CHỦ ðỀ 1: SỬ DỤNG BẤT ðẲNG THỨC COSI CHỨNG MINH BẤT ðẲNG THỨC VÀ TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ.. A..[r]
(1)CHUYÊN ðỀ: BẤT ðẲNG THỨC VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
CHỦ ðỀ 1: SỬ DỤNG BẤT ðẲNG THỨC COSI CHỨNG MINH BẤT ðẲNG THỨC VÀ TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ
A Lý thuyết bản:
1 Bất ñẳng thức cosi cho hai số: Với a, b ≥ 0, ta có: a b
ab +
≥ Dấu "=" xảy ⇔ a = b 2 Bất ñẳng thức cosi cho số: Với a, b, c ≥ 0, ta có:
3 a b c
abc
+ + ≥ Dấu "=" xảy ⇔ a = b =c 3 Hai dạng thông dụng:
a) ∀a b, > : 0 (a b)(1 1) a b
+ + ≥ hay 1
a+ ≥b a b+ Dấu “=” xảy a=b b) ∀a b c, , > : 0 (a b c)(1 1)
a b c
+ + + + ≥ hay 1 1
a+ + ≥b c a b c+ + Dấu “=” xảy a=b=c B Các dạng tập:
Loại 1: Các toán sử dụng trực tiếp bất ñẳng thức cosi
Bài : (KB-05) Chứng minh với x, ta có: 12 15 20
5
x x x
x x x
+ + ≥ + +
Dấu “=” xảy nào?
Bài : (KD-05) Cho , ,x y z>0;xyz= Chứng minh:
3 3 3
1 1
3
x y y z z x
xy yz zx
+ + + + + + + + ≥
Dấu “=” xảy nào?
Bài : (KD-08) Cho x,y>=0 thay đổi Tìm GTLN,GTNN biểu thức:
2
( )(1 )
(1 ) (1 ) x y xy P
x y
− −
=
+ +
Bài : (ðHSG-07) Cho a,b,c ba số dương thỏa mãn 2
a +b +c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: ab bc ca
P
c a b
= + +
Bài : (CðSP QB-06) Cho a≥0,b≥ Chứng minh: 3a3+7b3≥9ab2 Bài : (CðCKLK-06) Cho a,b,c>0 CM:
3 3
a b c
ab bc ca b + c + a ≥ + +
Bài : Cho x,y>0 thay ñổi thỏa mãn x+ ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức y
2
2
3
4
x y
A
x y
+ +
= +
Bài : Cho x,y>0 x+y=1 Chứng minh:
3
1
4 x +y + xy ≥ + Bài : Cho x,y>0 2
1
x +y = Chứng minh: S (1 x) 1 (1 y) 1
y x
= + + + + + ≥ +
Bài : Cho x,y,z>0 1
1+x+1+y+1+z = Chứng minh:
1 xyz≤
(2)Với dạng này, ta thực phép biến ñổi ñại số, chủ yếu phép đặt ẩn phụ sau ta sử dụng BðT cosi
Bài : (KA-07) Cho , ,x y z>0;xyz= Tìm GTNN biểu thức
2 2
( ) ( ) ( )
2 2
x y z y z x z x y
P
y y z z z z x x x x y y
+ + +
= + +
+ + +
Bài : (KA- 09) Chứng minh với x,y,z>0 thỏa mãn: (x x+ +y z)=3yz ta ln có
3 3
(x+y) +(x+z) +3(x+y x)( +z y)( +z)≤5(y+z)
Bài : Chứng minh tam giác ABC, ta có abc≥(b c a a+ − )( + −c b b c a)( + − ) ñây a,b,c ba cạnh tam giác
Bài : (KA-06) Cho hai số thực x,y khác thay ñổi thỏa mãn: 2
(x+y xy) =x +y −xy Tìm GTLN biểu thức S 13 13
x y
= +
Bài : Cho x,y,z>0 xyz=1 Tìm GTLN biểu thức
2 2 2
1 1
2 3
P
x y y z z x
= + +
+ + + + + +
Bài : Cho x,y,z>0 Chứng minh:
2 2
x y z
x+ +y x+ y+ +z x+ z+ +x y ≤ Loại 3: Sử dụng bất ñẳng thức
a) ∀a b, > : 0 (a b)(1 1) a b
+ + ≥ hay 1
a+ ≥b a b+ Dấu “=” xảy a=b b) ∀a b c, , > : 0 (a b c)(1 1)
a b c
+ + + + ≥ hay 1 1
a+ + ≥b c a b c+ + Dấu “=” xảy a=b=c Bài : (KA-05) Cho x,y,z>0 thỏa mãn 1 1
x+ + = Chứng minh: y z
1 1
1 2x+ +y z+x+2y+z +x+ +y 2z ≤ Bài : Cho x,y,z>0 x+y+z=1 Tìm GTLN biểu thức
1 1
x y z
S
x y z
= + +
+ + +
Bài : Cho a,b,c>0 Chứng minh:
a b c
b c+ +c+a+a b+ ≥
Bài : Chứng minh tam giác ABC, ta có 1 1
p a p b p c a b c
+ + ≥ + +
− − − , a,b,c
cạnh tam giác p nửa chu vi
Bài : Cho x,y>0 x+y<1 Tìm GTNN biểu thức
2
1
1
x y
P x y
x y x y
= + + + +
− − + ðS: 5/2
Loại 4: Sử dụng phép thêm bớt sử dụng BðT cosi
Có hai cách thêm bớt chính: thêm bớt số thêm bớt biểu thức chứa biến
Bài : (Cð AB-05) Cho a≥2,b≥3,c≥ Tìm GTLN biểu thức F ab c bc a ca b abc
− + − + −
(3)Bài : (DB-05) Cho a,b,c >0 thỏa mãn
a b c+ + = Chứng minh rằng: 3a+3b+3b+3c+3 c+3a ≤ Dấu 3 xảy nào?
Bài : (Cð SPHN-05) Cho x,y,z>0 Chứng minh:
3 3 2
3 3 2
x y z x y z
y + z + x ≥ y + z +x
Bài : Cho x,y,z>0 x+y+z=1 Chứng minh: S= +x xy+ xyz ≤ Bài : Cho 1− ≤ ≤ Chứng minh: x 41−x2 +41− +x 41+ ≤x
Bài : Cho x,y,z>0 xyz=1 Chứng minh:
3 3
3
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
x y z
P
y z z x x y
= + + ≥
+ + + + + +
Bài : Cho x,y,z>0 xy+ yz+ xz =1 Chứng minh:
2 2
1
x y z
S
x y y z z x
= + + ≥
+ + +
Bài : (DB-06) Cho x,y,z thỏa mãn 3−x+3−y+3−z = Chứng minh:
9 9 3
3 3 3
x y z x y z
x y z+ y z x+ z x y+
+ +
+ + ≥
+ + +
CHỦ ðỀ 2: SỬ DỤNG CHIỀU BIẾN THIÊN HÀM SỐ ðỂ CHỨNG MINH BẤT ðẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
ðể sử dụng phương pháp ta tiến hành sau:
- Với BðT chọn hàm số thích hợp( hàm số thấy ñầu sau vài phép biến ñối đơn giản tìm nó)
- Khảo sát chiều biến thiên hàm số vừa tìm MXð
- Từ bước cho ta lời giải phép CM BðT tìm GTLN, GTNN
Bài : (KB-09) Cho số thực x,y thay đổi thỏa mãn (x+y)3+4xy≥ Tìm GTNN biểu thức: 2
4 2 2
3( ) 2( )
A= x +y +x y − x +y + ðS: 9/16 Bài : (KD-09) Cho số thực không âm x,y thay đổi thỏa mãn x+y=1 Tìm GTLN,GTNN
2
(4 )(4 ) 25
S = x + y y + x + xy ðS: min=196/16, max=25/2 Bài : (Cð AB-09) Cho 0<a<b<1 Chứng minh: 2
ln ln ln ln
a b b− a> a− b Bài : (Cð AB-08) Cho x, y thỏa mãn 2
2
x +y = Tìm GTLN, GTNN biểu thức P=2(x3+y3) 3− xy ðS: min=-7, max=13/2 Bài : (KB-07) Cho x,y,z ba số thực dương thay đổi Tìm GTNN biểu thức
1 1
( ) ( ) ( )
2 2
x y z
P x y z
yz xz xy
= + + + + + ðS: 9/2
Bài : (KD-07) Cho a≥ > Chứng minh: b (2 ) (2 )
2
a b b a
a b
+ ≤ +
Bài : Cho x,y,z>0 thỏa mãn ñiều kiện
x+ + ≤ Tìm GTNN biểu thức y z P x y z 1 x y z = + + + + +
ðS: 15/2 Bài : (KB-04) Tìm GTLN, GTNN hàm số:
2 ln x y
x
(4)Bài : (KD-03) Tìm GTLN, GTNN hàm số:
2
1 x y
x + =
+ ñoạn [−1; 2]
Bài : (KB-03) Tìm GTLN, GTNN hàm số: y= +x −x
Bài : (CðGTVT-05) Cho x≥0,y≥0,x+ = Tìm GTLN, GTNN biểu thức: y P =32x+3y CHỦ ðỀ 3: CÁC PHƯƠNG PHÁP KHÁC CHỨNG MINH BẤT ðẲNG THỨC
VÀ TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ A Phương pháp miền giá trị hàm số
Phương pháp hữu hiệu tìm GTLN, GTNN hàm số dạng
1 1
2 2
sin cos
( )
sin cos
a x b x c
f x
a x b x c
+ +
=
+ + , (x u+v)+y u v( − ) ≤ Bài : (KB-08) Cho hai số thực x,y thay ñổi thỏa mãn: 2
1
x +y = Tìm GTLN, GTNN biểu thức:
2
2( )
1 2
x xy
P
xy y
+ =
+ +
Bài : Chứng minh với x thuộc R, ta có sin cos 2 sin cos
x x
x x
+ +
− ≤ ≤
− +
B Phương pháp sử dụng bất ñẳng thức Bunhiacopski
a) Bất ñẳng thức Bunhiacopski cho số: (a12+a22)(b12+b22)≥(a b1 1+a b2 2)2, dấu “=” xảy ta
1
1
a a b = b
b) Bất ñẳng thức Bunhiacopski cho n số:
2 2 2 2
1 2 1 2
(a +a + + an)(b +b + + bn)≥(a b +a b + + a bn n) , dấu “=” xảy ta
1
n n
a a a
b = b = = b Bài : (KB-03) Tìm GTLN, GTNN hàm số:
4 y= +x −x
Bài : Cho x,y,z số thỏa mãn ñiều kiện xy+yz+xz= Chứng minh: 4 4 16 x +y +z ≥ Bài : Cho x,y,z>0 Chứng minh:
2 2
x y z
y+ z+ z+ x+x+ y ≥ C Phương pháp sử dụng lượng giác
Bài : (KB-03) Tìm GTLN, GTNN hàm số: y= +x 4−x2
Bài : (KB-08) Cho hai số thực x,y thay đổi thỏa mãn: x2+y2 = Tìm GTLN, GTNN biểu thức: 1
2
2( )
1 2
x xy
P
xy y
+ =
+ +
Bài : Cho x, y khơng đồng thời Chứng minh:
2
2
( )
2 2 2
4
x x y
x y
− −
− − ≤ ≤ −
+
(5)Bài 1: Cho x,y,z>0 Chứng minh:
2 2
x y z
x+ +y z +x+ y+z+ x+ +y z ≤
Bài 2: Cho x,y,z>0 xyz=xy+yz+xz Chứng minh: 1
2 3 16
x+ y+ z+ x+ y+z+ x+ +y z < Bài 3: Cho x,y,z>0 2
1
x +y +z = Chứng minh: 2 2 2 2 2 2 3
x y z
y +z + x +z + y +x ≥ Bài 4: Cho x,y>0 x+y=1 Chứng minh:
1
x y
x + y ≥
− −
Bài 5: Cho a,b,c>0 4 48
a +b +c = Chứng minh: ab2+bc2+ca2 ≤24 Bài 6: Cho x,y,z>0 x+y+z=1 Chứng minh: 1− +x 1− +y 1− ≤z
Bài 7: Cho x,y,z>0 xyz=1 Chứng minh:
2 2 3
1 1
x y z
y+ z + x ≥
+ + +
Bài 8: Cho x,y,z thỏa mãn x+y+z=0 Chứng minh: 4+ x + 4+ y + 4+ z ≥3
Bài 9: Cho x,y,z>0 x+ + ≥ Chứng minh: y z x y z
y + z + x ≥
Bài 10: Cho 0<x<y<1 Chứng minh ln ln
1
y x
y x y x
− >
− − −
Bài 11: Cho x>y>0 Chứng minh: ln 1 x x− < x
Bài 12: Tìm GTLN, GTNN hàm số: ( ) sin cos
f x = x x với
2 x π ≤ ≤
Bài 13: Cho 1≤ ≤x 2, 3≤ ≤ Tìm GTLN, GTNN biểu thức x
4 2
4 2
x y x y x y
P
y x y x y x
= + − + + +
Bài 14: Tìm GTLN, GTNN hàm số
( ) 18
f x = + +x − −x + x−x với 3− ≤ ≤ x
ðS: maxf(x)=3, min ( ) 2 f x = − Bài 15: (DB-03) Tìm GTLN, GTNN hàm số:
4(1 )
y=x + −x ñoạn [−1;1]
ðS: maxf(x)=4; minf(x)=4/9
Bài 17: Cho ba số không âm x,y,z thỏa mãn x+y+z=1 CM: 3 x +y +z ≥ Bài 18: Cho x,y,z thỏa mãn ( 1) ( 1) ( 1)
3
x x− + y y− +z z− ≤ Chứng minh: 1− ≤ + + ≤ x y z Bài 19: Cho số dương x,y,z xyz=1 Chứng minh:
2 2
3 3
x y z
x+ +y y z + y+ +z z x+z+ +x x y ≥
Bài 20: Cho 2 2
1,
(6)Bài 21: Cho a,b,c thuộc R Chứng minh:
2 2 2
1 1 1
a c a b b c
a c a b b c
− − −
≤ +
+ + + + + +
Bài 22: Cho ,x y∈ Chứng minh: R 2 22 1
14
x y x y
+ +
− ≤ ≤
+ +
Bài 23: Chứng minh với x∀ ∈ ℝ ta có
2
2
3 23
2 10
x x
x x
+ +
≤ ≤
+ +
ðỀ THI ðẠI HỌC CÁC NĂM Bất ñẳng thức
Dạng 1: Phương pháp sử dụng BðT
Bài: TK-02 Cho tam giác ABC có diện tích 3
2 Chứng minh:
1 1 1
3
a b c
a b c h h h
+ + + + ≥
Bài: KA-03 Cho x,y,z>0 x+y+z=1 Chứng minh: 2
2 2
1 1
82
x y z
x y z
+ + + + + ≥
Bài: KA-05 Cho x,y,z>0 thỏa mãn 1 1
x+ + = Chứng minh: y z
1 1
1 2x+ +y z+ x+2y+z+x+ +y 2z ≤ Bài: KB-05 Chứng minh với x, ta có: 12 15 20
5
x x x
x x x
+ + ≥ + +
Bài: KD-05 Cho , ,x y z>0;xyz= Chứng minh:
3 3 3
1 1
3
x y y z z x
xy yz zx
+ + + + + +
+ + ≥ Dấu
“=” xảy nào?
Bài: TK-05 Chứng minh với x,y,z>0 ta có: (1 x)(1 y)(1 )2 256
x y
+ + + ≥
Bài: TK-05 Cho số x,y,z thỏa mãn x+y+z=0 Chứng minh: 4+ x + 4+ y + 4+ z ≥ Bài: TK-05 Cho a,b,c >0 thỏa mãn
4
a b c+ + = Chứng minh: 3a+3b+3b+3c+3c+3a ≤ Dấu xảy nào?
Bài: TK-06 Cho x,y,z thỏa mãn 3−x+3−y+3−z = Chứng minh:
9 9 3
4
3 3 3
x y z x y z
x y z+ y z x+ z x y+
+ +
+ + ≥
+ + +
Bài: CðKTKT DDu 06 Chứng minh x,y>0 : x y x y
y + x ≥ +
Bài: CðSP QB 06 Chứng minh a≥0,b≥ 3a3+7b3≥9ab2 Bài: CðSPHN 05 Cho x,y,z>0 Chứng minh:
3 3 2
3 3 2
x y z x y z
y + z +x ≥ y + z + x
(7)Bài: TK-05 Cho x,y,z>0 ; xyz=1 Chứng minh:
2 2
1 1
x y z
y+ z+ y ≥
+ + +
Bài: CðBK 06 Cho x,y,z>0 Chứng minh:
4 4
3 3
( )
2
x y z
x y z
y+z+x+z+x+y ≥ + + Bài: Cð CK LK 06 Chứng minh:
3 3
, , ,
a b c
ab bc ca a b c
b + c + a ≥ + + ∀ >
Bài: DB-KD-07 Cho a,b>0 thỏa mãn ab+a+b=3 Chứng minh: 3 2
1
a b ab
a b b+ +a+ +a b+ ≤ + + Bài: DB-KB-08 n≥2,n∈N x y; , ≥ Chứng minh: n xn+yn ≥n+1xn+1+yn+1
Dạng 2: Phương pháp hàm số
Bài: KD 07 Cho a≥ > Chứng minh rằng: b (2 ) (2 )
2
a b b a
a b
+ ≤ +
Bài: TK-03 Chứng minh
2
cos
2
x x
e + x≥ + −x Bài: DB-KD-08 Cho 0 ,
3 x y π
≤ ≤ Chứng minh: cosx+cosy≤ +1 cosxy
Bài: KA-2009 Chứng minh với x,y,z>0 thỏa mãn: (x x+ +y z)=3yz Chứng minh:
3 3
(x+y) +(x+z) +3(x+y x)( +z y)( +z)≤5(y+z)
Bài: DB-KB-08 Cho x,y,z>0 thỏa mãn
3 yz x y z
x
+ + = Chứng minh: 3( )
x≤ − y+z Dạng 3: Tổng hợp
Bài: TK-02 Gọi x,y,z khoảng cách từ ñiểm M thuộc miền tam giác ABC có góc nhọn đến cạnh BC, CA, AB Chứng minh:
2 2
2
a b c
x y z
R
+ +
+ + ≤ Dấu xảy nào?
Bài: TK-02 Cho tứ diện OABC có cạnh OA, OB,OC đơi vng góc Gọi , ,α β γlần lượt góc giữa mặt phẳng (ABC) với mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) Chứng minh: cosα +cosβ +cosγ ≤ Bài: TK-02 Giả sử a,b,c,d số nguyên thay ñổi thỏa mãn 1≤ < < < ≤a b c d 50 Chứng minh:
2
50 50
a c b b
b d b
+ +
+ ≥ tìm GTNN biểu thức S a c b d = +
Bài: TK-05 Chứng minh 0≤ ≤ ≤ y x 1
x y −y x ≤ Khi ñẳng thức xảy Bài: TK-06 Cho x,y số thực thỏa mãn x2+xy+y2≤3 Chứng minh :
2
4 3 x xy 3y 3
− − ≤ − − ≤ −
Bài: Cð NL 06 Cho x,y>0 thỏa mãn: y y( 2+ +1) x x( 2− =1) 0.Chứng minh: x2+y2<1
(8)Bài: TK-02 Cho x,y hai số dương thay ñổi thỏa mãn
x+ = Tìm GTNN biểu thức y 4 S
x y
= +
Bài: TK-06 Tìm GTNN hàm số:
2
11
4(1 )
2 y x
x x
= + + + với x>0
Bài: TK-06 Cho x,y >0 thay ñổi thỏa mãn: x+ ≥ Tìm GTNN y
2
2
3
4
x y
A
x y
+ +
= +
Bài: Cð A,B 05 Cho a≥2,b≥3,c≥ Tìm GTLN biểu thức F ab c bc a ca b abc
− + − + −
= Bài: KA-07 Cho , ,x y z>0;xyz= Tìm GTNN biểu thức
2 2
( ) ( ) ( )
2 2
x y z y z x z x y
P
y y z z z z x x x x y y
+ + +
= + +
+ + +
Bài: KB-07 Cho x,y,z ba số thực dương thay đổi Tìm GTNN biểu thức
1 1
( ) ( ) ( )
2 2
x y z
P x y z
yz xz xy
= + + + + +
Bài: DB-KA-07 Cho x,y,z>0 Tìm GTNN biểu thức : 3 3 3
3 3
2 2
4( ) 4( ) 4( ) x y z
P x y y z z x
y z x
= + + + + + + + +
Bài: KD-09 Cho số thực không âm x,y thay đổi thỏa mãn x+y=1 Tìm GTLN,GTNN
2
(4 )(4 ) 25
S = x + y y + x + xy
Dạng 2: Phương pháp hàm số
Bài: TK-02 Cho x,y hai số dương thay ñổi thỏa mãn
x+ = Tìm GTNN biểu thức y 4 S
x y
= + Bài: TK 03 Tìm GTLN, GTNN hàm số: y=sin5x+ cosx
Bài: KB-03 Tìm GTLN, GTNN hàm số: y= +x 4−x2
Bài: TK-03 Tìm GTLN, GTNN hàm số: y=x6+4(1−x2 3) đoạn [−1;1]
Bài: KD-03 Tìm GTLN, GTNN hàm số:
2
1 x y
x + =
+ ñoạn [−1; 2] Bài: KB-04 Tìm GTLN, GTNN hàm số:
2 ln x y
x
= ñoạn 1; e3
Bài: KA-06 Cho hai số thực x,y khác thay ñổi thỏa mãn: (x+y xy) =x2+y2−xy Tìm GTLN biểu thức
3
1
S
x y
= +
Bài: KB-06 Cho x,y thay đổi Tìm GTNN biểu thức:
2 2
( 1) ( 1)
A= x− +y + x+ +y + − y
Bài: Cð KA 04 Tìm GTLL GTNN hàm số: y= sin+ x+ cos+ x
Bài: Cð GTVT 05 Cho x≥0,y≥0,x+ = Tìm GTLN, GTNN biểu thức: y P =32x+3y Bài: Cð TDN HCM-06 Tìm GTLN, GTNN hàm số:
2
(9)Bài: TK 04 Cho hàm số
2 sin
2
x x
y=e − x+ Tìm GTNN hàm số f(x) chứng minh phương trình f(x)=3 có hai nghiệm
Bài: KA-08 Cho hai số x,y thay đổi thỏa mãn: x2+y2=2 Tìm GTLN, GTNN P=2(x3+y3) 3− xy
Bài: KB-08 Cho hai số thực x,y thay đổi thỏa mãn: x2+y2 =1 Tìm GTLN, GTNN biểu thức:
2
2( )
1 2
x xy
P
xy y
+ =
+ +
Bài: KD-2010 Tìm GTNN HS: y= −x2+4x+21− −x2+3x+10
Bài: KA-2011 Cho x, y, z ba số thực thuộc ñoạn [1; 4] x ≥ y, x ≥ z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P =
2
x y z
x+ y+ y+z+z+x
Bài: KD-2011 CTNC Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số
2
2 3
1
x x
y
x
+ +
=
+ ñoạn [0;2] Bài: KB-2011 Cho a b số thực dương thỏa mãn 2(a2
+ b2) + ab = (a + b)(ab + 2) Tìm giá trị nhỏ
nhất biểu thức P =
3 2
3 2
4 a b a b
b a b a
+ − +
Dạng 3: Tổng hợp
Bài: TK-03 Tìm góc A,B,C tam giác ABC ñể biểu thức Q=sin2A+sin2B−sin2Cñạt GTNN Bài: TK-04 Xét tam giác ABC thỏa mãn 90, sin sin sin tan
2 A
A≤ A= B C
Tìm GTNN biểu thức:
1 sin A S
SinB − =
Bài: Cð YT I 06 Cho số x,y thay đổi thỏa mãn y≤0,x2+ = +x y 12 Tìm GTLN, GTNN biểu thức: 17
A=xy+ +x y+
Bài: TK-04 Gọi x,y nghiệm hệ:
3
x my m
mx y m
− = −
+ = +
Tìm GTLN biểu thức:
2
2
A=x +y − xkhi m thay ñổi
Bài: KD-08 Cho x,y>0 thay đổi Tìm GTLN,GTNN BT:
2
( )(1 )
(1 ) (1 )
x y xy
P
x y
− −
=
+ +
Bài: Cð KTCN II 06 Gọi x x hai nghiệm phương trình: 1, 2 2x2+2(m+1)x+m2+4m+ =3 Với giá trị m biểu thức A= x x1 2−2(x1+x2) ñạt GTLN
Bài: KB-09 Cho số thực x,y thay đổi thỏa mãn (x+y)3+4xy≥2 Tìm GTNN biểu thức: 4 2 2
3( ) 2( )
A= x +y +x y − x +y +
Bài: (Cð 2010) Cho số thực dương x,y thay ñổi thỏa mãn 3x+ ≤ Tìm GTNN y S 1
x xy
= +
Bài: (KB-2010) Cho số thực khơng âm a,b,c thay đổi thỏa mãn a+b+c=1 Tìm GTNN biểu thức: 2 2 2 2
3( ) 3( )