông biết tỉ số giữa các bán kính của đường tròn ngoại

tiếp và đường tròn nội tiếp bằng 3 1 